Tol'ko slovo sred' zemnyh trevog,
I v Evangelii ot Ioanna
Skazano, chto slovo - eto Bog.
My emu postavili predelom
Skudnye predely estestva,
I, kak pchely v ul'e opustelom,
Durno pahnut mertvye slova.
Ob ogranichennosti chislovyh i geometricheskih predstavlenij govorit G.
Gejne.
Poskol'ku idei proyavlyayutsya v nashem duhe i prirode,oni mogut byt' ochen'
horosho vyrazhennymi chislami; no vse zhe chislo ostaetsya vsegda znakom idei, a
nikak ne samoj ideej. Master eshche soznaet eto razlichie, uchenik zhe zabyvaet o
nem i peredaet svoim uchenikam lish' chislovuyu ieroglifiku, golye shifry, zhivoe
znachenie kotoryh nikomu uzhe ne izvestno... To zhe otnositsya i k prochim
elementam matematicheskoj formy. Duhovnoe v svoem vechnom razvitii ne terpit
nikakogo fiksirovaniya; kak i v chisle, ono stol' zhe malo mozhet byt'
fiksirovano v linii, treugol'nike ili kruge (K istorii religii i filosofii v
Germanii).
Preimushchestva obydennogo "estestvennogo" yazyka, kak i simvola v vysokom
smysle slova, obuslovleny ego mnogoznachnost'yu.
- Kogda ya beru slovo, ono oznachaet to, chto ya hochu, ne bol'she i ne
men'she, - skazal SHaltaj vysokomerno (L. Kerroll, Alisa v Zazerkal'e).
Svyazannye s etim obstoyatel'stvom nedostatki strogogo
logiko-matematicheskogo yazyka otmechaet i uchenyj-estestvoispytatel':
Pervichnym yazykom, kotoryj vyrabatyvayut v processe nauchnogo uyasneniya
faktov, yavlyaetsya v teoreticheskoj fizike obychno yazyk matematiki, a imenno -
matematicheskaya shema, pozvolyayushchaya fizikam predskazyvat' rezul'taty budushchih
eksperimentov... No i dlya fizika vozmozhnost' opisaniya na obychnom yazyke
yavlyaetsya kriteriem togo, kakaya stepen' ponimaniya dostignuta v
sootvetstvuyushchej oblasti... Logicheskij analiz prinosit s soboj opasnost'
slishkom bol'shogo uproshcheniya. V logike vnimanie napravleno na special'nye
yazykovye struktury, na odnoznachnoe svyazyvanie posylok i zaklyuchenij, na
prostye shemy rassuzhdenij. Vsemi drugimi strukturami v logike prenebregayut.
|ti struktury mogut poluchat'sya, naprimer, blagodarya associaciyam mezhdu
opredelennymi promezhutochnymi znacheniyami slov... Tot fakt, chto lyuboe slovo
mozhet vyzvat' v nashem myshlenii mnogie, tol'ko napolovinu osoznavaemye
dvizheniya, mozhet byt' ispol'zovan dlya togo, chtoby vyrazit' s pomoshch'yu yazyka
opredelennye storony dejstvitel'nosti bolee otchetlivo, chem eto bylo by
vozmozhno s pomoshch'yu logicheskoj shemy (V. Gejzenberg, Fizika i filosofiya.
CHast' i celoe, s.104-106).
Voobshche, matematicheskoe myshlenie otlichaetsya zametnoj specifikoj, kotoraya
mozhet okazyvat' sushchestvennoe vliyanie na lichnost'.
Bojyai... vyzval na duel' 13 (?!) molodyh lyudej, sostoyashchih na
gosudarstvennoj sluzhbe, i v promezhutkah mezhdu poedinkami razvlekalsya igroyu
na skripke, sostavlyavshej edinstvennuyu dvizhimost' v ego dome. Kogda emu
naznachili pensiyu, on velel napechatat' belymi bukvami na chernom fone
priglasitel'nye bilety na svoi pohorony i sdelal sam dlya sebya grob. CHerez
sem' let on snova napechatal vtoroe priglashenie na svoi pohorony, schitaya,
veroyatno, pervoe uzhe nedejstvitel'nym, i v duhovnom zaveshchanii obyazal
naslednikov posadit' na mogile yablonyu, v pamyat' Evy, Parisa i N'yutona. I
takie shtuki prodelyval velikij matematik, ispravivshij geometriyu |vklida! (C.
Lombrozo, Genial'nost' i pomeshatel'stvo)
V to zhe vremya, matematika kak yazyk obladaet svoimi unikal'nymi
osobennostyami i preimushchestvami, discipliniruya um:
Nachala matematicheskogo poznaniya otchetlivy, no v obydennoj zhizni
neupotrebitel'ny, poetomu s neprivychki v nih trudno vniknut'; zato vsyakomu,
kto vniknet, oni sovershenno ochevidny, i tol'ko sovsem durnoj um ne sposoben
postroit' pravil'nogo rassuzhdeniya na osnove stol' samoochevidnyh nachal (B.
Paskal', Mysli, s. 281).
No dazhe eta "ochevidnost'" tait v sebe opasnosti, svyazannye s suzheniem
krugozora.
Vsyakij, izuchayushchij matematiku, prihodit v takoj vostorg ot tochnosti
ohvatyvaemyh eyu nauk i yasnosti ih dokazatel'stv, chto o filosofah [v shirokom
smysle] u nego nachinaet skladyvat'sya blagopriyatnoe mnenie... |to ochen'
bol'shoe neschast'e... Malo sushchestvuet lyudej, zanimayushchihsya matematikoj i ne
stanovyashchihsya pri etom verootstupnikami i ne skidyvayushchih s golov svoih uz
blagochestiya (Gazali, Izbavlyayushchij ot zabluzhdeniya).
S etoj tochki zreniya mozhno rascenivat' somnitel'nye izyskaniya takih
prekrasnyh matematikov, kak I. SHafarevich i A. Fomenko, v oblasti politologii
i istorii sootvetstvenno. Neizbezhnymi uproshcheniyami stradayut i v principe
interesnye issledovaniya religioznoj simvoliki B. Raushenbahom (naprimer,
neprotivorechivaya "vektornaya model' sv.Troicy"); v etoj svyazi eshche raz
vspomnim slova Gr. Palamy o tom, chto ot nauki zapreshchaetsya ozhidat' tochnyh
poznanij o bozhestvennom (sm. konec gl.5).
Kak by to ni bylo, sejchas matematicheskie ponyatiya ne kazhutsya nam stol'
samoochevidnymi, kak vo vremena Paskalya. Problemy, svyazannye s bolee tonkimi
osobennostyami yazyka matematiki, rassmatrivayutsya v poslednem razdele etoj
glavy.
8.3 Matematika kak simvolicheskaya sistema
Stalo byt', um matematicheskij budet pravil'no rabotat', tol'ko esli emu
zaranee izvestny vse opredeleniya i nachala, v protivnom sluchae on sbivaetsya s
tolku i stanovitsya nevynosimym, ibo pravil'no rabotaet lish' na osnove chetko
sformulirovannyh pravil (B. Paskal', Mysli).
Byt' mozhet, prezhde gub uzhe rodilsya shepot,
I v bezdrevesnosti kruzhilisya listy,
I te, komu my posvyashchaem opyt,
Do opyta priobreli cherty.
(O. Mandel'shtam)
Sushchestvuyut istiny, slishkom vysokie dlya togo, chtoby byt' vyrazhennymi ne
tol'ko v chislah, no i v slovah (otozhdestvlenie slova i Slova - Boga v
privedennom v predydushchem razdele stihotvorenii Gumileva, razumeetsya,
prihoditsya rassmatrivat' kak poeticheskuyu vol'nost'). Oni mogut byt' (esli
mogut) vyrazheny lish' v obrazah - ne rasskazany, a pokazany. V etom ediny kak
drevnie teksty:
Istina ne prishla v mir obnazhennoj, no ona prishla v simvolah i obrazah.
On ne poluchit ee po-drugomu. Est' vozrozhdenie i obraz vozrozhdeniya. Sleduet
voistinu vozrodit' ih cherez obraz. Kakovo voskresenie? I obraz cherez obraz -
sleduet, chtoby on voskres. Brachnyj chertog i obraz cherez obraz - sleduet,
chtoby oni voshli v istinu, kotoraya - vosstanovlenie. |to sleduet tem, kotorye
ne tol'ko priobretayut imya Otca, i Syna, i Duha svyatogo, no priobretayut ih
dlya samih sebya. Esli nekto ne priobrel ih dlya sebya, imya takzhe budet otnyato u
nego (Evangelie ot Filippa 67),
tak i odin iz naibolee vliyatel'nyh filosofov XX veka:
6.521. Reshenie zhiznennoj problemy my zamechaem po ischeznoveniyu etoj
problemy. (Ne potomu li te, komu posle dolgih somnenij stal yasen smysl
zhizni, vse zhe ne v sostoyanii skazat', v chem sostoit etot smysl).
6.522. V samom dele, sushchestvuet nevyskazyvaemoe. Ono pokazyvaet sebya,
eto - misticheskoe (L. Vitgenshtejn, Logiko-filosofskij traktat).
V to zhe vremya,
Kogda est' obraz, est' i zabluzhdenie. Esli zhe smotret' na eto s tochki
zreniya obraza, kotoryj ne est' obraz, to togda i raspoznaesh' Tak Prihodyashchego
(Almaznaya sutra).
Obraznoe i simvolicheskoe myshlenie i intuiciya, vopreki rasprostranennomu
sredi gumanitariev mneniyu, igrayut bol'shuyu rol' v nauchnom tvorchestve,
osobenno esli ono proishodit na dostatochno vysokom urovne:
On stal poetom, dlya matematiki u nego bylo slishkom malo voobrazheniya
(D.Gil'bert ob odnom iz svoih byvshih uchenikov).
Vprochem, chasto process nauchnogo tvorchestva ostaetsya "za kadrom". Takaya
situaciya mozhet voznikat' dazhe v rabote fizikov-eksperimentatorov.
|ksperimental'nye issledovaniya, kotorymi Amper ustanovil zakony
mehanicheskogo vzaimodejstviya mezhdu elektricheskimi tokami, yavlyayutsya odnim iz
naibolee blestyashchih dostizhenij nauki. Vse v sovokupnosti, i teoriya i
eksperiment, kak budto poyavilis' v polnoj zrelosti i v polnom vooruzhenii iz
golovy "N'yutona elektrichestva". |ti issledovaniya zakoncheny po forme,
ideal'ny po tochnosti i rezyumirovany v formule... Metod Ampera, odnako, hotya
i izlozhen v induktivnoj forme, ne pozvolyaet nam prosledit' process
obrazovaniya i razvitiya idej, kotorymi on rukovodstvovalsya. My s trudom mozhem
poverit', chto Amper v dejstvitel'nosti otkryl zakon vzaimodejstviya pri
pomoshchi opisyvaemyh im eksperimentov. My vynuzhdeny podozrevat', v chem,
vprochem, priznaetsya sam Amper, chto zakon otkryt im pri pomoshchi nekoego
processa, kotoryj on nam ne pokazyvaet... Faradej, naprotiv, pokazyvaet nam
svoi kak neudachnye, tak i udachnye eksperimenty, kak svoi nesozrevshie idei,
tak i idei razrabotannye... Poetomu kazhdomu izuchayushchemu sledovalo by chitat'
issledovaniya Ampera kak blestyashchij obrazec nauchnogo stilya pri izlozhenii
otkrytiya, no emu sledovalo by takzhe izuchat' Faradeya dlya vospitaniya nauchnogo
duha na toj bor'be protivorechij, kotoraya voznikaet mezhdu novymi faktami,
izlagaemymi Faradeem, i ideyami, rozhdayushchimisya v ego sobstvennom mozgu (Dzh.K.
Maksvell, Traktat ob elektrichestve i magnetizme).
Sootnoshenie obraznogo (intuitivnogo) myshleniya i logiki mozhno
proillyustrirovat' na primere istorii otkrytiya uravnenij elektromagnitnogo
polya samim Maksvellom. Pri ih "vyvode" dlya opisaniya elektromagnitnyh yavlenij
v srede-efire on pol'zovalsya ochen' slozhnymi mehanicheskimi analogiyami
(naprimer, zaceplyayushchiesya shesterenki), kotorye vposledstvii okazalis'
nenuzhnymi podobno stroitel'nym lesam.
Rassuzhdeniya i vychisleniya, kotorymi mnogokratno silitsya podtverdit' ih
[svoi uravneniya] Maksvell, kishat protivorechiyami, temnymi mestami i
ochevidnymi oshibkami (P. Dyugem, cit. po P. Florenskomu, s.115).
V konechnom schete, po slovam Gerca, teoriya Maksvella est' sistema
uravnenij Maksvella. |steticheskaya storona problemy illyustriruetsya
vyskazyvaniem Maksa fon Laue:
Ponimanie togo, kak slozhnejshie raznoobraznye yavleniya matematicheski
svodyatsya k takim prostym i garmonicheski prekrasnym uravneniyam Maksvella,
yavlyaetsya odnim iz sil'nejshih perezhivanij, dostupnyh cheloveku (Stat'i i rechi,
M., 1969, s.12).
Problema obrazov pri poznanii Boga v hristianstve, v chastnosti,
razlichie katolicheskogo i pravoslavnogo podhoda k duhovnoj praktike,
obsuzhdaetsya v gl.5.
Tverdo derzhite v dushah vashih, chto vy ne videli nikakogo obraza v tot
den', kogda govoril k vam Gospod' na [gore] Horive iz sredy ognya, daby vy ne
razvratilis' i ne sdelali sebe izvayanij, izobrazhenij kakogo-libo kumira,
predstavlyayushchih muzhchinu ili zhenshchinu, izobrazheniya kakogo-libo skota, kotoryj
na zemle, izobrazheniya kakoj-libo pticy krylatoj, kotoraya letaet pod
nebesami, izobrazheniya kakogo-libo [gada,] polzayushchego po zemle, izobrazheniya
kakoj-libo ryby, kotoraya v vodah nizhe zemli; i daby ty, vzglyanuv na nebo i
uvidev solnce, lunu i zvezdy [i] vse voinstvo nebesnoe, ne prel'stilsya i ne
poklonilsya im i ne sluzhil im, tak kak Gospod', Bog tvoj, udelil ih vsem
narodam pod vsem nebom (Vtorozakonie 4:15-19).
Osobenno rol' simvola podcherkivaet pravoslavnaya tradiciya (naprimer, dlya
nee harakterna razvitaya simvolika bogosluzheniya).
Simvolicheskoe sozercanie umopostigaemogo posredstvom zrimogo est'
odnovremenno i duhovnoe vedenie i umozrenie vidimogo cherez nevidimoe (Maksim
Ispovednik, Mistagogiya, sr. Rim.1:20).
Zdes' my podhodim k obshchemu predstavleniyu o simvole, kotoroe igraet
ogromnuyu rol' ne tol'ko v religii, no i vo vseh otraslyah chelovecheskogo
vospriyatiya, poskol'ku pozvolyaet sdelat' ego "mnogomernym".
V protivopolozhnost' sheme i allegorii tut [v simvole] my nahodim polnoe
ravnovesie mezhdu "vnutrennim" i "vneshnim", ideej i obrazom, "ideal'nym" i
"real'nym"... Simvol est' samostoyatel'naya dejstvitel'nost'. Hotya eto i est'
vstrecha dvuh planov bytiya, no oni dany uzhe v polnoj, absolyutnoj
nerazlichimosti, tak chto uzhe nel'zya ukazat', gde "ideya" i gde "veshch'" (A.F.
Losev, Dialektika mifa).
Razvitoj simvolicheskoj sistemoj, chasto ispol'zovavshejsya v
srednevekov'e, byla alhimiya. Alhimicheskie simvoly chasto vstrechayutsya v
nauchnyh traktatah i lichnoj perepiske uchenyh togo vremeni. Zashifrovannye
simvolami soobshcheniya imeli cel'yu ne stol'ko sohranit' prioritet, skol'ko
vyrazit' nevyrazimoe (bez snizheniya urovnya) bolee prostymi sredstvami.
Vprochem, problemy ponimaniya alhimicheskih tekstov, smysl kotoryh prakticheski
polnost'yu uteryan dlya nas, voznikali i u sovremennikov:
Nesmotrya dazhe na to, chto pogloshchal ih pisaniya odno za drugim, bessmenno
sklonyayas' snova i snova nad trudami mudrecov, ya ne nashel v nih suti togo,
chto sii mudrecy provozglashali v svoih sochineniyah. YA izuchal alhimicheskie
knigi dvoyako, starayas' urazumet' v nih i to, chto govorit v pol'zu muzhej, ih
napisavshih, i to, chto govorit protiv nih, no ustanovil, chto eti knigi
nikchemny, bessmyslenny i bespolezny (Al'bert Velikij, Malyj alhimicheskij
svod).
K.G. YUng posvyatil ryad svoih rabot (Psihologiya i alhimiya, Aion,
Mysterium Coniunctionis, Duh Merkurij i dr.) psihologicheskoj interpretacii
alhimicheskoj simvoliki. Po ego mneniyu, ona vyrazhaet svojstvennye
chelovecheskoj psihike arhetipy, t.e. fundamental'nye predstavleniya,
prinadlezhashchie sfere "kollektivnogo bessoznatel'nogo":
Poskol'ku alhimiki, za isklyucheniem ochen' nemnogih, ne znali, chto oni
vytashchili na svet bozhij psihicheskie struktury, a dumali, chto ob®yasnyayut
transformacii materii, to nikakie psihologicheskie soobrazheniya, proistekayushchie
iz chuvstvitel'nosti natury, ne mogli uderzhat' ih ot togo, chtoby ne obnazhat'
osnovy dushi, chto bolee osvedomlennyj chelovek poboyalsya by sdelat'. Imenno
poetomu alhimiya tak neotrazimo privlekatel'na dlya psihologa... Kakimi by
strannymi i nevrazumitel'nymi ne kazalis' neposvyashchennym ispol'zuemye
alhimikami yazyk i obrazy, oni stanovyatsya yasnymi i zhivymi, kak tol'ko
sravnitel'noe issledovanie obnaruzhivaet svyaz' mezhdu simvolami i processami v
bessoznatel'nom (Mysterium Coniunctionis, s. 13).
Bolee podrobnoe obsuzhdenie svyazej mezhdu sovremennoj naukoj i alhimiej,
germetizmom i pifagorejskoj filosofiej privedeno v glave 4.
Duh evropejskoj nauki do sih por neset na sebe pechat' vseh etih
faktorov - perehod ot yazyka kabbaly i alhimii k bolee prostomu yazyku
matematiki, kotoryj proizoshel dostatochno pozdno, s etoj tochki zreniya ne
principialen. S tochki zreniya psihologii, sovremennaya matematicheskaya
simvolika otlichaetsya prezhde vsego men'shej emocional'noj nasyshchennost'yu.
Do teh por, poka imenno zaklinaniya svyazyvayut material'nyj mir neba i
zemli voedino, astrologiya i magiya ne mogut stat' astronomiej i tehnikoj.
Lyubaya arifmeticheskaya zadacha ostavalas' religioznoj obyazannost'yu, s
likovaniem vypolnyaemoj zhrecami vo vremya sootvetstvuyushchih ceremonij... Segodnya
my konstatiruem, chto 2 i 2 ravnyaetsya 4, ne povyshaya golosa. Sushchnost'
matematicheskoj simvoliki i zaklyuchaetsya v tom fakte, chto vo vremya
ustanovleniya matematicheskih istin golos ne povyshaetsya. Figury, krivye,
treugol'niki i zadumany tak, chtoby byt' ponyatymi bez vsyakih emocij... No eto
velikoe novshestvo. Nikogda prezhde yazyk ne ispol'zovalsya bez sil'nejshego
vozbuzhdeniya. SHaman govoril s penoj u rta. ZHrecy v hramah lezhali v
iznemozhenii (O. Rozenshtok-Hyussi, Bog zastavlyaet nas govorit', s. 183).
S drugoj storony, alhimiki, kak pokazyvayut issledovaniya YUnga, igrali s
chrezvychajno moshchnymi i opasnymi simvolami, korenyashchimisya v glubinah
bessoznatel'nogo. Poisk Filosofskogo Kamnya byl bukval'no voprosom zhizni i
smerti:
Glyadya kuda-to poverh moej golovy, rabbi prodolzhaet:
- Ne sleduet molit'sya o Kamne, esli ne znaesh', chto on oznachaet.
- Kamen' oznachaet istinu! - otklikayus' ya.
- Istina? - usmehaetsya rabbi tochno tak zhe, kak imperator...
- CHto zhe v takom sluchae oznachaet Kamen'? - neuverenno dopytyvayus' ya.
- Otvet na etot vopros ... nel'zya poluchit' izvne, on mozhet prijti
tol'ko iznutri!
- Da, konechno, ya ponimayu: Kamen' nahodyat v sokrovennyh glubinah
sobstvennogo YA. No... potom-to on dolzhen byt' prigotovlen, yavlen vovne, i
togda, kogda on proizveden na svet, imya emu - eliksir.
- Vnimanie, syn moj, - shepchet rabbi... - Bud' ostorozhen, kogda molish'sya
o nisposlanii Kamnya! Vse vnimanie na strelu, cel' i vystrel! Kak by tebe ne
poluchit' kamen' vmesto Kamnya: bescel'nyj trud za bescel'nyj vystrel! Molitva
mozhet obernut'sya nepopravimym (G. Majrink, Angel Zapadnogo okna).
Matematicheskaya simvolika bolee "nejtral'na" i veroyatno imenno eto
pozvolilo ej stat' "obshcheznachimoj". Obshcherasprostranennost' matematicheskoj
simvoliki i ee maksimal'naya "nezavisimost' ot kul'tury" po-vidimomu
svidetel'stvuet, chto bazovye ponyatiya (arhetipy) chisla, kontinuuma i t. d.
dejstvitel'no yavlyayutsya emocional'no nejtral'nymi. Vozmozhno, oni celikom
prinadlezhat k vysshim etazham chelovecheskoj psihiki (to, chto po kartografii
soznaniya S. Grofa svyazano s transpersonal'nym urovnem) i v minimal'noj
stepeni "zacepleny" za nizshie sloi (seks, agressiya...). Vprochem,
Stil' lyuboj zarozhdayushchejsya matematiki polnost'yu zavisit ot toj kul'tury,
v kotroj ona voznikaet, ot osobennostej naroda, nad nej razmyshlyayushchego (O.
SHpengler, Zakat Evropy. O smysle chisel).
V svyazi s perehodom ot srednevekovoj nauki, baziruyushchejsya na astrologii
i alhimii, k sovremennoj matematike, sleduet upomyanut' perepletenie
"magicheskogo" i estestvennonauchnogo yazyka v trudah vracha, matematika i
astrologa Dzh. Kardano (1501-1576), opisavshego svoe reshenie kubicheskogo
uravneniya v sochinenii Ars magna (velikoe iskusstvo). Ego biografiya
napominaet avantyurnyj roman, a tvorcheskaya deyatel'nost' polnost'yu
opredelyalas' vliyaniem misticheskogo opyta. Sovremennyj anglijskij matematik
R. Penrouz (sm. spisok literatury) v osobennosti podcherkivaet zaslugi
Kardano kak odnogo iz sozdatelej teorii veroyatnosti, a takzhe kak matematika,
vpervye ispol'zovavshego kompleksnye chisla. Krome togo, nachinaya s Kardano
mozhno prosledit' tu liniyu, kotoraya v konce koncov, cherez raboty Abelya i
Galua o razreshimosti algebraicheskih uravnenij, privela k poyavleniyu
sovremennoj teorii grupp, igrayushchej stol' bol'shuyu rol' v kvantovoj fizike.
Galilej v "Dialoge o dvuh sistemah mira" (sm. Izbrannye trudy, M.,
1964) ob®yavlyaet tajny pifagorejskih chisel basnyami. Odnako ego kardinal'naya
ideya o tajnah prirody, zapisannyh na yazyke matematiki (sm. citatu v nachale
glavy) po proishozhdeniyu nesomnenno voshodit k pifagorejskoj tradicii. S
etogo vremeni, matematicheskaya simvolika pochti polnost'yu vytesnyaet
kabbalisticheskuyu, alhimicheskuyu i drugie "srednevekovye" simvolicheskie
sistemy. Uspehi n'yutonovskoj teorii tyagoteniya, prezhde vsego, vyvod zakonov
Keplera (sm. gl. 4), zakrepili polozhenie matematiki kak "caricy nauk"
(izvestnoe vyrazhenie K. Gaussa). Sozdannyj trudami I. N'yutona, G. Lejbnica,
I. Barrou, H. Gyujgensa i drugih uchenyh XVII veka matematicheskij analiz
okazalsya isklyuchitel'no effektivnym sredstvom resheniya samyh raznyh zadach. Na
protyazhenii XVIII veka ogromnoe kolichestvo vazhnyh rezul'tatov bylo polucheno
L. |jlerom, ZH. Lagranzhem, P. Laplasom i mnogimi drugimi matematikami,
mehanikami i astronomami.
Nesmotrya na "prikladnoe" znachenie matematiki, v nastoyashchee vremya ona
predstavlyaet soboj samostoyatel'nuyu nauku s sobstvennymi ob®ektami
issledovaniya i esteticheskimi kriteriyami. Nachinaya s XIX veka, centr tyazhesti v
razvitii matematiki postepenno smeshchaetsya v storonu bolee chetkogo analiza
ispol'zuemyh ponyatij, rosta strogosti i razvitiya "kul'tury" matematicheskogo
dokazatel'stva. |tot process soprovozhdaetsya nekotorymi izderzhkami:
Matematika nashih dnej pohodit na krupnyj oruzhejnyj magazin mirnogo
vremeni. Ego vitrina zapolnena roskoshnymi veshchami, kotorye svoim ostroumnym,
iskusnym, plenyayushchim glaz ispolneniem voshishchayut znatoka, a podlinnye istoki i
naznachenie etih veshchej, ih sposobnost' porazhat' vraga othodyat v soznanii na
zadnij plan vplot' do polnogo zabveniya (F. Klejn, Lekcii o razvitii
matematiki v XIX stoletii, t.1, M., Nauka, 1989, s.86).
Na dostatochno bol'shom udalenii ot svoego empiricheskogo istochnika i tem
bolee vo vtorom i tret'em pokolenii, kogda matematicheskaya disciplina lish'
kosvenno cherpaet vdohnovenie iz idej, idushchih ot real'nosti, nad nej navisaet
smertel'naya opasnost'. Ee razvitie vse bolee i bolee opredelyaetsya chisto
esteticheskimi soobrazheniyami; ona vse bolee i bolee stanovitsya iskusstvom dlya
iskusstva... YA ubezhden, chto "empiricheskaya" podpitka byla neobhodimym
usloviem sohraneniya neuvyadaemoj molodosti i zhiznesposobnosti matematiki v
proshlom i chto analogichnoe utverzhdenie ostanetsya v sile i v budushchem (Dzh. fon
Nejman, cit. po: M. Klajn, Matematika. Utrata opredelennosti, s.338).
Vmeste s tem, matematika prodolzhaet sohranyat' svoyu "nepostizhimuyu
effektivnost' v estestvennyh naukah", davshuyu nazvanie znamenitoj stat'e E.
Vignera:
Matematicheskij yazyk udivitel'no horosho prisposoblen dlya formulirovki
fizicheskih zakonov. |to chudesnyj dar, kotorogo my ne ponimaem i kotorogo ne
zasluzhivaem. Nam ostaetsya lish' blagodarit za nego sud'bu i nadeyat'sya, chto v
svoih budushchih issledovaniyah my smozhem po-prezhnemu pol'zovat'sya im (E.
Vigner, |tyudy o simmetrii, s. 197).
Riskuya neskol'ko shokirovat' "scientistski" nastroennogo chitatelya, mozhno
tem ne menee otmetit' ochevidnuyu analogiyu mezhdu veroj sovremennogo uchenogo v
"nepostizhimuyu effektivnost' matematiki" i veroj cheloveka tradicionnogo
obshchestva v magiyu chisel. Primery takoj effektivnosti destvitel'no
mnogochislenny i vpechatlyayushchi. Mozhno ukazat', naprimer, na osnovnoe uravnenie,
opisyvayushchee svojstva elektrona - uravnenie Diraka. Ono bylo ustanovleno
Dirakom v 1927 g. iz soobrazhenij "matematicheskogo izyashchestva" i ne tol'ko
prekrasno opisalo vse izvestnye k tomu vremeni svojstva elektrona, no i
privelo k predskazaniyu sushchestvovaniya antichasticy elektrona - pozitrona,
vposledstvii podtverzhdennomu eksperimental'no. Eshche bolee yarkim primerom
yavlyaetsya obshchaya teoriya otnositel'nosti (sovremennaya teoriya tyagoteniya),
sozdannaya |jnshtejnom v 1915 g. kak dostatochno formal'naya matematicheskaya
konstrukciya pochti bez vsyakoj eksperimental'noj osnovy i blestyashche
podtverzhdennaya vsemi posleduyushchimi eksperimentami i astronomicheskimi
nablyudeniyami. Odnako, esli my zahotim ponyat' eti uspehi, eto mozhet okazat'sya
delom ne bolee prostym, chem ob®yasnit', kakim obrazom pereschet devushek (sm.
vyshe citatu iz Frezera) mozhet povredit' ih zdorov'yu. "Samoe nepostizhimoe v
mire - to, chto on postizhim" (A. |jnshtejn), prichem zachastuyu - postizhim na
matematicheskom yazyke. Sleduyushchij otryvok daet opisanie "misticheskogo opyta",
svyazannogo s chistoj matematikoj.
V matematike, dopolnennoj filosofiej i psihologiej, ya nashel to, chto
obychno daet cheloveku religiya. YA osoznal v etom prisutstvie real'nosti v
forme neobychajnoj chistoty, i predel vnutrennego proniknoveniya, kotorogo ya
togda dostig, hotya mne i nedostavalo sootvetstvuyushchego ponimaniya i
razlicheniya, ne byl prevzojden s teh por nikogda, vplot' do sed'mogo chisla
proshlogo mesyaca... To, chego ya dostig blagodarya matematike na yazyke simvolov
- a eto byl redkij uroven' soznaniya, - dolzhna byla dopolnit' filosofiya, tak
chtoby eto moglo stat' yasnym dlya ponimaniya. Filosofiya dobavila sposobnost'
razmyshleniya i sosredotocheniya k chistomu svetu matematiki (F. Merrell-Vol'f,
Puti v inye izmereniya, s.145-146).
Vspomnim takzhe, chto |jnshtejn v detstve vosprinyal "Nachala" Evklida kak
"svyashchennuyu knigu po geometrii".
Ryad krupnyh issledovatelej, pytayushchihsya vser'ez ponyat' status
matematicheskih ponyatij i prichinu ih effektivnosti, sklonyaetsya k tomu ili
inomu variantu platonizma. Tak, vydayushchijsya anglijskij uchenyj - specialist v
oblasti matematicheskoj fiziki R. Penrouz posvyatil znachitel'nuyu chast' svoih
knig "Novyj razum imperatora" i "Teni razuma" (sm. spisok literatury)
argumentacii v pol'zu real'nogo sushchestvovaniya mira matematicheskih idej.
Matematicheskie ponyatiya, vyrazhayushchie "garmoniyu" mira, vechny i neunichtozhimy
podobno platonovskim ideyam:
V nastroennoj lire garmoniya - eto nechto nevidimoe, bestelesnoe,
prekrasnoe i bozhestvennoe, a sama lira i struny - tela, to est' nechto
telesnoe, slozhnoe, zemnoe i srodnoe smertnomu. Predstav' sebe teper', chto
liru razbili ili zhe porezali i porvali struny, - privodya te zhe dovody, kakie
privodish' ty, kto-nibud' budet uporno dokazyvat', chto garmoniya ne
razrushilas' i dolzhna po-prezhnemu sushchestvovat'. Byt' togo ne mozhet, skazhet
takoj chelovek, chtoby lira s razorvannymi strunami i sami struny - veshchi
smertnoj prirody - vse eshche sushchestvovali, a garmoniya, srodnaya i blizkaya
bozhestvennomu i bessmertnomu, pogibla, unichtozhilas' ran'she, chem smertnoe.
Net, garmoniya nepremenno dolzhna sushchestvovat', i prezhde istleyut bez ostatka
derevo i zhily strun, chem poterpit chto-nibud' hudoe garmoniya (Platon, Fedon;
sm. takzhe vynesennye v epigraf stroki Mandel'shtama).
Blizkih vzglyadov na sushchnost' matematicheskih idej i ponyatij
priderzhivalsya V. Gejzenberg (sm. knigu "Fizika i filosofiya. CHast' i celoe").
Drugoj vydayushchijsya fizik, V. Pauli, polagal, chto bolee pravil'nym obrazom dlya
togo, chtoby oharakterizovat' status matematicheskih ponyatij, yavlyayutsya
yungovskie arhetipy. V otlichie ot platonovskih idej, oni imeyut dinamicheskij
harakter i ne mogut rassmatrivat'sya kak vechnye i neizmennye, odnako takzhe
prinadlezhat k nekotoroj real'nosti za predelami individual'nyh soznanij (sm.
knigu K. Laurikajnena). Vysokuyu ocenku matematiki mozhno najti i v okkul'tnoj
literature.
Glavnyj Istochnik chistoj matematiki - Vysshee, ili Transcendentnoe
Soznanie, i v etom prichina, pochemu vyvody vseobshchego haraktera mozhno
nedvusmyslenno peredat' na yazyke chistoj matematiki... V opredelennom smysle,
chistaya matematika daleko operedila sejchas to Soznanie, kotoroe real'no
vozmozhno dlya cheloveka (F. Merrell-Vol'f, Puti v inye izmereniya, s.280, 293).
V srednie veka vopros ob universaliyah (ideal'nyh, obshchih ponyatiyah)
obsuzhdalsya v burnyh i dolgih sporah sholastov - realistov i nominalistov:
pervye otstaivali ih real'noe (ontologicheskoe) sushchestvovanie, a poslednie
priznavali ih tol'ko v myshlenii (kak imena, simvoly edinichnyh sushchnostej).
|ti spory tak ni k chemu i ne priveli, a krajnie tochki zreniya byli osuzhdeny
cerkov'yu (osobenno v svyazi s dogmatami o prichastii i sv. Troicej). Vzglyady
na matematiku Penrouza i ego edinomyshlennikov mogut byt' sopostavleny so
srednevekovym realizmom.
"Nominalistskij" podhod v voprose ob osnovaniyah matematiki sostoit v
predpolozhenii, chto matematicheskie ponyatiya yavlyayutsya rezul'tatom obobshcheniya i
abstragirovaniya svojstv real'nogo fizicheskogo mira. Logicheski vozmozhen i
"sub®ektivno-idealisticheskij" podhod, rassmatrivayushchij matematicheskie
konstrukcii kak proizvol'nye tvoreniya chelovecheskogo uma, odnako v etom
sluchae vopros o prichinah "nepostizhimoj effektivnosti" matematiki po-vidimomu
ne mozhet byt' dazhe razumno sformulirovan. Kak i voobshche v sovremennoj nauke,
naibolee rasprostranen sejchas po-vidimomu "pozitivistskij" podhod, kogda
voprosy o mirovozzrencheskom statuse ispol'zuemyh ponyatij i metodov schitayutsya
nenauchnymi i bessmyslennymi. Primenitel'no k matematike, takoj podhod
sostoit v rassmotrenii matematicheskih teorij kak nekotoryh formal'nyh
konstrukcij:
V etom smysle matematika rassmatrivaet otnosheniya v
gipoteticheski-deduktivnom plane, ne svyazyvaya sebya nikakoj konkretnoj
material'noj interpretaciej. Ee interesuet ne istinnost' aksiom, a lish' ih
neprotivorechivost'... "Matematika - eto nauka, izvlekayushchaya opredelennye
sledstviya" - skazal B. Pirs v 1870 g., i eto opredelenie ostavalos' v mode
na protyazhenii neskol'kih desyatiletij. Mne kazhetsya, chto ono soderzhit ves'ma
skudnuyu informaciyu otnositel'no podlinnoj prirody matematiki... (G. Vejl',
Matematicheskoe myshlenie, M.: Nauka, 1989, s. 21).
K podobnym formalisticheskim podhodam otnositsya prezhde vsego
aksiomaticheskij metod, kotoryj propagandirovalsya i razvivalsya na rubezhe XIX
i XX vekov vydayushchimsya nemeckim matematikom D. Gil'bertom. Izvestno ego
shutlivoe (?) vyskazyvanie, chto pri izlozhenii evklidovoj geometrii mozhno
vezde zamenit' slova "tochki", "pryamye" i "ploskosti" na "stoly", "stul'ya" i
"pivnye kruzhki" (cherez dva stola mozhno provesti stul, i pritom tol'ko odin -
zamechatel'no!). V shiroko izvestnom spiske "problem Gil'berta" prisutstvovala
dazhe problema aksiomatizacii fiziki. Analogichnyj podhod razvivalsya Rasselom
i Uajthedom po otnosheniyu k samoj matematike. Po slovam B.Rassela,
Tot fakt, chto vsya matematika est' simvolicheskaya logika, yavlyaetsya odnim
iz velichajshih otkrytij nashego vremeni (Principy matematiki).
Takoj podhod srazu posle svoego vozniknoveniya vyzval rezkie vozrazheniya
ryada krupnejshih matematikov, prezhde vsego, A. Puankare:
Nastoyashchee matematicheskoe rassuzhdenie est' nastoyashchaya indukciya, vo mnogih
otnosheniyah otlichnaya ot indukcii fizicheskoj, no, kak i ona, idushchaya ot
chastnogo k obshchemu. Vse usiliya, napravlennye na to, chtoby oprokinut' etot
poryadok i svesti matematicheskuyu indukciyu k pravilam logiki, zakonchilis' bez
uspeha, i etu neudachu trudno skryt' pod maskoj osobogo yazyka, nedostupnogo
profanam (A. Puankare, O nauke, s.402,403).
Budushchee razvitie matematiki i logiki dejstvitel'no pokazalo
nedostatochnost' gil'bertovskogo podhoda dazhe v predelah matematiki (ne
govorya uzhe ob "aksiomatizacii fiziki", sm. gl.6). My imeem v vidu prezhde
vsego znamenituyu teoremu Gedelya, soglasno kotoroj dazhe v arifmetike
natural'nyh chisel sushchestvuyut utverzhdeniya, neoproverzhimye i nedokazuemye na
osnove lyubogo konechnogo nabora aksiom. (Privedennaya zdes' formulirovka ne
vpolne tochna i nuzhdaetsya v mnogochislennyh poyasneniyah; sm., naprimer,
upomyanutye vyshe knigi R. Penrouza ili populyarno napisannuyu broshyuru V.A.
Uspenskogo "Teorema Gedelya o nepolnote", M., Nauka, 1982; bolee
sistematicheskoe izlozhenie mozhno najti, naprimer, v uchebnike S. Klini
"Matematicheskaya logika", M., Mir, 1973). Blizkoe (i v dejstvitel'nosti
ekvivalentnoe) utverzhdenie sostoit v sushchestvovanii algoritmicheski
nerazreshimyh zadach, to est' takih zadach, kotorye v principe ne mogut byt'
resheny nikakim komp'yuterom, dejstvuyushchim na osnove fiksirovannogo nabora
pravil. (Izvestno mnogo konkretnyh primerov takih zadach; skazhem, ne
sushchestvuet obshchego sposoba opredelit', mozhno ili nel'zya vymostit' vsyu
ploskost' bez zazorov, ispol'zuya tol'ko mnogougol'nye plitki iz zadannogo
konechnogo nabora). Tem samym, matematika neizbezhno dolzhna byt'
soderzhatel'noj i "chelovecheskoj" (ili, soglasno platonistskim vzglyadam,
sverhchelovecheskoj), no ni v koem sluchae ne "komp'yuternoj", to est' bezdumno
vyvodimoj iz fiksirovannogo nabora pravil:
Vy [storonniki vzglyadov Rassela i Gil'berta] daete nam ne kryl'ya, a
detskie pomochi. No togda my imeem pravo trebovat', chtoby eti pomochi ne
davali nam padat'. V takoj pomoshchi - edinstvennoe ih opravdanie. Esli cennoe
imushchestvo ne prinosit krupnyh dohodov, to nuzhno po krajnej mere, chtoby ono
bylo v nadezhnyh rukah. Nuzhno li sledovat' vashim pravilam slepo? Konechno, da,
inache nam mogla by pomoch' razobrat'sya v nih odna tol'ko intuiciya. No v takom
sluchae neobhodimo, chtoby eti pravila byli nepogreshimy; slepoe doverie mozhno
pitat' tol'ko k nepogreshimomu avtoritetu. Dlya vas eto neobhodimost'. Vy
dolzhny byt' nepogreshimy, ili vas ne budet (A. Puankare, O nauke, s.390).
Razlichie podhodov i mirovozzrenij v voprose ob osnovaniyah matematiki
osobenno yarko proyavlyaetsya pri rassmotrenii problem, svyazannyh s ideej
beskonechnosti. "Standartnaya" matematika XX veka baziruetsya na teorii
mnozhestv, razrabotannoj v XIX veke G. Kantorom (a govorya bolee tehnicheski -
na tak nazyvaemoj sisteme aksiom Cermelo-Frenkelya). Soglasno Kantoru,
sushchestvuyut raznye stepeni (moshchnosti) beskonechnosti: beskonechnost' schetnyh
mnozhestv, takih, kak ryad natural'nyh chisel, beskonechnost' kontinuuma,
naprimer, otrezka edinichnoj dliny (tu zhe moshchnost' imeyut mnozhestva tochek
ogranichennyh i neogranichennyh tel v prostranstve lyuboj razmernosti), i
beskonechnosti bolee vysokogo poryadka. Poslednie mogut byt' polucheny kak
mnozhestvo vseh podmnozhestv ishodnogo beskonechnogo mnozhestva.
Liniya sostoit iz mnozhestva tochek, ploskost' - iz beskonechnogo mnozhestva
linij; kniga - iz beskonechnogo mnozhestva ploskostej; sverhkniga - iz
beskonechnogo mnozhestva knig (H.L. Borhes, Kniga peska).
|ti idei imeyut bol'shoe psihologicheskoe znachenie.
...Posle togo, kak nashe perezhivanie stanovitsya real'nym processom v
real'nom mire, a nashe fenomenologicheskoe vremya prostiraetsya, kak nechto
kosmicheskoe, na ves' mir, my vse-taki podmenyaem kontinuum tochnym ponyatiem
dejstvitel'nogo chisla, vopreki sushchestvennoj netochnosti, neustranimoj iz
togo, chto nam nado... Vo vsem etom ne prosto proyavlyaetsya kakaya-to
nasil'stvennaya sistematizaciya ili stremlenie k prostote mysli, vyzvannoe
nashimi prakticheskimi zadachami i celyami: v dejstvie vstupaet podlinnyj razum,
raskryvayushchij prisushchij dejstvitel'nosti "logos"... Konechno, naglyadno
sozercaemyj i matematicheskij kontinuum ne sovpadayut; mezhdu nimi ziyaet
propast'. Tem ne menee, sushchestvuyut razumnye motivy, pobuzhdayushchie nas
stremit'sya k tomu, chtoby ot odnogo perejti k drugomu, - stol' zhe razumnye,
kak i te, kotorye zastavlyayut pri issledovanii prirody stremit'sya proniknut'
"za" predely toj real'nosti, kotoraya osnovyvaetsya na aktah opyta... - k
stoyashchemu za chuvstvennymi dannymi "podlinno ob®ektivnomu", beskachestvennomu
fizicheskomu miru. (G. Vejl', Matematicheskoe myshlenie, s. 159).
Teoriya mnozhestv Kantora ochen' daleko ("beskonechno daleko") vyhodit za
ramki chuvstvennogo opyta. Voobshche govorya, nikakie suzhdeniya otnositel'no
beskonechnyh mnozhestv ne mogut byt' empiricheski proveryaemy:
Vsyakaya teorema matematiki dolzhna byt' dostupna proverke. Kogda ya
vyskazyvayu etu teoremu, ya utverzhdayu, chto vse proverki, kotorye ya isprobuyu,
privedut k zhelaemomu rezul'tatu, i dazhe esli odna iz etih proverok trebuet
truda, prevoshodyashchego chelovecheskie sily, ya utverzhdayu, chto esli mnogo
pokolenij sochtut nuzhnym zanyat'sya etoj proverkoj, to i v etom sluchae ona
udastsya. Teorema ne imeet drugogo smysla; eto ostaetsya vernym i togda, kogda
v ee formulirovke govoritsya o beskonechnyh chislah; no tak kak vse proverki
mogut byt' provedeny tol'ko dlya konechnyh chisel, to otsyuda sleduet, chto
vsyakaya teorema, otnosyashchayasya k beskonechnym chislam ili voobshche k tomu, chto
nazyvaetsya beskonechnym mnozhestvom... ne mozhet byt' nichem inym, kak
sokrashchennym sposobom formulirovaniya predlozhenij, otnosyashchihsya k konechnym
chislam (A. Puankare, O nauke, s. 466).
Bol'shie somneniya u mnogih matematikov vyzyvala, naprimer, aksioma
vybora Cermelo (esli imeetsya lyuboj nabor - konechnyj ili beskonechnyj -
mnozhestv, to vsegda mozhno obrazovat' novoe mnozhestvo, vybrav po odnomu
elementu iz kazhdogo mnozhestva, vhodyashchego v nabor). S ee ispol'zovaniem
dokazyvayutsya ves'ma strannye utverzhdeniya, skazhem, teorema Banaha - Tarskogo.
Soglasno etoj teoreme, lyuboe vypukloe telo mozhno razrezat' na konechnoe chislo
kuskov takim obrazom, chto, perestaviv ih, my poluchim vypukloe telo lyubogo
drugogo razmera. Ochevidno, chto mir, opisyvaemyj aksiomatikoj
Cermelo-Frenkelya ne mozhet byt' nashim fizicheskim mirom, gde nichego podobnogo
sdelat' nel'zya. S drugoj storony, otkaz ot aksiomy vybora sushchestvenno
obednyaet klassicheskuyu matematiku. Vozmozhno, pravil'nyj vyhod iz etogo tupika
(soglasno Penrouzu) sostoit v dopushchenii, chto kantorova teoriya mnozhestv
opisyvaet platonovskij mir matematicheskih idej, nekotorye iz kotoryh imeyut
sootvetstvie v nashem fizicheskom mire. YAsno, odnako, chto slishkom dlya mnogih
matematikov takoj vyvod okazhetsya filosofski nepriemlemym.
V to zhe vremya, kantorova teoriya po-vidimomu ne protivorechit strukture
chelovecheskogo myshleniya. Mozhno dumat', chto ponyatie kontinuuma kak nekotoroj
pervichnoj sushchnosti, ne svodimoj k schetnym mnozhestvam, dejstvitel'no prisushche
chelovecheskoj psihike. Kazhdyj chelovek obladaet, veroyatno, zachatkami
topologicheskogo myshleniya, osnovannogo na idee nepreryvnosti. G. Vejl'
govoril (Matematicheskoe myshlenie, s. 24-41) ob abstraktnoj algebre i
topologii kak dvuh al'ternativnyh sposobah matematicheskogo myshleniya (po
vyrazheniyu Vejlya, za dushu kazhdogo matematika boryutsya angel topologii i bes
abstraktnoj algebry). Na urovne fiziologii razlichnye vidy myshleniya
svyazyvayutsya s polushariyami chelovecheskogo mozga (pravopolusharnoe myshlenie -
nepreryvnoe, obrazy, topologiya, levopolusharnoe myshlenie - logicheskoe,
simvoly, bukvy, slova, diskretnoe, algebra). F. Merrell-Vol'f (v knige
"Matematika, filosofiya i joga") svyazyvaet "obychnoe" dvojstvennoe soznanie s
diskretnym prostranstvom, a "prosvetlennoe" nedvojstvennoe soznanie - s
nepreryvnym prostranstvom, ispol'zuya takzhe analogiyu s kantorovoj teoriej
mnozhestv.
Interesno sopostavit' dva glavnyh tipa matematicheskogo myshleniya s
psihologicheskoj klassifikaciej lichnostej (sm. knigu K.G. YUnga
"Psihologicheskie tipy" ili trudy po modnoj sejchas nauke - socionike, napr.,
E. Filatova, Socionika dlya vas, Novosibirsk, 1994). Dlya eto nuzhno prinyat' vo
vnimanie, chto v sootvetstvii s dannymi psihologicheskih issledovanij
prostranstvo v vospriyatii cheloveka obychno associiruetsya s nepreryvnoj sredoj
(simvolika vody, morya i t.d., sm. glavu 11), a vospriyatie vremeni diskretno
(sm. glavu 15). V socionike vospriyatie preimushchestvenno prostranstvennyh ili
vremennyh otnoshenij svyazyvayut s sensornym ili intuitivnym tipom lichnosti,
sootvetstvenno. Mozhno predpolozhit' nalichie nekotoryh korrelyacij mezhdu etim
deleniem i deleniem matematikov na "geometrov" i "algebraistov" (na takuyu
mysl' navodyat, v chastnosti, interesnye psihologicheskie nablyudeniya v knige R.
Penrouza "Novyj razum imperatora", odnako vopros nuzhdaetsya v dal'nejshih
issledovaniyah). Mezhdu prochim, v socionike dlya harakteristiki razlichnyh tipov
lichnosti i mezhlichnostnyh vzaimodejstvij shiroko ispol'zuetsya geometricheskaya
simvolika. Hotya podobnoe ispol'zovanie matematiki vyglyadit neskol'ko bednym
i iskusstvennym po sravneniyu s ee primeneniem v estestvennyh naukah, ono
lishnij raz podcherkivaet psihologicheskuyu nagruzku matematicheskih simvolov.
Do nekotoroj stepeni protivopostavlenie "schetnogo" myshleniya,
osnovannogo na ponyatii (natural'nogo) chisla, i topologicheskogo myshleniya,
osnovannogo na ponyatii nepreryvnosti, sootvetstvuet razlichiyu kolichestvennogo
i kachestvennogo podhodov. Sovremennaya matematika yavlyaetsya ne tol'ko
kolichestvennoj, no i vse bol'she razvivaet metody kachestvennogo analiza.
Zdes' umestno privesti slova Rumi:
Vy prinadlezhite k miru izmerenij, no prishli vy ottuda, gde net nikakih
izmerenij. Zakrojte pervuyu lavku, pora otkryvat' vtoruyu.
Kak my otmechali vyshe, rech' zdes' idet o topologii, kachestvenno
issleduyushchej svojstva prostranstv i mnogoobrazij. S nej svyazany takie
discipliny, kak sozdannaya Puankare kachestvennaya teoriya differencial'nyh
uravnenij, teoriya bifurkacij i teoriya osobennostej gladkih otobrazhenij;
prilozhenie etih teorij k shirokomu krugu estestvennonauchnyh i dazhe social'nyh
problem poluchilo izvestnost' pod nazvaniem teorii katastrof. Kachestvennaya
storona matematiki podcherkivaetsya i v izvestnom vyskazyvanii A. Puankare:
Matematika - eto iskusstvo nazyvat' raznye veshchi odinakovymi imenami.
Slovo "imena" (vozmozhno, upotreblennoe bessoznatel'no) podcherkivaet
svyaz' matematiki s opredelennoj simvolicheskoj sistemoj. "Simvolicheskaya"
osnova estestvennyh nauk obsuzhdaetsya v rabotah P.Florenskogo.
Sovokupnye usiliya [fizikov i filosofov - Maha, Avenariusa,
Gel'mgol'ca...] utverdili obshchestvo v mysli, chto dejstvitel'no fizicheskaya
teoriya est' ne bolee kak simvolicheskoe opisanie, uproshchennoe i uporyadochennoe
opisanie, hotya, kstati skazat', donyne eshche ne stalo yasnym, chego imenno
opisanie est' fizika...
Metod poznaniya prirody, po Gercu, zaklyucha