\input style
%% 60

в ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЭТОГО ПУНКТА РАССМОТРИМ СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ В СЛУЧАЕ, КОГДА В 
ПЕРЕСТАНОВКЕ ДОПУСКАЮТСЯ ОДИНАКОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. бЕСЧИСЛЕННЫЕ ПАСЬЯНСЫ, 
КОТОРЫМ ПОСВЯЩАЛ СВОИ ДОСУГИ ЗНАМЕНИТЫЙ АМЕРИКАНСКИЙ АСТРОНОМ 19-ГО ВЕКА 
сАЙМОН нЬЮКОМБ, ИМЕЮТ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ К ИНТЕРЕСУЮЩЕМУ НАС 
ВОПРОСУ. оН БРАЛ КОЛОДУ КАРТ И СКЛАДЫВАЛ ИХ В ОДНУ СТОПКУ ДО ТЕХ ПОР, 
ПОКА ОНИ ШЛИ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ПО СТАРШИНСТВУ; КАК ТОЛЬКО СЛЕДУЮЩАЯ 
КАРТА ОКАЗЫВАЛАСЬ МЛАДШЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ, ОН НАЧИНАЛ НОВУЮ СТОПКУ. оН ХОТЕЛ 
НАЙТИ ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО В РЕЗУЛЬТАТЕ ВСЯ КОЛОДА ОКАЖЕТСЯ РАЗЛОЖЕННОЙ В 
ЗАДАННОЕ КОЛИЧЕСТВО СТОПОК.

зАДАЧА сАЙМОНА нЬЮКОМБА СОСТОИТ, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, В НАХОЖДЕНИИ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ОТРЕЗКОВ СЛУЧАЙНОЙ ПЕРЕСТАНОВКИ 
МУЛЬТИМНОЖЕСТВА. в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ОТВЕТ ДОВОЛЬНО СЛОЖЕН (СМ. УПР.~12), ХОТЯ 
МЫ УЖЕ ВИДЕЛИ, КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ КАРТЫ 
РАЗЛИЧНЫ ПО СТАРШИНСТВУ. мЫ УДОВЛЕТВОРИМСЯ ЗДЕСЬ ВЫВОДОМ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 
\emph{СРЕДНЕГО} ЧИСЛА СТОПОК В ЭТОМ ПАСЬЯНСЕ.

пУСТЬ ИМЕЕТСЯ $m$ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ КАРТ И КАЖДАЯ ВСТРЕЧАЕТСЯ РОВНО $p$ РАЗ. 
нАПРИМЕР, В ОБЫЧНОЙ КОЛОДЕ ДЛЯ БРИДЖА $m=13$, А $p=4$, ЕСЛИ ПРЕНЕБРЕГАТЬ 
РАЗЛИЧИЕМ МАСТИ. зАМЕЧАТЕЛЬНУЮ СИММЕТРИЮ ОБНАРУЖИЛ В ЭТОМ СЛУЧАЕ 
п.~а.~мАК-мАГОН [Combinatory Analysis (Cambridge, 1915), ТОМ~1, 
СТР.~212--213]: ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК С $k+1$~ОТРЕЗКАМИ РАВНО ЧИСЛУ 
ПЕРЕСТАНОВОК С $mp-p-k+1$~ОТРЕЗКАМИ. эТО СООТНОШЕНИЕ ЛЕГКО ПРОВЕРИТЬ 
ПРИ~$p=1$ (ФОРМУЛА (7)), ОДНАКО ПРИ $p > 1$ ОНО КАЖЕТСЯ ДОВОЛЬНО НЕОЖИДАННЫМ.

мОЖНО ДОКАЗАТЬ ЭТО СВОЙСТВО СИММЕТРИИ, УСТАНОВИВ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ 
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПЕРЕСТАНОВКАМИ, ТАКОЕ, ЧТО КАЖДОЙ ПЕРЕСТАНОВКЕ С 
$k+1$ ОТРЕЗКАМИ СООТВЕТСТВУЕТ ДРУГАЯ, С $mp-p-k+1$~ОТРЕЗКАМИ. мЫ 
НАСТОЙЧИВО РЕКОМЕНДУЕМ ЧИТАТЕЛЮ САМОМУ ПОПРОБОВАТЬ НАЙТИ ТАКОЕ 
СООТВЕТСТВИЕ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ ДВИГАТЬСЯ ДАЛЬШЕ.

кАКОГО-НИБУДЬ ОЧЕНЬ ПРОСТОГО СООТВЕТСТВИЯ НА УМ НЕ ПРИХОДИТ; 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО мАК-мАГОНА ОСНОВАНО НА ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЯХ, А НЕ НА 
КОМБИНАТОРНОМ ПОСТРОЕНИИ. оДНАКО УСТАНОВЛЕННОЕ фОАТОЙ СООТВЕТСТВИЕ 
(ТЕОРЕМА~5.1.2в) ПОЗВОЛЯЕТ УПРОСТИТЬ ЗАДАЧУ, ТАК КАК ТАМ УТВЕРЖДАЕТСЯ 
СУЩЕСТВОВАНИЕ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОГО СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ПЕРЕСТАНОВКАМИ С 
$k+1$~ОТРЕЗКАМИ И ПЕРЕСТАНОВКАМИ, В ДВУСТРОЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОТОРЫХ 
СОДЕРЖИТСЯ РОВНО
$k$~СТОЛБЦОВ $y\atop x$, ТАКИХ, ЧТО $x<y$.

пУСТЬ ДАНО МУЛЬТИМНОЖЕСТВО $\{p\cdot 1, p\cdot2, \ldots, p\cdot m\}$; 
РАССМОТРИМ ПЕРЕСТАНОВКУ С ДВУСТРОЧНЫМ ОБОЗНАЧЕНИЕМ
$$
\pmatrix{
1 & \ldots & 1 & 2 & \ldots & 2& \ldots & m & \ldots & m\cr
x_{11} & \ldots & x_{1p} &x_{21} & \ldots & x_{2p} &\ldots &x_{m1} & \ldots & x_{mp}\cr
}.
\eqno(32)
$$
%% 61
\bye