\input style \chapno=5\subchno=4\subsubchno=3\chapnotrue kASKADNOE SLIYANIE, PODOBNO MNOGOFAZNOMU, NACHINAETSYA S "TOCHNOGO RASPREDELENIYA" OTREZKOV PO LENTAM, HOTYA PRAVILA TOCHNOGO RASPREDELENIYA OTLICHNY OT PRAVIL P.~5.4.2. kAZHDAYA STROKA TABLICY PREDSTAVLYAET POLNYJ PROHOD PO \emph{VSEM} DANNYM. pROHOD~2, NAPRIMER, POLUCHAETSYA POSREDSTVOM VYPOLNENIYA PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA S~T1, T2, T3, T4, T5 NA~T6, POKA~T5 NE STANET PUSTOJ (PRI |TOM NA~T6 POMESHCHAYUTSYA 15~OTREZKOV OTNOSITELXNOJ DLINY~5), ZATEM CHETYREHPUTEVOGO SLIYANIYA S~T1, T2, T3, T4 NA~T5, ZATEM TREHPUTEVOGO SLIYANIYA NA~T4, DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA NA~T3 I, NAKONEC, ODNOPUTEVOGO SLIYANIYA (OPERACII KOPIROVANIYA) S~T1 NA~T2. pROHOD~3 POLUCHAETSYA TAKIM ZHE OBRAZOM PUTEM VYPOLNENIYA SNACHALA PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA, POKA ODNA LENTA NE STANET PUSTOJ, ZATEM CHETYREHPUTEVOGO I~T.~D. (pOHOZHE, CHTO |TOMU PUNKTU KNIGI SLEDOVALO BY PRISVOITX NOMER~5.4.3.2.1, A NE~5.4.3!) yaSNO, CHTO OPERACII KOPIROVANIYA IZLISHNI, I IH MOZHNO BYLO BY OPUSTITX. fAKTICHESKI, ODNAKO, V SLUCHAE SHESTI LENT |TO KOPIROVANIE ZANIMAET TOLXKO NEBOLXSHOJ PROCENT VSEGO VREMENI. eLEMENTY, KOTORYE POLUCHAYUTSYA PROSTYM KOPIROVANIEM, OTMECHENY V PRIVEDENNOJ TABLICE ZVEZDOCHKOJ. tOLXKO~25 IZ~950 OBRABATYVAEMYH OTREZKOV PRINADLEZHAT |TOMU KLASSU. bOLXSHAYA CHASTX VREMENI OTVODITSYA PYATIPUTEVOMU I CHETYREHPUTEVOMU SLIYANIYAM. nA PERVYJ VZGLYAD MOZHET POKAZATXSYA, CHTO KASKADNAYA SHEMA---DOVOLXNO PLOHOJ VARIANT V SRAVNENII S MNOGOFAZNOJ, TAK KAK STANDARTNAYA MNOGOFAZNAYA SHEMA ISPOLXZUET VSE VREMYA $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, V TO VREMYA KAK KASKADNAYA ISPOLXZUET $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$, $(T-2)\hbox{-PUTEVOE}$, $(T-3)\hbox{-PUTEVOE}$ I~T.~D., NO V DEJSTVITELXNOSTI ONA ASIMPTOTICHESKI \emph{LUCHSHE,} CHEM MNOGOFAZNAYA, DLYA SHESTI I BOLEE LENT! kAK MY VIDELI V P.~5.4.2, VYSOKIJ PORYADOK SLIYANIYA NE YAVLYAETSYA GARANTIEJ |FFEKTIVNOSTI. v TABL.~1 POKAZANY HARAKTERISTIKI VYPOLNENIYA KASKADNOGO SLIYANIYA PO ANALOGII S PODOBNOJ TABLICEJ P.~5.4.2. nETRUDNO VYVESTI "TOCHNYE RASPREDELENIYA" DLYA KASKADNOGO SLIYANIYA. dLYA SHESTI LENT IMEEM $$ \matrix{ \hbox{uROVENX} & T1 & T2 & T3 & T4 & T5 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 2 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \cr 3 & 15 & 14 & 12 & 9 & 6 \cr 4 & 55 & 50 & 41 & 29 & 15 \cr 5 & 190 & 175 & 146 & 105 & 55 \cr \multispan{6}\dotfill\cr n & a_n & b_n & c_n & d_n & e_n \cr n+1 & a_n+b_n+c_n+d_n+e_n & a_n+b_n+c_n+d_n & a_n+b_n+c_n & a_n+b_n & a_n \cr } \eqno(1) $$ %%344 \htable{tABLICA 1}% {hARAKTER POVEDENIYA KASKADNOGO SLIYANIYA}% {\strut\hfill # && \bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr lENTY & \hbox{pROHODY} & \hbox{pROHODY} & \hbox{oTNOSHENIE}\cr & \hbox{(S KOPIROVANIEM)} & \hbox{(BEZ KOPIROVANIYA)} &\hbox{ROSTA}\cr \noalign{\hrule} 3 & 2.078\ln S+0.672 & 1.504\ln S+0.992 & 1.6180340\cr 4 & 1.235\ln S+0.754 & 1.102\ln S+0.820 & 2.2469796\cr 5 & 0.946\ln S+0.796 & 0.897\ln S+0.800 & 2.8793852\cr 6 & 0.796\ln S+0.821 & 0.773\ln S+0.808 & 3.5133371\cr 7 & 0.703\ln S+0.839 & 0.691\ln S+0.822 & 4.1481149\cr 8 & 0.639\ln S+0.852 & 0.632\ln S+0.834 & 4.7833861\cr 9 & 0.592\ln S+0.861 & 0.587\ln S+0.845 & 5.4189757\cr 10 & 0.555\ln S+0.869 & 0.552\ln S+0.854 & 6.0547828\cr 20 & 0.397\ln S+0.905 & 0.397\ln S+0.901 & 12.4174426\cr \noalign{\hrule} } oTMETIM INTERESNOE SVOJSTVO |TIH CHISEL---IH OTNOSITELXNYE VELICHINY YAVLYAYUTSYA TAKZHE I DLINAMI DIAGONALEJ PRAVILXNOGO $(2T-1)\hbox{-UGOLXNIKA}$. nAPRIMER, PYATX DIAGONALEJ ODINNADCATIUGOLXNIKA NA RIS.~73 IMEYUT OTNOSITELXNYE DLINY, OCHENX BLIZKIE K~190, 175, 146, 105 I~55! mY DOKAZHEM |TOT ZAMECHATELXNYJ FAKT \picture{rIS.~73. gEOMETRICHESKAYA INTERPRETACIYA KASKADNYH CHISEL.} POZDNEE V |TOM PUNKTE, A TAKZHE UVIDIM, CHTO OTNOSITELXNYE VREMENA, ZATRACHIVAEMYE NA $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, $(T-2)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE,~\dots, ODNOPUTEVOE SLIYANIE, PRIBLIZITELXNO PROPORCIONALXNY \emph{KVADRATAM} DLIN |TIH DIAGONALEJ. \section *nACHALXNOE RASPREDELENIE OTREZKOV. eSLI CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV V DEJSTVITELXNOSTI NE ESTX CHISLO fIBONACHCHI, MY MOZHEM, KAK OBYCHNO, VSTAVITX FIKTIVNYE OTREZKI. pOVERHNOSTNYJ ANALIZ SITUACII POKAZYVAET, CHTO METOD PRIPISYVANIYA FIKTIVNYH OTREZKOV NESUSHCHESTVEN, TAK KAK KASKADNOE SLIYANIE VSEGDA OSUSHCHESTVLYAET %%345 POLNYE PROHODY; ESLI IMEETSYA 190~NACHALXNYH OTREZKOV, TO KAZHDAYA ZAPISX OBRABATYVAETSYA PYATX RAZ, KAK V PRIVEDENNOM VYSHE PRIMERE, NO ESLI IMEETSYA 191~OTREZOK, TO, OCHEVIDNO, SLEDUET UVELICHITX UROVENX, I TEPERX KAZHDAYA ZAPISX BUDET OBRABATYVATXSYA SHESTX RAZ. k SCHASTXYU, V DEJSTVITELXNOSTI MOZHNO IZBEZHATX TAKOGO REZKOGO SKACHKA. d|VID~e.~fERGYUSON NASHEL SPOSOB TAK RASPREDELITX NACHALXNYE OTREZKI, CHTO MNOGIE OPERACII VO VREMYA PERVOJ \picture{ rIS.~74. eFFEKTIVNOSTX KASKADNOGO SLIYANIYA S RASPREDELENIEM PO ALGORITMU~D. } FAZY SLIYANIYA SVODYATSYA K KOPIROVANIYU SODERZHIMOGO LENTY. eSLI OBOJTI TAKIE KOPIROVANIYA (PROSTO IZMENIV "LOGICHESKIE" NOMERA LENTOCHNYH USTROJSTV PO OTNOSHENIYU K "FIZICHESKIM" NOMERAM, KAK V ALGORITME~5.4.2D), TO POLUCHIM OTNOSITELXNO PLAVNYJ PEREHOD S UROVNYA NA UROVENX, KAK IZOBRAZHENO NA RIS.~74. pREDPOLOZHIM, CHTO $(a, b, c, d, e)$, GDE~$a\ge b \ge c \ge d \ge e$---TOCHNOE RASPREDELENIE. pEREOPREDELIV SOOTVETSTVIE MEZHDU LOGICHESKIMI I FIZICHESKIMI LENTOCHNYMI USTROJSTVAMI, MY MOZHEM PREDSTAVITX, CHTO REALXNOE RASPREDELENIE---|TO~$(e, d, c, b, a)$, %%346 T.~E.~$a$~OTREZKOV NA~T5, $b$~NA~t4 I~T.~D. sLEDUYUSHCHEE TOCHNOE RASPREDELENIE---|TO $(a+b+c+d+e, a+b+c+d, a+b+c, a+b, a)$; I ESLI VVOD ISCHERPYVAETSYA PREZHDE, CHEM MY DOSTIGAEM |TOGO SLEDUYUSHCHEGO UROVNYA, TO BUDEM SCHITATX, CHTO LENTY SODERZHAT SOOTVETSTVENNO~$(D_1, D_2, D_3, D_4, D_5)$ FIKTIVNYH OTREZKOV, GDE $$ \displaynarrow{ D_1 \le a+b+c+d,\quad D_1 \le a+b+c,\quad D_3\le a+b,\cr D_4 \le a,\quad D_5=0;\qquad D_1\ge D_2 \ge D_3 \ge D_4 \ge D_5.\cr } \eqno(2) $$ mY VOLXNY PREDSTAVLYATX SEBE, CHTO |TI FIKTIVNYE OTREZKI POYAVLYAYUTSYA NA LENTAH V LYUBOM UDOBNOM MESTE. pREDPOLAGAETSYA, CHTO PERVYJ PROHOD SLIYANIYA DAST $a$~OTREZKOV POSREDSTVOM PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA, ZATEM $b$~OTREZKOV POSREDSTVOM CHETYREHPUTEVOGO I~T.~D. nASHA CELX SOSTOIT V RASPOLOZHENII FIKTIVNYH OTREZKOV TAKIM OBRAZOM, CHTOBY ZAMENITX SLIYANIE KOPIROVANIEM. uDOBNO VYPOLNYATX PERVYJ PROHOD SLIYANIYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: 1.~eSLI~$D_4=a$, TO VYCHESTX~$a$ IZ VSEH~$D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ I ZAYAVITX, CHTO~T5---REZULXTAT SLIYANIYA. eSLI~$D_4<a$, TO SLITX $a$~OTREZKOV S LENT~T1 PO~T5, ISPOLXZUYA MINIMALXNO VOZMOZHNOE CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV NA LENTAH~T1--T5 TAK, CHTOBY NOVYE ZNACHENIYA~$D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ UDOVLETVORYALI SOOTNOSHENIYAM $$ \displaynarrow{ D_1\le b+c+d,\quad D_2\le b+c,\quad D_3\le b,\cr D_4=0;\qquad D_1\ge D_2\ge D_3\ge D_4.\cr } \eqno(3) $$ tAKIM OBRAZOM, ESLI~$D_2$ BYLO PERVONACHALXNO~$\le b+c$, TO MY NE ISPOLXZUEM NI ODNOGO FIKTIVNOGO OTREZKA S |TOJ LENTY NA DANNOM SHAGE; V TO ZHE VREMYA, ESLI~$b+c<D_2\le a+b+c$, MY ISPOLXZUEM ROVNO~$D_2-b-c$ FIKTIVNYH OTREZKOV. 2.~(eTOT SHAG ANALOGICHEN SHAGU~1, NO S NEKOTORYM "SDVIGOM".) eSLI~$D_3=b$, TO VYCHESTX~$b$ IZ VSEH~$D_1$, $D_2$, $D_3$ I ZAYAVITX, CHTO~T4---REZULXTAT SLIYANIYA. eSLI~$D_3<b$, TO SLITX $b$~OTREZKOV S LENT~T1--T4, UMENXSHAYA, ESLI NEOBHODIMO, CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, CHTOBY DOSTICHX $$ D_1\le b+c,\quad D_2\le b,\quad D_3=0;\qquad D_1\ge D_2\ge D_3. $$ 3.~i TAK DALEE. mETOD fERGYUSONA RASPREDELENIYA OTREZKOV PO LENTAM MOZHNO PROILLYUSTRIROVATX, RASSMOTREV PROCESS PEREHODA S UROVNYA~3 NA UROVENX~4 V~(1). dOPUSTIM, CHTO "LOGICHESKIE" LENTY (T1,~\dots, T5) SODERZHALI SOOTVETSTVENNO $(5, 9, 12, 14, 15)$~OTREZKOV I CHTO MY HOTIM DOVESTI |TO V KONECHNOM ITOGE DO~$(55, 50, 41, 29, 15)$. eTA PROCEDURA MOZHET BYTX KRATKO ZAPISANA TAK: %%347 \ctable{ $#$\hfill&&\hfill\bskip$#$\bskip\hfill\cr & \hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{s|KONOMLENNAYA}\cr \hbox{shAG} &\hbox{K T1} &\hbox{K T2} &\hbox{K T3} &\hbox{K T4} &\hbox{K T5} &\hbox{VELICHINA}\cr (1, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+14+12+5\cr (2, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 15+14+9+5\cr (2, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+14+5\cr (3, 3)& 2 & 2 & 14 & 0 & 0 & 15+12+5\cr (3, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 15+9+5\cr (3, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+5\cr (4, 4)& 1 & 1 & 1 & 15 & 0 & 14+5\cr (4, 3)& 2 & 2 & 14 & 0 & 0 & 12+5\cr (4, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 9+5\cr (4, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5\cr } sNACHALA POMESHCHAEM DEVYATX OTREZKOV NA~T1, ZATEM $(3, 12)$---NA~T1 I~T2 I~T.~D. eSLI VVOD ISCHERPAETSYA, SKAZHEM, VO VREMYA SHAGA~$(3, 2)$, TO "S|KONOMLENNAYA VELICHINA" SOSTAVLYAET~$15+9+5$. eTO OZNACHAET, CHTO MY IZBEGAEM PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA 15~OTREZKOV, DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA 9~OTREZKOV I ODNOPUTEVOGO SLIYANIYA 5~OTREZKOV POSREDSTVOM PRISVOENIYA FIKTIVNYH OTREZKOV. dRUGIMI SLOVAMI, $15+9+5$ OTREZKOV, PRISUTSTVUYUSHCHIH NA UROVNE~3, NE OBRABATYVAYUTSYA V TECHENIE PERVOJ FAZY SLIYANIYA. sLEDUYUSHCHIJ ALGORITM DETALXNO OPISYVAET |TOT PROCESS. \alg C.(sORTIROVKA KASKADNYM SLIYANIEM SO SPECIALXNYM RASPREDELENIEM.) eTOT ALGORITM RASPREDELYAET NACHALXNYE OTREZKI PO LENTAM OTREZOK ZA OTREZKOM, POKA ZAPAS NACHALXNYH OTREZKOV NE ISCHERPAETSYA. zATEM ON OPREDELYAET, KAK SLEDUET SLIVATX LENTY, PREDPOLAGAYA, CHTO IMEETSYA $T\ge 3$~LENTOPROTYAZHNYH USTROJSTV, PRI |TOM ISPOLXZUETSYA SAMOE BOLXSHEE $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$~SLIYANIE I NENUZHNYE ODNOPUTEVYE SLIYANIYA USTRANYAYUTSYA. lENTA~$T$ MOZHET BYTX ISPOLXZOVANA DLYA HRANENIYA VVODA, TAK KAK NA NEE NE POPADAET NI ODIN NACHALXNYJ OTREZOK. aLGORITM RABOTAET SO SLEDUYUSHCHIMI MASSIVAMI: {\let\mypar=\par\ctable{ $#$,\bskip\hfill&$#$:\bskip\hfill& \vtop{\parindent=0pt \hsize=13cm #\mypar}\cr |A|[j] & 1 \le j \le T & pOSLEDNEE TOCHNOE KASKADNOE RASPREDELENIE, KOTOROE BYLO DOSTIGNUTO. \cr |AA|[j] & 1 \le j \le T & tOCHNOE KASKADNOE RASPREDELENIE, K KOTOROMU MY STREMIMSYA. \cr |D|[j] & 1 \le j \le T & chISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, PREDPOLAGAEMYH PRISUTSTVUYUSHCHIMI NA LOGICHESKOM LENTOPROTYAZHNOM USTROJSTVE S NOMEROM~$j$. \cr |M|[j] & 1 \le j \le T & mAKSIMALXNOE CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, KOTOROE ZHELATELXNO IMETX NA LOGICHESKOM LENTOPROTYAZHNOM USTROJSTVE S NOMEROM~$j$. \cr |TAPE|[j] & 1 \le j \le T & nOMER FIZICHESKOGO LENTOPROTYAZHNOGO USTROJSTVA, SOOTVETSTVUYUSHCHEGO LOGICHESKOMU LENTOPROTYAZHNOMU USTROJSTVU S NOMEROM~$j$.\cr }} %%348 \st[nACHALXNAYA USTANOVKA.] uSTANOVITX $|A|[k]\asg |AA|[k]\asg |D|[k]\asg 0$ PRI~$2\le k \le T$; USTANOVITX $|A|[1]\asg 0$, $|AA|[1]\asg 1$, $|D|[1]\asg 1$; USTANOVITX~$|TAPE|[k]\asg k$ PRI~$1\le k \le T$. nAKONEC, USTANOVITX~$i\asg T-2$, $j\asg 1$, $k\asg 1$, $l\asg 0$, $m\asg 1$ I PEREJTI K SHAGU~\stp{5} (|TI MANEVRY YAVLYAYUTSYA ODNIM IZ SPOSOBOV NACHATX RABOTU NEPOSREDSTVENNO VO VNUTRENNEM CIKLE S SOOTVETSTVUYUSHCHEJ USTANOVKOJ UPRAVLYAYUSHCHIH PEREMENNYH). \st[nACHATX NOVYJ UROVENX.] (mY TOLXKO CHTO POLUCHILI TOCHNOE RASPREDELENIE. nO TAK KAK ESHCHE IMEYUTSYA ISHODNYE DANNYE, TO NEOBHODIMO PODGOTOVITXSYA K SLEDUYUSHCHEMU UROVNYU.) uVELICHITX~$l$ NA~1. uSTANOVITX~$|A|[k]\asg |AA|[k]$ PRI~$1\le k \le T$, ZATEM USTANOVITX~$|AA|[T-k]\asg |AA|[T-k+1]+|A|[k]$ PRI~$k=1$, 2,~\dots, $T-1$ (V TAKOM PORYADKE). uSTANOVITX $(|TAPE|[1], |TAPE|[2],~\ldots, |TAPE|[T-1])\asg (|TAPE|[T-1],~\ldots, |TAPE|[2], |TAPE|[1])$ I USTANOVITX~$|D|[k]\asg |AA|[k+1]$ PRI~$1\le k < T$. nAKONEC, USTANOVITX~$i\asg 1$. \st[nACHATX PODUROVENX~$i$.] uSTANOVITX~$j\asg i$. (pEREMENNYE~$i$ I~$j$ PREDSTAVLYAYUT "SHAG~$(i,j)$" V TABLICE, ILLYUSTRIRUYUSHCHEJ METOD fERGYUSONA.) \st[nACHATX SHAG~$(i, j)$.] uSTANOVITX~$k\asg j$ I~$m\asg |A|[T-j-1]$. eSLI~$m=0$ I~$i=j$, TO USTANOVITX~$i\asg T-2$ I VERNUTXSYA K~\stp{3}; ESLI~$m=0$ I~$i\ne j$, VERNUTXSYA K~\stp{2}. (pEREMENNAYA~$m$ PREDSTAVLYAET SOBOJ CHISLO OTREZKOV, KOTOROE DOLZHNO BYTX ZAPISANO NA LENTU~$|TAPE|[k]$; $m$~BYVAET RAVNO~0, TOLXKO ESLI~$l=1$.) \st[vVESTI NA LENTU~$|TAPE|[k]$.] zAPISATX ODIN OTREZOK NA LENTU NOMER~$|TAPE|[k]$ I UMENXSHITX~$|D|[k]$ NA~1. zATEM, ESLI VVOD ISCHERPAN, PEREMOTATX VSE LENTY I PEREJTI K SHAGU~\stp{7}. \st[pRODVIZHENIE.] uMENXSHITX~$m$ NA~1. eSLI~$m>0$, VERNUTXSYA K SHAGU~\stp{5}. v PROTIVNOM SLUCHAE UMENXSHITX~$k$ NA~1; ESLI~$k>0$, USTANOVITX~$m\asg |A|[T-j-1]-|A|[T-j]$ I VERNUTXSYA K~\stp{5}, ESLI~$m>0$. v PROTIVNOM SLUCHAE UMENXSHITX~$j$ NA~1; ESLI~$j>0$, PEREJTI K SHAGU~\stp{4}. v PROTIVNOM SLUCHAE UVELICHITX~$i$ NA~1; ESLI~$i<T<1$, VERNUTXSYA K SHAGU~\stp{3}. v PROTIVNOM SLUCHAE PEREJTI K~\stp{2}. \st[pODGOTOVKA K SLIYANIYU.] (k |TOMU MOMENTU NACHALXNOE RASPREDELENIE ZAVERSHENO, I TABLICY~|A|, |AA|, |D| I~|TAPE| OPISYVAYUT SOSTOYANIE VSEH LENT V DANNYJ MOMENT.) uSTANOVITX~$|M|[k]\asg|AA|[k+1]$ PRI~$1\le k < T$ I USTANOVITX~$|FIRST|\asg 1$. (pEREMENNAYA~|FIRST| PRINIMAET NENULEVOE ZNACHENIE TOLXKO VO VREMYA PERVOGO PROHODA SLIYANIYA.) \st[kASKAD.] eSLI~$l=0$, OSTANOVITXSYA; SORTIROVKA ZAVERSHENA, VYVOD NAHODITSYA NA~$|TAPE|[1]$. v PROTIVNOM SLUCHAE PRI~$p=T-1$, $T-2$,~\dots, 1 (V TAKOM PORYADKE) VYPOLNYATX $p\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE S LENT~$|TAPE|[1]$,~\dots, $|TAPE|[p]$ NA~$|TAPE|[p+1]$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: %% 349 eSLI~$p=1$, TO MODELIROVATX ODNOPUTEVOE SLIYANIE OBYCHNOJ PEREMOTKOJ~$|TAPE|[2]$ I ZAMENOJ~$|TAPE|[1]\xchg |TAPE|[2]$. v PROTIVNOM SLUCHAE, ESLI~$|FIRST|=1$ I~$|D|[p-1]=|M|[p-1]$, TO MODELIROVATX $p\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, PROSTO POMENYAV $|TAPE|[p]\xchg |TAPE|[p+1]$, PEREMOTAV~$|TAPE|[p]$ I VYCHTYA~$M[p-1]$ IZ KAZHDOGO~$|D|[1]$,~\dots, $|D|[p-1]$, $|M|[1]$,~\dots, $|M|[p-1]$. v PROTIVNOM SLUCHAE VYCHESTX~$|M|[p-1]$ IZ VSEH~$|M|[1]$,~\dots, $|M|[p-1]$. zATEM SLITX PO ODNOMU OTREZKU S KAZHDOJ~$|TAPE|[j]$, TAKOJ, CHTO~$1\le j \le p$ I~$|D|[j]\le |M|[j]$; VYCHESTX EDINICU IZ KAZHDOGO~$|D|[j]$, TAKOGO, CHTO~$1\le j \le p$ I~$|D|[j]>|M|[j]$, I POMESTITX VYVODNOJ OTREZOK NA~$|TAPE|[p+1]$. pRODOLZHATX RABOTU, POKA $|TAPE|[p]$ NE STANET PUSTOJ. zATEM PEREMOTATX~$|TAPE|[p]$ I~$|TAPE|[p+1]$. \st[oPUSTITXSYA NA ODIN UROVENX.] uMENXSHITX~$l$ NA~1, USTANOVITX~$|FIRST|\asg 0$, USTANOVITX $(|TAPE|[1],~\ldots, |TAPE|[T])\asg (|TAPE|[T],~\ldots, |TAPE|[1])$. (k |TOMU MOMENTU VSE~|D| I~|M|---NULI I TAKOVYMI OSTANUTSYA.) vERNUTXSYA K~\stp{8}. \algend shAGI~C1--C6 |TOGO ALGORITMA VYPOLNYAYUT RASPREDELENIE, SHAGI~C7--C9 VYPOLNYAYUT SLIYANIE; |TI DVE CHASTI SOVERSHENNO NEZAVISIMY ODNA OT DRUGOJ, I MOZHNO BYLO BY HRANITX~$|M|[k]$ I~$|AA|[k+1]$ V ODNIH I TEH ZHE YACHEJKAH PAMYATI. \picture{rIS.~75. kASKADNOE SLIYANIE SO SPECIALXNYM RASPREDELENIEM.} \section *aNALIZ KASKADNOGO SLIYANIYA. kASKADNOE SLIYANIE PODDAETSYA ANALIZU S BOLXSHIM TRUDOM, CHEM MNOGOFAZNOE. nO |TOT ANALIZ OSOBENNO INTERESEN, POSKOLXKU SODERZHIT MNOGO ZAMECHATELXNYH FORMUL. nASTOYATELXNO REKOMENDUEM CHITATELYAM, INTERESUYUSHCHIMSYA DISKRETNOJ MATEMATIKOJ, SAMOSTOYATELXNO PROANALIZIROVATX KASKADNOE RASPREDELENIE, PREZHDE CHEM CHITATX DALXSHE, VEDX CHISLA %%350 IMEYUT TAK MNOGO NEOBYCHNYH SVOJSTV, OTKRYVATX KOTORYE---ODNO UDOVOLXSTVIE! mY OBSUDIM ZDESX LISHX ODIN IZ MNOGIH PODHODOV, OBRASHCHAYA OSOBOE VNIMANIE NA METODY POLUCHENIYA REZULXTATOV. dLYA UDOBSTVA RASSMOTRIM SLUCHAJ SHESTI LENT. pRI |TOM BUDEM STARATXSYA POLUCHITX FORMULY, KOTORYE OBOBSHCHAYUTSYA NA SLUCHAJ LYUBOGO~$T$. sOOTNOSHENIYA~(1) PRIVODYAT K PERVOJ OSNOVNOJ SISTEME: $$ \eqalignter{ a_n &= a_n &=\perm{0}{0}a_n,\cr b_n &= a_n-e_{n-1}=a_n-a_{n-2} &=\perm{1}{0}a_n-\perm{2}{2}a_{n-2},\cr c_n &= b_n-d_{n-1}=b_n-a_{n-2}-b_{n-2} &=\perm{2}{0}a_n-\perm{3}{2}a_{n-2}+\perm{4}{4}a_{n-4},\cr d_n &= c_n-c_{n-1}=c_n-a_{n-2}-b_{n-2}-c_{n-2} &=\perm{3}{0}a_n-\perm{4}{2}a_{n-2}+\perm{5}{4}a_{n-4}-\perm{6}{6}a_{n-6},\cr e_n &= d_n-b_{n-1}=d_n-a_{n-2}-b_{n-2}-c_{n-2}-d_{n-2} &=\perm{4}{0}a_n-\perm{5}{2}a_{n-2}+\perm{6}{4}a_{n-4}-\perm{7}{6}a_{n-6}+\perm{8}{8}a_{n-8}.\cr } \eqno(4) $$ oBOZNACHIM~$A(z)=\sum_{n\ge0} a_n z^n$,~\dots, $E(z)=\sum_{n\ge0}e_n z^n$ I OPREDELIM MNOGOCHLENY $$ \eqalignno{ q_m(z)&=\perm{m}{0}-\perm{m+1}{2}z^2+\perm{m+2}{4}z^4-\cdots=\cr &=\sum_{k\ge 0}\perm{m+k}{2k}(-1)^k z^{2k} = \sum_{0\le k \le m}\perm{2m-k}{k}(-1)^{m-k} z^{2m-2k}. & (5)\cr } $$ rEZULXTAT~(4) KRATKO MOZHNO ISTOLKOVATX TAK, CHTO~$B(z)-q_1(z)\times A(z)$,~\dots, $E(z)-q_4(z)A(z)$ SVODYATSYA K KONECHNYM SUMMAM, SOOTVETSTVUYUSHCHIM GRANICHNYM USLOVIYAM, A IMENNO ZNACHENIYAM~$a_{-1}$, $a_{-2}$, $a_{-3}$,~\dots, KOTORYE POYAVLYAYUTSYA V~(4) (PRI NEBOLXSHIH~$n$), NO NE V~$A(z)$. chTOBY POLUCHITX PODHODYASHCHIE GRANICHNYE USLOVIYA, PRIMENIM REKURRENTNOE SOOTNOSHENIE V OBRATNUYU STORONU DLYA OTRICATELXNYH UROVNEJ DO UROVNYA~$-8$: \ctable{ \hfill$#$\bskip&&\hfill\bskip$#$\bskip\cr \hfill n & \hfill a_n & \hfill b_n & \hfill c_n & \hfill d_n & \hfill e_n \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\cr -3 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\cr -4 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\cr -5 & 0 & 0 & 1 & -4 & 5\cr -6 & 5 & -9 & 5 & -1 & 0\cr -7 & 0 & -1 & 6 & -14 & 14\cr -8 & 14 & -28 & 20 & -7 & 1\cr } (dLYA SEMI LENT TABLICA BYLA BY ANALOGICHNOJ, ODNAKO STROKI S NECHETNYMI~$n$ BYLI BY SDVINUTY VPRAVO NA ODIN |LEMENT.) tAJNA POSLEDOVATELXNOSTI~$a_0$, $a_{-2}$, $a_{-4},~\ldots=1, 1, 2, 5, 14,~\ldots$ MGNOVENNO RASKRYVAETSYA SPECIALISTOM PO INFORMATIKE, TAK KAK %%351 |TA POSLEDOVATELXNOSTX VSTRECHAETSYA V SVYAZI S OCHENX MNOGIMI REKURRENTNYMI ALGORITMAMI (NAPRIMER, V UPR.~2.2.1-4 I FORMULE~2.3.4.4-13)). iTAK, MY PREDPOLAGAEM, CHTO V SLUCHAE $T$~LENT $$ \eqalignrem{ a_{-2n}&=\perm{2n}{n}{1\over n+1} & PRI $0\le n \le T-2$; \cr a_{-2n-1}&=0 & PRI $0\le n \le T-3$.\cr } \eqno(6) $$ chTOBY PROVERITX PRAVILXNOSTX |TOGO PREDPOLOZHENIYA, DOSTATOCHNO POKAZATX, CHTO~(6) I~(4) PRIVODYAT K PRAVILXNYM REZULXTATAM DLYA UROVNEJ~0 I~1. dLYA UROVNYA~1 |TO OCHEVIDNO, A DLYA UROVNYA~0 NAM NADO PROVERITX, CHTO $$ \perm{m}{0}a_0-\perm{m+1}{2}a_{-2}+\perm{m+2}{4}a_{-4}-\perm{m+3}{6}a_{-6}+\cdots =\sum_{k\ge0}\perm{m+k}{2k}\perm{2k}{k}{(-1)^k\over k+1} =\delta_{m0} \eqno(7) $$ DLYA~$0\le m \le T-2$. k SCHASTXYU, |TU SUMMU MOZHNO VYCHISLITX STANDARTNYMI METODAMI (|TO "ZADACHA~2", ODIN IZ OSNOVNYH PRIMEROV V TEKSTE P.~4.2.6). tEPERX MOZHNO VYCHISLITX KO|FFICIENTY~$B(z)-q_1(z)A(z)$ I~T.~D. rASSMOTRIM, NAPRIMER, KO|FFICIENT PRI~$z^{2m}$ V~$D(z)-q_3(z)A(z)$. oN RAVEN $$ \eqalign{ \sum_{k\ge0}\perm{3+m+k}{2m+2k}(-1)^{m+k}a_{-2k} &=\sum_{k\ge0}\perm{3+m+k}{2m+2k}\perm{2k}{k}{(-1)^{m+k}\over k+1}=\cr &=(-1)^m\left(\perm{2+m}{2m-1}-\perm{3+m}{2m}\right)=\cr &=(-1)^{m+1}\perm{2+m}{2m}\cr } $$ IZ REZULXTATA "ZADACHI~3" V~P.~1.2.6. tAKIM OBRAZOM, MY VYVELI FORMULY $$ \eqalign{ A(z) &=q_0(z)A(z);\cr B(z) &=q_1(z)A(z)-q_0(z);\cr C(z) &=q_2(z)A(z)-q_1(z);\cr D(z) &=q_3(z)A(z)-q_2(z);\cr E(z) &=q_4(z)A(z)-q_3(z).\cr } \eqno (8) $$ kROME TOGO, IMEEM~$e_{n+1}=a_n$; SLEDOVATELXNO, $zA(z)=E(z)$ I $$ A(z)=q_3(z)/(q_4(z)-z). \eqno (9) $$ pROIZVODYASHCHIE FUNKCII BYLI VYRAZHENY PRI POMOSHCHI $q\hbox{-MNOGOCHLENOV}$, PO|TOMU MY HOTIM LUCHSHE IZUCHITX~$q$. v |TOM OTNOSHENII POLEZNO UPR.~1.2.9-15, TAK KAK ONO DAET VYRAZHENIE V ZAMKNUTOM %%352 VIDE, KOTOROE MOZHET BYTX ZAPISANO KAK $$ q_m(z)={((\sqrt{4-z^2}+iz)/2)^{2m+1}+((\sqrt{4-z^2}-iz)/2)^{2m+1} \over \sqrt{4-z^2}} \eqno(10) $$ vSE UPROSHCHAETSYA, ESLI TEPERX POLOZHITX~$z=2 \sin\theta$: $$ \eqalignno{ q_m(2\sin\theta)=& {(\cos\theta+i\sin\theta)^{2m+1}+(\cos\theta-i\sin\theta)^{2m+1}\over 2\cos\theta}=\cr &={\cos(2m+1)\theta\over \cos\theta}. & (11)\cr } $$ (eTO SOVPADENIE ZASTAVLYAET DUMATX, CHTO MNOGOCHLENY~$q_m(z)$ HOROSHO IZVESTNY V MATEMATIKE; I DEJSTVITELXNO, VZGLYANUV V SOOTVETSTVUYUSHCHIE TABLICY, VIDIM, CHTO~$q_m(z)$, PO SUSHCHESTVU, MNOGOCHLEN chEBYSH¸VA VTOROGO RODA, A IMENNO~$(-1)^m U_{2m}(z/2)$ V OBYCHNYH OBOZNACHENIYAH.) tEPERX MOZHNO OPREDELITX KORNI ZNAMENATELYA V~(9): $q_4(2\sin\theta)=2\sin\theta$ SVODITSYA K $$ \cos 9\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta. $$ rESHENIYA |TOGO SOOTNOSHENIYA POLUCHAEM, ESLI TOLXKO~$\pm9\theta=2\theta+\left(2n-{1\over2}\right)\pi$; VSE TAKIE~$\theta$ DAYUT KORNI ZNAMENATELYA V~(9) PRI USLOVII, CHTO~$\cos\theta\ne 0$. (eSLI~$\cos\theta=0$, TO~$q_m(\pm2)=\pm(2m+1)$, NIKOGDA NE RAVNO~$\pm2$.) sLEDOVATELXNO, POLUCHAEM 8~RAZLICHNYH KORNEJ: $$ \displaylines{ q_4(z)-z=0 \qquad \hbox{ PRI } z=2\sin{-5\over 14}\pi,\quad 2\sin{-1 \over 14}\pi,\quad 2\sin{3 \over 14}\pi, \cr 2\sin{-7 \over 22}\pi,\quad 2\sin{-3 \over 22}\pi,\quad 2\sin{1 \over 22}\pi, \quad 2\sin{5 \over 22}\pi,\quad 2\sin{9 \over 22}\pi.\cr } $$ tAK KAK~$q_4(z)$---MNOGOCHLEN STEPENI~8, MY UCHLI VSE KORNI. pERVYE TRI IZ |TIH ZNACHENIJ DAYUT~$q_3(z)=0$, TAK CHTO~$q_3(z)$ I~$q_4(z)-z$ IMEYUT OBSHCHIM DELITELEM MNOGOCHLEN TRETXEJ STEPENI. oSTALXNYE PYATX KORNEJ UPRAVLYAYUT ASIMPTOTICHESKIM POVEDENIEM KO|FFICIENTOV~$A(z)$, ESLI RAZLOZHITX~(9) V |LEMENTARNYE DROBI. pEREJDYA K RASSMOTRENIYU OBSHCHEGO SLUCHAYA $T$~LENT, POLOZHIM~$\theta_k=(4k+1)\pi/(4T-2)$. pROIZVODYASHCHAYA FUNKCIYA~$A(z)$ DLYA $T\hbox{-LENTOCHNYH}$ KASKADNYH CHISEL PRINIMAET VID $$ {4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}{\cos^2\theta_k\over 1-z/(2\sin\theta_k)} \eqno(12) $$ (SM.~UPR.~8); SLEDOVATELXNO, $$ a_n={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos^2\theta_k \left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n. \eqno(13) $$ %% 353 sOOTNOSHENIYA~(8) PRIVODYAT TEPERX K ANALOGICHNYM FORMULAM: $$ \eqalign{ b_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos3\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n;\cr c_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos5\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n;\cr d_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos7\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n\cr } \eqno(14) $$ I~T.~D. v UPR.~9 POKAZANO, CHTO |TI URAVNENIYA SPRAVEDLIVY DLYA VSEH~$n\ge0$, A NE TOLXKO DLYA BOLXSHIH~$n$. v KAZHDOJ SUMME CHLEN S~$k=0$ ZNACHITELXNO PREVOSHODIT VSE OSTALXNYE, OSOBENNO ESLI~$n$ DOSTATOCHNO VELIKO; SLEDOVATELXNO, "OTNOSHENIE ROSTA" ESTX $$ {1\over 2\sin\theta_0}={2\over\pi}T-{1\over\pi}+{\pi\over 48T}+O(T^{-2}). \eqno(15) $$ kASKADNAYA SORTIROVKA VPERVYE BYLA ISSLEDOVANA u.~k.~kARTEROM [Proc.\ IFIP Congress (1962), 62--66], KOTORYJ POLUCHIL CHISLENNYE REZULXTATY DLYA NEBOLXSHIH ZNACHENIJ~$T$, I d|VIDOM fERGYUSONOM [{\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 297], KOTORYJ OTKRYL PERVYE DVA CHLENA V ASIMPTOTICHESKOM POVEDENII~(15) OTNOSHENIYA ROSTA. lETOM 1964~G.\ r.~u.~fLOJD POLUCHIL YAVNYJ VID~$1/(2\sin\theta_0)$ DLYA OTNOSHENIYA ROSTA, TAK CHTO TOCHNYE FORMULY MOGLI BYTX ISPOLXZOVANY DLYA VSEH~$T$. gLUBOKIJ ANALIZ KASKADNYH CHISEL BYL NEZAVISIMO VYPOLNEN dZH.~n.~r|JNI [{\sl Canadian J.~Math.,\/} {\bf 18} (1966), 332--349], KOTORYJ NATKNULSYA NA NIH SOVERSHENNO DRUGIM PUTEM, NE IMEYA DELA S SORTIROVKOJ. r|JNI PODMETIL ANALOGIYU S DIAGONALYAMI (RIS.~73) I VYVEL MNOGO DRUGIH INTERESNYH SVOJSTV |TIH CHISEL. fLOJD I~r|JNI V SVOIH DOKAZATELXSTVAH OPERIROVALI S MATRICAMI (SM.~UPR.~6). \section mODIFIKACIYA KASKADNOJ SORTIROVKI. eSLI DOBAVLENA ESHCHE ODNA LENTA, TO POCHTI VSE VREMYA PEREMOTKI V TECHENIE KASKADNOJ SORTIROVKI MOZHNO SOVMESTITX. nAPRIMER, MY MOZHEM SLIVATX~T1--T5 NA~T7, ZATEM~T1--T4 NA~T6, ZATEM~T1--T3 NA~T5 (KOTORAYA K |TOMU MOMENTU UZHE PEREMOTANA), ZATEM~T1--T2 NA~T4 I NACHATX SLEDUYUSHCHIJ PROHOD, KOGDA NA~T4 BUDET PEREMOTANO SRAVNITELXNO NEMNOGO DANNYH. eFFEKTIVNOSTX |TOGO PROCESSA MOZHNO PREDSKAZATX NA OSNOVANII IZLOZHENNOGO VYSHE ANALIZA KASKADNOGO METODA (DALXNEJSHIE PODROBNOSTI SM.~V~P.~5.4.6). sHEMA "KOMPROMISSNOGO SLIYANIYA", KOTORAYA VKLYUCHAET MNOGOFAZNUYU I KASKADNUYU SHEMY KAK CHASTNYE SLUCHAI, BYLA PREDLOZHENA d.~e.~kNUTOM V [{\sl CACM,\/} {\bf 6} (1963), 585--587]. kAZHDAYA FAZA SOSTOIT IZ~$(T-1)\hbox{-PUTEVOGO}$, $(T-2)\hbox{-PUTEVOGO}$,~\dots, $P\hbox{-PUTEVOGO}$ SLIYANIJ, GDE $P$---LYUBOE FIKSIROVANNOE CHISLO MEZHDU~1 I~$T-1$. eSLI~$P=T-1$, TO |TO---MNOGOFAZNYJ METOD; ESLI~$P=1$, |TO---CHISTYJ %%354 KASKADNYJ METOD; ESLI~$P=2$, |TO---KASKADNYJ METOD BEZ FAZ KOPIROVANIYA. aNALIZ TAKOJ SHEMY BYL PRODELAN ch.~rADKE [{\sl IBM Systems J.,\/} {\bf 5} (1966), 226--247] I~u.~h.~bURZHEM [Proc. IFIP Congress, {\bf 1} (1971), 454---459]. bURZH NASHEL PROIZVODYASHCHUYU FUNKCIYU~$\sum T_n(x) z^n$ DLYA KAZHDOGO~$(P, T)\hbox{-KOMPROMISSNOGO}$ SLIYANIYA, OBOBSHCHAYUSHCHUYU SOOTNOSHENIE~(5.4.2-16); ON POKAZAL, CHTO NAILUCHSHEE ZNACHENIE~$P$ (S TOCHKI ZRENIYA NAIMENXSHEGO CHISLA OBRABATYVAEMYH NACHALXNYH OTREZKOV), KAK FUNKCII OT~$S$ PRI~$S\to\infty$ (ESLI NEPOSREDSTVENNO ISPOLXZOVATX SHEMU RASPREDELENIYA I PRENEBRECHX VREMENEM PEREMOTKI), ESTX SOOTVETSTVENNO $(2, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 4)$ PRI~$T=(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)$. eTI ZNACHENIYA~$P$ S ROSTOM~$T$ SILXNEE OTKLONYAYUTSYA V STORONU KASKADNOGO, A NE MNOGOFAZNOGO METODA, I OKAZYVAETSYA, CHTO KOMPROMISSNOE SLIYANIE NIKOGDA NE STANET SUSHCHESTVENNO LUCHSHE KASKADNOGO. s DRUGOJ STORONY, PRI OPTIMALXNOM VYBORE UROVNEJ I RASPREDELENII FIKTIVNYH OTREZKOV, KAK OPISANO V P.~5.4.2, CHISTYJ MNOGOFAZNYJ METOD KAZHETSYA NAILUCHSHIM SREDI VSEH KOMPROMISSNYH SLIYANIJ. k SOZHALENIYU, OPTIMALXNOE RASPREDELENIE SRAVNITELXNO TRUDNO REALIZOVATX. t.~l.~jONSEN [{\sl BIT,\/} {\bf 6} (1966), 129--143] ISSLEDOVAL SOCHETANIYA SBALANSIROVANNOGO I MNOGOFAZNOGO SLIYANIJ; MODIFIKACIYA SBALANSIROVANNOGO SLIYANIYA S SOVMESHCHENIEM PEREMOTOK BYLA PREDLOZHENA m.~gOTCEM [Digital Computer User's Handbook, ed.~by.~M.~Klerer and~G.~A.~Korn (New York: McGraw-Hill, 1967), 1.311--1.312]; MOZHNO PREDSTAVITX SEBE I MNOGIE DRUGIE GIBRIDNYE SHEMY. \excercises \ex[10] iSPOLXZUYA TABL.~1, SRAVNITE KASKADNOE SLIYANIE S OPISANNOJ V P.~5.4.2 VERSIEJ MNOGOFAZNOGO SLIYANIYA S "RASSHCHEPLENIEM LENT". kAKOJ METOD LUCHSHE? (vREMENEM PEREMOTKI PRENEBRECHX.) \rex[22] sRAVNITE KASKADNUYU SORTIROVKU S TREMYA LENTAMI, ISPOLXZUYUSHCHUYU ALGORITM~C, I MNOGOFAZNUYU SORTIROVKU S TREMYA LENTAMI, ISPOLXZUYUSHCHUYU ALGORITM~5.4.2D kAKIE SHODSTVA I RAZLICHIYA VY ZaMeTITe? \ex[20] sOSTAVXTE TABLICU, POKAZYVAYUSHCHUYU, CHTO PROISHODIT PRI SORTIROVKE NA SHESTI LENTAH 100~NACHALXNYH OTREZKOV PRI POMOSHCHI ALGORITMA~C. \ex[m20] (dZH.~n.~r|JNI.) "kASKADNOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$ UROVNYA" ESTX MULXTIMNOZHESTVO, OPREDELENNOE SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM (V SLUCHAE SHESTI LENT): $\set{1, 0, 0, 0, 0}$ ESTX KASKADNOE RASPREDELENIE NULEVOGO UROVNYA; ESLI~$\set{a, b, c, d, e}$---KASKADNOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$~UROVNYA, TO~$\set{a+b+c+d+e, a+b+c+d, a+b+c, a+b, a}$ BUDET KASKADNYM RASPREDELENIEM $(n+1)\hbox{-GO}$ UROVNYA (tAK KAK MULXTIMNOZHESTVO NE UPORYADOCHENO, TO IZ EDINSTVENNOGO RASPREDELENIYA $n\hbox{-GO}$~UROVNYA MOZHNO OBRAZOVATX DO~5 RAZLICHNYH RASPREDELENIJ $(n+1)\hbox{-GO}$~UROVNYA.) (a)~dOKAZHITE, CHTO \emph{LYUBOE} MULXTIMNOZHESTVO~$\set{a, b, c, d, e}$ IZ VZAIMNO PROSTYH CHISEL YAVLYAETSYA KASKADNYM RASPREDELENIEM $n\hbox{-GO}$~UROVNYA PRI NEKOTOROM~$n$. (b)~dOKAZHITE, CHTO RASPREDELENIE, ISPOLXZUEMOE V KASKADNOJ SORTIROVKE, \emph{OPTIMALXNO} V TOM SMYSLE, CHTO ESLI~$\set{a, b, c, d, e}$---LYUBOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$~UROVNYA, PRICHEM~$a\ge b \ge c \ge d \ge e$, TO BUDEM IMETX~$a\le a_n$, $b\le b_n$, $c\le c_n$, $d\le d_n$, $e\le e_n$, GDE~$\set{a_n, b_n, c_n, d_n, e_n}$---RASPREDELENIE, OPREDELENNOE V~(1). \rex[20] dOKAZHITE, CHTO KASKADNYE CHISLA, OPREDELENNYE V~(1), UDOVLETVORYAYUT %%355 ZAKONU $$ a_k a_{n-k}+b_k b_{n-k}+c_k c_{n-k}+d_k d_{n-k}+e_k e_{n-k}=a_n \rem{PRI~$ 0\le k \le n$.} $$ [\emph{uKAZANIE:} DLYA LUCHSHEGO PONIMANIYA |TOGO SOOTNOSHENIYA RASSMOTRITE, SKOLXKO OTREZKOV RAZLICHNOJ DLINY VYVODITSYA V TECHENIE $k\hbox{-GO}$~PROHODA POLNOJ KASKADNOJ SORTIROVKI.] \ex[m20] nAJDITE $5\times5$-MATRICU~$Q$, TAKUYU, CHTO PERVAYA STROKA~$Q^n$ SODERZHIT KASKADNYE CHISLA DLYA SHESTI LENT~$a_n b_n c_n d_n e_n$ PRI VSEH~$n\ge 0$. \ex[m20] pRI USLOVII CHTO KASKADNOE SLIYANIE PRIMENYAETSYA K TOCHNOMU RASPREDELENIYU $a_n$~NACHALXNYH OTREZKOV, NAJDITE FORMULU DLYA VELICHINY S|KONOMLENNOJ RABOTY, KOGDA ISKLYUCHAETSYA ODNOPUTEVOE SLIYANIE. \ex[vm23] vYVEDITE FORMULU~(12). \ex[vm26] vYVEDITE FORMULU~(14). \rex[m28] vMESTO SISTEMY~(4) DLYA IZUCHENIYA KASKADNYH CHISEL VOSPOLXZUJTESX V KACHESTVE ISHODNYH TOZHDESTVAMI $$ \eqalignter{ e_n&=a_{n-1} &= \perm{1}{1}a_{n-1};\cr d_n&=2a_{n-1}-e_{n-2} &=\perm{2}{1}a_{n-1}-\perm{3}{3}a_{n-3};\cr c_n&=3a_{n-1}-d_{n-2}-2e_{n-2} &=\perm{3}{1}a_{n-1}-\perm{4}{3}a_{n-3}+\perm{5}{5}a_{n-5}\cr } $$ I~T.~D. pOLAGAYA $$ r_m(z)=\perm{m}{1}z-\perm{m+1}{3}z^3+\perm{m+2}{5}z^5-\ldots, $$ VYRAZITE~$A(z)$, $B(z)$ I~T.~D.\ CHEREZ |TI $r\hbox{-MNOGOCHLENY}$. \ex[m38] pUSTX $$ f_m(z)=\sum_{0\le k \le m} \perm{\floor{(m+k)/2}}{k}(-1)^{\ceil{k/2}}z^k. $$ dOKAZHITE, CHTO PROIZVODYASHCHAYA FUNKCIYA~$A(z)$ DLYA $T\hbox{-LENTOCHNYH}$ KASKADNYH CHISEL RAVNA~$f_{T-3}(z)/f_{T-1}(z)$, PRICHEM CHISLITELX I ZNAMENATELX |TOGO VYRAZHENIYA NE IMEYUT OBSHCHIH DELITELEJ. \ex[m40] dOKAZHITE, CHTO SHEMA RASPREDELENIYA fERGYUSONA OPTIMALXNA V TOM SMYSLE, CHTO PRI LYUBOM DRUGOM METODE RAZMESHCHENIYA FIKTIVNYH OTREZKOV, UDOVLETVORYAYUSHCHEM~(2), VO VREMYA PERVOGO PROHODA BUDET OBRABATYVATXSYA NE MENXSHE NACHALXNYH OTREZKOV, \emph{PRI USLOVII} CHTO VO VREMYA |TOGO PROHODA ISPOLXZUETSYA STRATEGIYA SHAGOV~C7--C9. \ex[40] v TEKSTE PREDLAGAETSYA BOLXSHUYU CHASTX VREMENI PEREMOTKI SOVMESHCHATX PUTEM DOBAVLENIYA DOPOLNITELXNOJ LENTY. rAZRABOTAJTE |TU IDEYU. (nAPRIMER, SHEMA, IZLOZHENNAYA V TEKSTE, VKLYUCHAET OZHIDANIE PEREMOTKI LENTY~T4; NE BUDET LI LUCHSHE ISKLYUCHITX~T4 IZ PERVOJ FAZY SLIYANIYA SLEDUYUSHCHEGO PROHODA?) \subsubchap{chTENIE LENTY V OBRATNOM NAPRAVLENII} %% 5.4.4 mNOGIE LENTOPROTYAZHNYE USTROJSTVA POZVOLYAYUT CHITATX LENTU V NAPRAVLENII, PROTIVOPOLOZHNOM TOMU, V KOTOROM SHLA ZAPISX NA NEE. sHEMY SLIYANIYA, S KOTORYMI MY VSTRECHALISX DO SIH POR, VSEGDA ZAPISYVAYUT INFORMACIYU NA LENTU V PRYAMOM NAPRAVLENII, %% 356 ZATEM PEREMATYVAYUT LENTU, CHITAYUT EE V PRYAMOM NAPRAVLENII I VNOVX PEREMATYVAYUT. (fAJLY NA LENTE, SLEDOVATELXNO, VEDUT SEBYA KAK OCHEREDI "PERVYM VKLYUCHAETSYA---PERVYM ISKLYUCHAETSYA".) oBRATNOE CHTENIE POZVOLYAET OBOJTISX BEZ OBEIH OPERACIJ PEREMOTKI: MY ZAPISYVAEM NA LENTU V PRYAMOM NAPRAVLENII I CHITAEM EE V OBRATNOM. (v |TOM SLUCHAE FAJLY VEDUT SEBYA KAK STEKI, POSKOLXKU ZDESX DEJSTVUET PRAVILO "POSLEDNIM VKLYUCHAETSYA---PERVYM ISKLYUCHAETSYA".) sHEMY SBALANSIROVANNOGO, MNOGOFAZNOGO I KASKADNOGO SLIYANIJ MOZHNO PRISPOSOBITX DLYA OBRATNOGO CHTENIYA. oSNOVNOE OTLICHIE SOSTOIT V TOM, CHTO \emph{SLIYANIE IZMENYAET PORYADOK OTREZKOV,} ESLI MY CHITAEM V PRYAMOM NAPRAVLENII I ZAPISYVAEM V OBRATNOM. eSLI DVA OTREZKA NAHODYATSYA NA LENTE V VOZRASTAYUSHCHEM PORYADKE, TO IH MOZHNO SLITX, CHITAYA V OBRATNOM NAPRAVLENII, NO PRI |TOM PORYADOK STANET UBYVAYUSHCHIM. pOLUCHENNYE TAKIM PUTEM UBYVAYUSHCHIE OTREZKI STANUT VOZRASTAYUSHCHIMI NA SLEDUYUSHCHEM PROHODE; TAKIM OBRAZOM, ALGORITM SLIYANIYA DOLZHEN UMETX RABOTATX S OTREZKAMI OBOIH NAPRAVLENIJ. pROGRAMMISTU, VPERVYE STOLKNUVSHEMUSYA S OBRATNYM CHTENIEM, MOZHET POKAZATXSYA, CHTO ON STOIT NA GOLOVE! v KACHESTVE PRIMERA OBRATNOGO CHTENIYA RASSMOTRIM PROCESS SLIYANIYA 8~NACHALXNYH OTREZKOV S ISPOLXZOVANIEM \emph{SBALANSIROVANNOGO} SLIYANIYA NA 4~LENTAH. mOZHNO SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM ZAPISATX NASHI DEJSTVIYA: \ctable{ # \hfil & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & # \hfil \cr & T1 & T2 & T3 & T4 \cr pROHOD~1. & A_1 A_1 A_1 A_1 & A_1 A_1 A_1 A_1 & - & - & nACHALXNOE RASPREDELENIE \cr pROHOD~2. & - & - & D_2 D_2 & D_2 D_2 & sLIYANIE NA~$T3$ I~$T4$\cr pROHOD~3. & A_4 & A_4 & - & - & sLIYANIE NA~$T1$ I~$T2$\cr pROHOD~4. & - & - & D_8 & - & oKONCHATELXNOE SLIYANIE NA~$T3$\cr } zDESX $A_r$~OBOZNACHAET OTREZOK, IMEYUSHCHIJ OTNOSITELXNUYU DLINU~$r$ I RASPOLOZHENNYJ V VOZRASTAYUSHCHEM PORYADKE, ESLI LENTA CHITAETSYA V PRYAMOM NAPRAVLENII, KAK V PREDYDUSHCHIH NASHIH PRIMERAH; $D_r$---ANALOGICHNOE OBOZNACHENIE DLYA UBYVAYUSHCHEGO OTREZKA DLINY~$r$. vO VREMYA 2-GO~PROHODA VOZRASTAYUSHCHIE OTREZKI STANOVYATSYA UBYVAYUSHCHIMI: ONI OKAZYVAYUTSYA UBYVAYUSHCHIMI PRI VVODE, TAK KAK MY CHITAEM V OBRATNOM NAPRAVLENII. oNI VNOVX IZMENYAYUT ORIENTACIYU NA 3-M~PROHODE. zAMETIM, CHTO OPISANNYJ PROCESS ZAVERSHAETSYA REZULXTATOM NA LENTE~$T3$ V \emph{UBYVAYUSHCHEM} PORYADKE. eSLI |TO PLOHO (CHTO ZAVISIT OT TOGO, DOLZHEN LI REZULXTAT CHITATXSYA V OBRATNOM NAPRAVLENII, ILI ZHE LENTA, SODERZHASHCHAYA EGO, DOLZHNA BYTX SNYATA I OTLOZHENA DLYA BUDUSHCHEGO ISPOLXZOVANIYA), MY MOZHEM SKOPIROVATX EGO NA DRUGUYU LENTU, OBRATIV NAPRAVLENIE. bOLEE BYSTRYM SPOSOBOM BYLA BY %%357 PEREMOTKA~$T1$ I~$T2$ POSLE 3-GO~PROHODA, PRI |TOM VO VREMYA 4-GO~PROHODA POLUCHAETSYA~$A_8$. eSHCHE BYSTREE BYLO BY NACHATX S VOSXMI \emph{UBYVAYUSHCHIH} OTREZKOV NA 1-M~PROHODE, TAK KAK |TO POMENYAET MESTAMI VSE~$A$ I~$D$. oDNAKO DLYA SBALANSIROVANNOGO SLIYANIYA 16~NACHALXNYH OTREZKOV POTREBOVALOSX BY, CHTOBY NACHALXNYE OTREZKI BYLI VOZRASTAYUSHCHIMI, A TAK KAK MY OBYCHNO NE ZNAEM ZARANEE, SKOLXKO NACHALXNYH OTREZKOV BUDET OBRAZOVANO, TO NEOBHODIMO VYBRATX ODNO POSTOYANNOE NAPRAVLENIE. sLEDOVATELXNO, IDEYA PEREMOTKI POSLE 3-GO~PROHODA, VEROYATNO, NAILUCHSHAYA. \emph{kASKADNOE} SLIYANIE PREOBRAZUETSYA TAKIM ZHE SPOSOBOM. rASSMOTRIM, NAPRIMER, SORTIROVKU 14~NACHALXNYH OTREZKOV NA CHETYREH LENTAH: \ctable{ # \hfil & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & # \hfil \cr & T1 & T2 & T3 & T4 \cr pROHOD~1. & A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 & A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 & A_1 A_1 A_1 & - \cr pROHOD~2. & - & D_1 & D_2 D_2 & D_3 D_3 D_3 \cr pROHOD~3. & A_6 & A_5 & A_3 & - \cr pROHOD~4. & - & - & - & D_{14} \cr \noalign{\noindent sNOVA VMESTO~$D_{14}$ MOZHNO POLUCHITX~$A_{14}$, ESLI PEREMOTATX~$T1$, $T2$, $T3$ NEPOSREDSTVENNO PERED POSLEDNIM PROHODOM. zAMETIM, CHTO |TO "CHISTOE" KASKADNOE SLIYANIE V TOM SMYSLE, CHTO VSE ODNOPUTEVYE SLIYANIYA VYPOLNENY YAVNYM OBRAZOM. eSLI BY MY ZAPRETILI OPERACII KOPIROVANIYA, KAK V ALGORITME~5.4.3D, TO POSLE 2-GO~PROHODA STOLKNULISX BY S SITUACIEJ } & A_1 & - & D_2D_2 & D_3D_3D_3 \cr } I BYLO BY NEVOZMOZHNO PRODOLZHATX RABOTU, ISPOLXZUYA TREHPUTEVOE SLIYANIE, TAK KAK MY NE MOZHEM SLIVATX OTREZKI PROTIVOPOLOZHNYH NAPRAVLENIJ! mOZHNO BYLO BY IZBEZHATX OPERACII KOPIROVANIYA~$T1$ NA~$T2$, ESLI PEREMOTATX~$T1$ I NACHATX CHITATX EE V PRYAMOM NAPRAVLENII VO VREMYA SLEDUYUSHCHEJ FAZY SLIYANIYA (V TO VREMYA KAK~$T3$ I~$T4$ CHITAYUTSYA V OBRATNOM NAPRAVLENII). nO TOGDA PRISHLOSX BY VNOVX PEREMOTATX~$T1$ POSLE SLIYANIYA, TAK CHTO |TOT PRIEM ZAMENYAET ODNO KOPIROVANIE NA DVE PEREMOTKI. tAKIM OBRAZOM, METOD RASPREDELENIYA ALGORITMA~5.4.3C RABOTAET DLYA OBRATNOGO CHTENIYA NE STOLX |FFEKTIVNO, KAK DLYA PRYAMOGO CHTENIYA; VREMENNYE ZATRATY REZKO VOZRASTAYUT KAZHDYJ RAZ, KOGDA CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV PROHODIT CHEREZ "TOCHNOE" KASKADNOE RASPREDELENIE. chTOBY POLUCHITX BOLEE GLADKIJ PROHOD MEZHDU TOCHNYMI KASKADNYMI RASPREDELENIYAMI, MOZHNO ISPOLXZOVATX INOJ METOD RASPREDELENIYA (SM.~UPR.~17). \section oBRATNOE CHTENIE V MNOGOFAZNOM SLIYANII. nA PERVYJ VZGLYAD (I DAZHE NA VTOROJ I TRETIJ!) SHEMA MNOGOFAZNOGO SLIYANIYA KAZHETSYA SOVERSHENNO NEPODHODYASHCHEJ DLYA OBRATNOGO CHTENIYA. pREDPOLOZHIM, NAPRIMER, CHTO IMEYUTSYA 13~NACHALXNYH OTREZKOV I TRI LENTY. %%358 \ctable{ # \hfil & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip \cr & T1 & T2 & T3 \cr fAZA~1.& A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 & A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 A_1 & - \cr fAZA~2.& - & A_1 A_1 A_1 & D_2 D_2 D_2 D_2 D_2\cr } zDESX MY VSTAEM V TUPIK; MOZHNO BYLO BY PEREMOTATX~$T2$ ILI~$T3$ I ZATEM CHITATX IH V PRYAMOM NAPRAVLENII, V TO VREMYA KAK OSTALXNYE LENTY---V OBRATNOM. nO |TO SILXNO ZAPUTALO BY DELO, I VYGODA OT OBRATNOGO CHTENIYA BYLA BY OTNOSITELXNO MALA. oSTROUMNAYA IDEYA, SPASAYUSHCHAYA POLOZHENIE, SOSTOIT V TOM, CHTOBY \emph{CHEREDOVATX NAPRAVLENIYA OTREZKOV NA KAZHDOJ LENTE.} tOGDA SLIYANIE MOZHET PROISHODITX VPOLNE SOGLASOVANNO: \ctable{ # \hfil & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip & \bskip\hfil$#$\hfil\bskip \cr fAZA~1. & A_1 D_1 A_1 D_1 A_1 & D_1 A_1 D_1 A_1 D_1 A_1 D_1 A_1 & - \cr fAZA~2. & - & D_1 A_1 D_1 & D_2 A_2 D_2 A_2 D_2 \cr fAZA~3. & A_3 D_3 A_3 & - & D_2 A_2 \cr fAZA~4. & A_3 & D_5 A_5 & - \cr fAZA~5. & - & D_5 & D_8 \cr fAZA~6. & A_{13} & - & - \cr } eTOT PRINCIP BYL KRATKO UPOMYANUT r.~l.~gILST|DOM V EGO RANNEJ STATXE O MNOGOFAZNOM SLIYANII, BOLEE POLNO ON OPISAL EGO V~{\sl CACM,\/} {\bf 6} (1963), 220--223. eTOT $ADA\hbox{-METOD}$ CHETKO RABOTAET DLYA MNOGOFAZNOGO SLIYANIYA S \emph{LYUBYM} CHISLOM LENT; MOZHNO POKAZATX, CHTO~$A$ I~$D$ SOGLASUYUTSYA SOOTVETSTVUYUSHCHIM OBRAZOM NA KAZHDOJ FAZE, PRI TOM TOLXKO USLOVII, CHTO PROHOD NACHALXNOGO RASPREDELENIYA POROZHDAET CHEREDUYUSHCHIESYA OTREZKI~$A$ I~$D$ NA KAZHDOJ LENTE I CHTO KAZHDAYA LENTA KONCHAETSYA OTREZKOM~$A$ (ILI KAZHDAYA LENTA KONCHAETSYA OTREZKOM~$D$). tAK KAK POSLEDNIJ OTREZOK, ZAPISYVAEMYJ V FAJL VYVODA VO VREMYA ODNOJ FAZY, IMEET NAPRAVLENIE, PROTIVOPOLOZHNOE NAPRAVLENIYU POSLEDNEGO ISPOLXZOVANNOGO OTREZKA IZ FAJLA VVODA, TO SLEDUYUSHCHAYA FAZA VSEGDA NAHODIT SVOI OTREZKI S NADLEZHASHCHEJ ORIENTACIEJ. dALEE, MY VIDELI V UPR.~5.4.2-13, CHTO BOLXSHINSTVO TOCHNYH FIBONACHCHIEVYH RASPREDELENIJ TREBUET \emph{NECHETNOGO} CHISLA OTREZKOV NA ODNOJ LENTE (OKONCHATELXNOJ VYVODNOJ LENTE) I CHETNOGO CHISLA OTREZKOV NA VSEH OSTALXNYH LENTAH. eSLI~$T1$ PREDNAZNACHENA DLYA KONECHNOGO VYVODA, TO MY MOZHEM, SLEDOVATELXNO, GARANTIROVATX, CHTO VSE LENTY BUDUT KONCHATXSYA OTREZKOM~$A$, ESLI LENTU~$T1$ NACHNEM S~$A$, A VSE OSTALXNYE LENTY---S~$D$. mOZHNO ISPOLXZOVATX METOD RASPREDELENIYA, ANALOGICHNYJ ALGORITMU~5.4.2D, IZMENIV EGO TAKIM OBRAZOM, CHTOBY RASPREDELENIE NA KAZHDOM UROVNE IMELO V KACHESTVE VYVODNOJ LENTY~$T1$. (mY PROPUSKAEM UROVNI~$1$, $T+1$, $2T+1$,~\dots, TAK KAK |TO TE UROVNI, NA KOTORYH KONECHNOJ VYVODNOJ LENTOJ YAVLYAETSYA PERVONACHALXNO PUSTAYA LENTA.) nAPRIMER, V SLUCHAE SHESTI LENT MOZHNO ISPOLXZOVATX %% 358 VMESTO~(5.4.2-1) SLEDUYUSHCHEE RASPREDELENIE OTREZKOV: $$ \vcenter{\halign{ \hfil$#$\hfil&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\bskip\hfil$#$\bskip&\hfil$#$\hfil\cr & & & & & & & \hbox{oKONCHATELXNYJ} \cr \hbox{uROVENX} & T1 & T2 & T3 & T4 & T5 & \hbox{sUMMA} & \hbox{VYVOD NA LENTE}\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & T1 \cr 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 9 & T1 \cr 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 & 17 & T1 \cr 4 & 7 & 8 & 8 & 6 & 4 & 33 & T1 \cr 5 & 15 & 16 & 14 & 12 & 8 & 65 & T1 \cr 6 & 31 & 30 & 28 & 24 & 16 & 129 & T1 \cr 8 & 61 & 120 & 116 & 108 & 92 & 497 & T1 \cr }} \eqno(1) $$ tAKIM OBRAZOM, NA~$T1$ VSEGDA POMESHCHAETSYA NECHETNOE CHISLO OTREZKOV, TOGDA KAK NA LENTY S~$T2$ PO~$T5$---CHETNYE CHISLA (V UBYVAYUSHCHEM PORYADKE DLYA UPROSHCHENIYA PRISVOENIYA FIKTIVNYH OTREZKOV). tAKOE RASPREDELENIE IMEET TO PREIMUSHCHESTVO, CHTO KONECHNAYA VYVODNAYA LENTA IZVESTNA ZARANEE NEZAVISIMO OT CHISLA NACHALXNYH OTREZKOV, KOTORYE PRIDETSYA OBRABATYVATX. oKAZYVAETSYA (SM.~UPR.~3), CHTO ESLI ISPOLXZUETSYA |TA SHEMA, TO REZULXTAT VSEGDA BUDET NA~$T1$ V VOZRASTAYUSHCHEM PORYADKE. dRUGOJ SPOSOB OSUSHCHESTVITX RASPREDELENIE DLYA MNOGOFAZNOJ SHEMY S OBRATNYM CHTENIEM BYL PREDLOZHEN d.~t.~gUDVINOM I~dZH.~l.~vENNOM [{\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 315]. mY MOZHEM RASPREDELYATX OTREZKI, POCHTI KAK V ALGORITME~5.4.2D, NACHINAYA S $D\hbox{-OTREZKA}$ NA KAZHDOJ LENTE. kOGDA VVOD ISCHERPAN, MY PREDSTAVLYAEM SEBE FIKTIVNYJ $A\hbox{-OTREZOK}$ RASPOLOZHENNYM V NACHALE EDINSTVENNOJ "NECHETNOJ" LENTY, ESLI TOLXKO NE DOSTIGNUTO RASPREDELENIE SO VSEMI NECHETNYMI CHISLAMI. oSTALXNYE FIKTIVNYE OTREZKI MY PREDSTAVLYAEM SEBE RASPOLOZHENNYMI V KONCE LENT ILI SGRUPPIROVANNYMI V PARY V SEREDINE. vOPROS OB OPTIMALXNOM RAZMESHCHENII FIKTIVNYH OTREZKOV ANALIZIRUETSYA NIZHE V UPR.~5. \section oPTIMALXNYE SHEMY SLIYANIYA. dO SIH POR MY OBSUZHDALI RAZLICHNYE SHEMY SLIYANIYA S LENTAMI, NE PYTAYASX NAJTI METOD, "NAILUCHSHIJ IZ VOZMOZHNYH". oPREDELENIE OPTIMALXNOJ SHEMY KAZHETSYA OSOBENNO SLOZHNYM V SLUCHAE PRYAMOGO CHTENIYA, GDE VZAIMODEJSTVIE VREMENI PEREMOTKI I VREMENI SLIYANIYA S TRUDOM PODDAETSYA ANALIZU. s DRUGOJ STORONY, ESLI SLIYANIE OSUSHCHESTVLYAETSYA POSREDSTVOM OBRATNOGO CHTENIYA I PRYAMOJ ZAPISI, TO, PO SUSHCHESTVU, VSE PEREMOTKI USTRANYAYUTSYA I OKAZYVAETSYA VOZMOZHNYM DATX DOVOLXNO HOROSHUYU HARAKTERISTIKU OPTIMALXNYM SHEMAM SLIYANIYA. rICHARD~m.~kARP PREDLOZHIL NESKOLXKO INTERESNYH PODHODOV K |TOJ ZADACHE, I MY ZAVERSHAEM |TOT PUNKT OBSUZHDENIEM RAZVITOJ IM TEORII. vO-PERVYH, NAM NEOBHODIM BOLEE UDOBNYJ SPOSOB OPISANIYA SHEM SLIYANIYA VMESTO DOVOLXNO TAINSTVENNYH TABLIC "SODERZHIMOGO LENT", KOTORYE ISPOLXZOVALISX VYSHE. kARP PREDLOZHIL DVA %%360 TAKIH SPOSOBA---\emph{VEKTORNOE PREDSTAVLENIE SHEMY SLIYANIYA} I \emph{PREDSTAVLENIE V VIDE DEREVA.} oBA PREDSTAVLENIYA POLEZNY NA PRAKTIKE, I MY OPISHEM IH PO OCHEREDI. vEKTORNOE PREDSTAVLENIE SHEMY SLIYANIYA SOSTOIT IZ POSLEDOVATELXNOSTI "VEKTOROV SLIYANIYA" $y^m\ldots{}y^1 y^0$, KAZHDYJ IZ KOTORYH IMEET $T$~KOMPONENT; $y^{(i)}$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM IZOBRAZHAET $i\hbox{-J}$ S KONCA SHAG SLIYANIYA: $$ y^{(i)}_j=\cases{ +1, & ESLI LENTA S NOMEROM~$j$ YAVLYAETSYA VVODNOJ DLYA DANNOGO SLIYANIYA; \cr \phantom{-}0, & ESLI LENTA S NOMEROM~$j$ NE ISPOLXZUETSYA V DANNOM SLIYANII;\cr -1, & ESLI NA LENTU S NOMEROM~$j$ VYVODITSYA REZULXTAT DANNOGO SLIYANIYA.\cr } \eqno(2) $$ tAKIM OBRAZOM, ROVNO ODNA KOMPONENTA~$y^{(i)}$ RAVNA~$-1$, OSTALXNYE KOMPONENTY RAVNY~0 I~1. iTOGOVYJ VEKTOR~$y^{(0)}$ OSOBYJ; |TO EDINICHNYJ VEKTOR, IMEYUSHCHIJ~1 V POZICII~$j$, ESLI OKONCHATELXNYJ OTSORTIROVANNYJ REZULXTAT OKAZYVAETSYA NA USTROJSTVE~$j$, I~0 V OSTALXNYH MESTAH. iZ |TOGO OPREDELENIYA SLEDUET, CHTO VEKTORNAYA SUMMA $$ v^{(i)}=y^{(i)}+y^{(i-1)}+\cdots+y^{(0)} \eqno(3) $$ PREDSTAVLYAET SOBOJ RASPREDELENIE OTREZKOV NA LENTAH NEPOSREDSTVENNO PERED $i\hbox{-M}$ S KONCA SHAGOM SLIYANIYA, PRICHEM NA LENTE~$j$ NAHODITSYA $v^{(i)}_j$~OTREZKOV. v CHASTNOSTI, PO~$v^{(m)}$ MOZHNO SUDITX, SKOLXKO OTREZKOV POMESHCHAET NA KAZHDUYU LENTU NACHALXNYJ PROHOD RASPREDELENIYA. tRI SHEMY SLIYANIYA, OPISANNYE RANEE V |TOM PUNKTE V TABLICHNOJ FORME, IMEYUT SLEDUYUSHCHIE VEKTORNYE PREDSTAVLENIYA: {\def\!{\phantom{+}}\def\y#1{y^{(#1)}}\ctable{ $#$&$\hbox{}# \quad$ & $#$&$\hbox{}#\quad $ & $#$&$\hbox{}#$ \cr \omit \hfil sBALANSIROVANNAYA \hfil \span & \omit \hfil kASKADNAYA \hfil \span & \omit \hfil mNOGOFAZNAYA \hfil \span \cr \omit \hfil ($T=4$, $S=8$) \hfil \span & \omit \hfil ($T=4$, $S=14$) \hfil \span & \omit \hfil ($T=3$, $S=13$) \hfil\span\cr v^{(7)} &=(\!4,\!4,\!0,\!0) & v^{(10)} &= (\!6,\!5,\!3,\!0) & v^{(12)} &=(\!5,\!8,\!0)\cr \y{7} &= (+1, +1, -1,\!0) & \y{10}&= (+1, +1, +1, -1) & \y{12} &= ( +1, +1, -1)\cr \y{6} &= (+1, +1,\!0, -1) & \y{9} &= (+1, +1, +1, -1) & \y{11} &= (+1, +1, -1)\cr \y{5} &= (+1, +1, -1,\!0) & \y{8} &= (+1, +1, +1, -1) & \y{10} &=(+1, +1, -1)\cr \y{4} &= (+1, +1,\!0, -1) & \y{7} &= (+1, +1, -1,\!0) & \y{9} &= (+1, +1, -1)\cr \y{3} &= (-1,\!0, +1, +1) & \y{6} &= (+1, +1, -1,\!0) & \y{8} &= (+1, +1, -1)\cr \y{2} &=(\!0, -1, +1, +1) & \y{5} &= (+1, -1,\!0,\!0) & \y{7} &= (-1, +1, +1)\cr \y{1} &= (+1, +1, -1,\!0) & \y{4} &= (-1, +1, +1, +1) & \y{6} &= (-1, +1, +1)\cr \y{0} &=(\!0,\!0,\!1,\!0) & \y{3} &=(\!0, -1, +1, +1) & \y{5} &= (-1, +1, +1)\cr \omit & \omit & \y{2} &=(\!0,\!0, -1, +1) & \y{4} &= (+1, -1, +1)\cr \omit & \omit & \y{1} &= (+1, +1, +1, -1) & \y{3} &= (+1, -1, +1)\cr \omit & \omit & \y{0} &=(\!0,\!0,\!0,\!1) & \y{2} &= (+1, +1, -1)\cr \omit & \omit & \omit & \omit & \y{1} &= (-1, +1, +1)\cr \omit & \omit & \omit & \omit & \y{0} &= (\!1,\!0,\!0)\cr }} %%361 mOZHET POKAZATXSYA NEUDOBNYM NUMEROVATX |TI VEKTORY S KONCA TAK, CHTOBY $y^{(m)}$~POYAVLYALSYA PERVYM, A $y^{(0)}$---POSLEDNIM, NO |TA OSOBAYA TOCHKA ZRENIYA OKAZYVAETSYA PREDPOCHTITELXNOJ PRI RAZRABOTKE TEORII. dLYA POISKA OPTIMALXNOGO METODA NEPLOHO NACHATX S OTSORTIROVANNOGO VYVODA I PREDSTAVITX SEBE, KAK EGO MOZHNO "RAZLITX" NA RAZLICHNYE LENTY, ZATEM "RAZLITX" IH I~T.~D., RASSMATRIVAYA POSLEDOVATELXNYE RASPREDELENIYA~$v^{(0)}$, $v^{(1)}$, $v^{(2)}$,~\dots V PORYADKE, OBRATNOM TOMU, V KOTOROM ONI V DEJSTVITELXNOSTI POYAVLYAYUTSYA V PROCESSE SORTIROVKI. fAKTICHESKI IMENNO |TOT PODHOD BYL UZHE ISPOLXZOVAN NAMI PRI ANALIZE MNOGOFAZNOGO I KASKADNOGO SLIYANIYA. kAZHDAYA SHEMA SLIYANIYA, OCHEVIDNO, IMEET VEKTORNOE PREDSTAVLENIE. i OBRATNO, KAK LEGKO VIDETX, POSLEDOVATELXNOSTX VEKTOROV~$y^{(m)}\ldots{}y^{(1)}y^{(0)}$ SOOTVETSTVUET REALXNOJ SHEME SLIYANIYA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA VYPOLNYAYUTSYA SLEDUYUSHCHIE TRI USLOVIYA: {\medskip\narrower \item{i)}~VEKTOR~$y^{(0)}$ YAVLYAETSYA EDINICHNYM; \item{ii)}~ROVNO ODNA KOMPONENTA VEKTORA~$y^{(i)}$ RAVNA~$-1$, VSE OSTALXNYE KOMPONENTY RAVNY~$0$ ILI~$+1$, $m\ge i \ge 1$; \item{iii)}~VSE KOMPONENTY VEKTORA~$y^{(i)}+\ldots+y^{(1)}+y^{(0)}$ NEOTRICATELXNY, $m\ge i \ge 1$. \medskip } pREDSTAVLENIE SHEMY SLIYANIYA V VIDE DEREVA DAET DRUGOE IZOBRAZHENIE TOJ ZHE INFORMACII. mY STROIM DEREVO S ODNIM VNESHNIM "LISTOVYM" UZLOM DLYA KAZHDOGO NACHALXNOGO OTREZKA I S ODNIM VNUTRENNIM UZLOM DLYA KAZHDOGO OTREZKA, POLUCHENNOGO V REZULXTATE SLIYANIYA, TAKIM OBRAZOM, CHTO POTOMKAMI LYUBOGO VNUTRENNEGO UZLA YAVLYAYUTSYA OTREZKI, IZ KOTORYH ON BYL SFORMIROVAN. kAZHDYJ VNUTRENNIJ UZEL POMECHAETSYA NOMEROM SHAGA, NA KOTOROM BYL OBRAZOVAN SOOTVETSTVUYUSHCHIJ OTREZOK, PRI |TOM SHAGI NUMERUYUTSYA V OBRATNOM PORYADKE, KAK V VEKTORNOM PREDSTAVLENII; KROME TOGO, REBRA NEPOSREDSTVENNO NAD KAZHDYM UZLOM POMECHAYUTSYA IMENEM LENTY, NA KOTOROJ OKAZYVAETSYA |TOT OTREZOK. nAPRIMER, TRI PRIVEDENNYE VYSHE SHEMY IMEYUT PREDSTAVLENIYA V VIDE DEREVA, IZOBRAZHENNYE NA RIS.~76, ESLI MY NAZOVEM LENTY~$A$, $B$, $C$, $D$, A NE~$T1$, $T2$, $T3$, $T4$. eTO UDOBNOE I NAGLYADNOE PREDSTAVLENIE MNOGIH SUSHCHESTVENNYH SVOJSTV SHEMY SLIYANIYA; NAPRIMER, ESLI OTREZOK NA UROVNE~$0$ DEREVA (KORENX) DOLZHEN BYTX VOZRASTAYUSHCHIM, TO OTREZKI NA UROVNE~$1$ DOLZHNY BYTX UBYVAYUSHCHIMI, OTREZKI NA UROVNE~$2$---VOZRASTAYUSHCHIMI I~T.~D.; NEKOTORYJ NACHALXNYJ OTREZOK YAVLYAETSYA VOZRASTAYUSHCHIM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTVETSTVUYUSHCHIJ VNESHNIJ UZEL NAHODITSYA NA UROVNE S CHETNYM NOMEROM. dALEE, SUMMARNOE KOLICHESTVO NACHALXNYH OTREZKOV, OBRABATYVAEMYH PRI SLIYANII (NE VKLYUCHAYA NACHALXNOE RASPREDELENIE), V TOCHNOSTI RAVNO \emph{DLINE VNESHNEGO PUTI} DEREVA, TAK KAK KAZHDYJ NACHALXNYJ OTREZOK NA UROVNE~$k$ OBRABATYVAETSYA ROVNO $k$~RAZ. %%362 \picture{rIS.~76. pREDSTAVLENIYA TREH SHEM SLIYANIYA V VIDE DEREVA.} lYUBAYA SHEMA SLIYANIYA IMEET PREDSTAVLENIE V VIDE DEREVA, NO NE KAZHDOE DEREVO OPREDELYAET SHEMU SLIYANIYA. dEREVO, VNUTRENNIE UZLY KOTOROGO POMECHENY CHISLAMI OT~$1$ DO~$m$ I REBRA KOTOROGO POMECHENY IMENAMI LENT, IZOBRAZHAET PRAVILXNUYU SHEMU SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a)~NIKAKIE DVA REBRA, SMEZHNYE S ODNIM VNUTRENNIM UZLOM, NE IMEYUT ODINAKOVOGO IMENI LENTY; b)~ESLI~$i>j$ I ESLI $A$~ESTX IMYA LENTY, TO DEREVO NE SODERZHIT KONFIGURACII \picture{p.362} %%363 c)~ESLI~$i<j<k<l$ I ESLI~$A$---IMYA LENTY, TO DEREVO NE SODERZHIT TAKIH PAR: \picture{p.363.1} uSLOVIE~(a) OCHEVIDNO, TAK KAK VVODNYE I VYVODNAYA LENTY SLIYANIYA DOLZHNY BYTX RAZLICHNY; USLOVIE~(b) TAKZHE OCHEVIDNO. uSLOVIE "NEPERESECHENIYA"~(c) OTRAZHAET HARAKTERNOE DLYA OPERACIJ OBRATNOGO CHTENIYA LENTY OGRANICHENIE "POSLEDNIM VKLYUCHAETSYA --- PERVYM ISKLYUCHAETSYA". oTREZOK, OBRAZOVANNYJ NA SHAGE~$k$, DOLZHEN BYTX UDALEN PREZHDE OTREZKA, SFORMIROVANNOGO RANEE NA TOJ ZHE LENTE; SLEDOVATELXNO, KONFIGURACII~(4) NEVOZMOZHNY. nETRUDNO PROVERITX, CHTO LYUBOE POMECHENNOE DEREVO, UDOVLETVORYAYUSHCHEE USLOVIYAM~(a), (b), (c), DEJSTVITELXNO SOOTVETSTVUET NEKOTOROJ SHEME SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM. eSLI IMEETSYA $T$~LENTOCHNYH USTROJSTV, TO IZ USLOVIYA~(a) SLEDUET, CHTO STEPENX KAZHDOGO VNUTRENNEGO UZLA RAVNA~$T-1$ ILI MENXSHE. pRIPISYVANIE PODHODYASHCHIH METOK VSEM TAKIM DEREVXYAM NE VSEGDA VOZMOZHNO; NAPRIMER, ESLI~$T=3$, TO NE SUSHCHESTVUET SHEMY SLIYANIYA S DEREVOM VIDA \picture{p.363.2} tAKAYA FORMA DEREVA PRIVELA BY K OPTIMALXNOJ SHEME SLIYANIYA, ESLI BY MY SMOGLI SOOTVETSTVUYUSHCHIM OBRAZOM PRIPISATX NOMERA SHAGOV I NOMERA LENT, POSKOLXKU |TO EDINSTVENNOE DEREVO S MINIMALXNOJ DLINOJ VNESHNEGO PUTI SREDI DEREVXEV, IMEYUSHCHIH CHETYRE VNESHNIH UZLA. nO V SILU SIMMETRII |TOJ DIAGRAMMY IMEETSYA, PO SUSHCHESTVU, TOLXKO ODIN SPOSOB POMETITX EE, SOBLYUDAYA USLOVIYA~(a) I~(b): \picture{p.363.3} %%364 oDNAKO PRI |TOM NARUSHAETSYA USLOVIE~(c). dEREVO, KOTOROE MOZHET BYTX POMECHENO V SOOTVETSTVII S UPOMYANUTYMI USLOVIYAMI S ISPOLXZOVANIEM~$T$ ILI MENXSHE IMEN LENT, NAZYVAETSYA $T\hbox{-lifo}$\note{1}% {"Lifo"---ABBREVIATURA DLYA "last in---first out" (POSLEDNIM VKLYUCHAETSYA--- PERVYM ISKLYUCHAETSYA).---{\it pRIM. PEREV.\/}} DEREVOM. dRUGOJ SPOSOB HARAKTERIZOVATX VSE POMECHENNYE DEREVXYA, KOTORYE MOGUT VOZNIKNUTX IZ SHEMY SLIYANIYA, SOSTOIT V TOM, CHTOBY RASSMOTRETX, KAK VSE PODOBNYE DEREVXYA MOGUT BYTX "VYRASHCHENY". nACHNEM S NEKOTOROGO IMENI LENTY, SKAZHEM~$A$, I S ROSTKA DEREVA \picture{p.364.1} shAG~$i$ ROSTA DEREVA SOSTOIT V VYBORE RAZLICHNYH IMEN LENT~$B$, $B_1$, $B_2$,~\dots, $B_k$ I ZAMENE \emph{POZZHE VSEGO OBRAZOVANNOGO} UZLA, SOOTVETSTVUYUSHCHEGO~$B$, \picture{p.364.2} eTO PRAVILO "POSLEDNIM OBRAZOVAN---PERVYM RASTET" V TOCHNOSTI OPISYVAET SPOSOB POSTROENIYA PREDSTAVLENIYA V VIDE DEREVA NEPOSREDSTVENNO IZ VEKTORNOGO PREDSTAVLENIYA. oPREDELENIE STROGO OPTIMALXNOJ $T\hbox{-LENTOCHNOJ}$ SHEMY SLIYANIYA, T.~E.~DEREVA, IMEYUSHCHEGO MINIMALXNUYU DLINU PUTI SREDI VSEH $T\hbox{-lifo}$~DEREVXEV S DANNYM CHISLOM VNESHNIH UZLOV, KAZHETSYA VESXMA TRUDNOJ ZADACHEJ. sLEDUYUSHCHAYA NEOCHEVIDNAYA SHEMA, NAPRIMER, OKAZYVAETSYA NAILUCHSHIM SPOSOBOM SLITX SEMX NACHALXNYH OTREZKOV, IMEYA CHETYRE LENTY I CHITAYA V OBRATNOM NAPRAVLENII: %%365 oDNOPUTEVOE SLIYANIE NEOBHODIMO PO SUSHCHESTVU DLYA DOSTIZHENIYA OPTIMUMA! (sM.~UPR.~8.) s DRUGOJ STORONY, NE TAK TRUDNO DATX KONSTRUKCII, \emph{ASIMPTOTICHESKI} OPTIMALXNYE DLYA LYUBOGO FIKSIROVANNOGO~$T$. pUSTX~$K_T(n)$---MINIMALXNAYA DLINA VNESHNEGO PUTI, DOSTIZHIMAYA V $T\hbox{-lifo}$~DEREVE S $n$~VNESHNIMI UZLAMI. iSPOLXZUYA TEORIYU, RAZVITUYU V P.~2.3.4.5, NETRUDNO DOKAZATX, CHTO $$ K_T(n)\ge nq - \floor{((T-1)^q-n)/(T-2)}, \quad q=\ceil{\log_{T-1} n}, \eqno(9) $$ TAK KAK |TO MINIMALXNAYA DLINA VNESHNEGO PUTI LYUBOGO DEREVA S $n$~VNESHNIMI UZLAMI I STEPENXYU LYUBOGO UZLA~$<T$. k NASTOYASHCHEMU MOMENTU IZVESTNY OTNOSITELXNO NEMNOGIE TOCHNYE ZNACHENIYA~$K_T(n)$. zDESX PRIVEDENY NEKOTORYE VERHNIE OCENKI, KOTORYE, VEROYATNO, TOCHNY: $$ \vbox{\halign{ \hfil$#$ &&\bskip \hfil$#$ \cr n = 1 & 2 & 3 & 4 & 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\cr K_3(n) \le 0 & 2 & 5 & 9 & 12& 16& 21& 25& 30& 34& 39& 45& 50& 56& 61\cr K_4(n) \le 0 & 2 & 3 & 6 & 8& 11& 14& 17& 20& 24& 27& 31& 33& 37& 40\cr }} \eqno (10) $$ kARP OBNARUZHIL, CHTO LYUBOE DEREVO S VNUTRENNIMI UZLAMI STEPENI~$< T$ YAVLYAETSYA \emph{POCHTI} $T\hbox{-lifo}$~DEREVOM V TOM SMYSLE, CHTO ONO MOZHET BYTX SDELANO $T\hbox{-lifo}$ S POMOSHCHXYU ZAMENY NEKOTORYH VNESHNIH UZLOV NA ODNOPUTEVYE SLIYANIYA. fAKTICHESKI POSTROENIE PODHODYASHCHEJ RASSTANOVKI METOK VYPOLNYAETSYA, DOVOLXNO PROSTO. pUSTX~$A$---KONKRETNOE IMYA LENTY. bUDEM DEJSTVOVATX SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: \medskip {\sl shAG~1.\/} pRIPISATX IMENA LENT REBRAM DIAGRAMMY DEREVA LYUBYM SPOSOBOM, SOVMESTIMYM S USLOVIEM~(a), UKAZANNYM VYSHE, ODNAKO TAK, CHTOBY SPECIALXNOE IMYA~$A$ ISPOLXZOVALOSX TOLXKO V SAMOM LEVOM REBRE VETVI. \smallskip {\sl shAG~2.\/} zAMENITX KAZHDYJ VNESHNIJ UZEL VIDA \picture{p.365} ESLI TOLXKO~$B\ne A$. \smallskip {\sl shAG~3.\/} zANUMEROVATX VNUTRENNIE UZLY V PRYAMOM PORYADKE\note{1}% {sM.~P.~2.3.1.---{\sl pRIM. PEREV.\/}}. rEZULXTATOM BUDET RASSTANOVKA METOK, UDOVLETVORYAYUSHCHAYA USLOVIYAM~(a), (b), (c). \medskip %%366 nAPRIMER, ESLI MY NACHNEM S DEREVA \picture{p.366.1} I TREH LENT, TO |TA PROCEDURA MOGLA BY PRIPISATX METKI TAKIM OBRAZOM: \picture{p.366.2} nETRUDNO PROVERITX, CHTO KONSTRUKCIYA kARPA UDOVLETVORYAET DISCIPLINE "POSLEDNIM OBRAZOVAN---PERVYM RASTET" V SILU SVOJSTV PRYAMOGO PORYADKA (SM.~UPR.~12). zAMETIM, CHTO REZULXTATOM |TOGO POSTROENIYA YAVLYAETSYA SHEMA SLIYANIYA, V KOTOROJ VSE NACHALXNYE OTREZKI POYAVLYAYUTSYA NA LENTE~$A$. eTO PREDPOLAGAET SLEDUYUSHCHUYU SHEMU RASPREDELENIYA I SORTIROVKI, KOTORUYU MOZHNO NAZVATX SLIYANIEM V \emph{PRYAMOM PORYADKE.} %% !!! OPREDELITX STILX, SVYAZANNYJ S ALGORITMOM {\medskip\narrower \item{\bf P1.}~rASPREDELYATX NACHALXNYE OTREZKI NA LENTU~$A$, POKA VVOD NE BUDET ISCHERPAN. pUSTX~$S$---CHISLO VSEH NACHALXNYH OTREZKOV. \item{\bf P2.}~vYPOLNYATX PRIVEDENNOE VYSHE POSTROENIE, ISPOLXZUYA $(T-1)\hbox{-ARNOE}$ DEREVO S $S$~VNESHNIMI UZLAMI S MINIMALXNOJ DLINOJ PUTI, POLUCHAYA $T\hbox{-lifo}$~DEREVO, DLINA VNESHNEGO PUTI KOTOROGO PREVYSHAET NIZHNYUYU GRANICU~(9) NE BOLEE, CHEM NA~$S$. \item{\bf P3.}~sLIVATX OTREZKI V SOOTVETSTVII S |TOJ SHEMOJ. \endmark \medskip} rEZULXTAT V UKAZANNOJ SHEME POLUCHAETSYA NA KAKOJ UGODNO LENTE. nO \emph{|TA SHEMA IMEET ODIN SERXEZNYJ IZ®YAN.} (vIDIT LI CHITATELX, CHTO IMENNO ZDESX BUDET NEPRAVILXNO RABOTATX?) dELO %%367 V TOM, CHTO SHEMA TREBUET, CHTOBY PERVONACHALXNO NEKOTORYE IZ OTREZKOV NA~$A$ BYLI VOZRASTAYUSHCHIMI, A NEKOTORYE---UBYVAYUSHCHIMI V ZAVISIMOSTI OT TOGO, POYAVLYAETSYA LI SOOTVETSTVUYUSHCHIJ VNESHNIJ UZEL NA NECHETNOM ILI CHETNOM UROVNE. eTU PROBLEMU MOZHNO RAZRESHITX, NE ZNAYA~$S$ ZARANEE, PUTEM KOPIROVANIYA OTREZKOV, KOTORYE DOLZHNY BYTX UBYVAYUSHCHIMI, NA VSPOMOGATELXNUYU LENTU (ILI LENTY) NEPOSREDSTVENNO PERED TEM, KAK ONI TREBUYUTSYA. tOGDA SUMMARNOE KOLICHESTVO OPERACIJ, IZMERYAEMOE V DLINAH NACHALXNYH OTREZKOV, OKAZHETSYA RAVNYM $$ S \log_{T-1} S+O(S). \eqno(13) $$ tAKIM OBRAZOM, SLIYANIE V PRYAMOM PORYADKE OPREDELENNO LUCHSHE MNOGOFAZNOGO ILI KASKADNOGO PRI~$S\to\infty$; V DEJSTVITELXNOSTI ONO ASIMPTOTICHESKI \emph{OPTIMALXNO,} TAK KAK~(9) POKAZYVAET, CHTO~$S\log_{T-1} S+O(S)$---|TO NAILUCHSHEE, CHTO MY VOOBSHCHE MOZHEM NADEYATXSYA POLUCHITX S $T$~LENTAMI. s DRUGOJ STORONY, DLYA SRAVNITELXNO NEBOLXSHIH ZNACHENIJ~$S$, OBYCHNO VSTRECHAYUSHCHIHSYA NA PRAKTIKE, SLIYANIE V PRYAMOM PORYADKE VESXMA NE|FFEKTIVNO; MNOGOFAZNYJ ILI KASKADNYJ METODY PROSHCHE I BYSTREE, ESLI $S$~OTNOSITELXNO MALO. vOZMOZHNO, UDASTSYA IZOBRESTI PROSTUYU SHEMU RASPREDELENIYA I SLIYANIYA, KOTORAYA SRAVNIMA S MNOGOFAZNOJ I KASKADNOJ DLYA NEBOLXSHIH~$S$ I ASIMPTOTICHESKI OPTIMALXNA PRI BOLXSHIH~$S$. nIZHE V UPRAZHNENIYAH VTOROJ CHASTI DEMONSTRIRUETSYA, KAK kARP ANALOGICHNYM OBRAZOM POSTAVIL VOPROS DLYA SLIYANIYA S \emph{PRYAMYM CHTENIEM.} tEORIYA OKAZYVAETSYA V |TOM SLUCHAE ZNACHITELXNO- BOLEE SLOZHNOJ, HOTYA BYLI POLUCHENY NEKOTORYE VESXMA INTERESNYE REZULXTATY. \excercises (pervaya chast') \ex[17] pRI SLIYANII S PRYAMYM CHTENIEM CHASTO UDOBNO OTMECHATX KONEC KAZHDOGO OTREZKA NA LENTE PUTEM DOBAVLENIYA ISKUSSTVENNOJ "KONCEVOJ" ZAPISI S KLYUCHOM~$+\infty$. kAK SLEDUET VIDOIZMENITX |TOT METOD PRI OBRATNOM CHTENII? \ex[20] bUDUT LI STOLBCY TABLICY, ANALOGICHNOJ~(1), VSEGDA NEUBYVAYUSHCHIMI, ILI BYVAYUT SLUCHAI, KOGDA NAM PRIDETSYA "VYCHITATX" OTREZKI S NEKOTOROJ LENTY PRI PEREHODE OT ODNOGO UROVNYA K SLEDUYUSHCHEMU? \rex[20] dOKAZHITE, CHTO METOD MNOGOFAZNOGO RASPREDELENIYA, OPISANNYJ V SVYAZI S~(1), DAET POSLE ZAVERSHENIYA SORTIROVKI NA LENTE~T1, VSEGDA OTREZOK~$A$, ESLI PERVONACHALXNO NA~T1 BYLO~$ADA\ldots$, A NA~T2--T5 BYLO~$DAD\ldots\,$. \ex[22] kAK VY OCENIVAETE IDEYU VYPOLNYATX MNOGOFAZNOE SLIYANIE S OBRATNYM CHTENIEM, RASPREDELIV VSE OTREZKI V \emph{VOZRASTAYUSHCHEM} PORYADKE I SCHITAYA, CHTO VSE POZICII~"$D$" PERVONACHALXNO ZAPOLNENY FIKTIVNYMI OTREZKAMI? \rex[23] kAKIE FORMULY DLYA STROK CHISEL SLIYANIYA VMESTO~(8), (9), (10) I~(11) IZ~5.4.2 BUDUT SPRAVEDLIVY DLYA MNOGOFAZNOGO SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM? iZOBRAZITE CHISLA SLIYANIYA DLYA RASPREDELENIYA PYATOGO UROVNYA NA SHESTI LENTAH, NARISOVAV DIAGRAMMU, ANALOGICHNUYU RIS.~71(a). \ex[07] kAKOVO VEKTORNOE PREDSTAVLENIE SHEMY SLIYANIYA, PREDSTAVLENIEM KOTOROJ V VIDE DEREVA YAVLYAETSYA~(8)? %%368 \ex[16] nARISUJTE PREDSTAVLENIE V VIDE DEREVA SHEMY SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM, OPREDELENNOJ SLEDUYUSHCHEJ POSLEDOVATELXNOSTXYU VEKTOROV: {\def\!{\phantom{+}}\def\y#1{y^{(#1)}}\ctable{ $#$&$\hbox{}#$ \bskip & $#$&$\hbox{}#$ \bskip& $#$&$\hbox{}#$ \cr v^{(33)} &= (\!20,\!9,\!5) & \y{22} &= (+1, -1, +1) & \y{10} &= (+1, +1, -1)\cr \y{33} &= (+1, -1, +1) & \y{21} &= (-1, +1, +1) & \y{9} &= (+1, -1, +1) \cr \y{32} &= (+1, +1, -1) & \y{20} &= (+1, +1, -1) & \y{8} &= (+1, +1, -1) \cr \y{31} &= (+1, +1, -1) & \y{19} &= (-1, +1, +1) & \y{7} &= (+1, +1, -1) \cr \y{30} &= (+1, +1, -1) & \y{18} &= (+1, +1, -1) & \y{6} &= (+1, +1, -1) \cr \y{29} &= (+1, -1, +1) & \y{17} &= (+1, +1, -1) & \y{5} &= (-1, +1, +1) \cr \y{28} &= (-1, +1, +1) & \y{16} &= (+1, +1, -1) & \y{4} &= (+1, -1, +1) \cr \y{27} &= (+1, -1, +1) & \y{15} &= (+1, +1, -1) & \y{3} &= (-1, +1, +1) \cr \y{26} &= (+1, -1, +1) & \y{14} &= (+1, -1, +1) & \y{2} &= (+1, -1, +1) \cr \y{25} &= (+1, +1, -1) & \y{13} &= (+1, -1, +1) & \y{1} &= (-1, +1, +1) \cr \y{24} &= (+1, -1, +1) & \y{12} &= (-1, +1, +1) & \y{0} &=(\!1,\!0,\!0) \cr \y{23} &= (+1, -1, +1) & \y{11} &= (+1, +1, -1)\cr }} \ex[23] dOKAZHITE, CHTO~(8)---OPTIMALXNYJ SPOSOB SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM PRI~$S=7$ I~$T=4$ I CHTO VSE METODY, IZBEGAYUSHCHIE ODNOPUTEVOGO SLIYANIYA, HUZHE. \ex[m22] dOKAZHITE NIZHNYUYU OCENKU~(9). \ex[41] pRI POMOSHCHI evm SOSTAVXTE TABLICU TOCHNYH ZNACHENIJ~$K_T(n)$. \rex[20] vERNO LI UTVERZHDENIE, CHTO DLYA LYUBOJ SHEMY SLIYANIYA S OBRATNYM CHTENIEM, NE ISPOLXZUYUSHCHEJ NICHEGO, KROME $(T-1)\hbox{-PUTEVOGO}$ SLIYANIYA, NEOBHODIMO, CHTOBY OTREZKI NA KAZHDOJ LENTE CHEREDOVALISX: $ADAD\ldots$, T.~E.\ ONA NE BUDET RABOTATX, ESLI DVA SOSEDNIH OTREZKA OKAZHUTSYA ODINAKOVO UPORYADOCHENNYMI? \ex[22] dOKAZHITE, CHTO KONSTRUKCIYA S PRYAMYM PORYADKOM kARPA VSEGDA POROZHDAET POMECHENNOE DEREVO, UDOVLETVORYAYUSHCHEE USLOVIYAM~(a), (b), (c). \ex[1B] sDELAJTE~(12) BOLEE |FFEKTIVNYM, UDALIV KAK MOZHNO BOLXSHE ODNOPUTEVYH SLIYANIJ, ODNAKO TAK, CHTOBY PRYAMOJ PORYADOK VSE ESHCHE DAVAL PRAVILXNUYU RASSTANOVKU METOK U VNUTRENNIH UZLOV. \ex[40] pRIDUMAJTE ALGORITM, KOTORYJ VYPOLNYAET SLIYANIE V PRYAMOM PORYADKE BEZ YAVNOGO POSTROENIYA DEREVA V SHAGAH~P2 I~Pz, ISPOLXZUYA TOLXKO $O(\log S)$~SLOV PAMYATI DLYA UPRAVLENIYA SLIYANIEM. \ex[m39] kONSTRUKCIYA kARPA S PRYAMYM PORYADKOM POROZHDAET DEREVXYA S ODNOPUTEVYM SLIYANIEM V NEKOTORYH TERMINALXNYH UZLAH. dOKAZHITE, CHTO ESLI~$T=3$, TO MOZHNO POSTROITX ASIMPTOTICHESKIE OPTIMALXNYE $3\hbox{-lifo}$~DEREVXYA, V KOTORYH ISPOLXZUETSYA TOLXKO DVUHPUTEVOE SLIYANIE dRUGIMI SLOVAMI, PUSTX $\hat K_T(n)$~BUDET MINIMALXNOJ DLINOJ VNESHNEGO PUTI SREDI VSEH $T\hbox{-lifo}$~DEREVXEV S $n$~VNESHNIMI UZLAMI, TAKIH, CHTO KAZHDYJ VNUTRENNIJ UZEL IMEET STEPENX~$T-1$. dOKAZHITE, CHTO~$\hat K_3(n)=n\log_2 n+O(n)$. \ex[m46] (sOHRANYAYUTSYA OBOZNACHENIYA UPR.~15) vERNO LI, CHTO~$\hat K_T(n)=n\log_{T-1}(n)+O(n)$ DLYA \emph{VSEH}~$T\ge 3$, ESLI~$n \equiv 1 \pmod{T-1}$? \rex[28] (rICHARD~d.~pRATT.) chTOBY POLUCHITX VOZRASTAYUSHCHIJ PORYADOK V KASKADNOM SLIYANII S OBRATNYM CHTENIEM, MY MOGLI BY POTREBOVATX \emph{CHETNOGO} CHISLA PROHODOV SLIYANIYA; |TO PREDPOLAGAET, CHTO METOD NACHALXNOGO RASPREDELENIYA NESKOLXKO OTLICHEN OT ALGORITMA~5.4.3C. (a)~iZMENITE~(5.4.3-1) TAK, CHTOBY BYLI PREDSTAVLENY TOLXKO TOCHNYE RASPREDELENIYA, KOTORYE TREBUYUT CHETNOGO CHISLA PROHODOV SLIYANIYA. (b) sKONSTRUIRUJTE SHEMU NACHALXNOGO RASPREDELENIYA, %% 369 OSUSHCHESTVLYAYUSHCHUYU INTERPOLYACIYU MEZHDU |TIMI TOCHNYMI RASPREDELENIYAMI. [iNACHE GOVORYA, ESLI CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV POPADAET MEZHDU TOCHNYMI RASPREDELENIYAMI, TO ZHELATELXNO SLITX NEKOTORYE (NO NE VSE) OTREZKI DVAZHDY, CHTOBY DOSTIGNUTX TOCHNOGO RASPREDELENIYA.] \ex[46] pREDPOLOZHIM, CHTO IMEETSYA $T$~LENTOCHNYH USTROJSTV DLYA NEKOTOROGO~$T\ge3$ I CHTO $T1$~SODERZHIT $N$~ZAPISEJ, V TO VREMYA KAK OSTALXNYE LENTY PUSTY. vOZMOZHNO LI OBRATITX PORYADOK ZAPISEJ NA~$T1$ ZA CHISLO SHAGOV, MENXSHEE~$O(N\log N)$, BEZ OBRATNOGO CHTENIYA? (eTA OPERACIYA YAVLYAETSYA, KONECHNO, TRIVIALXNOJ, ESLI DOPUSKAETSYA OBRATNOE CHTENIE.) sM.~V~UPR.~5.2.5-14 KLASS TAKIH ALGORITMOV, KOTORYE, ODNAKO, TRATYAT PORYADKA $N \log N$~SHAGOV. uprazhneniya. (vtoraya chast') sLEDUYUSHCHIE UPRAZHNENIYA RAZVIVAYUT TEORIYU LENTOCHNOGO SLIYANIYA S PRYAMYM CHTENIEM. v |TOM SLUCHAE KAZHDAYA LENTA DEJSTVUET KAK OCHEREDX, A NE KAK STEK. sHEMU SLIYANIYA MOZHNO PREDSTAVITX POSLEDOVATELXNOSTXYU VEKTOROV~$y^{(n)}\ldots{}y^{(1)}y^{(0)}$ TOCHNO TAK ZHE, KAK V TEKSTE, NO KOGDA MY PREOBRAZUEM VEKTORNOE PREDSTAVLENIE V PREDSTAVLENIE V VIDE DEREVA, TO MY ZAMENYAEM PRAVILO "POSLEDNIM OBRAZOVAN---PERVYM RASTET" NA "PERVYM OBRAZOVAN---PERVYM RASTET". tAKIM OBRAZOM, NEDOPUSTIMAYA KONFIGURACIYA~(4) DOLZHNA BYTX ZAMENENA NA \picture{p.369} dEREVO, KOTOROE MOZHET BYTX POMECHENO TAK, CHTOBY IZOBRAZHATX SLIYANIE S PRYAMYM CHTENIEM NA $T$~LENTAH, NAZYVAETSYA~$T\hbox{-fifo}$% \note{1}% {"Fifo"---ABBREVIATURA OT "first in first out" (PERVYM VKLYUCHAETSYA---PERVYM ISKLYUCHAETSYA).---{\sl pRIM. PEREV.\/}} PO ANALOGII S TERMINOM~$T\hbox{-lifo}$ V SLUCHAE OBRATNOGO CHTENIYA. eSLI LENTY MOZHNO PROCHITATX V OBRATNOM NAPRAVLENII, ONI OBRAZUYUT OCHENX HOROSHIE STEKI. nO, K SOZHALENIYU, ONI NE MOGUT OBRAZOVATX OCHENX HOROSHIE UNIVERSALXNYE OCHEREDI. eSLI MY V PROIZVOLXNOM PORYADKE ZAPISYVAEM I CHITAEM PO PRAVILU "PERVYM VKLYUCHAETSYA---PERVYM ISKLYUCHAETSYA", TO PRIHODITSYA TRATITX MNOGO VREMENI NA PEREMOTKU OT ODNOJ CHASTI LENTY K DRUGOJ. hUZHE TOGO---MY VSKORE PROSKOCHIM KONEC LENTY! mY STALKIVAEMSYA S TOJ ZHE PROBLEMOJ, CHTO I PROBLEMA VYHODA OCHEREDI ZA GRANICU PAMYATI [SM.\ SOOTNOSHENIYA~(2.2.2-4) I~(2.2.2-5)], NO RESHENIE V VIDE~(2.2.2-6) I~(2.2.2-7) NE PRIMENIMO K LENTAM, TAK KAK ONI NE YAVLYAYUTSYA KOLXCEVYMI. pO|TOMU DEREVO BUDEM NAZYVATX \emph{SILXNYM} $T\hbox{-fifo}$~DEREVOM, ESLI ONO MOZHET BYTX POMECHENO TAK, CHTOBY SOOTVETSTVUYUSHCHAYA SHEMA SLIYANIYA ISPOLXZOVALA LENTY, PODCHINYAYASX OSOBOJ DISCIPLINE: "ZAPISATX, PEREMOTATX, PROCHITATX VSE, PEREMOTATX; ZAPISATX, PEREMOTATX, PROCHITATX VSE, PEREMOTATX; I T.~D.". \ex[22] (r.~m.~kARP.) nAJDITE BINARNOE DEREVO, KOTOROE NE YAVLYAETSYA~$3\hbox{-fifo}$. \rex[22] sFORMULIRUJTE USLOVIE "SILXNOGO $T\hbox{-fifo}$" DEREVA V TERMINAH DOSTATOCHNO PROSTOGO PRAVILA OTNOSITELXNO NEDOPUSTIMYH KONFIGURACIJ METOK LENT, ANALOGICHNOGO ($4'$). \ex[18] nARISUJTE PREDSTAVLENIE V VIDE DEREVA SHEMY SLIYANIYA S PRYAMYM CHTENIEM; OPREDELENNOJ POSREDSTVOM VEKTOROV V UPR.~7. yaVLYAETSYA LI |TO DEREVO SILXNYM~$3\hbox{-fifo}$? \ex[28] (r.~m.~kARP.) dOKAZHITE, CHTO PREDSTAVLENIYA V VIDE DEREVA MNOGOFAZNOGO I KASKADNOGO SLIYANIYA S TOCHNYM RASPREDELENIEM POLNOSTXYU ODINAKOVY %% 370 KAK V SLUCHAE OBRATNOGO CHTENIYA, TAK I V SLUCHAE PRYAMOGO CHTENIYA, ZA ISKLYUCHENIEM NOMEROV, KOTORYMI POMECHENY VNUTRENNIE UZLY. nAJDITE BOLEE SHIROKIJ KLASS VEKTORNYH, PREDSTAVLENIJ SHEM SLIYANIYA, DLYA KOTORYH |TO VERNO. \ex[24] (r.~m.~kARP.) bUDEM GOVORITX, CHTO OTREZOK~$y^{(q)}\ldots{}y^{(r)}$ SHEMY SLIYANIYA YAVLYAETSYA \dfn{STADIEJ,} ESLI NIKAKAYA VYVODNAYA LENTA NE ISPOLXZUETSYA V DALXNEJSHEM KAK VVODNAYA, T.~E.\ ESLI NE SUSHCHESTVUET~$i$, $j$, $k$, TAKIH, CHTO~$q\ge i> k \ge r$ I~$y^{(i)}_j=-1$, $y^{(k)}_j=+1$. cELX |TOGO UPRAZHNENIYA---DOKAZATX, CHTO \emph{KASKADNOE SLIYANIE MINIMIZIRUET CHISLO STADIJ} SREDI VSEH SHEM SLIYANIYA S TEM ZHE CHISLOM LENT I NACHALXNYH OTREZKOV. uDOBNO VVESTI NEKOTORYE OBOZNACHENIYA. bUDEM PISATX~$v\to w$, ESLI~$v$ I~$w$---TAKIE $T\hbox{-VEKTORY}$, CHTO SUSHCHESTVUET SHEMA SLIYANIYA, KOTORAYA V SVOEJ PERVOJ STADII PEREVODIT~$w$ V~$v$ (T.~E.\ SUSHCHESTVUET SHEMA SLIYANIYA~$y^{(m)}\ldots{}y^{(0)}$, TAKAYA, CHTO $y^{(m)}\ldots{}y^{(l+1)}$~YAVLYAETSYA STADIEJ, $w=y^{(m)}+\cdots+y^{(0)}$ I~$v=y^{(l)}+\cdots+y^{(0)}$). bUDEM PISATX~$v\preceq w$, ESLI~$v$ I~$w$---$T\hbox{-VEKTORY}$, TAKIE, CHTO SUMMA NAIBOLXSHIH $k$~|LEMENTOV VEKTORA~$v$ NE PREVYSHAET SUMMY NAIBOLXSHIH $k$~|LEMENTOV VEKTORA~$w$ PRI~$1\le k \le T$. tAK, NAPRIMER, $(2, 1, 2, 2, 2, 1) \preceq (1, 2, 3, 0, 3, 1)$, TAK KAK $2\le 3$, $2+2\le 3+3$,~\dots, $2+2+2+2+ 1+1\le 3+3+2+1+1 +0$. nAKONEC, ESLI~$v=(v_1,~\ldots, v_T)$, TO PUSTX~$C(v)=(s_T, s_{T-2}, s_{T-3},~\ldots, s_1, 0)$, GDE $s_k$~ESTX SUMMA NAIBOLXSHIH $k$~|LEMENTOV VEKTORA~$v$. %% !!! SSYLKA NA UPRAZHNENIE (a)~dOKAZHITE, CHTO~$v\to C(v)$. (b)~dOKAZHITE, CHTO~$v\preceq w$ VLECHET~$C(v)\preceq C(w)$. (c)~sCHITAYA IZVESTNYM REZULXTAT UPR.~24, DOKAZHITE, CHTO KASKADNOE SLIYANIE MINIMIZIRUET CHISLO STADIJ. %% !!! SSYLKA NA UPRAZHNENIE \ex[m35] iSPOLXZUYA OBOZNACHENIYA UPR.~23, DOKAZHITE, CHTO~$v\to w$ VLECHET~$w\preceq C(v)$. %% !!! SSYLKA NA UPRAZHNENIE \ex[m36] (r.~m.~kARP.) bUDEM GOVORITX, CHTO SEGMENT~$y^{(q)}\ldots{}y^{(r)}$ SHEMY SLIYANIYA YAVLYAETSYA \dfn{FAZOJ,} ESLI NI ODNA IZ LENT NE ISPOLXZUETSYA I DLYA VVODA, I DLYA VYVODA, T.~E.\ ESLI NE SUSHCHESTVUET~$i$, $j$, $k$, TAKIH, CHTO~$q\ge i$, $k\ge r$ I~$y^{(i)}_j=+1$, $y^{(k)}_j=-1$. cELX |TOGO UPRAZHNENIYA---ISSLEDOVATX SHEMU SLIYANIYA, KOTORAYA MINIMIZIRUET CHISLO FAZ. mY BUDEM PISATX~$v \To w$, ESLI~$w$ MOZHET BYTX PREOBRAZOVANO V~$v$ ZA ODNU FAZU (SR.~S~PODOBNYM OBOZNACHENIEM, VVEDENNYM V UPR.~23), I PUSTX~$D_k(v)=(s_k+t_{k+1}, s_k+t_{k+2},~\ldots, s_k+t_T, 0,~\ldots, 0)$, GDE~$t_j$ OBOZNACHAET~$j\hbox{-J}$ V PORYADKE UBYVANIYA |LEMENT~$v$ I~$s_k=t_1+\cdots+t_k$. (a)~dOKAZHITE, CHTO~$v\To D_k(v)$ PRI~$1\le k < T$. (b)~dOKAZHITE, CHTO IZ~$v\preceq w$ SLEDUET~$D_k(v)\preceq D_k(w)$ PRI~$1\le k < T$. (c)~dOKAZHITE, CHTO IZ~$v\To w$ SLEDUET~$w\preceq D_k(v)$ DLYA NEKOTOROGO~$k$, $1\le k < T$. (d)~sLEDOVATELXNO, SHEMA SLIYANIYA, SORTIRUYUSHCHAYA MAKSIMALXNOE CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV NA $T$~LENTAH ZA $q$~FAZ, MOZHET BYTX IZOBRAZHENA POSLEDOVATELXNOSTXYU .CELYH CHISEL~$k_1 k_2~\ldots k_q$, TAKOJ, CHTO NACHALXNOE RASPREDELENIE ESTX~$D_{k_q}(\ldots D_{k_2}(D_{k_1}(u))\ldots)$, %!!! SSYLKA NA UPRAZHNENIE GDE~$u=(1, 0,~\ldots, 0)$. eTA STRATEGIYA MINIMUMA FAZ, IMEET SILXNOE $T\hbox{-fifo}$~PREDSTAVLENIE, I ONA TAKZHE VHODIT V KLASS SHEM UPR.~22. kOGDA~$T=3$, |TO \emph{MNOGOFAZNAYA} SHEMA, A PRI~$T=4$, 5, 6, 7 |TO VARIACIYA \emph{SBALANSIROVANNOJ} SHEMY. %!!! SSYLKA NA UPRAZHNENIE \ex[m46] (r.~m.~kARP). vERNO LI, CHTO OPTIMALXNAYA POSLEDOVATELXNOSTX~$k_1 k_2~\ldots k_q$, UPOMYANUTAYA V UPR.~25, VSEGDA RAVNA~$1\ceil{T/2}\floor{T/2}\ceil{T/2}\floor{T/2}~\ldots$ DLYA VSEH~$T\ge 4$ I VSEH DOSTATOCHNO BOLXSHIH~$q$? \subsubchap{oSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA}%5.4.5 eSHCHE ODIN PODHOD K SORTIROVKE SLIYANIEM BYL PREDLOZHEN shELDONOM sOBELEM V [{\sl JACM,\/} {\bf 9} (1962), 372--375]. vMESTO TOGO CHTOBY NACHINATX S PROHODA RASPREDELENIYA, KOGDA VSE NACHALXNYE OTREZKI RASPREDELYAYUTSYA PO LENTAM, ON PREDLOZHIL ALGORITM, KOTORYJ PEREKLYUCHAETSYA TO NA RASPREDELENIE, TO NA SLIYANIE, TAK CHTO BOLXSHAYA CHASTX SORTIROVKI PROISHODIT ESHCHE DO TOGO, KAK VSYA ISHODNAYA INFORMACIYA BUDET POLNOSTXYU PROSMOTRENA. %%371 pREDPOLOZHIM, NAPRIMER, CHTO DLYA SLIYANIYA ISPOLXZUETSYA PYATX LENT. pO METODU sOBELYA 16~NACHALXNYH OTREZKOV BUDUT SORTIROVATXSYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: \ctable{ #\hfil\bskip&#\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &#\hfil\cr & \hfil oPERACIYA& T1 & T2 & T3 & T4 & T5 & \hbox{sTOIMOSTX} \cr fAZA~1.& rASPREDELENIE & A_1 & A_1 & A_1 & A_1 & - & 4\cr fAZA~2.& sLIYANIE & - & - & - & - & D_4 & 4\cr fAZA~3.& rASPREDELENIE & - & A_1 & A_1 & A_1 & D_4A_1& 4\cr fAZA~4.& sLIYANIE & D_4 & - & - & - & D_4 & 4\cr fAZA~5.& rASPREDELENIE & D_4A_1& - & A_1 & A_1 & D_4A_1& 4\cr fAZA~6.& sLIYANIE & D_4 & D_4 & - & - & D_4 & 4\cr fAZA~7.& rASPREDELENIE & D_4A_1& D_4A_1& - & A_1 & D_4A_1& 4\cr fAZA~8.& sLIYANIE & D_4 & D_4 & D_4 & - & D_4 & 4\cr fAZA~9.& sLIYANIE & - & - & - & A_{16} & - & 16\cr } zDESX, KAK I V P.~5.4.4, MY ISPOLXZUEM~$A_r$ I~$D_r$ DLYA OBOZNACHENIYA SOOTVETSTVENNO VOZRASTAYUSHCHIH I UBYVAYUSHCHIH OTREZKOV OTNOSITELXNOJ DLINY~$r$. rASSMATRIVAEMYJ METOD NACHINAET S ZAPISI PO ODNOMU NACHALXNOMU OTREZKU NA KAZHDUYU IZ CHETYREH LENT I SLIVAET IH (CHITAYA V OBRATNOM NAPRAVLENII) NA PYATUYU LENTU. oPYATX VOZOBNOVLYAETSYA RASPREDELENIE, NA |TOT RAZ CIKLICHESKI SDVINUTOE NA~1 VPRAVO PO OTNOSHENIYU K LENTAM, I VTOROE SLIYANIE DAET ESHCHE ODIN OTREZOK~$D_4$. kOGDA |TIM SPOSOBOM SFORMIROVANY CHETYRE OTREZKA~$D_4$, DOPOLNITELXNOE SLIYANIE SOZDAET~$A_{16}$. pROCESS MOZHNO PRODOLZHATX, SOZDAVAYA ESHCHE TRI~$A_{16}$, SLIVAYA IH V~$D_{64}$ I~T.~D.\ DO TEH POR, POKA NE ISCHERPAYUTSYA ISHODNYE DANNYE. nE NUZHNO ZNATX ZARANEE DLINU ISHODNYH DANNYH. eSLI CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV~$S$ ESTX~$4^m$, TO NETRUDNO VIDETX, CHTO |TOT METOD OBRABATYVAET KAZHDUYU ZAPISX ROVNO $m+1$~RAZ (ODIN RAZ VO VREMYA RASPREDELENIYA I $m$~RAZ VO VREMYA SLIYANIYA). eSLI~$S$ LEZHIT MEZHDU~$4^{m-1}$ I~$4^m$, TO MOZHNO S POMOSHCHXYU FIKTIVNYH OTREZKOV UVELICHITX~$S$ DO~$4^m$; SLEDOVATELXNO, OBSHCHEE VREMYA SORTIROVKI BUDET OPREDELYATXSYA $\ceil{\log_4 S}+1$~PROHODAMI PO VSEM DANNYM. eTO KAK RAZ TO, CHTO DOSTIGAETSYA PRI SBALANSIROVANNOJ SORTIROVKE NA \emph{VOSXMI} LENTAH; V OBSHCHEM SLUCHAE OSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA S $T$~RABOCHIMI LENTAMI |KVIVALENTNA SBALANSIROVANNOMU SLIYANIYU S $2(T-1)$~LENTAMI, TAK KAK ONA DELAET $\ceil{\log_{T-1} S}+1$~PROHODOV PO DANNYM. eSLI $S$~OKAZYVAETSYA STEPENXYU~$T-1$, TO |TO SAMOE LUCHSHEE, CHTO MOZHNO POLUCHITX PRI \emph{LYUBOM} METODE S $T$~LENTAMI, TAK KAK ZDESX DOSTIGAETSYA NIZHNYAYA OCENKA IZ SOOTNOSHENIYA~(5.4.4-9). s DRUGOJ STORONY, ESLI~$S$ RAVNO~$(T-1)^{m-1}+1$, T.~E.\ ROVNO NA EDINICU BOLXSHE STEPENI~$T-1$, TO |TOT METOD TERYAET POCHTI CELYJ PROHOD. v UPR.~2 POKAZANO, KAK USTRANITX CHASTX |TOJ LISHNEJ RABOTY, ISPOLXZUYA SPECIALXNUYU PROGRAMMU OKONCHANIYA. eSHCHE ODNO USOVERSHENSTVOVANIE BYLO PREDLOZHENO V 1966~G. dENISOM~l.~b|NCHEROM, %% 372 KOTORYJ NAZVAL SVOYU PROCEDURU PEREKRESTNYM SLIYANIEM. [sM.~H.~Wedekind, Datenorganisation (Berlin W. de Gruyter, 1970). 164--166, I~U.~S.~Patent~3540000 (10~NOYABRYA 1970).] oSNOVNAYA IDEYA SOSTOIT V TOM, CHTOBY OTLOZHITX SLIYANIE DO TEH POR, POKA NE BUDET NAKOPLENO BOLXSHE SVEDENIJ OB~$S$. mY OBSUDIM NESKOLXKO IZMENENNUYU FORMU PERVONACHALXNOJ SHEMY b|NCHERA. eTA ULUCHSHENNAYA OSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA DEJSTVUET SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: \ctable{ #\hfil\bskip&#\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &#\hfil\cr & oPERACIYA & T1 & T2 & T3 & T4 & t5 & \hbox{sTOIMOSTX} \cr fAZA~1.& rASPREDELENIE& - & A_1 & A_1 & A_1 & A_1 & 4\cr fAZA~2.& rASPREDELENIE& - & A_1 & A_1A_1& A_1A_1& A_1A_1& 3\cr fAZA~3.& sLIYANIE & D_4 & - & A_1 & A_1 & A_1 & 4\cr fAZA~4.& rASPREDELENIE& D_4A_1& - & A_1 & A_1A_1& A_1A_1& 3\cr fAZA~5.& sLIYANIE & D_4 & D_4 & - & A_1 & A_1 & 4\cr fAZA~6.& rASPREDELENIE& D_4A_1& D_4A_1& - & A_1 & A_1A_1& 3\cr fAZA~7.& sLIYANIE & D_4 & D_4 & D_4 & - & A_1 & 4\cr fAZA~8.& rASPREDELENIE& D_4A_1& D_4A_1& D_4A_1& - & A_1 & 3\cr fAZA~9.& sLIYANIE & D_4 & D_4 & D_4 & D_4 & - & 4\cr \noalign{\smallskip \noindent v |TOT MOMENT MY NE SLIVAEM VSE~$D_4$ V~$A_{16}$, (ESLI TOLXKO NE OKAZHETSYA, CHTO ISHODNYE DANNYE ISCHERPANY); LISHX POSLE TOGO, KAK ZAKONCHITSYA \smallskip} fAZA~15.& sLIYANIE & D_4 D_4 & D_4 D_4 & D_4 D_4 & D_4 & - & 4 \cr \noalign {\smallskip \noindent BUDET POLUCHEN PERVYJ OTREZOK~$A_{16}$: \smallskip} fAZA~16. & sLIYANIE & D_4 & D_4 & D_4 - & A_{16} & 16 \cr \noalign{\smallskip \noindent vTOROJ OTREZOK~$A_{16}$ POYAVITSYA POSLE SOZDANIYA ESHCHE TREH~$D_4$: \smallskip} fAZA~22. & sLIYANIE & D_4 D_4 & D_4 D_4 & D_4 & - & A_{16}D_4 & 4\cr fAZA~23. & sLIYANIE & D_4 & D_4 & - & A_{16} & A_{16} & 16 \cr } I~T.~D.\ (SR.~S~FAZAMI~1--5). pREIMUSHCHESTVA SHEMY b|NCHERA MOZHNO VIDETX, ESLI IMEETSYA, NAPRIMER, TOLXKO PYATX NACHALXNYH OTREZKOV: OSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA (EE MODIFIKACIYA IZ UPR.~2) VYPOLNYALA BY CHETYREHPUTEVOE SLIYANIE (NA FAZE~2), ZA KOTORYM SLEDOVALO BY DVUHPUTEVOE SLIYANIE S OBSHCHEJ STOIMOSTXYU~$4+4+4+1+5= 14$, TOGDA KAK SHEMA b|NCHERA VYPOLNYALA BY DVUHPUTEVOE SLIYANIE (NA FAZE~3), ZA KOTORYM SLEDOVALO BY CHETYREHPUTEVOE SLIYANIE S OBSHCHEJ STOIMOSTXYU~$4+1+2+5=12$. (oBA METODA TAKZHE TREBUYUT NEBOLXSHIH DOPOLNITELXNYH ZATRAT, IMENNO ODNOKRATNOJ PEREMOTKI PERED OKONCHATELXNYM SLIYANIEM.) %%373 tOCHNOE OPISANIE METODA b|NCHERA SODERZHITSYA NIZHE V ALGORITME~B. k SOZHALENIYU, SOOTVETSTVUYUSHCHUYU PROCEDURU, PO-VIDIMOMU, TRUDNEJ PONYATX, CHEM ZAPROGRAMMIROVATX; LEGCHE OB®YASNITX |TOT METOD evm, CHEM PROGRAMMISTU! chASTICHNO |TO PROISHODIT PO TOJ PRICHINE, CHTO REKURSIVNYJ METOD VYRAZHEN V ITERATIVNOM VIDE I ZATEM PODVERGNUT NEKOTOROJ OPTIMIZACII; CHITATELX, VOZMOZHNO, OBNARUZHIT, CHTO NEOBHODIMO NESKOLXKO RAZ PROSLEDITX ZA RABOTOJ ALGORITMA, CHTOBY DEJSTVITELXNO OSOZNATX, CHTO ZHE PROISHODIT. \alg B.(oSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA S PEREKRESTNYM RASPREDELENIEM.) eTOT ALGORITM BERET PERVONACHALXNYE OTREZKI I RASPREDELYAET IH NO LENTAM, VREMYA OT VREMENI PRERYVAYA PROCESS RASPREDELENIYA, CHTOBY SLITX SODERZHIMOE NEKOTORYH LENT. \picture{rIS.~77. oSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA S PEREKRESTNYM RASPREDELENIEM.} v ALGORITME ISPOLXZUETSYA $P\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE I PREDPOLAGAETSYA, CHTO ESTX $T=P+1\ge 3$~LENTOCHNYH USTROJSTV (NE SCHITAYA USTROJSTVA, KOTOROE MOZHET BYTX NEOBHODIMO DLYA HRANENIYA ISHODNYH DANNYH). lENTOCHNYE USTROJSTVA DOLZHNY DOPUSKATX CHTENIE KAK V PRYAMOM, TAK I V OBRATNOM NAPRAVLENII; ONI OBOZNACHENY CHISLAMI~0, 1,~\dots, $P$. iSPOLXZUYUTSYA SLEDUYUSHCHIE MASSIVY: {\medskip\narrower \item{$|D|[j]$,} $0\le j \le P$---CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, NALICHIE KOTORYH PREDPOLAGAETSYA V KONCE LENTY~$j$. \item{$|A|[l, j]$,} $0\le l \le L$, $0\le j \le P$. zDESX~$L$---DOSTATOCHNO BOLXSHOE CHISLO, TAKOE, CHTO BUDET VVEDENO NE BOLEE~$P^{L+1}$ NACHALXNYH OTREZKOV. eSLI~$|A|[l, j]=k \ge 0$, TO NA LENTE~$j$ IMEETSYA OTREZOK NOMINALXNOJ DLINY~$P^k$, SOOTVETSTVUYUSHCHIJ "UROVNYU~$l$" RABOTY ALGORITMA. eTOT OTREZOK VOZRASTAYUSHCHIJ, ESLI $k$~CHETNO, I UBYVAYUSHCHIJ, ESLI $k$~NECHETNO. $|A|[l, j]=-1$~OZNACHAET, CHTO NA UROVNE~$l$ LENTA~$j$ NE ISPOLXZUETSYA. \medskip} \noindent iNSTRUKCIYA "ZAPISATX NACHALXNYJ OTREZOK NA LENTU~$j$" YAVLYAETSYA SOKRASHCHENNYM OBOZNACHENIEM SLEDUYUSHCHIH DEJSTVIJ: %%374 {\medskip\narrower \noindent uSTANOVITX~$|A|[l, j]\asg 0$. eSLI ISHODNYE DANNYE ISCHERPANY, TO UVELICHITX~$|D|[j]$ NA~1; V PROTIVNOM SLUCHAE ZAPISATX OTREZOK NA LENTU~$j$ (V VOZRASTAYUSHCHEM PORYADKE). \medskip} \noindent iNSTRUKCIYA "SLITX NA LENTU~$j$" ISPOLXZUETSYA KAK KRATKOE OBOZNACHENIE SLEDUYUSHCHIH DEJSTVIJ: {\medskip\narrower \noindent eSLI~$|D|[i]>0$ DLYA VSEH~$i\ne j$, TO UMENXSHITX~$|D|[i]$ NA~1 PRI VSEH~$i\ne j$ I UVELICHITX~$|D|[j]$ NA~1. v PROTIVNOM SLUCHAE SLITX ODIN OTREZOK NA LENTU~$j$ SO VSEH LENT~$i\ne j$, TAKIH, CHTO~$|D|[i]=0$, I UMENXSHITX~$|D|[i]$ NA~1 DLYA VSEH OSTALXNYH~$i\ne j$. \medskip} \st[nACHALXNAYA USTANOVKA.] uSTANOVITX~$|D|[j]\asg 0$ PRI~$0\le j \le P$. zATEM ZAPISATX NACHALXNYJ OTREZOK NA LENTU~$j$ PRI~$1 \le j \le P$. uSTANOVITX~$|A|[0,0]\asg -1$, $l\asg 0$, $q\asg 0$. \st[vVOD ZAVERSHEN?] (v |TOT MOMENT LENTA~$q$ PUSTA I VSYAKAYA DRUGAYA LENTA SODERZHIT SAMOE BOLXSHEE ODIN OTREZOK.) eSLI ESHCHE ESTX ISHODNYE DANNYE, PEREJTI K SHAGU~\stp{3}. oDNAKO ESLI VVOD ISCHERPAN, TO PEREMOTATX VSE LENTY~$j\ne q$, TAKIE, CHTO $|A|[0, j]$~CHETNO; ZATEM SLITX NA LENTU~$q$, CHITAYA VSE TOLXKO CHTO PEREMOTANNYE LENTY V PRYAMOM NAPRAVLENII, A OSTALXNYE LENTY---V OBRATNOM. eTIM ZAVERSHAETSYA SORTIROVKA; REZULXTAT NAHODITSYA NA LENTE~$q$ V VOZRASTAYUSHCHEM PORYADKE. \st[nACHATX NOVYJ UROVENX.] uSTANOVITX~$l \asg l+1$, $r \asg q$, $s \asg 0$ I~$q\asg (q+1) \bmod T$. zAPISATX NACHALXNYJ OTREZOK NA LENTU~$(q+j) \bmod T$ PRI~$1 \le j \le T-2$. (tAKIM OBRAZOM, NACHALXNYE OTREZKI ZAPISYVAYUTSYA NA VSE LENTY, KROME LENT~$q$ I~$r$.) uSTANOVITX~$|A|[l, q]\asg -1$ I~$|A|[l, r] \asg -1$. \st[mOZHNO LI SLIVATX?] eSLI~$|A|[l-1, q]\ne s$, VERNUTXSYA K SHAGU~\stp{3}. \st[sLIYANIE.] (v |TOT MOMENT $|A|[l-1, q]=|A|[l, j]=s$ PRI VSEH~$j\ne q$, $j \ne r$.) sLITX NA LENTU~$r$. (sM.\ VYSHE OPREDELENIE |TOJ OPERACII.) zATEM USTANOVITX~$s \asg s+1$, $l \asg l-1$, $|A|[l, r]\asg s$ I~$|A|[l, q] \asg -1$. uSTANOVITX~$r \asg (2q-r)\bmod T$. (v OBSHCHEM SLUCHAE MY IMEEM~$r=(q-1)\bmod T$, ESLI $s$~CHETNO, I~$r=(q+1) \bmod T$, ESLI $s$~NECHETNO.) \st[zAKONCHEN LI UROVENX?] eSLI~$l=0$, PEREJTI K~\stp{2}. v PROTIVNOM SLUCHAE, ESLI~$|A|[l, j]=s$ DLYA VSEH~$j\ne q$ I~$j\ne r$, TO PEREJTI K~\stp{4}. v PROTIVNOM SLUCHAE VERNUTXSYA K~\stp{3}. \algend chTOBY POKAZATX PRAVILXNOSTX |TOGO ALGORITMA, MY MOZHEM ISPOLXZOVATX DOKAZATELXSTVO TIPA "REKURSIVNOJ INDUKCII", TAK ZHE KAK MY DELALI DLYA ALGORITMA~2.3.1T. pREDPOLOZHIM, CHTO MY NACHINAEM S SHAGA~B3 S~$l=l_0$, $q=q_0$, $s_+=|A|[l_0, (q_0+1)\bmod T]$ I~$s_-=|A|[l_0, (q_0-1)\bmod T]$, I DOPUSTIM, KROME TOGO, CHTO LIBO~$s_+=0$, LIBO~$s_-=1$, LIBO~$s_+=2$, LIBO~$s_-=3$, LIBO~$\ldots\,$. mOZHNO PROVERITX PO INDUKCII, CHTO ALGORITM V KONCE KONCOV PRIDET K SHAGU~B5, NE IZMENIV S NULEVOJ PO~$l\hbox{-YU}$ STROKI~|A| I SO ZNACHENIYAMI %%375 PEREMENNYH~$l=l_0+1$, $q=q_0\pm 1$, $r=q_0$ I~$s=s_+ \ror s_-$, PRICHEM MY VYBIRAEM ZNAK~$+$, ESLI~$s_+=0 \ror (s_+=2 \rand s_-\ne 1) \ror (s_+=4 \rand s_-\ne 1, 3) \ror \ldots$, I MY VYBIRAEM ZNAK~$-$, ESLI~$(s_-=1 \rand s_+=0) \ror (s_-=3 \rand s_+\ne 0, 2)\ror \ldots\,$. pRIVEDENNYJ ZDESX NABROSOK DOKAZATELXSTVA NE OCHENX |LEGANTEN, NO I SAM ALGORITM SFORMULIROVAN V VIDE, KOTORYJ BOLXSHE GODITSYA DLYA REALIZACII, CHEM DLYA PROVERKI PRAVILXNOSTI. \picture{rIS.~78 eFFEKTIVNOSTX OSCILLIRUYUSHCHEJ SORTIROVKI, ISPOLXZUYUSHCHEJ METOD ALGORITMA~B I~UPR.~3.} nA RIS.~78 POKAZANA |FFEKTIVNOSTX ALGORITMA~B, VYRAZHENNAYA SREDNIM CHISLOM SLIYANIJ KAZHDOJ ZAPISI V ZAVISIMOSTI OT~$S$---CHISLA NACHALXNYH OTREZKOV, PRICHEM PREDPOLAGAETSYA, CHTO NACHALXNYE OTREZKI PRIBLIZITELXNO RAVNY PO DLINE. (sOOTVETSTVUYUSHCHIE GRAFIKI DLYA MNOGOFAZNOJ I KASKADNOJ SORTIROVKI PRIVEDENY NA RIS.~70 I~74.) pRI PODGOTOVKE RIS.~78 UCHTENO NEBOLXSHOE USOVERSHENSTVOVANIE, UPOMYANUTOE V UPR.~3. %%376 \section pRYAMOE CHTENIE. sHEMA OSCILLIRUYUSHCHEJ SORTIROVKI, PO-VIDIMOMU, TREBUET VOZMOZHNOSTI OBRATNOGO CHTENIYA, POSKOLXKU PRIHODITSYA GDE-TO NAKAPLIVATX DLINNYE OTREZKI PO MERE TOGO, KAK MY SLIVAEM VNOVX VVEDENNYE KOROTKIE OTREZKI. tEM NE MENEE m.~a.~gOTC [Proc. AFIPS Spring Jt. sOTR. Conf.; {\bf 25} (1964), 599--607] NASHEL SPOSOB VYPOLNITX OSCILLIRUYUSHCHUYU SORTIROVKU, ISPOLXZUYA TOLXKO PRYAMOE CHTENIE I PROSTUYU PEREMOTKU. eGO METOD V KORNE OTLICHAETSYA OT OSTALXNYH SHEM, KOTORYE MY VIDELI V |TOJ GLAVE, POSKOLXKU a)~DANNYE INOGDA ZAPISYVAYUTSYA V NACHALO LENTY, PRICHEM PREDPOLAGAETSYA, CHTO DANNYE, NAHODYASHCHIESYA V \emph{SEREDINE} |TOJ LENTY, NE RAZRUSHAYUTSYA; b)~VSE NACHALXNYE STROKI IMEYUT FIKSIROVANNUYU MAKSIMALXNUYU DLINU. uSLOVIE~(a) NARUSHAET SVOJSTVO "PERVYM VKLYUCHAETSYA---PERVYM ISKLYUCHAETSYA", KOTOROE, KAK MY PREDPOLOZHILI, YAVLYAETSYA HARAKTERISTIKOJ PRYAMOGO CHTENIYA, ODNAKO ONO MOZHET BYTX NADEZHNO REALIZOVANO, ESLI MEZHDU OTREZKAMI OSTAVLYATX DOSTATOCHNOE KOLICHESTVO CHISTOJ LENTY I ESLI V NUZHNYE MOMENTY PRENEBRECHX "OSHIBKAMI CHETNOSTI". uSLOVIE~(b) OKAZYVAETSYA DO NEKOTOROJ STEPENI PROTIVORECHASHCHIM |FFEKTIVNOMU ISPOLXZOVANIYU VYBORA S ZAMESHCHENIEM. oSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA gOTCA S PRYAMYM CHTENIEM IMEET ODNO TEMNOE PYATNO---|TO ODIN IZ PERVYH ALGORITMOV, KOTORYJ BYL ZAPATENTOVAN KAK ALGORITM, A NE KAK FIZICHESKOE USTROJSTVO [U.~S.~Patent~3380029 (23~APRELYA 1968)]. eSLI POLOZHENIE NE IZMENITSYA, TO |TO OZNACHAET, CHTO ALGORITM NELXZYA ISPOLXZOVATX V PROGRAMME BEZ RAZRESHENIYA VLADELXCA PATENTA. mETOD b|NCHERA (OSCILLIRUYUSHCHAYA SORTIROVKA S OBRATNYM CHTENIEM) BYL ZAPATENTOVAN IBM NESKOLXKIMI GODAMI POZZHE. [tAKIM OBRAZOM, NASTUPIL KONEC |RY, KOGDA UDOVOLXSTVIE OT OTKRYTIYA NOVOGO ALGORITMA SCHITALOSX DOSTATOCHNYM VOZNAGRAZHDENIEM! tAK KAK PROGRAMMIROVANIE NEOTDELIMO OT SOZDANIYA MASHINY, A PROGRAMMY DLYA evm TEPERX STOYAT DENEG, TO PATENTOVANIE ALGORITMOV YAVLYAETSYA NEIZBEZHNYM. kONECHNO, DEJSTVIYA NEDALXNOVIDNYH LYUDEJ, SOHRANYAYUSHCHIH NOVYE ALGORITMY V STROGOM SEKRETE, ZNACHITELXNO HUZHE, CHEM SHIROKAYA DOSTUPNOSTX ALGORITMOV, KOTORYE YAVLYAYUTSYA SOBSTVENNOSTXYU V TECHENIE LISHX OGRANICHENNOGO VREMENI.] cENTRALXNAYA IDEYA V METODE gOTCA SOSTOIT V TAKOM ISPOLXZOVANII LENT, CHTOBY KAZHDAYA LENTA NACHINALASX S OTREZKA OTNOSITELXNOJ DLINY~1, ZA KOTORYM SLEDOVAL BY OTREZOK OTNOSITELXNOJ DLINY~$P$, ZATEM~$P^2$ I~T.~D. nAPRIMER, ESLI~$T=5$, TO SORTIROVKA NACHINAETSYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM ("."~UKAZYVAET TEKUSHCHEE POLOZHENIE GOLOVKI CHTENIYA-ZAPISI NA KAZHDOJ LENTE): %%377 \ctable{ #\hfil\bskip&#\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip&\hfil$#$\hfil\bskip &\hfil$#$\hfil\bskip&#\hfil\cr & oPERACIYA & T1 & T2 & T3 & T4 & T5 & \hbox{sTOIMOSTX} & pRIMECHANIYA \cr fAZA~1. & rASPREDELENIE& A_1 & .A_1 & .A_1 & .A_1 & A_1. & 5& [T5 NE PEREMATYVAETSYA]\cr fAZA~2. & sLIYANIE & A_1. & A_1. & A_1. & A_1. & A_1A_4. & 4& [pEREMOTKA VSEH LET]\cr fAZA~3. & rASPREDELENIE& A_1 & .A_1 & .A_1 & A_1. & .A_1A_4 & 4& [T4 NE PEREMATYVAETSYA]\cr fAZA~4. & sLIYANIE & A_1. & A_1. & A_1. & A_1A_4.& A_1.A_4 & 4& [pEREMOTKA VSEH LENT]\cr fV|A~5. & rASPREDELENIE& A_1 & .A_1 & A_1. & .A_1A_4& .A_1A_4 & 4& [T3 NE PEREMATYVAETSYA]\cr fAZA~6. & sLIYANIE & A_1. & A_1. & A_1A_4.& A_1.A_4& A_1.A_4 & 4& [pEREMOTKA VSEH LENT]\cr fAZA~7. & rASPREDELENIE& A_1 & A_1. & .A_1A_4& .A_1A_4& .A_1A_4 & 4& [T2 NE PEREMATYVAETSYA]\cr fAZA~8. & sLIYANIE & A_1. & A_1A_4. & A_1.A_4& A_1.A_4& A_1.A_4 & 4& [pEREMOTKA VSEH LENT]\cr FAZA~9. & rASPREDELENIE& A_1. & .A_1A_4 & .A_1A_4& .A_1A_4& .A_1A_4 & 4& [T1 NE PEREMATYVAETSYA]\cr fAZA~10.& sLIYANIE & A_1A_4. & A_1.A_4 & A_1.A_4& A_1.A_4& A_1.A_4 & 4& [nET PEREMOTKI]\cr fAZA~11.& sLIYANIE & A_1A_4A_{16}. & A_1A_4. & A_1A_4.& A_1A_4.& A_1A_4. & 16& [pEREMOTKA VSEH LENT]\cr } i TAK DALEE. vO VREMYA FAZY~1 LENTA~T1 PEREMATYVAETSYA I ODNOVREMENNO NA~T2 ZAPISYVAYUTSYA ISHODNYE DANNYE, ZATEM PEREMATYVAETSYA~T2 I ODNOVREMENNO NA~T3 ZAPISYVAYUTSYA ISHODNYE DANNYE I~T.~D. v KONCE KONCOV, KOGDA ISHODNYE DANNYE ISCHERPANY, NACHINAYUT POYAVLYATXSYA FIKTIVNYE OTREZKI, I INOGDA NEOBHODIMO VOOBRAZITX, CHTO ONI ZAPISANY YAVNO NA LENTE POLNOJ DLINY. nAPRIMER, ESLI~$S=18$, TO OTREZKI~$A_1$ NA~T4 I~T5 BUDUT FIKTIVNYMI VO VREMYA FAZY~9; NAM PRIDETSYA PRODVINUTXSYA VPERED PO~T4 I~T5 PRI SLIYANII S~T2 I~T3 NA~T1 VO VREMYA FAZY~10, TAK KAK NAM NADO DOBRATXSYA DO OTREZKOV~$A_4$ NA~T4 I~T5 DLYA PODGOTOVKI K FAZE~11. s DRUGOJ STORONY, FIKTIVNYJ OTREZOK~$A_1$ NA~T1 NE OBYAZATELXNO DOLZHEN SUSHCHESTVOVATX YAVNO. tAKIM OBRAZOM, "KONEC IGRY" NESKOLXKO ZAMYSLOVAT. eSHCHE S ODNIM PRIMEROM PRIMENENIYA |TOGO METODA MY VSTRETIMSYA V SLEDUYUSHCHEM PUNKTE. \excercises \ex[22] v TEKSTE IMEETSYA ILLYUSTRACIYA OSCILLIRUYUSHCHEJ SORTIROVKI sOBELYA V EE PERVOZDANNOM VIDE DLYA~$T=5$ I~$S=16$. dAJTE TOCHNOE OPREDELENIE ALGORITMA, V KOTOROM |TA PROCEDURA OBOBSHCHAETSYA I SORTIRUYUTSYA $S=P^L$~NACHALXNYH OTREZKOV NA $T=P+1\ge 3$~LENTAH. pOSTARAJTESX NAJTI ALGORITM, KOTORYJ MOZHET BYTX OCHENX PROSTO OPISAN. \ex[24] eSLI V IZNACHALXNOM METODE sOBELYA $S=6$, TO MY MOGLI BY ZAYAVITX, CHTO~$S=16$ I CHTO IMEETSYA 10~FIKTIVNYH OTREZKOV. tOGDA FAZA~3 V PRIMERE V TEKSTE POMESTILA BY FIKTIVNYE OTREZKI~$A_0$ NA~T4 I~T5; FAZA~4 SLILA BY OTREZKI~$A_1$ NA~T2 I~T3 V~$D_2$ NA~T1; FAZY~5--8 NE DELALI BY NICHEGO; FAZA~9 PORODILA BY~$A_6$ NA~T4. lUCHSHE BY PEREMOTATX~T2 I~T3 SRAZU POSLE FAZY~3 I ZATEM NEMEDLENNO POLUCHATX~$A_6$ NA~T4 S POMOSHCHXYU TREHPUTEVOGO SLIYANIYA. pOKAZHITE, KAK, OSNOVYVAYASX NA |TOJ IDEE, ULUCHSHITX OKONCHANIE ALGORITMA IZ UPR.~1, ESLI~$S$ NE YAVLYAETSYA TOCHNOJ STEPENXYU~$P$. \rex[24] sOSTAVXTE TABLICU, POKAZYVAYUSHCHUYU POVEDENIE ALGORITMA~B, ESLI~$T=3$, PREDPOLAGAYA, CHTO IMEETSYA 9~NACHALXNYH OTREZKOV. pOKAZHITE, CHTO |TA PROCEDURA OCHEVIDNO NE|FFEKTIVNA V ODNOM MESTE, I PREDLOZHITE IZMENENIYA V ALGORITME~B, KOTORYE ISPRAVLYAYUT POLOZHENIE. \ex[21] nA SHAGE~B3 IMEETSYA USTANOVKA KAK~$|A|[l, q]$, TAK I~$|A|[l, r]$ V~$-1$. pOKAZHITE, CHTO ODNA IZ |TIH OPERACIJ VSEGDA LISHNYAYA, TAK KAK SOOTVETSTVUYUSHCHIJ |LEMENT MASSIVA~|A| NIKOGDA NE RASSMATRIVAETSYA. \ex[m25] pUSTX~$S$---CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV V IMEYUSHCHIHSYA ISHODNYH DANNYH DLYA ALGORITMA~B. pRI KAKIH ZNACHENIYAH~$S$ NE TREBUETSYA \emph{NI ODNOJ PEREMOTKI} NA SHAGE~B2? %%378 \bye\input style \chapno=5\subchno=4\subsubchno=3\chapnotrue kASKADNOE SLIYANIE, PODOBNO MNOGOFAZNOMU, NACHINAETSYA S "TOCHNOGO RASPREDELENIYA" OTREZKOV PO LENTAM, HOTYA PRAVILA TOCHNOGO RASPREDELENIYA OTLICHNY OT PRAVIL P.~5.4.2. kAZHDAYA STROKA TABLICY PREDSTAVLYAET POLNYJ PROHOD PO \emph{VSEM} DANNYM. pROHOD~2, NAPRIMER, POLUCHAETSYA POSREDSTVOM VYPOLNENIYA PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA S~T1, T2, T3, T4, T5 NA~T6, POKA~T5 NE STANET PUSTOJ (PRI |TOM NA~T6 POMESHCHAYUTSYA 15~OTREZKOV OTNOSITELXNOJ DLINY~5), ZATEM CHETYREHPUTEVOGO SLIYANIYA S~T1, T2, T3, T4 NA~T5, ZATEM TREHPUTEVOGO SLIYANIYA NA~T4, DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA NA~T3 I, NAKONEC, ODNOPUTEVOGO SLIYANIYA (OPERACII KOPIROVANIYA) S~T1 NA~T2. pROHOD~3 POLUCHAETSYA TAKIM ZHE OBRAZOM PUTEM VYPOLNENIYA SNACHALA PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA, POKA ODNA LENTA NE STANET PUSTOJ, ZATEM CHETYREHPUTEVOGO I~T.~D. (pOHOZHE, CHTO |TOMU PUNKTU KNIGI SLEDOVALO BY PRISVOITX NOMER~5.4.3.2.1, A NE~5.4.3!) yaSNO, CHTO OPERACII KOPIROVANIYA IZLISHNI, I IH MOZHNO BYLO BY OPUSTITX. fAKTICHESKI, ODNAKO, V SLUCHAE SHESTI LENT |TO KOPIROVANIE ZANIMAET TOLXKO NEBOLXSHOJ PROCENT VSEGO VREMENI. eLEMENTY, KOTORYE POLUCHAYUTSYA PROSTYM KOPIROVANIEM, OTMECHENY V PRIVEDENNOJ TABLICE ZVEZDOCHKOJ. tOLXKO~25 IZ~950 OBRABATYVAEMYH OTREZKOV PRINADLEZHAT |TOMU KLASSU. bOLXSHAYA CHASTX VREMENI OTVODITSYA PYATIPUTEVOMU I CHETYREHPUTEVOMU SLIYANIYAM. nA PERVYJ VZGLYAD MOZHET POKAZATXSYA, CHTO KASKADNAYA SHEMA---DOVOLXNO PLOHOJ VARIANT V SRAVNENII S MNOGOFAZNOJ, TAK KAK STANDARTNAYA MNOGOFAZNAYA SHEMA ISPOLXZUET VSE VREMYA $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, V TO VREMYA KAK KASKADNAYA ISPOLXZUET $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$, $(T-2)\hbox{-PUTEVOE}$, $(T-3)\hbox{-PUTEVOE}$ I~T.~D., NO V DEJSTVITELXNOSTI ONA ASIMPTOTICHESKI \emph{LUCHSHE,} CHEM MNOGOFAZNAYA, DLYA SHESTI I BOLEE LENT! kAK MY VIDELI V P.~5.4.2, VYSOKIJ PORYADOK SLIYANIYA NE YAVLYAETSYA GARANTIEJ |FFEKTIVNOSTI. v TABL.~1 POKAZANY HARAKTERISTIKI VYPOLNENIYA KASKADNOGO SLIYANIYA PO ANALOGII S PODOBNOJ TABLICEJ P.~5.4.2. nETRUDNO VYVESTI "TOCHNYE RASPREDELENIYA" DLYA KASKADNOGO SLIYANIYA. dLYA SHESTI LENT IMEEM $$ \matrix{ \hbox{uROVENX} & T1 & T2 & T3 & T4 & T5 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr 2 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \cr 3 & 15 & 14 & 12 & 9 & 6 \cr 4 & 55 & 50 & 41 & 29 & 15 \cr 5 & 190 & 175 & 146 & 105 & 55 \cr \multispan{6}\dotfill\cr n & a_n & b_n & c_n & d_n & e_n \cr n+1 & a_n+b_n+c_n+d_n+e_n & a_n+b_n+c_n+d_n & a_n+b_n+c_n & a_n+b_n & a_n \cr } \eqno(1) $$ %%344 \htable{tABLICA 1}% {hARAKTER POVEDENIYA KASKADNOGO SLIYANIYA}% {\strut\hfill # && \bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr lENTY & \hbox{pROHODY} & \hbox{pROHODY} & \hbox{oTNOSHENIE}\cr & \hbox{(S KOPIROVANIEM)} & \hbox{(BEZ KOPIROVANIYA)} &\hbox{ROSTA}\cr \noalign{\hrule} 3 & 2.078\ln S+0.672 & 1.504\ln S+0.992 & 1.6180340\cr 4 & 1.235\ln S+0.754 & 1.102\ln S+0.820 & 2.2469796\cr 5 & 0.946\ln S+0.796 & 0.897\ln S+0.800 & 2.8793852\cr 6 & 0.796\ln S+0.821 & 0.773\ln S+0.808 & 3.5133371\cr 7 & 0.703\ln S+0.839 & 0.691\ln S+0.822 & 4.1481149\cr 8 & 0.639\ln S+0.852 & 0.632\ln S+0.834 & 4.7833861\cr 9 & 0.592\ln S+0.861 & 0.587\ln S+0.845 & 5.4189757\cr 10 & 0.555\ln S+0.869 & 0.552\ln S+0.854 & 6.0547828\cr 20 & 0.397\ln S+0.905 & 0.397\ln S+0.901 & 12.4174426\cr \noalign{\hrule} } oTMETIM INTERESNOE SVOJSTVO |TIH CHISEL---IH OTNOSITELXNYE VELICHINY YAVLYAYUTSYA TAKZHE I DLINAMI DIAGONALEJ PRAVILXNOGO $(2T-1)\hbox{-UGOLXNIKA}$. nAPRIMER, PYATX DIAGONALEJ ODINNADCATIUGOLXNIKA NA RIS.~73 IMEYUT OTNOSITELXNYE DLINY, OCHENX BLIZKIE K~190, 175, 146, 105 I~55! mY DOKAZHEM |TOT ZAMECHATELXNYJ FAKT \picture{rIS.~73. gEOMETRICHESKAYA INTERPRETACIYA KASKADNYH CHISEL.} POZDNEE V |TOM PUNKTE, A TAKZHE UVIDIM, CHTO OTNOSITELXNYE VREMENA, ZATRACHIVAEMYE NA $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, $(T-2)\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE,~\dots, ODNOPUTEVOE SLIYANIE, PRIBLIZITELXNO PROPORCIONALXNY \emph{KVADRATAM} DLIN |TIH DIAGONALEJ. \section *nACHALXNOE RASPREDELENIE OTREZKOV. eSLI CHISLO NACHALXNYH OTREZKOV V DEJSTVITELXNOSTI NE ESTX CHISLO fIBONACHCHI, MY MOZHEM, KAK OBYCHNO, VSTAVITX FIKTIVNYE OTREZKI. pOVERHNOSTNYJ ANALIZ SITUACII POKAZYVAET, CHTO METOD PRIPISYVANIYA FIKTIVNYH OTREZKOV NESUSHCHESTVEN, TAK KAK KASKADNOE SLIYANIE VSEGDA OSUSHCHESTVLYAET %%345 POLNYE PROHODY; ESLI IMEETSYA 190~NACHALXNYH OTREZKOV, TO KAZHDAYA ZAPISX OBRABATYVAETSYA PYATX RAZ, KAK V PRIVEDENNOM VYSHE PRIMERE, NO ESLI IMEETSYA 191~OTREZOK, TO, OCHEVIDNO, SLEDUET UVELICHITX UROVENX, I TEPERX KAZHDAYA ZAPISX BUDET OBRABATYVATXSYA SHESTX RAZ. k SCHASTXYU, V DEJSTVITELXNOSTI MOZHNO IZBEZHATX TAKOGO REZKOGO SKACHKA. d|VID~e.~fERGYUSON NASHEL SPOSOB TAK RASPREDELITX NACHALXNYE OTREZKI, CHTO MNOGIE OPERACII VO VREMYA PERVOJ \picture{ rIS.~74. eFFEKTIVNOSTX KASKADNOGO SLIYANIYA S RASPREDELENIEM PO ALGORITMU~D. } FAZY SLIYANIYA SVODYATSYA K KOPIROVANIYU SODERZHIMOGO LENTY. eSLI OBOJTI TAKIE KOPIROVANIYA (PROSTO IZMENIV "LOGICHESKIE" NOMERA LENTOCHNYH USTROJSTV PO OTNOSHENIYU K "FIZICHESKIM" NOMERAM, KAK V ALGORITME~5.4.2D), TO POLUCHIM OTNOSITELXNO PLAVNYJ PEREHOD S UROVNYA NA UROVENX, KAK IZOBRAZHENO NA RIS.~74. pREDPOLOZHIM, CHTO $(a, b, c, d, e)$, GDE~$a\ge b \ge c \ge d \ge e$---TOCHNOE RASPREDELENIE. pEREOPREDELIV SOOTVETSTVIE MEZHDU LOGICHESKIMI I FIZICHESKIMI LENTOCHNYMI USTROJSTVAMI, MY MOZHEM PREDSTAVITX, CHTO REALXNOE RASPREDELENIE---|TO~$(e, d, c, b, a)$, %%346 T.~E.~$a$~OTREZKOV NA~T5, $b$~NA~t4 I~T.~D. sLEDUYUSHCHEE TOCHNOE RASPREDELENIE---|TO $(a+b+c+d+e, a+b+c+d, a+b+c, a+b, a)$; I ESLI VVOD ISCHERPYVAETSYA PREZHDE, CHEM MY DOSTIGAEM |TOGO SLEDUYUSHCHEGO UROVNYA, TO BUDEM SCHITATX, CHTO LENTY SODERZHAT SOOTVETSTVENNO~$(D_1, D_2, D_3, D_4, D_5)$ FIKTIVNYH OTREZKOV, GDE $$ \displaynarrow{ D_1 \le a+b+c+d,\quad D_1 \le a+b+c,\quad D_3\le a+b,\cr D_4 \le a,\quad D_5=0;\qquad D_1\ge D_2 \ge D_3 \ge D_4 \ge D_5.\cr } \eqno(2) $$ mY VOLXNY PREDSTAVLYATX SEBE, CHTO |TI FIKTIVNYE OTREZKI POYAVLYAYUTSYA NA LENTAH V LYUBOM UDOBNOM MESTE. pREDPOLAGAETSYA, CHTO PERVYJ PROHOD SLIYANIYA DAST $a$~OTREZKOV POSREDSTVOM PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA, ZATEM $b$~OTREZKOV POSREDSTVOM CHETYREHPUTEVOGO I~T.~D. nASHA CELX SOSTOIT V RASPOLOZHENII FIKTIVNYH OTREZKOV TAKIM OBRAZOM, CHTOBY ZAMENITX SLIYANIE KOPIROVANIEM. uDOBNO VYPOLNYATX PERVYJ PROHOD SLIYANIYA SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: 1.~eSLI~$D_4=a$, TO VYCHESTX~$a$ IZ VSEH~$D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ I ZAYAVITX, CHTO~T5---REZULXTAT SLIYANIYA. eSLI~$D_4<a$, TO SLITX $a$~OTREZKOV S LENT~T1 PO~T5, ISPOLXZUYA MINIMALXNO VOZMOZHNOE CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV NA LENTAH~T1--T5 TAK, CHTOBY NOVYE ZNACHENIYA~$D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ UDOVLETVORYALI SOOTNOSHENIYAM $$ \displaynarrow{ D_1\le b+c+d,\quad D_2\le b+c,\quad D_3\le b,\cr D_4=0;\qquad D_1\ge D_2\ge D_3\ge D_4.\cr } \eqno(3) $$ tAKIM OBRAZOM, ESLI~$D_2$ BYLO PERVONACHALXNO~$\le b+c$, TO MY NE ISPOLXZUEM NI ODNOGO FIKTIVNOGO OTREZKA S |TOJ LENTY NA DANNOM SHAGE; V TO ZHE VREMYA, ESLI~$b+c<D_2\le a+b+c$, MY ISPOLXZUEM ROVNO~$D_2-b-c$ FIKTIVNYH OTREZKOV. 2.~(eTOT SHAG ANALOGICHEN SHAGU~1, NO S NEKOTORYM "SDVIGOM".) eSLI~$D_3=b$, TO VYCHESTX~$b$ IZ VSEH~$D_1$, $D_2$, $D_3$ I ZAYAVITX, CHTO~T4---REZULXTAT SLIYANIYA. eSLI~$D_3<b$, TO SLITX $b$~OTREZKOV S LENT~T1--T4, UMENXSHAYA, ESLI NEOBHODIMO, CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, CHTOBY DOSTICHX $$ D_1\le b+c,\quad D_2\le b,\quad D_3=0;\qquad D_1\ge D_2\ge D_3. $$ 3.~i TAK DALEE. mETOD fERGYUSONA RASPREDELENIYA OTREZKOV PO LENTAM MOZHNO PROILLYUSTRIROVATX, RASSMOTREV PROCESS PEREHODA S UROVNYA~3 NA UROVENX~4 V~(1). dOPUSTIM, CHTO "LOGICHESKIE" LENTY (T1,~\dots, T5) SODERZHALI SOOTVETSTVENNO $(5, 9, 12, 14, 15)$~OTREZKOV I CHTO MY HOTIM DOVESTI |TO V KONECHNOM ITOGE DO~$(55, 50, 41, 29, 15)$. eTA PROCEDURA MOZHET BYTX KRATKO ZAPISANA TAK: %%347 \ctable{ $#$\hfill&&\hfill\bskip$#$\bskip\hfill\cr & \hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{dOBAVITX} &\hbox{s|KONOMLENNAYA}\cr \hbox{shAG} &\hbox{K T1} &\hbox{K T2} &\hbox{K T3} &\hbox{K T4} &\hbox{K T5} &\hbox{VELICHINA}\cr (1, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+14+12+5\cr (2, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 15+14+9+5\cr (2, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+14+5\cr (3, 3)& 2 & 2 & 14 & 0 & 0 & 15+12+5\cr (3, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 15+9+5\cr (3, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15+5\cr (4, 4)& 1 & 1 & 1 & 15 & 0 & 14+5\cr (4, 3)& 2 & 2 & 14 & 0 & 0 & 12+5\cr (4, 2)& 3 & 12 & 0 & 0 & 0 & 9+5\cr (4, 1)& 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5\cr } sNACHALA POMESHCHAEM DEVYATX OTREZKOV NA~T1, ZATEM $(3, 12)$---NA~T1 I~T2 I~T.~D. eSLI VVOD ISCHERPAETSYA, SKAZHEM, VO VREMYA SHAGA~$(3, 2)$, TO "S|KONOMLENNAYA VELICHINA" SOSTAVLYAET~$15+9+5$. eTO OZNACHAET, CHTO MY IZBEGAEM PYATIPUTEVOGO SLIYANIYA 15~OTREZKOV, DVUHPUTEVOGO SLIYANIYA 9~OTREZKOV I ODNOPUTEVOGO SLIYANIYA 5~OTREZKOV POSREDSTVOM PRISVOENIYA FIKTIVNYH OTREZKOV. dRUGIMI SLOVAMI, $15+9+5$ OTREZKOV, PRISUTSTVUYUSHCHIH NA UROVNE~3, NE OBRABATYVAYUTSYA V TECHENIE PERVOJ FAZY SLIYANIYA. sLEDUYUSHCHIJ ALGORITM DETALXNO OPISYVAET |TOT PROCESS. \alg C.(sORTIROVKA KASKADNYM SLIYANIEM SO SPECIALXNYM RASPREDELENIEM.) eTOT ALGORITM RASPREDELYAET NACHALXNYE OTREZKI PO LENTAM OTREZOK ZA OTREZKOM, POKA ZAPAS NACHALXNYH OTREZKOV NE ISCHERPAETSYA. zATEM ON OPREDELYAET, KAK SLEDUET SLIVATX LENTY, PREDPOLAGAYA, CHTO IMEETSYA $T\ge 3$~LENTOPROTYAZHNYH USTROJSTV, PRI |TOM ISPOLXZUETSYA SAMOE BOLXSHEE $(T-1)\hbox{-PUTEVOE}$~SLIYANIE I NENUZHNYE ODNOPUTEVYE SLIYANIYA USTRANYAYUTSYA. lENTA~$T$ MOZHET BYTX ISPOLXZOVANA DLYA HRANENIYA VVODA, TAK KAK NA NEE NE POPADAET NI ODIN NACHALXNYJ OTREZOK. aLGORITM RABOTAET SO SLEDUYUSHCHIMI MASSIVAMI: {\let\mypar=\par\ctable{ $#$,\bskip\hfill&$#$:\bskip\hfill& \vtop{\parindent=0pt \hsize=13cm #\mypar}\cr |A|[j] & 1 \le j \le T & pOSLEDNEE TOCHNOE KASKADNOE RASPREDELENIE, KOTOROE BYLO DOSTIGNUTO. \cr |AA|[j] & 1 \le j \le T & tOCHNOE KASKADNOE RASPREDELENIE, K KOTOROMU MY STREMIMSYA. \cr |D|[j] & 1 \le j \le T & chISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, PREDPOLAGAEMYH PRISUTSTVUYUSHCHIMI NA LOGICHESKOM LENTOPROTYAZHNOM USTROJSTVE S NOMEROM~$j$. \cr |M|[j] & 1 \le j \le T & mAKSIMALXNOE CHISLO FIKTIVNYH OTREZKOV, KOTOROE ZHELATELXNO IMETX NA LOGICHESKOM LENTOPROTYAZHNOM USTROJSTVE S NOMEROM~$j$. \cr |TAPE|[j] & 1 \le j \le T & nOMER FIZICHESKOGO LENTOPROTYAZHNOGO USTROJSTVA, SOOTVETSTVUYUSHCHEGO LOGICHESKOMU LENTOPROTYAZHNOMU USTROJSTVU S NOMEROM~$j$.\cr }} %%348 \st[nACHALXNAYA USTANOVKA.] uSTANOVITX $|A|[k]\asg |AA|[k]\asg |D|[k]\asg 0$ PRI~$2\le k \le T$; USTANOVITX $|A|[1]\asg 0$, $|AA|[1]\asg 1$, $|D|[1]\asg 1$; USTANOVITX~$|TAPE|[k]\asg k$ PRI~$1\le k \le T$. nAKONEC, USTANOVITX~$i\asg T-2$, $j\asg 1$, $k\asg 1$, $l\asg 0$, $m\asg 1$ I PEREJTI K SHAGU~\stp{5} (|TI MANEVRY YAVLYAYUTSYA ODNIM IZ SPOSOBOV NACHATX RABOTU NEPOSREDSTVENNO VO VNUTRENNEM CIKLE S SOOTVETSTVUYUSHCHEJ USTANOVKOJ UPRAVLYAYUSHCHIH PEREMENNYH). \st[nACHATX NOVYJ UROVENX.] (mY TOLXKO CHTO POLUCHILI TOCHNOE RASPREDELENIE. nO TAK KAK ESHCHE IMEYUTSYA ISHODNYE DANNYE, TO NEOBHODIMO PODGOTOVITXSYA K SLEDUYUSHCHEMU UROVNYU.) uVELICHITX~$l$ NA~1. uSTANOVITX~$|A|[k]\asg |AA|[k]$ PRI~$1\le k \le T$, ZATEM USTANOVITX~$|AA|[T-k]\asg |AA|[T-k+1]+|A|[k]$ PRI~$k=1$, 2,~\dots, $T-1$ (V TAKOM PORYADKE). uSTANOVITX $(|TAPE|[1], |TAPE|[2],~\ldots, |TAPE|[T-1])\asg (|TAPE|[T-1],~\ldots, |TAPE|[2], |TAPE|[1])$ I USTANOVITX~$|D|[k]\asg |AA|[k+1]$ PRI~$1\le k < T$. nAKONEC, USTANOVITX~$i\asg 1$. \st[nACHATX PODUROVENX~$i$.] uSTANOVITX~$j\asg i$. (pEREMENNYE~$i$ I~$j$ PREDSTAVLYAYUT "SHAG~$(i,j)$" V TABLICE, ILLYUSTRIRUYUSHCHEJ METOD fERGYUSONA.) \st[nACHATX SHAG~$(i, j)$.] uSTANOVITX~$k\asg j$ I~$m\asg |A|[T-j-1]$. eSLI~$m=0$ I~$i=j$, TO USTANOVITX~$i\asg T-2$ I VERNUTXSYA K~\stp{3}; ESLI~$m=0$ I~$i\ne j$, VERNUTXSYA K~\stp{2}. (pEREMENNAYA~$m$ PREDSTAVLYAET SOBOJ CHISLO OTREZKOV, KOTOROE DOLZHNO BYTX ZAPISANO NA LENTU~$|TAPE|[k]$; $m$~BYVAET RAVNO~0, TOLXKO ESLI~$l=1$.) \st[vVESTI NA LENTU~$|TAPE|[k]$.] zAPISATX ODIN OTREZOK NA LENTU NOMER~$|TAPE|[k]$ I UMENXSHITX~$|D|[k]$ NA~1. zATEM, ESLI VVOD ISCHERPAN, PEREMOTATX VSE LENTY I PEREJTI K SHAGU~\stp{7}. \st[pRODVIZHENIE.] uMENXSHITX~$m$ NA~1. eSLI~$m>0$, VERNUTXSYA K SHAGU~\stp{5}. v PROTIVNOM SLUCHAE UMENXSHITX~$k$ NA~1; ESLI~$k>0$, USTANOVITX~$m\asg |A|[T-j-1]-|A|[T-j]$ I VERNUTXSYA K~\stp{5}, ESLI~$m>0$. v PROTIVNOM SLUCHAE UMENXSHITX~$j$ NA~1; ESLI~$j>0$, PEREJTI K SHAGU~\stp{4}. v PROTIVNOM SLUCHAE UVELICHITX~$i$ NA~1; ESLI~$i<T<1$, VERNUTXSYA K SHAGU~\stp{3}. v PROTIVNOM SLUCHAE PEREJTI K~\stp{2}. \st[pODGOTOVKA K SLIYANIYU.] (k |TOMU MOMENTU NACHALXNOE RASPREDELENIE ZAVERSHENO, I TABLICY~|A|, |AA|, |D| I~|TAPE| OPISYVAYUT SOSTOYANIE VSEH LENT V DANNYJ MOMENT.) uSTANOVITX~$|M|[k]\asg|AA|[k+1]$ PRI~$1\le k < T$ I USTANOVITX~$|FIRST|\asg 1$. (pEREMENNAYA~|FIRST| PRINIMAET NENULEVOE ZNACHENIE TOLXKO VO VREMYA PERVOGO PROHODA SLIYANIYA.) \st[kASKAD.] eSLI~$l=0$, OSTANOVITXSYA; SORTIROVKA ZAVERSHENA, VYVOD NAHODITSYA NA~$|TAPE|[1]$. v PROTIVNOM SLUCHAE PRI~$p=T-1$, $T-2$,~\dots, 1 (V TAKOM PORYADKE) VYPOLNYATX $p\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE S LENT~$|TAPE|[1]$,~\dots, $|TAPE|[p]$ NA~$|TAPE|[p+1]$ SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM: %% 349 eSLI~$p=1$, TO MODELIROVATX ODNOPUTEVOE SLIYANIE OBYCHNOJ PEREMOTKOJ~$|TAPE|[2]$ I ZAMENOJ~$|TAPE|[1]\xchg |TAPE|[2]$. v PROTIVNOM SLUCHAE, ESLI~$|FIRST|=1$ I~$|D|[p-1]=|M|[p-1]$, TO MODELIROVATX $p\hbox{-PUTEVOE}$ SLIYANIE, PROSTO POMENYAV $|TAPE|[p]\xchg |TAPE|[p+1]$, PEREMOTAV~$|TAPE|[p]$ I VYCHTYA~$M[p-1]$ IZ KAZHDOGO~$|D|[1]$,~\dots, $|D|[p-1]$, $|M|[1]$,~\dots, $|M|[p-1]$. v PROTIVNOM SLUCHAE VYCHESTX~$|M|[p-1]$ IZ VSEH~$|M|[1]$,~\dots, $|M|[p-1]$. zATEM SLITX PO ODNOMU OTREZKU S KAZHDOJ~$|TAPE|[j]$, TAKOJ, CHTO~$1\le j \le p$ I~$|D|[j]\le |M|[j]$; VYCHESTX EDINICU IZ KAZHDOGO~$|D|[j]$, TAKOGO, CHTO~$1\le j \le p$ I~$|D|[j]>|M|[j]$, I POMESTITX VYVODNOJ OTREZOK NA~$|TAPE|[p+1]$. pRODOLZHATX RABOTU, POKA $|TAPE|[p]$ NE STANET PUSTOJ. zATEM PEREMOTATX~$|TAPE|[p]$ I~$|TAPE|[p+1]$. \st[oPUSTITXSYA NA ODIN UROVENX.] uMENXSHITX~$l$ NA~1, USTANOVITX~$|FIRST|\asg 0$, USTANOVITX $(|TAPE|[1],~\ldots, |TAPE|[T])\asg (|TAPE|[T],~\ldots, |TAPE|[1])$. (k |TOMU MOMENTU VSE~|D| I~|M|---NULI I TAKOVYMI OSTANUTSYA.) vERNUTXSYA K~\stp{8}. \algend shAGI~C1--C6 |TOGO ALGORITMA VYPOLNYAYUT RASPREDELENIE, SHAGI~C7--C9 VYPOLNYAYUT SLIYANIE; |TI DVE CHASTI SOVERSHENNO NEZAVISIMY ODNA OT DRUGOJ, I MOZHNO BYLO BY HRANITX~$|M|[k]$ I~$|AA|[k+1]$ V ODNIH I TEH ZHE YACHEJKAH PAMYATI. \picture{rIS.~75. kASKADNOE SLIYANIE SO SPECIALXNYM RASPREDELENIEM.} \section *aNALIZ KASKADNOGO SLIYANIYA. kASKADNOE SLIYANIE PODDAETSYA ANALIZU S BOLXSHIM TRUDOM, CHEM MNOGOFAZNOE. nO |TOT ANALIZ OSOBENNO INTERESEN, POSKOLXKU SODERZHIT MNOGO ZAMECHATELXNYH FORMUL. nASTOYATELXNO REKOMENDUEM CHITATELYAM, INTERESUYUSHCHIMSYA DISKRETNOJ MATEMATIKOJ, SAMOSTOYATELXNO PROANALIZIROVATX KASKADNOE RASPREDELENIE, PREZHDE CHEM CHITATX DALXSHE, VEDX CHISLA %%350 IMEYUT TAK MNOGO NEOBYCHNYH SVOJSTV, OTKRYVATX KOTORYE---ODNO UDOVOLXSTVIE! mY OBSUDIM ZDESX LISHX ODIN IZ MNOGIH PODHODOV, OBRASHCHAYA OSOBOE VNIMANIE NA METODY POLUCHENIYA REZULXTATOV. dLYA UDOBSTVA RASSMOTRIM SLUCHAJ SHESTI LENT. pRI |TOM BUDEM STARATXSYA POLUCHITX FORMULY, KOTORYE OBOBSHCHAYUTSYA NA SLUCHAJ LYUBOGO~$T$. sOOTNOSHENIYA~(1) PRIVODYAT K PERVOJ OSNOVNOJ SISTEME: $$ \eqalignter{ a_n &= a_n &=\perm{0}{0}a_n,\cr b_n &= a_n-e_{n-1}=a_n-a_{n-2} &=\perm{1}{0}a_n-\perm{2}{2}a_{n-2},\cr c_n &= b_n-d_{n-1}=b_n-a_{n-2}-b_{n-2} &=\perm{2}{0}a_n-\perm{3}{2}a_{n-2}+\perm{4}{4}a_{n-4},\cr d_n &= c_n-c_{n-1}=c_n-a_{n-2}-b_{n-2}-c_{n-2} &=\perm{3}{0}a_n-\perm{4}{2}a_{n-2}+\perm{5}{4}a_{n-4}-\perm{6}{6}a_{n-6},\cr e_n &= d_n-b_{n-1}=d_n-a_{n-2}-b_{n-2}-c_{n-2}-d_{n-2} &=\perm{4}{0}a_n-\perm{5}{2}a_{n-2}+\perm{6}{4}a_{n-4}-\perm{7}{6}a_{n-6}+\perm{8}{8}a_{n-8}.\cr } \eqno(4) $$ oBOZNACHIM~$A(z)=\sum_{n\ge0} a_n z^n$,~\dots, $E(z)=\sum_{n\ge0}e_n z^n$ I OPREDELIM MNOGOCHLENY $$ \eqalignno{ q_m(z)&=\perm{m}{0}-\perm{m+1}{2}z^2+\perm{m+2}{4}z^4-\cdots=\cr &=\sum_{k\ge 0}\perm{m+k}{2k}(-1)^k z^{2k} = \sum_{0\le k \le m}\perm{2m-k}{k}(-1)^{m-k} z^{2m-2k}. & (5)\cr } $$ rEZULXTAT~(4) KRATKO MOZHNO ISTOLKOVATX TAK, CHTO~$B(z)-q_1(z)\times A(z)$,~\dots, $E(z)-q_4(z)A(z)$ SVODYATSYA K KONECHNYM SUMMAM, SOOTVETSTVUYUSHCHIM GRANICHNYM USLOVIYAM, A IMENNO ZNACHENIYAM~$a_{-1}$, $a_{-2}$, $a_{-3}$,~\dots, KOTORYE POYAVLYAYUTSYA V~(4) (PRI NEBOLXSHIH~$n$), NO NE V~$A(z)$. chTOBY POLUCHITX PODHODYASHCHIE GRANICHNYE USLOVIYA, PRIMENIM REKURRENTNOE SOOTNOSHENIE V OBRATNUYU STORONU DLYA OTRICATELXNYH UROVNEJ DO UROVNYA~$-8$: \ctable{ \hfill$#$\bskip&&\hfill\bskip$#$\bskip\cr \hfill n & \hfill a_n & \hfill b_n & \hfill c_n & \hfill d_n & \hfill e_n \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0\cr -3 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\cr -4 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\cr -5 & 0 & 0 & 1 & -4 & 5\cr -6 & 5 & -9 & 5 & -1 & 0\cr -7 & 0 & -1 & 6 & -14 & 14\cr -8 & 14 & -28 & 20 & -7 & 1\cr } (dLYA SEMI LENT TABLICA BYLA BY ANALOGICHNOJ, ODNAKO STROKI S NECHETNYMI~$n$ BYLI BY SDVINUTY VPRAVO NA ODIN |LEMENT.) tAJNA POSLEDOVATELXNOSTI~$a_0$, $a_{-2}$, $a_{-4},~\ldots=1, 1, 2, 5, 14,~\ldots$ MGNOVENNO RASKRYVAETSYA SPECIALISTOM PO INFORMATIKE, TAK KAK %%351 |TA POSLEDOVATELXNOSTX VSTRECHAETSYA V SVYAZI S OCHENX MNOGIMI REKURRENTNYMI ALGORITMAMI (NAPRIMER, V UPR.~2.2.1-4 I FORMULE~2.3.4.4-13)). iTAK, MY PREDPOLAGAEM, CHTO V SLUCHAE $T$~LENT $$ \eqalignrem{ a_{-2n}&=\perm{2n}{n}{1\over n+1} & PRI $0\le n \le T-2$; \cr a_{-2n-1}&=0 & PRI $0\le n \le T-3$.\cr } \eqno(6) $$ chTOBY PROVERITX PRAVILXNOSTX |TOGO PREDPOLOZHENIYA, DOSTATOCHNO POKAZATX, CHTO~(6) I~(4) PRIVODYAT K PRAVILXNYM REZULXTATAM DLYA UROVNEJ~0 I~1. dLYA UROVNYA~1 |TO OCHEVIDNO, A DLYA UROVNYA~0 NAM NADO PROVERITX, CHTO $$ \perm{m}{0}a_0-\perm{m+1}{2}a_{-2}+\perm{m+2}{4}a_{-4}-\perm{m+3}{6}a_{-6}+\cdots =\sum_{k\ge0}\perm{m+k}{2k}\perm{2k}{k}{(-1)^k\over k+1} =\delta_{m0} \eqno(7) $$ DLYA~$0\le m \le T-2$. k SCHASTXYU, |TU SUMMU MOZHNO VYCHISLITX STANDARTNYMI METODAMI (|TO "ZADACHA~2", ODIN IZ OSNOVNYH PRIMEROV V TEKSTE P.~4.2.6). tEPERX MOZHNO VYCHISLITX KO|FFICIENTY~$B(z)-q_1(z)A(z)$ I~T.~D. rASSMOTRIM, NAPRIMER, KO|FFICIENT PRI~$z^{2m}$ V~$D(z)-q_3(z)A(z)$. oN RAVEN $$ \eqalign{ \sum_{k\ge0}\perm{3+m+k}{2m+2k}(-1)^{m+k}a_{-2k} &=\sum_{k\ge0}\perm{3+m+k}{2m+2k}\perm{2k}{k}{(-1)^{m+k}\over k+1}=\cr &=(-1)^m\left(\perm{2+m}{2m-1}-\perm{3+m}{2m}\right)=\cr &=(-1)^{m+1}\perm{2+m}{2m}\cr } $$ IZ REZULXTATA "ZADACHI~3" V~P.~1.2.6. tAKIM OBRAZOM, MY VYVELI FORMULY $$ \eqalign{ A(z) &=q_0(z)A(z);\cr B(z) &=q_1(z)A(z)-q_0(z);\cr C(z) &=q_2(z)A(z)-q_1(z);\cr D(z) &=q_3(z)A(z)-q_2(z);\cr E(z) &=q_4(z)A(z)-q_3(z).\cr } \eqno (8) $$ kROME TOGO, IMEEM~$e_{n+1}=a_n$; SLEDOVATELXNO, $zA(z)=E(z)$ I $$ A(z)=q_3(z)/(q_4(z)-z). \eqno (9) $$ pROIZVODYASHCHIE FUNKCII BYLI VYRAZHENY PRI POMOSHCHI $q\hbox{-MNOGOCHLENOV}$, PO|TOMU MY HOTIM LUCHSHE IZUCHITX~$q$. v |TOM OTNOSHENII POLEZNO UPR.~1.2.9-15, TAK KAK ONO DAET VYRAZHENIE V ZAMKNUTOM %%352 VIDE, KOTOROE MOZHET BYTX ZAPISANO KAK $$ q_m(z)={((\sqrt{4-z^2}+iz)/2)^{2m+1}+((\sqrt{4-z^2}-iz)/2)^{2m+1} \over \sqrt{4-z^2}} \eqno(10) $$ vSE UPROSHCHAETSYA, ESLI TEPERX POLOZHITX~$z=2 \sin\theta$: $$ \eqalignno{ q_m(2\sin\theta)=& {(\cos\theta+i\sin\theta)^{2m+1}+(\cos\theta-i\sin\theta)^{2m+1}\over 2\cos\theta}=\cr &={\cos(2m+1)\theta\over \cos\theta}. & (11)\cr } $$ (eTO SOVPADENIE ZASTAVLYAET DUMATX, CHTO MNOGOCHLENY~$q_m(z)$ HOROSHO IZVESTNY V MATEMATIKE; I DEJSTVITELXNO, VZGLYANUV V SOOTVETSTVUYUSHCHIE TABLICY, VIDIM, CHTO~$q_m(z)$, PO SUSHCHESTVU, MNOGOCHLEN chEBYSH¸VA VTOROGO RODA, A IMENNO~$(-1)^m U_{2m}(z/2)$ V OBYCHNYH OBOZNACHENIYAH.) tEPERX MOZHNO OPREDELITX KORNI ZNAMENATELYA V~(9): $q_4(2\sin\theta)=2\sin\theta$ SVODITSYA K $$ \cos 9\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta. $$ rESHENIYA |TOGO SOOTNOSHENIYA POLUCHAEM, ESLI TOLXKO~$\pm9\theta=2\theta+\left(2n-{1\over2}\right)\pi$; VSE TAKIE~$\theta$ DAYUT KORNI ZNAMENATELYA V~(9) PRI USLOVII, CHTO~$\cos\theta\ne 0$. (eSLI~$\cos\theta=0$, TO~$q_m(\pm2)=\pm(2m+1)$, NIKOGDA NE RAVNO~$\pm2$.) sLEDOVATELXNO, POLUCHAEM 8~RAZLICHNYH KORNEJ: $$ \displaylines{ q_4(z)-z=0 \qquad \hbox{ PRI } z=2\sin{-5\over 14}\pi,\quad 2\sin{-1 \over 14}\pi,\quad 2\sin{3 \over 14}\pi, \cr 2\sin{-7 \over 22}\pi,\quad 2\sin{-3 \over 22}\pi,\quad 2\sin{1 \over 22}\pi, \quad 2\sin{5 \over 22}\pi,\quad 2\sin{9 \over 22}\pi.\cr } $$ tAK KAK~$q_4(z)$---MNOGOCHLEN STEPENI~8, MY UCHLI VSE KORNI. pERVYE TRI IZ |TIH ZNACHENIJ DAYUT~$q_3(z)=0$, TAK CHTO~$q_3(z)$ I~$q_4(z)-z$ IMEYUT OBSHCHIM DELITELEM MNOGOCHLEN TRETXEJ STEPENI. oSTALXNYE PYATX KORNEJ UPRAVLYAYUT ASIMPTOTICHESKIM POVEDENIEM KO|FFICIENTOV~$A(z)$, ESLI RAZLOZHITX~(9) V |LEMENTARNYE DROBI. pEREJDYA K RASSMOTRENIYU OBSHCHEGO SLUCHAYA $T$~LENT, POLOZHIM~$\theta_k=(4k+1)\pi/(4T-2)$. pROIZVODYASHCHAYA FUNKCIYA~$A(z)$ DLYA $T\hbox{-LENTOCHNYH}$ KASKADNYH CHISEL PRINIMAET VID $$ {4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}{\cos^2\theta_k\over 1-z/(2\sin\theta_k)} \eqno(12) $$ (SM.~UPR.~8); SLEDOVATELXNO, $$ a_n={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos^2\theta_k \left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n. \eqno(13) $$ %% 353 sOOTNOSHENIYA~(8) PRIVODYAT TEPERX K ANALOGICHNYM FORMULAM: $$ \eqalign{ b_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos3\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n;\cr c_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos5\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n;\cr d_n&={4\over 2T-1}\sum_{-T/2<k<\floor{T/2}}\cos\theta_k\cos7\theta_k\left({1\over 2\sin\theta_k}\right)^n\cr } \eqno(14) $$ I~T.~D. v UPR.~9 POKAZANO, CHTO |TI URAVNENIYA SPRAVEDLIVY DLYA VSEH~$n\ge0$, A NE TOLXKO DLYA BOLXSHIH~$n$. v KAZHDOJ SUMME CHLEN S~$k=0$ ZNACHITELXNO PREVOSHODIT VSE OSTALXNYE, OSOBENNO ESLI~$n$ DOSTATOCHNO VELIKO; SLEDOVATELXNO, "OTNOSHENIE ROSTA" ESTX $$ {1\over 2\sin\theta_0}={2\over\pi}T-{1\over\pi}+{\pi\over 48T}+O(T^{-2}). \eqno(15) $$ kASKADNAYA SORTIROVKA VPERVYE BYLA ISSLEDOVANA u.~k.~kARTEROM [Proc.\ IFIP Congress (1962), 62--66], KOTORYJ POLUCHIL CHISLENNYE REZULXTATY DLYA NEBOLXSHIH ZNACHENIJ~$T$, I d|VIDOM fERGYUSONOM [{\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 297], KOTORYJ OTKRYL PERVYE DVA CHLENA V ASIMPTOTICHESKOM POVEDENII~(15) OTNOSHENIYA ROSTA. lETOM 1964~G.\ r.~u.~fLOJD POLUCHIL YAVNYJ VID~$1/(2\sin\theta_0)$ DLYA OTNOSHENIYA ROSTA, TAK CHTO TOCHNYE FORMULY MOGLI BYTX ISPOLXZOVANY DLYA VSEH~$T$. gLUBOKIJ ANALIZ KASKADNYH CHISEL BYL NEZAVISIMO VYPOLNEN dZH.~n.~r|JNI [{\sl Canadian J.~Math.,\/} {\bf 18} (1966), 332--349], KOTORYJ NATKNULSYA NA NIH SOVERSHENNO DRUGIM PUTEM, NE IMEYA DELA S SORTIROVKOJ. r|JNI PODMETIL ANALOGIYU S DIAGONALYAMI (RIS.~73) I VYVEL MNOGO DRUGIH INTERESNYH SVOJSTV |TIH CHISEL. fLOJD I~r|JNI V SVOIH DOKAZATELXSTVAH OPERIROVALI S MATRICAMI (SM.~UPR.~6). \section mODIFIKACIYA KASKADNOJ SORTIROVKI. eSLI DOBAVLENA ESHCHE ODNA LENTA, TO POCHTI VSE VREMYA PEREMOTKI V TECHENIE KASKADNOJ SORTIROVKI MOZHNO SOVMESTITX. nAPRIMER, MY MOZHEM SLIVATX~T1--T5 NA~T7, ZATEM~T1--T4 NA~T6, ZATEM~T1--T3 NA~T5 (KOTORAYA K |TOMU MOMENTU UZHE PEREMOTANA), ZATEM~T1--T2 NA~T4 I NACHATX SLEDUYUSHCHIJ PROHOD, KOGDA NA~T4 BUDET PEREMOTANO SRAVNITELXNO NEMNOGO DANNYH. eFFEKTIVNOSTX |TOGO PROCESSA MOZHNO PREDSKAZATX NA OSNOVANII IZLOZHENNOGO VYSHE ANALIZA KASKADNOGO METODA (DALXNEJSHIE PODROBNOSTI SM.~V~P.~5.4.6). sHEMA "KOMPROMISSNOGO SLIYANIYA", KOTORAYA VKLYUCHAET MNOGOFAZNUYU I KASKADNUYU SHEMY KAK CHASTNYE SLUCHAI, BYLA PREDLOZHENA d.~e.~kNUTOM V [{\sl CACM,\/} {\bf 6} (1963), 585--587]. kAZHDAYA FAZA SOSTOIT IZ~$(T-1)\hbox{-PUTEVOGO}$, $(T-2)\hbox{-PUTEVOGO}$,~\dots, $P\hbox{-PUTEVOGO}$ SLIYANIJ, GDE $P$---LYUBOE FIKSIROVANNOE CHISLO MEZHDU~1 I~$T-1$. eSLI~$P=T-1$, TO |TO---MNOGOFAZNYJ METOD; ESLI~$P=1$, |TO---CHISTYJ %%354 KASKADNYJ METOD; ESLI~$P=2$, |TO---KASKADNYJ METOD BEZ FAZ KOPIROVANIYA. aNALIZ TAKOJ SHEMY BYL PRODELAN ch.~rADKE [{\sl IBM Systems J.,\/} {\bf 5} (1966), 226--247] I~u.~h.~bURZHEM [Proc. IFIP Congress, {\bf 1} (1971), 454---459]. bURZH NASHEL PROIZVODYASHCHUYU FUNKCIYU~$\sum T_n(x) z^n$ DLYA KAZHDOGO~$(P, T)\hbox{-KOMPROMISSNOGO}$ SLIYANIYA, OBOBSHCHAYUSHCHUYU SOOTNOSHENIE~(5.4.2-16); ON POKAZAL, CHTO NAILUCHSHEE ZNACHENIE~$P$ (S TOCHKI ZRENIYA NAIMENXSHEGO CHISLA OBRABATYVAEMYH NACHALXNYH OTREZKOV), KAK FUNKCII OT~$S$ PRI~$S\to\infty$ (ESLI NEPOSREDSTVENNO ISPOLXZOVATX SHEMU RASPREDELENIYA I PRENEBRECHX VREMENEM PEREMOTKI), ESTX SOOTVETSTVENNO $(2, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 4)$ PRI~$T=(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)$. eTI ZNACHENIYA~$P$ S ROSTOM~$T$ SILXNEE OTKLONYAYUTSYA V STORONU KASKADNOGO, A NE MNOGOFAZNOGO METODA, I OKAZYVAETSYA, CHTO KOMPROMISSNOE SLIYANIE NIKOGDA NE STANET SUSHCHESTVENNO LUCHSHE KASKADNOGO. s DRUGOJ STORONY, PRI OPTIMALXNOM VYBORE UROVNEJ I RASPREDELENII FIKTIVNYH OTREZKOV, KAK OPISANO V P.~5.4.2, CHISTYJ MNOGOFAZNYJ METOD KAZHETSYA NAILUCHSHIM SREDI VSEH KOMPROMISSNYH SLIYANIJ. k SOZHALENIYU, OPTIMALXNOE RASPREDELENIE SRAVNITELXNO TRUDNO REALIZOVATX. t.~l.~jONSEN [{\sl BIT,\/} {\bf 6} (1966), 129--143] ISSLEDOVAL SOCHETANIYA SBALANSIROVANNOGO I MNOGOFAZNOGO SLIYANIJ; MODIFIKACIYA SBALANSIROVANNOGO SLIYANIYA S SOVMESHCHENIEM PEREMOTOK BYLA PREDLOZHENA m.~gOTCEM [Digital Computer User's Handbook, ed.~by.~M.~Klerer and~G.~A.~Korn (New York: McGraw-Hill, 1967), 1.311--1.312]; MOZHNO PREDSTAVITX SEBE I MNOGIE DRUGIE GIBRIDNYE SHEMY. \excercises \ex[10] iSPOLXZUYA TABL.~1, SRAVNITE KASKADNOE SLIYANIE S OPISANNOJ V P.~5.4.2 VERSIEJ MNOGOFAZNOGO SLIYANIYA S "RASSHCHEPLENIEM LENT". kAKOJ METOD LUCHSHE? (vREMENEM PEREMOTKI PRENEBRECHX.) \rex[22] sRAVNITE KASKADNUYU SORTIROVKU S TREMYA LENTAMI, ISPOLXZUYUSHCHUYU ALGORITM~C, I MNOGOFAZNUYU SORTIROVKU S TREMYA LENTAMI, ISPOLXZUYUSHCHUYU ALGORITM~5.4.2D kAKIE SHODSTVA I RAZLICHIYA VY ZaMeTITe? \ex[20] sOSTAVXTE TABLICU, POKAZYVAYUSHCHUYU, CHTO PROISHODIT PRI SORTIROVKE NA SHESTI LENTAH 100~NACHALXNYH OTREZKOV PRI POMOSHCHI ALGORITMA~C. \ex[m20] (dZH.~n.~r|JNI.) "kASKADNOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$ UROVNYA" ESTX MULXTIMNOZHESTVO, OPREDELENNOE SLEDUYUSHCHIM OBRAZOM (V SLUCHAE SHESTI LENT): $\set{1, 0, 0, 0, 0}$ ESTX KASKADNOE RASPREDELENIE NULEVOGO UROVNYA; ESLI~$\set{a, b, c, d, e}$---KASKADNOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$~UROVNYA, TO~$\set{a+b+c+d+e, a+b+c+d, a+b+c, a+b, a}$ BUDET KASKADNYM RASPREDELENIEM $(n+1)\hbox{-GO}$ UROVNYA (tAK KAK MULXTIMNOZHESTVO NE UPORYADOCHENO, TO IZ EDINSTVENNOGO RASPREDELENIYA $n\hbox{-GO}$~UROVNYA MOZHNO OBRAZOVATX DO~5 RAZLICHNYH RASPREDELENIJ $(n+1)\hbox{-GO}$~UROVNYA.) (a)~dOKAZHITE, CHTO \emph{LYUBOE} MULXTIMNOZHESTVO~$\set{a, b, c, d, e}$ IZ VZAIMNO PROSTYH CHISEL YAVLYAETSYA KASKADNYM RASPREDELENIEM $n\hbox{-GO}$~UROVNYA PRI NEKOTOROM~$n$. (b)~dOKAZHITE, CHTO RASPREDELENIE, ISPOLXZUEMOE V KASKADNOJ SORTIROVKE, \emph{OPTIMALXNO} V TOM SMYSLE, CHTO ESLI~$\set{a, b, c, d, e}$---LYUBOE RASPREDELENIE $n\hbox{-GO}$~UROVNYA, PRICHEM~$a\ge b \ge c \ge d \ge e$, TO BUDEM IMETX~$a\le a_n$, $b\le b_n$, $c\le c_n$, $d\le d_n$, $e\le e_n$, GDE~$\set{a_n, b_n, c_n, d_n, e_n}$---RASPREDELENIE, OPREDELENNOE V~(1). \rex[20] dOKAZHITE, CHTO KASKADNYE CHISLA, OPREDELENNYE V~(1), UDOVLETVORYAYUT %%355 ZAKONU $$ a_k a_{n-k}+b_k b_{n-k}+c_k c_{n-k}+d_k d_{n-k}+e_k e_{n-k}=a_n \rem{PRI~$ 0\le k \le n$.} $$ [\emph{uKAZANIE:} DLYA LUCHSHEGO PONIMANIYA |TOGO SOOTNOSHENIYA RASSMOTRITE, SKOLXKO OTREZKOV RAZLICHNOJ DLINY VYVODITSYA V TECHENIE $k\hbox{-GO}$~PROHODA POLNOJ KASKADNOJ SORTIROVKI.] \ex[m20] nAJDITE $5\times5$-MATRICU~$Q$, TAKUYU, CHTO PERVAYA STROKA~$Q^n$ SODERZHIT KASKADNYE CHISLA DLYA SHESTI LENT~$a_n b_n c_n d_n e_n$ PRI VSEH~$n\ge 0$. \ex[m20] pRI USLOVII CHTO KASKADNOE SLIYANIE PRIMENYAETSYA K TOCHNOMU RASPREDELENIYU $a_n$~NACHALXNYH OTREZKOV, NAJDITE FORMULU DLYA VELICHINY S|KONOMLENNOJ RABOTY, KOGDA ISKLYUCHAETSYA ODNOPUTEVOE SLIYANIE. \ex[vm23] vYVEDITE FORMULU~(12). \ex[vm26] vYVEDITE FORMULU~(14). \rex[m28] vMESTO SISTEMY~(4) DLYA IZUCHENIYA KASKADNYH CHISEL VOSPOLXZUJTESX V KACHESTVE ISHODNYH TOZHDESTVAMI $$ \eqalignter{ e_n&=a_{n-1} &= \perm{1}{1}a_{n-1};\cr d_n&=2a_{n-1}-e_{n-2} &=\perm{2}{1}a_{n-1}-\perm{3}{3}a_{n-3};\cr c_n&=3a_{n-1}-d_{n-2}-2e_{n-2} &=\perm{3}{1}a_{n-1}-\perm{4}{3}a_{n-3}+\perm{5}{5}a_{n-5}\cr } $$ I~T.~D. pOLAGAYA $$ r_m(z)=\perm{m}{1}z-\perm{m+1}{3}z^3+\perm{m+2}{5}z^5-\ldots, $$ VYRAZITE~$A(z)$, $B(z)$ I~T.~D.\ CHEREZ |TI $r\hbox{-MNOGOCHLENY}$. \ex[m38] pUSTX $$ f_m(z)=\sum_{0\le k \le m} \perm{\floor{(m+k)/2}}{k}(-1)^{\ceil{k/2}}z^k. $$ dOKAZHITE, CHTO PROIZVODYASHCHAYA FUNKCIYA~$A(z)$ DLYA $T\hbox{-LENTOCHNYH}$ KASKADNYH CHISEL RAVNA~$f_{T-3}(z)/f_{T-1}(z)$, PRICHEM CHISLITELX I ZNAMENATELX |TOGO VYRAZHENIYA NE IMEYUT OBSHCHIH DELITELEJ. \ex[m40] dOKAZHITE, CHTO SHEMA RASPREDELENIYA fERGYUSONA OPTIMALXNA V TOM SMYSLE, CHTO PRI LYUBOM DRUGOM METODE RAZMESHCHENIYA FIKTIVNYH OTREZKOV, UDOVLETVORYAYUSHCHEM~(2), VO VREMYA PERVOGO PROHODA BUDET OBRABATYVATXSYA NE MENXSHE NACHALXNYH OTREZKOV, \emph{PRI USLOVII} CHTO VO VREMYA |TOGO PROHODA ISPOLXZUETSYA STRATEGIYA SHAGOV~C7--C9. \ex[40] v TEKSTE PREDLAGAETSYA BOLXSHUYU CHASTX VREMENI PEREMOTKI SOVMESHCHATX PUTEM DOBAVLENIYA DOPOLNITELXNOJ LENTY. rAZRABOTAJTE |TU IDEYU. (nAPRIMER, SHEMA, IZLOZHENNAYA V TEKSTE, VKLYUCHAET OZHIDANIE PEREMOTKI LENTY~T4; NE BUDET LI LUCHSHE ISKLYUCHITX~T4 IZ PERVOJ FAZY SLIYANIYA SLEDUYUSHCHEGO PROHODA?) \subsubchap{chTENIE LENTY V OBRATNOM NAPRAVLENII} %% 5.4.4 mNOGIE LENTOPROTYAZHNYE USTROJSTVA POZVOLYAYUT CHITATX LENTU V NAPRAVLENII, PROTIVOPOLOZHNOM TOMU, V KOTOROM SHLA ZAPISX NA NEE. sHEMY SLIYANIYA, S KOTORYMI MY VSTRECHALISX DO SIH POR, VSEGDA ZAPISYVAYUT INFORMACIYU NA LENTU V PRYAMOM NAPRAVLENII, %% 356 \bye