\input style CHESKUYU LOGICHESKUYU SHEMU RELEJNOJ SHEMOJ, KOTORAYA ZARABOTALA V 1941~G. v PERVYH BYSTRODEJSTVUYUSHCHIH VYCHISLITELXNYH MASHINAH, POSTROENNYH V aMERIKE V NACHALE SOROKOVYH GODOV, ISPOLXZOVALASX DESYATICHNAYA ARIFMETIKA. nO V 1946~G.\ V SYGRAVSHEM BOLXSHUYU ROLX OTCHETE a.~u.~b¸RKSA, X.~X.~gOLDSTAJNA I~dZH.~FON~nEJMANA O PROEKTE PERVOJ VYCHISLITELXNOJ MASHINY S HRANIMOJ V PAMYATI PROGRAMMOJ BYLI PODROBNO IZLOZHENY PRICHINY IH RESHENIYA PORVATX S TRADICIEJ I PEREJTI K SISTEME SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$2$ [SM.\ John von~Neumann, Collected Works, Vol.~5, 41--65]. s TEH POR DVOICHNYE VYCHISLITELXNYE USTROJSTVA POLUCHILI VSEOBSHCHEE RASPROSTRANENIE. pOSLE PERVOJ DYUZHINY LET RABOTY S DVOICHNYMI MASHINAMI OBSUZHDENIE SRAVNITELXNYH DOSTOINSTV I NEDOSTATKOV DVOICHNOJ SISTEMY BYLO DANO v.~bUHHOLXCEM V STATXE "pALXCY ILI KULAKI?"\note{1}% {aVTOR STATXI OBYGRYVAET VERSIYU ANTROPOLOGICHESKOGO PROISHOZHDENIYA DESYATICHNOJ SISTEMY, PODYSKIVAYA ANTROPOLOGICHESKOE OBOSNOVANIE I DLYA DVOICHNOJ SISTEMY.---{\sl pRIM. PEREV.\/}} [{\sl CACM,\/} {\bf 2} (December, 1959), 3--11]. vYCHISLITELXNAYA MASHINA~\MIX, ISPOLXZUEMAYA V |TOJ KNIGE, OPREDELENA TAKIM OBRAZOM, CHTO ONA MOZHET BYTX KAK DVOICHNOJ, TAK I DESYATICHNOJ. iNTERESNO OTMETITX, CHTO POCHTI VSE \MIX-PROGRAMMY MOZHNO ZAPISATX, NE ZNAYA, KAKAYA IMENNO SISTEMA ISPOLXZUETSYA, DVOICHNAYA ILI DESYATICHNAYA,---DAZHE PRI PROVEDENII VYCHISLENIJ MNOGOKRATNOJ TOCHNOSTI. iTAK, MY VIDIM, CHTO VYBOR OSNOVANIYA SISTEMY SCHISLENIYA NE OKAZYVAET SERXEZNOGO VLIYANIYA NA PROGRAMMIROVANIE DLYA evm. (zASLUZHIVAYUSHCHIM UPOMINANIYA ISKLYUCHENIEM IZ |TOGO PRAVILA SLUZHAT, ODNAKO, "BULEVY" ALGORITMY, OBSUZHDAEMYE V GL.~7; SM. TAKZHE ALGORITM~4.5.2B.) iMEETSYA NESKOLXKO RAZLICHNYH METODOV PREDSTAVLENIYA \emph{OTRICATELXNYH} CHISEL V evm, I VYBOR TOGO ILI INOGO METODA OKAZYVAET VLIYANIE NA SPOSOBY REALIZACII ARIFMETICHESKIH DEJSTVIJ. rAZBEREM RAZLICHIE MEZHDU |TIMI OBOZNACHENIYAMI. bUDEM SNACHALA SCHITATX MASHINU~\MIX{} DESYATICHNOJ evm; TOGDA KAZHDOE SLOVO SODERZHIT 10~CIFR I ZNAK, NAPRIMER: \EQ[2]{ -12345\,67890. } eTOT SPOSOB PREDSTAVLENIYA NAZYVAETSYA \dfn{PRYAMYM KODOM}. tAKOE PREDSTAVLENIE SOOTVETSTVUET OBSHCHEPRINYATYM OBOZNACHENIYAM, I PO|TOMU MNOGIE PROGRAMMISTY PREDPOCHITAYUT EGO. vOZMOZHNOE NEUDOBSTVO ZDESX SOSTOIT V TOM, CHTO MOGUT POYAVLYATXSYA KAK MINUS NULX, TAK I PLYUS NULX, V TO VREMYA KAK OBYCHNO ONI DOLZHNY OBOZNACHATX ODNO I TO ZHE CHISLO; TAKAYA VOZMOZHNOSTX TREBUET PRINYATIYA NEKOTORYH MER PREDOSTOROZHNOSTI. v BOLXSHINSTVE MEHANICHESKIH SCHETNYH MASHIN, VYPOLNYAYUSHCHIH DEJSTVIYA DESYATICHNOJ ARIFMETIKI, ISPOLXZUETSYA DRUGAYA SISTEMA ZAPISI, %% 212 NAZYVAEMAYA \dfn{DOPOLNITELXNYM KODOM}. vYCHTYA~$1$ IZ~$00000\,00000$, MY POLUCHIM V |TOJ SISTEME ZAPISI~$99999\,99999$; DRUGIMI SLOVAMI, CHISLU NE PRIPISYVAETSYA YAVNOGO ZNAKA, A VYCHISLENIYA PROVODYATSYA \emph{PO MODULYU~$10^{10}$}. chISLO~$-12345\,67890$ V DOPOLNITELXNOM KODE BUDET VYGLYADETX TAK: \EQ[3]{ 87654\,32110. } v |TOJ SISTEME OBOZNACHENIJ PRINYATO SCHITATX OTRICATELXNYM LYUBOE CHISLO, GOLOVNAYA CIFRA KOTOROGO ESTX~$5$, $6$, $7$, $8$ ILI~$9$, HOTYA S TOCHKI ZRENIYA PRAVILXNOSTI REZULXTATOV SLOZHENIYA I VYCHITANIYA NE BUDET NIKAKOGO GREHA RASSMATRIVATX~\eqref[3], ESLI |TO UDOBNO, KAK CHISLO~$+87654\,32110$. pRI PRIMENENII DOPOLNITELXNOGO KODA NE VOZNIKAET I PROBLEMY "MINUS NULYA". gLAVNOE RAZLICHIE MEZHDU PRYAMYM KODOM I DOPOLNITELXNYM SOSTOIT PRAKTICHESKI V TOM, CHTO SDVIG VPRAVO V DOPOLNITELXNOM KODE NE |KVIVALENTEN DELENIYU NA~$10$; NAPRIMER, CHISLO~$-11=\ldots{}99989$ POSLE SDVIGA VPRAVO PREVRASHCHAETSYA V CHISLO~$\ldots{}99998=-2$ (V PREDPOLOZHENII, CHTO SDVIG VPRAVO OTRICATELXNOGO CHISLA POROZHDAET V GOLOVNOM RAZRYADE~"$9$"). v OBSHCHEM SLUCHAE REZULXTATOM SDVIGA CHISLA~$x$, ZAPISANNOGO V DOPOLNITELXNOM KODE, NA ODNU CIFRU VPRAVO BUDET CHISLO~$\floor{x/10}$ NEZAVISIMO OT TOGO, POLOZHITELXNO~$x$ ILI OTRICATELXNO. oDNO IZ POTENCIALXNYH NEUDOBSTV ZAPISI PRI POMOSHCHI DOPOLNITELXNOGO KODA ZAKLYUCHAETSYA V EE NESIMMETRICHNOSTI OTNOSITELXNO NULYA; NAIBOLXSHEE OTRICATELXNOE CHISLO, PREDSTAVIMOE POSREDSTVOM $p$~CIFR, $500\ldots{}0$, NE YAVLYAETSYA ZNAKOVYM OBRASHCHENIEM NIKAKOGO $p\hbox{-RAZRYADNOGO}$ POLOZHITELXNOGO CHISLA. tAKIM OBRAZOM, VOZMOZHNO, CHTO IZMENENIE ZNAKA (ZAMENA~$x$ NA~$-x$) POSLUZHIT PRICHINOJ PEREPOLNENIYA. eSHCHE ODNA SISTEMA OBOZNACHENIJ, PRINYATAYA S SAMYH PERVYH DNEJ |RY BYSTRODEJSTVUYUSHCHIH VYCHISLITELXNYH MASHIN,---|TO PREDSTAVLENIE V \emph{OBRATNOM KODE}. v |TOM SLUCHAE CHISLO~$-12345\,67890$ ZAPISYVAETSYA V VIDE \EQ[4]{ 87654\,32109. } kAZHDAYA CIFRA OTRICATELXNOGO CHISLA~$-x$ RAVNA RAZNOSTI MEZHDU~$9$ I SOOTVETSTVUYUSHCHEJ CIFROJ~$x$. nETRUDNO VIDETX, CHTO DLYA OTRICATELXNOGO CHISLA EGO OBRATNYJ KOD VSEGDA NA EDINICU MENXSHE DOPOLNITELXNOGO; SLOZHENIE I VYCHITANIE PROIZVODYATSYA PO MODULYU~$10^{10}-1$, A |TO OZNACHAET, CHTO PERENOS IZ KRAJNEJ LEVOJ POZICII DOBAVLYAETSYA K KRAJNEJ PRAVOJ (SM.~P.~3.2.1.1). sNOVA VOZNIKAYUT TRUDNOSTI S MINUS NULEM, TAK KAK ZAPISI~$99999\,99999$ I~$00000\,00000$ OBOZNACHAYUT ODNO I TO ZHE. tOLXKO CHTO IZLOZHENNYE IDEI, OTNOSYASHCHIESYA K ARIFMETIKE PO OSNOVANIYU~$10$, ANALOGICHNYM OBRAZOM PRIMENIMY K ARIFMETIKE PO OSNOVANIYU~$2$, I MY POLUCHAEM \emph{DVOICHNYE PRYAMOJ}, \emph{DOPOLNITELXNYJ} I \emph{OBRATNYJ KODY}. v PRIMERAH |TOJ GLAVY MASHINA~\MIX{} %% 213 ISPOLXZUETSYA TOLXKO DLYA RABOTY S PREDSTAVLENIEM V PRYAMOM, KODE; SOOTVETSTVUYUSHCHIE PROCEDURY DLYA DOPOLNITELXNOGO I OBRATNOGO KODOV OBSUZHDAYUTSYA, ESLI |TO OKAZYVAETSYA VAZHNYM, V SOPROVODITELXNOM TEKSTE. bOLXSHINSTVO RUKOVODSTV PO VYCHISLITELXNYM MASHINAM SOOBSHCHAYUT, CHTO MASHINNOJ SHEMOJ DOPUSKAETSYA, CHTOBY POZICIONNAYA TOCHKA RASPOLAGALASX V FIKSIROVANNOJ POZICII VNUTRI KAZHDOGO MASHINNOGO SLOVA. eTO IZVESHCHENIE STOIT OBYCHNO IGNORIROVATX; GORAZDO LUCHSHE VYUCHITX PRAVILA, KASAYUSHCHIESYA TOGO, GDE POYAVITSYA POZICIONNAYA TOCHKA V REZULXTATE VYPOLNENIYA KOMANDY, ESLI PREDPOLOZHITX, CHTO DO EE VYPOLNENIYA ONA RASPOLOZHENA NA KAKOM-TO OPREDELENNOM MESTE. nAPRIMER, V SLUCHAE MASHINY~\MIX{} MY MOGLI BY RASSMATRIVATX NASHI OPERANDY LIBO KAK CELYE CHISLA S POZICIONNOJ TOCHKOJ V KRAJNEM PRAVOM POLOZHENII, LIBO KAK PRAVILXNYE DROBI S POZICIONNOJ TOCHKOJ V KRAJNEM LEVOM POLOZHENII, LIBO KAK NEKOTORYE PROMEZHUTOCHNYE MEZHDU |TIMI DVUMYA KRAJNIMI VARIANTAMI; PRAVILA RASSTANOVKI POZICIONNOJ TOCHKI V KAZHDOM REZULXTATE POLUCHAYUTSYA NEPOSREDSTVENNO. lEGKO VIDETX, CHTO SUSHCHESTVUET PROSTAYA SVYAZX MEZHDU ZAPISXYU CHISEL V SISTEMAH SCHISLENIYA PO OSNOVANIYAM~$b$ I~$b^k$: \EQ[5]{ (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b= (\ldots A_3 A_2 A_1 A_0.A_{-1} A_{-2}\ldots)_{b^k}, } GDE \EQ{ A_j=(a_{kj+k-1}\ldots a_{kj+1}a_{kj})_b; } SM.~UPR.~8. tAKIM OBRAZOM, MY POLUCHAEM PROSTOJ SPOSOB PEREHODITX "S ODNOGO VZGLYADA" OT, SKAZHEM, DVOICHNOJ K VOSXMERICHNOJ SISTEME I OBRATNO. iMEETSYA MNOGO INTERESNYH VARIANTOV POZICIONNYH SISTEM SCHISLENIYA, POMIMO STANDARTNYH $b\hbox{-ARNYH}$ SISTEM, OBSUZHDAVSHIHSYA DO SIH POR. nAPRIMER, MY MOGLI BY RASSMATRIVATX CHISLA PO OSNOVANIYU~$(-10)$, TAK CHTO \EQ{ \eqalign{ (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} \ldots)_{-10}&=\cr &=\ldots+a_3(-10)^3+a_2(-10)^2+a_1(-10)^1+a_0+\ldots=\cr &=\ldots-1000a_3+100a_2-10a_1+a_0-{1\over 10}a_{-1}+{1\over 100}a_{-2}-\ldots\,.\cr } } zDESX, KAK I V OBYCHNOJ DESYATICHNOJ SISTEME, CIFRY~$a_k$ UDOVLETVORYAYUT NERAVENSTVAM~$0\le a_k \le 9$. chISLO~$12345\,67890$ ZAPISHETSYA V TAKOJ "NEGA-DESYATICHNOJ" SISTEME V VIDE \EQ[6]{ (1\,93755\,73910)_{-10}, } TAK KAK ONO RAVNO KAK RAZ~$10305070900-9070503010$. iNTERESNO OTMETITX, CHTO EGO ZNAKOVOE OBRASHCHENIE, OTRICATELXNOE CHISLO~$-12345\,67890$, ZAPISYVAETSYA V VIDE \EQ[7]{ (28466\,48290)_{-10}, } %% 214 I V DEJSTVITELXNOSTI \emph{LYUBOE VESHCHESTVENNOE CHISLO, POLOZHITELXNOE ILI OTRICATELXNOE, MOZHET BYTX PREDSTAVLENO V SISTEME PO OSNOVANIYU~$-10$ BEZ ZNAKA.} sISTEMY PO OTRICATELXNOMU OSNOVANIYU BYLI UPOMYANUTY V LITERATURE VPERVYE, PO-VIDIMOMU, z.~pAVLYAKOM I~a.~vAKULICHEM [{\sl Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences,\/} Classe~III, {\bf 5} (1957), 233--236; S\'erie des sciences techniques, {\bf 7} (1959), 713--721] I l.~u|JDELOM [{\sl IRE Transactions,\/} {\bf EC-6} (1957), 123]. dALXNEJSHIE LITERATURNYE SSYLKI MOZHNO NAJTI V ZHURNALAH {\sl IEEE Transactions\/} [{\bf EC-12} (1963), 274--276] %% fixed: (May, (1967) ---> (May, 1967) I {\sl Computer Design\/} [{\bf 6} (May, 1967), 52--63]. (iMEYUTSYA SVIDETELXSTVA TOGO, CHTO IDEYA OTRICATELXNOGO OSNOVANIYA VOZNIKLA NEZAVISIMO SRAZU U CELOGO RYADA LIC PO PRICHINE RASTUSHCHEGO INTERESA K PROEKTIROVANIYU evm.) dZH.~f.~sONGSTER, PO PREDLOZHENIYU dZH.~u.~p|TTERSONA, ISSLEDOVAL SISTEMY NO OSNOVANIYU~$-2$ V SVOEJ MAGISTERSKOJ DISSERTACII (pENSILXVANSKIJ UNIVERSITET, 1956~G.). sISTEMY S OTRICATELXNYM OSNOVANIEM RASSMATRIVAL TAKZHE V 1955~G.\ d.~e.~kNUT V NEBOLXSHOM MASHINOPISNOM TEKSTE, PREDNAZNACHENNOM DLYA KONKURSA "pOISK NAUCHNYH TALANTOV" SREDI UCHENIKOV STARSHIH KLASSOV; TAM ZHE OBSUZHDALOSX I DALXNEJSHEE OBOBSHCHENIE---DO KOMPLEKSNOZNACHNYH OSNOVANIJ. tOT FAKT, CHTO VSE CHISLA MOGUT BYTX PREDSTAVLENY PO OTRICATELXNOMU OSNOVANIYU, OTMECHAL V DRUGOM KONTEKSTE NESKOLXKIMI GODAMI RANEE n.~g.~DE~bR¸JN [{\sl Publ. Math. Debrecen,\/} {\bf 1} (1950), 232--242, OSOBENNO SM.~STR.~240], ODNAKO ON NE PRIMENIL |TU IDEYU K ARIFMETIKE. vYBOR OSNOVANIYA~$2i$ PRIVODIT K INTERESNOJ SISTEME SCHISLENIYA, KOTORUYU ESTESTVENNO NAZVATX "MNIMO-CHETVERICHNOJ" (PO ANALOGIYA S "CHETVERICHNOJ"\note{1}% {v ORIGINALE ANALOGIYA "POLNEJ": "quaternary"---"quater-imaginary".---{\sl pRIM. RED.\/}}, VVIDU TOGO CHTO \emph{KAZHDOE KOMPLEKSNOE CHISLO MOZHET BYTX PREDSTAVLENO V |TOJ SISTEME PRI POMOSHCHI CIFR $0$, $1$, $2$ I~$3$, PRICHEM TEH ZHE CIFR, VZYATYH SO ZNAKOM MINUS, NE TREBUETSYA)}. [sM.~{\sl CACM,\/} {\bf 3}, (1960), 245--247.] nAPRIMER, %% !!! ZACHEM ZDESX FORMULA OFORMLENA S VERT. CHERTOJ, NE ZNAYU, %% DELAYU PO-CHELOVECHESKI \EQ{ (11210.31)_{2i}=1\cdot 16+1\cdot (-8i)+2\cdot (-4)+1\cdot (2i)+3\cdot\left(-{1\over2}i\right)+1\left(-{1\over4}\right)=7{3\over4}-7{1\over2}i. } chISLO~$(a_{2n}\ldots{} a_1 a_0.a_{-1}\ldots{} a_{-2k})_{2i}$ RAVNO \EQ{ (a_{2n}\ldots a_2 a_0 . a_{-2}\ldots{} a_{-2k})_{-4}+2i(a_{2n-1}\ldots a_3 a_1.a_{-1}\ldots{} a_{-2k+1})_{-4}, } TAK CHTO PEREVOD CHISLA V MNIMO-CHETVERICHNUYU FORMU I OBRATNO SVODITSYA K PEREVODU V "NEGA-CHETVERICHNUYU" FORMU I OBRATNO. iNTERESNOE SVOJSTVO |TOJ SISTEMY SOSTOIT V TOM, CHTO ONA DOPUSKAET VYPOLNENIE UMNOZHENIYA I DELENIYA KOMPLEKSNYH CHISEL %% 215 CELOSTNYM OBRAZOM BEZ RAZDELXNOGO RASSMOTRENIYA VESHCHESTVENNYH I MNIMYH CHASTEJ. nAPRIMER, PEREMNOZHITX DVA CHISLA MY MOZHEM V |TOJ SISTEME TAK ZHE, KAK I PRI LYUBOM DRUGOM OSNOVANII, ISPOLXZUYA TOLXKO NESKOLXKO INOE "PRAVILO PERENOSA": V SLUCHAE ESLI CIFRA STANOVITSYA BOLXSHE~$4$, MY VYCHITAEM~$4$ I "PERENOSIM"~$-1$ NA DVA STOLBCA VLEVO, A KOGDA POLUCHAETSYA OTRICATELXNAYA CIFRA, MY PRIBAVLYAEM K NEJ~$4$ I "PERENOSIM"~$+1$ NA DVA STOLBCA VLEVO. rAZBOR NIZHESLEDUYUSHCHEGO PRIMERA POYASNIT, KAK RABOTAET |TO SVOEOBRAZNOE PRAVILO PERENOSA: \ctable{ \strut$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr & & & & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr & & & & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr \multispan{4} & \multispan{5}\hrulefill\cr & & & & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \cr 1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 1 & 3\cr & & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr 1 & 2 & 2 & 3 & 1\cr \multispan{9}\hrulefill\cr 0 & 2 & 1 & 3 & 3 & 3 & 1 & 2 & 1 & \quad [-19-180i]\hfil\cr } mOZHNO POSTROITX ANALOGICHNUYU SISTEMU PO OSNOVANIYU~$\sqrt{2}i$, V KOTOROJ ISPOLXZUYUTSYA LISHX CIFRY~$0$ I~$1$, NO V |TOJ SISTEME UZHE DLYA PREDSTAVLENIYA SAMOJ MNIMOJ EDINICY~$i$ TREBUETSYA BESKONECHNOE NEPERIODICHESKOE RAZLOZHENIE. "bINARNUYU" KOMPLEKSNUYU SISTEMU SCHISLENIYA MOZHNO TAKZHE POLUCHITX, ISPOLXZUYA OSNOVANIE~$i-1$, PREDLOZHENNOE u.~pENNI [{\sl JACM,\/} {\bf 12} (1965), 247--248]: \EQ{ (\ldots{}a_4a_3a_2a_1a_0.a_{-1}\ldots)_{i-1} =\ldots-4a_4+(2+2i)a_3-2ia_2+(i-1)a_1+a_0-{1\over 2}(i+1)a_{-1}+\ldots\,. } v |TOJ SISTEME ISPOLXZUYUTSYA TOLXKO CIFRY~$0$ I~$1$. oDIN IZ SPOSOBOV DOKAZATX, CHTO KAZHDOE KOMPLEKSNOE CHISLO DOPUSKAET TAKOE PREDSTAVLENIE, SOSTOIT V RASSMOTRENII INTERESNOGO MNOZHESTVA~$S$, IZOBRAZHENNOGO NA RIS.~1\note{1}% {s MNOZHESTVOM~$S$ I TEM SAMYM S SISTEMOJ SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$i-1$ TESNO SVYAZANY "KRIVYE DRAKONA", IZOBRETENNYE I NAZVANNYE TAK AMERIKANSKIM FIZIKOM dZH.~hEJVEEM. zAMECHATELXNYE SVOJSTVA |TIH KRIVYH ISSLEDOVAL AVTOR NASTOYASHCHEJ KNIGI dONALXD kNUT (SM., NAPRIMER, STATXYU n.~b.~vASILXEVA I v.~l.~gUTENMAHERA VO 2-M NOMERE ZHURNALA "kVANT" ZA~1970~G., 36--46).---{\sl pRIM. PEREV.\/}}; |TO MNOZHESTVO SOSTOYAT PO OPREDELENIYU IZ VSEH TOCHEK KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, KOTORYE DOPUSKAYUT ZAPISX V VIDE~$\sum_{k\ge 1}a_k(i-1)^{-k}$ DLYA NEKOTOROJ BESKONECHNOJ POSLEDOVATELXNOSTI $a_1$, $a_2$, $a_3$,~\dots{} NULEJ I EDINIC. nA RISUNKE POKAZANO, KAK MOZHNO RAZBITX MNOZHESTVO~$S$ NA 256~CHASTEJ, KONGRU|NTNYH~$(1/16)S$; %% 216 ZAMETIM, CHTO ESLI MNOZHESTVO~$S$ POVERNUTX PO CHASOVOJ STRELKE NA~$135^\circ$, TO MY UVIDIM, CHTO ONO RASPADAETSYA NA DVA PRIMYKAYUSHCHIH DRUG K DRUGU MNOZHESTVA, KONGRU|NTNYH~$(1/\sqrt{2})S$ (POSKOLXKU~$(i-1)S=S\cup (S+1)$). pO POVODU DETALEJ DOKAZATELXSTVA \picture{rIS.~1. mNOZHESTVO~$S$.} TOGO, CHTO $S$~SODERZHIT VSE KOMPLEKSNYE CHISLA DOSTATOCHNO MALOGO MODULYA, SM.~UPR.~18. (v DEJSTVITELXNOSTI GRANICA~$S$ SODERZHIT MNOGO MELKIH "ZUBCOV"; |TI ZUBCY NA RIS.~1 SGLAZHENY.) \def\ternary{\bgroup\catcode`\!=\active} \def\endternary{\egroup} \catcode`!=\active \def!{\overline{1}} \catcode`\!=12 bYTX MOZHET, SAMOJ IZYASHCHNOJ IZ VSEH YAVLYAETSYA \emph{URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA} SISTEMA SCHISLENIYA---SISTEMA PO OSNOVANIYU~$3$, V KOTOROJ VMESTO CIFR~$0$, $1$, $2$ ISPOLXZUYUTSYA "TRITY"\note{1}% {pO ANALOGII S "BITAMI".---{\sl pRIM. RED.\/}} $-1$, $0$, $+1$. eSLI %% 217 VMESTO~$-1$ PISATX~\ternary$!$\endternary, TO MY POLUCHIM SLEDUYUSHCHIE PRIMERY CHISEL, ZAPISANNYH V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME SCHISLENIYA: \ternary\ctable{ \strut\hfil$#$&#&$#$\hfil&\hfil$\quad#$&$#$\hfil\cr \multispan{3} uRAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA & \multispan{2} dESYATICHNAYA SISTEMA\cr \multispan{3} SCHISLENIYA & \multispan{2} SCHISLENIYA\cr 10!& & & 8\cr 11!0&.&!! & 32& {5\over 9}\cr !!10&.&11 & -32&{5\over 9}\cr !!10&.& & -33\cr 0&.&11111\ldots & &{1\over 2}\cr }\endternary uRAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA OBLADAET MNOGIMI PRIYATNYMI SVOJSTVAMI: {\medskip\narrower \item{a)}pEREHOD OT CHISLA K PROTIVOPOLOZHNOMU PO ZNAKU OSUSHCHESTVLYAETSYA VZAIMNOJ ZAMENOJ~$1$ NA~\ternary$!$\endternary. \item{b)}zNAK CHISLA ZADAETSYA EGO NAIBOLEE ZNACHIMYM NENULEVYM TRITOM, I, BOLEE OBSHCHO, MY MOZHEM SRAVNIVATX LYUBYE DVA CHISLA, ISPOLXZUYA LEKSIKOGRAFICHESKIJ PORYADOK PRI CHTENII SLEVA NAPRAVO, KAK I V DESYATICHNOJ SISTEME. \item{c)}oPERACIYA OKRUGLENIYA DO BLIZHAJSHEGO CELOGO SVODITSYA K OTBRASYVANIYU DROBNOJ CHASTI (T.~E.\ VSEH TRITOV, STOYASHCHIH SPRAVA OT POZICIONNOJ TOCHKI). \medskip} sKLADYVATX V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME SOVSEM PROSTO, ESLI POLXZOVATXSYA TABLICEJ SLOZHENIYA \ternary\ctable{ \strut\hfil$#$\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 \cr \noalign{\hrule} !0 & !1 & ! & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & 0 & 1 & 1! & ! & 0 & 1 & 0 & 1! & 1 & 1! & 10 \cr }\endternary (tRI VHODNYH TRITA---|TO TRITY DVUH NASHIH SLAGAEMYH I TRYU PERENOSA.) vYCHITANIE SOSTOIT V PEREHODE K CHISLU, PROTIVOPOLOZHNOMU PO ZNAKU, I POSLEDUYUSHCHEM SLOZHENII; UMNOZHENIE TAKZHE SVODITSYA K PEREMENE ZNAKA I SLOZHENIYU, KAK V SLEDUYUSHCHEM PRIMERE: \ternary\ctable{ $#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr & & & \multispan{4}\hrulefill\cr & & &!&1&0&1\cr &!&1&0&1&0\cr 1&!&0&!\cr \multispan{7}\hrulefill\cr 0&1&1&!&!&0&1& \quad [289]\cr }\endternary pO POVODU DELENIYA SM.~UPR.~4.3.1-31. oDIN IZ SPOSOBOV NAJTI PREDSTAVLENIE CHISLA V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME SOSTOIT V TOM, CHTO SNACHALA ZAPISYVAYUT %% 218 |TO CHISLO V TROICHNOJ SISTEME; NAPRIMER, \EQ{ 208.3=(21\,201.022002200220\ldots)_3. } (oCHENX PROSTOJ SPOSOB PEREHODA K TROICHNOJ SISTEME, PRIGODNYJ DLYA VYCHISLENIYA VRUCHNUYU, S KARANDASHOM I BUMAGOJ, OPISAN V UPR.~4.4-12.) dALEE SKLADYVAEM |TO CHISLO V TROICHNOJ SISTEME S BESKONECHNYM CHISLOM~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$; DLYA NASHEGO PRIMERA MY POLUCHIM \EQ{ (\ldots{}11111210012.210121012101\ldots)_3. } nAKONEC, PORAZRYADNO VYCHITAEM~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$, UMENXSHAYA NA EDINICU KAZHDUYU CIFRU; MY POLUCHIM \ternary\EQ[8]{ 208.3=(10!!01.10!010!010!0\ldots)_3. }\endternary eTOT PROCESS, OCHEVIDNO, MOZHNO SDELATX VPOLNE "ZAKONNYM", ESLI ZAMENITX ISKUSSTVENNOE BESKONECHNOE CHISLO~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$ NEKOTORYM CHISLOM S SOOTVETSTVUYUSHCHIM KOLICHESTVOM EDINIC. pREDSTAVLENIE CHISEL V URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEME NEYAVNO PRISUTSTVUET V ODNOJ ZNAMENITOJ MATEMATICHESKOJ GOLOVOLOMKE, OBYCHNO NAZYVAEMOJ "ZADACHEJ bASH| O VESAH", HOTYA ONA BYLA SFORMULIROVANA ESHCHE fIBONACHCHI ZA CHETYRE STOLETIYA DO TOGO, KAK bASH| NAPISAL SVOYU KNIGU. [sM.\ W.~Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910, \S~3.4.] pOZICIONNYE SISTEMY SCHISLENIYA S OTRICATELXNYMI CIFRAMI BYLI IZOBRETENY S|ROM dZHONOM lESLI [The philosophy of arithmetic, Edinburgh, 1817; SM.~STR.~33--34, 54, 64--65, 117, 150] I NEZAVISIMO o.~kOSHI [{\sl Comptes Rendus,\/} {\bf 11} (1840), 789--798], KOTORYJ OTMECHAL, CHTO OTRICATELXNYE CIFRY IZBAVLYAYUT OT NEOBHODIMOSTI ZAPOMINATX TABLICU UMNOZHENIYA DALXSHE~$5\times 5$. v "CHISTOM" VIDE URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA SCHISLENIYA VPERVYE POYAVILASX V STATXE lEONA lALANNA [{\sl Comptes Rendus,\/} {\bf 11} (1840), 903--905], IZOBRETATELYA MEHANICHESKIH VYCHISLISTELXNYH USTROJSTV. v TECHENIE POSLEDUYUSHCHIH STA LET POSLE RABOTY lALANNA |TA SISTEMA UPOMINALASX LISHX |PIZODICHESKI, POKA V eLEKTROTEHNICHESKOM INSTITUTE mURA V 1945--1946~GG.\ NE STALI RAZRABATYVATX PERVYE |LEKTRONNYE VYCHISLITELXNYE USTROJSTVA; V |TOT PERIOD ONA SERXEZNO RASSMATRIVALASX NARYADU S DVOICHNOJ SISTEMOJ V KACHESTVE VOZMOZHNOJ ZAMENY DESYATICHNOJ SISTEMY. sLOZHNOSTX ARIFMETICHESKIH |LEKTRONNYH SHEM DLYA URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ ARIFMETIKI NE NAMNOGO VYSHE, CHEM DLYA DVOICHNOJ ARIFMETIKI, A CHTOBY ZADATX CHISLO, V NEJ TREBUETSYA LISHX $\ln 2/\ln 3\approx 63\%$~CIFROVYH POZICIJ OT TOGO KOLICHESTVA, KOTOROE NUZHNO V SLUCHAE DVOICHNOJ ZAPISI. oBSUZHDENIE URAVNOVESHENNOJ TROICHNOJ SISTEMY SM.\ V ZHURNALE {\sl AMM\/} [{\bf 57} (1950), 90--93] I V SBORNIKE "High-speed computing devices" [Engineering Research Associates, McGraw-Hill, 1950, 287--289]. dO SIH POR URAVNOVESHENNAYA TROICHNAYA SISTEMA VSE %% 219 ESHCHE NE NASHLA SERXEZNOGO PRIMENENIYA, NO VOZMOZHNO, CHTO EE SIMMETRICHNOSTX I PROSTAYA ARIFMETIKA OKAZHUTSYA V ODIN PREKRASNYJ DENX VESXMA SUSHCHESTVENNYMI (KOGDA "FLIP-FLOP" ZAMENITSYA NA "FLIP-FL|P-FLOP"\note{1}% {Flip---SHCHELCHOK, flap---HLOPOK, flop---SHLEPOK (\emph{ANGL.}); flip-flop---PRINYATOE V ANGLOYAZYCHNOJ LITERATURE NAZVANIE TRIGGERA.---{\sl pRIM. RED.\/}}). dRUGOE VAZHNOE OBOBSHCHENIE PROSTOJ POZICIONNOJ SISTEMY---|TO POZICIONNAYA SISTEMA \emph{SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI,} (ILI \emph{PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM}). eSLI DANA POSLEDOVATELXNOSTX CHISEL~$\$ (GDE $k$~MOGUT BYTX I OTRICATELXNYMI), TO MY POLAGAEM PO OPREDELENIYU \EQ[9]{ \left[\matrix{ \ldots, & a_3, & a_2, & a_1, & a_0; & a_{-1}, & a_{-2}, & \ldots \cr \ldots, & b_3, & b_2, & b_1, & b_0; & b_{-1}, & b_{-2}, & \ldots \cr } \right]=\ldots+a_3b_2b_1b_0+a_2b_1b_0+a_1b_0+a_0+a_{-1}/b_{-1}+a_{-2}/b_{-1}b_{-2}+\ldots\,. } v PROSTEJSHIH SISTEMAH SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI MY RABOTAEM TOLXKO S CELYMI CHISLAMI: MY VYBIRAEM V KACHESTVE CHISEL $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} CELYE CHISLA, BOLXSHIE EDINICY, I RASSMATRIVAEM TOLXKO TAKIE CHISLA, KOTORYE NE SODERZHAT POZICIONNOJ TOCHKI, PRICHEM CHISLO~$a_k$ DOLZHNO PRINADLEZHATX INTERVALU~$0\le a_k < b_k$. oDNA IZ NAIBOLEE VAZHNYH SISTEM SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI---|TO \emph{FAKTORIALXNAYA SISTEMA SCHISLENIYA,} GDE~$b_k=k+2$. iSPOLXZUYA |TU SISTEMU, MY MOZHEM EDINSTVENNYM OBRAZOM PREDSTAVITX LYUBOE NEOTRICATELXNOE CELOE CHISLO V VIDE \EQ[10]{ c_n n!+c_{n-1}(n-1)!+\cdots+c_22!+c_1, } GDE~$0\le c_k \le k$. sISTEMY SO SMESHANNYMI OSNOVANIYAMI ZNAKOMY VSEM IZ POVSEDNEVNOJ ZHIZNI; RECHX IDET O EDINICAH MER. nAPRIMER, VELICHINA "TRI NEDELI, 2 DNYA, 9 CHASOV, 22 MINUTY, 57 SEKUND I 492 MILLISEKUNDY" RAVNA \EQ{ \left[\matrix{ 3, & 2, & 9, & 22, & 57; & 492\cr & 7, & 24, & 60, & 60; & 1000\cr }\right]\hbox{ SEKUND.} } v aNGLII DO PEREHODA K DESYATICHNOJ DENEZHNOJ SISTEME VELICHINA "10 FUNTOV, 6 SHILLINGOV, TRI S POLOVINOJ PENSA" SOSTAVLYALA \EQ{ \left[\matrix{ 10, & 6, & 3; & 1\cr & 20, & 12; & 2\cr }\right]\hbox{ PENSOV.} } chISLA PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM MOZHNO SKLADYVATX I VYCHITATX, ISPOLXZUYA NEPOSREDSTVENNOE OBOBSHCHENIE OBYCHNYH ALGORITMOV SLOZHENIYA I VYCHITANIYA, PRI USLOVII, KONECHNO, CHTO DLYA OBOIH OPERANDOV ISPOLXZUETSYA ODNA I TA ZHE SISTEMA (SM.~UPR.~4.3.1-9). pODOBNYM ZHE OBRAZOM LEGKO UMNOZHATX ILI DELITX CHISLA PO SMESHANNYM %% 220 OSNOVANIYAM NA MALYE CELYE CHISLA, ISPOLXZUYA PROSTYE OBOBSHCHENIYA OBSHCHEIZVESTNYH PRIEMOV SCHETA PRI POMOSHCHI KARANDASHA I BUMAGI. v OBSHCHEM VIDE SISTEMY PO SMESHANNYM OSNOVANIYAM VPERVYE OBSUZHDALISX gEORGOM kANTOROM [{\sl Zeitschrift f\"ur Mathematik und Physik,\/} {\bf 14} (1869), 121--128). dOPOLNITELXNAYA INFORMACIYA O TAKIH SISTEMAH SODERZHITSYA V UPR.~26 I~29. pOMIMO SISTEM SCHISLENIYA, OPISANNYH V |TOM PARAGRAFE, SUSHCHESTVUET NESKOLXKO DRUGIH SPOSOBOV PREDSTAVLENIYA CHISEL, KOTORYE UPOMINAYUTSYA V RAZLICHNYH RAZDELAH |TOJ SERII KNIG: BINOMIALXNAYA SISTEMA (UPR.~1.2.8-35), SISTEMA fIBONACHCHI (UPR.~1.2.8-34); FI-SISTEMA (UPR.~1.28-35), MODULYARNOE PREDSTAVLENIE (P.~ 4.3.2), KOD gR|YA (P.~7.2.1) I LATINSKIE CHISLA (\S~9.1). nEKOTORYE VOPROSY, OTNOSYASHCHIESYA K \emph{IRRACIONALXNYM} OSNOVANIYAM, BYLI ISSLEDOVANY u.~p|RRI [{\sl Acta Mathematica,\/} Acad. Sci. Hung., {\bf 11} (1960), 401--416]. \excercises \ex[15] vYRAZITE CHISLA $-10$, $-9$, $-8$,~\dots, $8$, $9$, $10$ V SISTEME SCHISLENIYA PO OSNOVANIYU~$-2$. \rex[24] rASSMOTRITE SLEDUYUSHCHIE CHETYRE SISTEMY SCHISLENIYA: (a)~DVOICHNUYU (PRYAMOJ KOD); (b)~NEGA-DVOICHNUYU (OSNOVANIE~$-2$); (c)~URAVNOVESHENNUYU TROICHNUYU; (d)~PO OSNOVANIYU~$b=1/10$. iSPOLXZUJTE KAZHDUYU IZ |TIH SISTEM DLYA PREDSTAVLENIYA TAKIH TREH CHISEL: (i)~$-49$, (ii)~$-3{1\over7}$ (UKAZHITE PERIOD); (iii)~$\pi$ (NESKOLXKO ZNACHASHCHIH CIFR). \ex[20] vYRAZITE~$-49+i$ V MNIMO-CHETVERICHNOJ SISTEME. \ex[15] pREDPOLOZHIM, CHTO V \MIX-PROGRAMME YACHEJKA PAMYATI~|A| SODERZHIT CHISLO, POZICIONNAYA TOCHKA KOTOROGO NAHODITSYA MEZHDU 3-M I 4-M BAJTAMI, A YACHEJKA PAMYATI~|B|---CHISLO, POZICIONNAYA TOCHKA KOTOROGO RASPOLOZHENA MEZHDU 2-M I 3-M BAJTAMI. (sAMYJ LEVYJ BAJT IMEET NOMER~1.) gDE BUDET RASPOLAGATXSYA POZICIONNAYA TOCHKA V REGISTRAH~|A| I~|X| POSLE VYPOLNENIYA KOMAND $$ \hbox{a)~\mixcode LDA & A MUL & B? \endmixcode } \hbox{b)~\mixcode LDA & A SRAX & 5 DIV & B? \endmixcode } $$ \ex[00] oB®YASNITE, POCHEMU PREDSTAVLENIE OTRICATELXNOGO CELOGO CHISLA V OBRATNOM DESYATICHNOM KODE VSEGDA NA EDINICU MENXSHE PREDSTAVLENIYA V DOPOLNITELXNOM KODE, ESLI RASSMATRIVATX |TI PREDSTAVLENIYA KAK POLOZHITELXNYE CHISLA. \ex[16] kAKOVY NAIBOLXSHIE I NAIMENXSHIE $p\hbox{-RAZRYADNYE}$ CELYE CHISLA, KOTORYE MOGUT BYTX PREDSTAVLENY V DVOICHNOJ SISTEME POSREDSTVOM (a)~PRYAMOGO KODA, (b)~DOPOLNITELXNOGO KODA, (c)~OBRATNOGO KODA? \ex[m20] v TEKSTE PREDSTAVLENIE V DOPOLNITELXNOM DESYATICHNOM KODE OPREDELENO TOLXKO DLYA CELYH CHISEL, ZAPISANNYH V ODNOM MASHINNOM SLOVE. sUSHCHESTVUET LI SPOSOB ANALOGICHNO OPREDELITX PREDSTAVLENIE V DOPOLNITELXNOM DESYATICHNOM KODE \emph{DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH CHISEL,} IMEYUSHCHEE "BESKONECHNUYU TOCHNOSTX"? sUSHCHESTVUET LI PODOBNYJ SPOSOB OPREDELITX PREDSTAVLENIE V OBRATNOM DESYATICHNOM KODE DLYA VSEH VESHCHESTVENNYH CHISEL? \ex[m10] dOKAZHITE SOOTNOSHENIE~\eqref[5]. %% 221 \bye