u sovershennym znaniem (opredelennost'yu)
otnositel'no kakoj-libo kategorii, i "sovershenstvom" samoj kategorii --
ochen' skoro.
Dopustim, chto my namerenno modificiruem programmu, peredayushchuyu geometriyu
Evklida, tak, chto generator virtual'noj real'nosti po-prezhnemu budet
peredavat' krugi dostatochno horosho, no menee, chem sovershenno. Razve my ne
smogli by sdelat' kakoj-libo vyvod o sovershennyh krugah, oshchushchaya etu
nesovershennuyu peredachu? |to polnost'yu zaviselo by ot togo, znali by my, v
kakih otnosheniyah byla izmenena programma ili net. Esli by my eto znali, my
mogli by s opredelennost'yu reshit' (za isklyucheniem grubyh oshibok i t.d.),
kakie aspekty oshchushchenij, poluchennyh nami vnutri mashiny, predstavlyali
sovershennye krugi tochno, a kakie netochno. I v etom sluchae znanie, kotoroe my
priobreli tam, bylo by tak zhe nadezhno, kak i lyuboe znanie, kotoroe my
priobreli by, ispol'zuya pravil'nuyu programmu.
Predstavlyaya krugi, my osushchestvlyaem peredachu v virtual'noj real'nosti
pochti takogo zhe roda v svoem mozge. Prichina togo, pochemu etot sposob
myshleniya o krugah ne bespolezen, sostoit v tom, chto my mozhem sozdat' tochnye
teorii o tom, kakimi svojstvami sovershennyh krugov obladayut voobrazhaemye
nami krugi, a kakimi net.
Ispol'zuya sovershennuyu peredachu v virtual'noj real'nosti, my mogli by
poluchit' vpechatlenie o shesti identichnyh krugah, kotorye kasayutsya kromki
sed'mogo identichnogo im kruga v ploskosti, ne perekryvaya drug druga. |to
vpechatlenie pri podobnyh obstoyatel'stvah bylo by ekvivalentno tochnomu
dokazatel'stvu vozmozhnosti takoj situacii, potomu chto geometricheskie
svojstva peredannyh form byli by absolyutno identichny geometricheskim
svojstvam abstraktnyh form. No takoj vid "prakticheskogo" vzaimodejstviya s
sovershennymi formami ne sposoben dat' vsestoronnee znanie geometrii Evklida.
Bol'shaya chast' interesnyh teorem otnositsya ne k odnoj geometricheskoj forme, a
k beskonechnym klassam geometricheskih form. Naprimer, summa uglov lyubogo
treugol'nika Evklida ravna 180°. My mozhem izmerit' otdel'nye treugol'niki s
sovershennoj tochnost'yu v virtual'noj real'nosti, no dazhe v virtual'noj
real'nosti my ne mozhem izmerit' vse treugol'niki, i poetomu my ne mozhem
proverit' teoremu.
Kak zhe my mozhem ee proverit'? My dokazyvaem ee. Tradicionno
dokazatel'stvo opredelyayut kak posledovatel'nost' utverzhdenij,
udovletvoryayushchih samoochevidnym pravilam vyvoda, no chemu fizicheski
ekvivalenten process dokazatel'stva? CHtoby dokazat' utverzhdenie o beskonechno
bol'shom kolichestve treugol'nikov srazu, my issleduem opredelennye fizicheskie
ob®ekty (v dannom sluchae simvoly), kotorye obladayut obshchimi svojstvami s
celym klassom treugol'nikov. Naprimer, kogda pri nadlezhashchih obstoyatel'stvah
my nablyudaem simvoly "rAVS=rDEF" (t. e. "treugol'nik AVS kongruenten
treugol'niku DEF"), my delaem vyvod, chto vse treugol'niki iz kakogo-to
opredelennogo konkretnym obrazom klassa vsegda imeyut tu zhe samuyu formu, chto
i sootvetstvuyushchie im treugol'niki iz drugogo klassa, opredelennogo inache.
"Nadlezhashchie obstoyatel'stva", kotorye pridayut etomu vyvodu status
dokazatel'stva, zaklyuchayutsya, govorya yazykom fiziki, v tom, chto simvoly
poyavlyayutsya na stranice pod drugimi simvolami (nekotorye iz kotoryh
predstavlyayut aksiomy geometrii Evklida), i poryadok poyavleniya simvolov
sootvetstvuet opredelennym pravilam, a imenno, pravilam vyvoda.
No kakimi pravilami vyvoda nam sleduet pol'zovat'sya? |to vse ravno, chto
sprosit', kak sleduet zaprogrammirovat' generator virtual'noj real'nosti dlya
peredachi mira geometrii Evklida. Otvet v tom, chto nuzhno ispol'zovat' te
pravila vyvoda, kotorye, dlya nashego luchshego ponimaniya, zastavyat nashi simvoly
vesti sebya v umestnoj stepeni kak abstraktnye kategorii, kotorye oni
oboznachayut. Kak my mozhem byt' uvereny, chto oni budut vesti sebya imenno tak?
A my i ne mozhem byt' uvereny v etom. Predpolozhim, chto nekotorye kritiki
vozrazhayut protiv nashih pravil vyvoda, potomu chto oni schitayut, chto nashi
simvoly budut vesti sebya otlichno ot abstraktnyh kategorij. My ne mozhem ni
vzyvat' k avtoritetu Aristotelya ili Platona, ni dokazat', chto nashi pravila
vyvoda bezoshibochny (za isklyucheniem teoremy Gedelya, eto privelo by k
beskonechnomu regressu, ibo snachala nam prishlos' by dokazat' obosnovannost'
samogo metoda dokazatel'stva, ispol'zuemogo nami). Ne mozhem my i nadmenno
skazat' kritikam, chto u nih chto-to ne v poryadke s intuiciej, potomu chto nasha
intuiciya govorit, chto simvoly budut kopirovat' abstraktnye kategorii v
sovershenstve. Vse, chto my mozhem sdelat', -- eto ob®yasnit'. My dolzhny
ob®yasnit', pochemu my dumaem, chto pri opredelennyh obstoyatel'stvah simvoly
budut vesti sebya zhelaemym obrazom v sootvetstvii s vyskazannymi nami
pravilami. A kritiki mogut ob®yasnit', pochemu oni predpochitayut teoriyu,
konkuriruyushchuyu s nashej. Rashozhdenie vo mneniyah otnositel'no dvuh takih teorij
-- eto chastichno rashozhdenie vo mneniyah otnositel'no nablyudaemogo povedeniya
fizicheskih ob®ektov. Takogo roda rashozhdeniya mogut byt' adresovany
normal'nymi metodami nauki. Inogda oni legko razreshimy, a inogda -- net.
Drugoj prichinoj podobnogo rashozhdeniya mozhet stat' konceptual'nyj konflikt,
svyazannyj s prirodoj samih abstraktnyh kategorij. I vnov' delo za
konkuriruyushchimi ob®yasneniyami, na etot raz ob®yasneniyami ne fizicheskih
ob®ektov, a abstraktnyh kategorij. Libo my pridem k obshchemu ponimaniyu so
svoimi kritikami, libo soglasimsya, chto govorim o dvuh razlichnyh abstraktnyh
ob®ektah, libo voobshche ne pridem k soglasiyu. Net nikakih garantij. Takim
obrazom, v protivopolozhnost' tradicionnomu ubezhdeniyu, spory v matematike ne
vsegda mozhno razreshit' s pomoshch'yu isklyuchitel'no metodologicheskih sredstv.
Na pervyj vzglyad, harakter tradicionnogo simvolicheskogo dokazatel'stva
kazhetsya ves'ma otlichnym ot haraktera "prakticheskogo" virtual'nogo
dokazatel'stva. No teper' my vidim, chto oni otnosyatsya drug k drugu tak zhe,
kak vychisleniya otnosyatsya k fizicheskim eksperimentam. Lyuboj fizicheskij
eksperiment mozhno rassmatrivat' kak vychislenie, i lyuboe vychislenie -- kak
fizicheskij eksperiment. V oboih vidah dokazatel'stva fizicheskimi kategoriyami
(nezavisimo ot togo, nahodyatsya oni v virtual'noj real'nosti ili net)
manipuliruyut v sootvetstvii s pravilami. V oboih vidah dokazatel'stva
fizicheskie kategorii predstavlyayut interesuyushchie nas abstraktnye kategorii. I
v oboih sluchayah nadezhnost' dokazatel'stva zavisit ot istinnosti teorii o
tom, chto fizicheskie i abstraktnye kategorii dejstvitel'no imeyut
sootvetstvuyushchie svojstva.
Iz vysheizlozhennogo rassuzhdeniya takzhe mozhno uvidet', chto dokazatel'stvo
-- eto fizicheskij process. V dejstvitel'nosti, dokazatel'stvo -- eto
raznovidnost' vychisleniya. "Dokazat'" vyskazyvanie znachit osushchestvit'
vychislenie, kotoroe, buduchi vypolnennym pravil'no, ustanavlivaet istinnost'
vyskazyvaniya. Ispol'zuya slovo "dokazatel'stvo" dlya oboznacheniya ob®ekta,
naprimer, teksta, napisannogo chernilami na bumage, my imeem v vidu, chto etot
ob®ekt mozhno ispol'zovat' v kachestve programmy dlya vossozdaniya vychisleniya
sootvetstvuyushchego vida.
Sledovatel'no, ni matematicheskie teoremy, ni process matematicheskogo
dokazatel'stva, ni vpechatlenie o matematicheskoj intuicii ne podtverzhdaet
nikakuyu opredelennost'. Nichto ne podtverzhdaet ee. Nashe matematicheskoe
znanie, tak zhe kak i nashe nauchnoe znanie, mozhet byt' glubokim i shirokim,
mozhet byt' neulovimym i udivitel'no ob®yasnitel'nym, mozhet byt' prinyatym bez
raznoglasij; no ono ne mozhet byt' opredelennym. Nikto ne mozhet
garantirovat', chto v dokazatel'stve, kotoroe ranee schitalos' obosnovannym,
odnazhdy ne obnaruzhat glubokoe nedorazumenie, kazavsheesya estestvennym iz-za
ranee nesomnennogo "samoochevidnogo" dopushcheniya o fizicheskom mire, ili ob
abstraktnom mire, ili ob otnoshenii nekotoryh fizicheskih i abstraktnyh
kategorij.
Imenno takoe oshibochnoe, samoochevidnoe dopushchenie privelo k tomu, chto
samu geometriyu oshibochno klassificirovali kak razdel matematiki v techenie
dvuh tysyacheletij, priblizitel'no s 300 goda do n.e., kogda Evklid napisal
svoj trud "|lementy", do devyatnadcatogo veka (a v nekotoryh slovaryah i
shkol'nyh uchebnikah do segodnyashnego dnya). Geometriya Evklida sformirovala
chast' intuicii lyubogo matematika. V konechnom schete, nekotorye matematiki
nachali somnevat'sya v samoochevidnosti, v chastnosti, odnoj iz aksiom Evklida
(tak nazyvaemoj "aksiomy o parallel'nyh"). Snachala oni ne somnevalis' v
istinnosti etoj aksiomy. Govoryat, chto velikij nemeckij matematik Karl
Fridrih Gauss byl pervym, kto podverg ee proverke. Aksioma o parallel'nyh
neobhodima pri dokazatel'stve togo, chto summa uglov treugol'nika sostavlyaet
180°. Legenda glasit, chto v sovershennoj sekretnosti (iz-za boyazni byt'
osmeyannym) Gauss razmestil svoih assistentov s fonaryami i teodolitami na
vershinah treh holmov, chtoby vblizi izmerit' vershiny samogo bol'shogo
treugol'nika. On ne obnaruzhil nikakih otklonenij ot predskazanij Evklida,
odnako teper' my znaem, chto eto proizoshlo potomu, chto ego instrumenty ne
obladali dostatochnoj chuvstvitel'nost'yu. (S geometricheskoj tochki zreniya
okrestnost' Zemli okazyvaetsya dovol'no passivnym mestom). Obshchaya teoriya
otnositel'nosti |jnshtejna vklyuchala novuyu teoriyu geometrii, kotoraya
protivorechila geometrii Evklida i byla dokazana eksperimental'no. Summa
uglov real'nogo treugol'nika v dejstvitel'nosti ne obyazatel'no sostavlyaet
180°: istinnaya summa zavisit ot gravitacionnogo polya vnutri etogo
treugol'nika.
Ves'ma pohozhaya oshibochnaya klassifikaciya byla vyzvana fundamental'noj
oshibkoj otnositel'no samoj prirody matematiki, kotoruyu matematiki dopuskali
s antichnyh vremen, a imenno, chto matematicheskoe znanie bolee opredelenno,
chem kakaya-libo drugaya forma znaniya. Takaya oshibka ne ostavlyaet vybora
klassifikacii teorii dokazatel'stva, krome kak chasti matematiki, poskol'ku
matematicheskaya teorema ne mozhet byt' opredelennoj, esli teoriya,
podtverzhdayushchaya metod ee dokazatel'stva, sama po sebe neopredelenna. No kak
my tol'ko chto videli, teoriya dokazatel'stva ne yavlyaetsya razdelom matematiki
-- ona yavlyaetsya naukoj. Dokazatel'stva ne abstraktny. Ne sushchestvuet
abstraktnogo dokazatel'stvo chego-libo, tak zhe, kak ne sushchestvuet
abstraktnogo vychisleniya chego-libo. Konechno, mozhno opredelit' klass
abstraktnyh kategorij i nazvat' ih "dokazatel'stvami", no eti
"dokazatel'stva" ne mogut podtverdit' matematicheskie utverzhdeniya, potomu chto
ih nevozmozhno uvidet'. Oni mogut ubedit' kogo-libo v istinnosti vyskazyvaniya
ne bolee, chem abstraktnyj generator virtual'noj real'nosti, kotoryj
fizicheski ne sushchestvuet, mozhet ubedit' lyudej, chto oni nahodyatsya v drugoj
srede, ili abstraktnyj komp'yuter mozhet razlozhit' na mnozhiteli chislo.
Matematicheskaya "teoriya dokazatel'stv" ne imela by nikakogo otnosheniya k tomu,
kakie matematicheskie istiny mozhno ili nel'zya dokazat' v dejstvitel'nosti,
tochno tak zhe, kak teoriya abstraktnogo "vychisleniya" ne imeet nikakogo
otnosheniya k tomu, chto matematiki -- ili kto-to eshche -- mogut ili ne mogut
vychislit' v real'nosti, po krajnej mere, esli ne sushchestvuet otdel'noj
empiricheskoj prichiny schitat', chto abstraktnye "vychisleniya" v etoj teorii
pohozhi na real'nye vychisleniya. Vychisleniya, vklyuchaya i osobye vychisleniya,
kvalificiruemye kak dokazatel'stva, -- eto fizicheskie processy. Teoriya
dokazatel'stv govorit o tom, kak obespechit', chtoby eti processy pravil'no
imitirovali abstraktnye kategorii, kotorye oni dolzhny imitirovat'.
Teoremy Gedelya nazyvali "pervymi novymi teoremami chistoj logiki za dve
tysyachi let". No eto ne tak: teoremy Gedelya govoryat o tom, chto mozhno, a chto
nel'zya dokazat', a dokazatel'stvo -- eto fizicheskij Process. V teorii
dokazatel'stva net nichego, chto kasalos' by tol'ko chistoj logiki. Novyj
sposob dokazatel'stva Gedelem obshchih utverzhdenij o dokazatel'stvah zavisit ot
opredelennyh dopushchenij o tom, kakie fizicheskie processy mogut ili ne mogut
predstavit' abstraktnyj fakt tak. chto nablyudatel' smozhet obnaruzhit' ego i
ubedit'sya, blagodarya emu. Gedel' perevel takie dopushcheniya v yavnoe i
vyrazhennoe neverbal'no dokazatel'stvo svoih rezul'tatov. Ego rezul'taty byli
samoochevidno dokazannymi ne potomu, chto byli "chisto logicheskimi", a potomu,
chto matematiki nashli eti dopushcheniya samoochevidnymi.
Odno iz sdelannyh Gedelem dopushchenij bylo tradicionnym: dokazatel'stvo
mozhet imet' tol'ko konechnoe chislo etapov. Intuitivnoe dokazatel'stvo etogo
dopushcheniya sostoit v tom, chto my konechnye sushchestva i nikogda ne smogli by
postich' bukval'no beskonechnoe chislo utverzhdenij. Kstati, imenno eta intuiciya
stala prichinoj bespokojstva mnogih matematikov, kogda v 1976 godu Kennet
|ppel i Vol'fgang Haken ispol'zovali komp'yuter dlya dokazatel'stva znamenitoj
"gipotezy chetyreh cvetov" (o tom, chto, ispol'zuya vsego chetyre raznyh cveta,
lyubuyu kartu, narisovannuyu na ploskosti, mozhno raskrasit' tak, chto nikakie
dva primykayushchih rajona ne budut imet' odinakovyj cvet). Programma trebovala
sotni chasov mashinnogo vremeni, chto oznachalo, chto etapy dokazatel'stva, esli
ono bylo by zapisano, ne smog by prochitat' ni odin chelovek za mnogo zhiznej,
ne govorya uzhe o tom, chtoby priznat' ego samoochevidnym. "Sleduet li
vosprinimat' slovo komp'yutera kak to, chto gipoteza chetyreh cvetov dokazana?"
-- zadavalis' voprosom skeptiki -- hotya im i v golovu nikogda ne prihodilo
sostavit' katalog vseh impul'sov vseh nejronov svoego sobstvennogo mozga pri
prinyatii otnositel'no "prostogo" dokazatel'stva.
Takoe zhe bespokojstvo mozhet pokazat'sya bolee opravdannym, buduchi
primenennym k predpolagaemomu resheniyu s beskonechnym chislom etapov. No chto
takoe "etap" i chto takoe "beskonechnyj"? V pyatom veke do n.e. Zenon iz |lei
na osnove pohozhej intuicii prishel k vyvodu, CHto Ahilles nikogda ne obgonit
cherepahu, esli u cherepahi budet preimushchestvo na starte. Kak-nikak, k tomu
vremeni, kogda Ahilles poravnyaetsya s cherepahoj, ona eshche nemnozhko prodvinetsya
vpered. K tomu vremeni, kogda on dostignet etoj tochki, ona prodvinetsya eshche
chut'-chut' i tak do beskonechnosti. Takim obrazom, eta procedura "obgona"
potrebuet ot Ahillesa vypolneniya beskonechnogo kolichestva etapov obgona,
kotoroe on, buduchi konechnym sushchestvom, predpolozhitel'no vypolnit' ne smozhet.
No to, chto Ahilles smozhet sdelat', nevozmozhno obnaruzhit' s pomoshch'yu chistoj
logiki. |to polnost'yu zavisit ot togo, chto on smozhet sdelat' v sootvetstvii
s upravlyayushchimi zakonami fiziki. I esli eti zakony skazhut, chto on obgonit
cherepahu, to on ee obgonit. V sootvetstvii s klassicheskoj fizikoj obgon
trebuet beskonechnogo kolichestva etapov vida "perehod na nastoyashchee mesto
nahozhdeniya cherepahi". V etom smysle dannoe dejstvie yavlyaetsya vychislitel'no
beskonechnym. Tochno tak zhe, esli rassmatrivat' kak dokazatel'stvo to, chto
odna abstraktnaya velichina stanovitsya bol'she drugoj pri primenenii dannogo
nabora dejstvij, to eto dokazatel'stvo s beskonechnym kolichestvom etapov.
Odnako sootvetstvuyushchie zakony oboznachayut eto dokazatel'stvo kak fizicheski
konechnyj process -- i tol'ko eto imeet znachenie.
Intuiciya Gedelya otnositel'no etapov i konechnosti, naskol'ko nam
izvestno, dejstvitel'no nakladyvaet nekotorye fizicheskie ogranicheniya na
process dokazatel'stva. Kvantovaya teoriya trebuet diskretnyh etapov, i ni
odin iz izvestnyh sposobov vzaimodejstviya fizicheskih ob®ektov ne pozvolil by
beskonechnomu kolichestvu etapov prevzojti izmerimyj vyvod. (Odnako, moglo by
okazat'sya vozmozhnym, chto za vsyu istoriyu vselennoj bylo by vypolneno
beskonechnoe kolichestvo etapov -- ya ob®yasnyu eto v glave 14). Klassicheskaya
fizika, dazhe bud' ona istinnoj (chto isklyucheno), ne soglasilas' by s takogo
roda intuiciej. Naprimer, nepreryvnoe dvizhenie klassicheskih sistem
predusmotrelo by "analogichnoe" vychislenie, v kotorom bylo by ne slishkom
mnogo etapov i kotoroe obladalo by repertuarom, sushchestvenno otlichayushchimsya ot
mashiny T'yuringa. Izvestny nekotorye primery hitrospletennyh klassicheskih
zakonov, v sootvetstvii s kotorymi beskonechnyj ob®em vychislenij (beskonechnyj
v sootvetstvii s normami mashiny T'yuringa ili kvantovogo komp'yutera) mozhno
bylo by vypolnit' s pomoshch'yu fizicheski konechnyh metodov. Bezuslovno,
klassicheskaya fizika nesovmestima s rezul'tatami beschislennyh eksperimentov,
poetomu razmyshlenie o tom, kakimi "byli by" "dejstvitel'nye" klassicheskie
zakony fiziki, nosit ves'ma iskusstvennyj harakter: odnako eti primery
pokazyvayut, chto nikto ne mozhet dokazat', nezavisimo ot znaniya fiziki, chto
dokazatel'stvo dolzhno sostoyat' iz konechnogo chisla etapov. |ti zhe soobrazheniya
primenimy k intuicii o tom, chto dolzhno byt' konechnoe kolichestvo pravil
vyvoda i chto oni dolzhny byt' "primenimy napryamuyu". Ni odno iz etih
trebovanij ne imeet smysla dlya abstraktnogo: eto fizicheskie trebovaniya.
Gil'bert v svoem vliyatel'nom esse "On the Infinite" so znaniem dela vysmeyal
ideyu real'nosti trebovaniya "konechnogo kolichestva stupenej". Odnako
vysheukazannyj argument pokazyvaet, chto on oshibalsya: eto trebovanie real'no,
i ono sleduet tol'ko iz fizicheskoj intuicii samogo Gil'berta i drugih
matematikov.
Po krajnej mere, odno iz napravlenij intuicii Gedelya otnositel'no
dokazatel'stva, okazyvaetsya, bylo oshibochnym; k schast'yu, eto nikak ne vliyaet
na dokazatel'stva ego teorem. On unasledoval eto napravlenie iz predystorii
grecheskoj matematiki, i ono ne vyzyvalo somnenij ni u odnogo pokoleniya
matematikov do teh por, poka v 1908 godu otkrytiya v oblasti kvantovoj teorii
vychislenij ne dokazali ego lozhnost'. |to napravlenie intuicii zaklyuchaetsya v
tom, chto dokazatel'stvo -- eto konkretnaya raznovidnost' ob®ekta, a imenno,
posledovatel'nost' utverzhdenij, kotoraya podchinyaetsya pravilam vyvoda. YA uzhe
govoril o tom, chto dokazatel'stvo luchshe rassmatrivat' ne kak ob®ekt, a kak
process, raznovidnost' vychislenij. Odnako v klassicheskoj teorii
dokazatel'stva ili vychisleniya eto ne delaet fundamental'noj raznicy po
sleduyushchej prichine. Esli my mozhem projti cherez process dokazatel'stva, my
mozhem tol'ko s nebol'shim dopolnitel'nym usiliem vesti zapis' vsego vazhnogo,
chto proishodit vo vremya etogo processa. |ta zapis', fizicheskij ob®ekt,
sostavit dokazatel'stvo v smysle posledovatel'nosti utverzhdenij. II
naoborot, esli by u nas byla takaya zapis', my mogli by prochitat' ee,
proverit', udovletvoryaet li ona pravilam vyvoda, i v processe etogo my
dokazhem vyvod. Drugimi slovami, v klassicheskom sluchae preobrazovanie
processov dokazatel'stva i ob®ektov dokazatel'stva -- eto vsegda
legkovychislyaemaya zadacha.
Teper' davajte rassmotrim nekotoroe matematicheskoe vychislenie, kotoroe
yavlyaetsya trudnovypolnimym na vseh klassicheskih komp'yuterah, no predpolozhim,
chto kvantovyj komp'yuter legko mozhet vypolnit' eto vychislenie, zadejstvovav
interferenciyu mezhdu, skazhem. 10500 vselennymi. CHtoby proyasnit' eto, pust'
vychislenie budet takovo, chto otvet posle ego polucheniya (v otlichie ot
rezul'tata razlozheniya na mnozhiteli) nevozmozhno budet proverit' s pomoshch'yu
legkoobrabatyvaemyh vychislenij. Process programmirovaniya kvantovogo
komp'yutera dlya polucheniya vychislenij takogo roda, obrabotki programmy i
polucheniya rezul'tata sostavlyaet dokazatel'stvo togo, chto matematicheskoe
vychislenie imeet imenno etot chastnyj rezul'tat. No v etom sluchae ne
sushchestvuet sposoba zapisat' vse, chto proizoshlo vo vremya processa
dokazatel'stva, potomu chto bol'shaya chast' etogo proizoshla v drugih vselennyh,
i izmerenie sostoyaniya vychisleniya izmenilo by interferencionnye svojstva i
tem samym lishilo by dokazatel'stvo obosnovannosti. Takim obrazom, sozdanie
staromodnogo ob®ekta dokazatel'stva bylo by nevozmozhno; bolee togo, vo
vselennoj, kak my ee znaem, daleko ne dostatochno materiala, chtoby sostavit'
takoj ob®ekt, poskol'ku v etom dokazatel'stve etapov bylo by bol'she, chem
sushchestvuet atomov v izvestnoj vselennoj. |tot primer pokazyvaet, chto iz-za
vozmozhnosti kvantovogo vychisleniya dva ponyatiya dokazatel'stva ne
ekvivalentny. Intuiciya dokazatel'stva kak ob®ekta ne ohvatyvaet vse sposoby,
s pomoshch'yu kotoryh mozhno dokazat' matematicheskoe utverzhdenie v real'nosti.
I opyat' my vidim neadekvatnost' tradicionnogo matematicheskogo metoda
polucheniya opredelennosti cherez popytki isklyuchit' kazhdyj vozmozhnyj istochnik
neopredelennosti ili oshibki iz nashej intuicii do teh por, poka ne ostanetsya
tol'ko samoochevidnaya istina. Imenno eto i sdelal Gedel'. Imenno eto delali
CHerch, Post i osobenno T'yuring, kogda oni pytalis' intuitivno postich' svoi
universal'nye modeli vychisleniya. T'yuring nadeyalsya, chto ego abstraktnaya
bumazhnaya model' nastol'ko prosta, nastol'ko otkryta i chetko opredelena, chto
ne zavisit ni ot kakih dopushchenij otnositel'no fiziki, kotorye mozhno bylo by
iskazit' postizhimym obrazom, i, sledovatel'no, ona mozhet stat' osnovoj
abstraktnoj teorii vychisleniya, nezavisimoj ot lezhashchej v ee osnove fiziki.
"On schital, -- kak odnazhdy vyrazilsya Fejnman, -- chto on ponyal bumagu". No on
oshibalsya. Real'naya, kvantovo-mehanicheskaya bumaga ochen' otlichaetsya ot
abstraktnogo materiala, ispol'zuemogo mashinoj T'yuringa. Mashina T'yuringa
yavlyaetsya vsecelo klassicheskoj, ona ne prinimaet vo vnimanie vozmozhnost'
togo, chto na bumage mogut byt' napisany razlichnye simvoly v razlichnyh
vselennyh i chto oni mogut interferirovat' drug s drugom. Bezuslovno, iskat'
interferenciyu mezhdu razlichnymi sostoyaniyami bumazhnoj centy nepraktichno. No
delo v tom, chto intuiciya T'yuringa, iz-za soderzhaniya v nej lozhnyh dopushchenij
iz klassicheskoj fiziki, zastavila ego udalit' te vychislitel'nye svojstva ego
gipoteticheskoj mashiny, kotorye on namerevalsya sohranit'. Imenno poetomu
rezul'tiruyushchaya model' vychisleniya byla nepolnoj.
Razlichnye oshibki, kotorye matematiki vo vse vremena dopuskali v tom,
chto kasaetsya dokazatel'stva i opredelennosti, vpolne estestvenny. Nastoyashchee
obsuzhdenie imeet svoej cel'yu privesti nas k ozhidaniyu togo, chto sovremennaya
tochka zreniya tozhe ne budet vechnoj. No uverennost', s kotoroj matematiki
natykalis' na eti oshibki, a takzhe ih nesposobnost' priznat' dazhe vozmozhnost'
oshibki vo vsem etom, na Moj vzglyad, svyazana s drevnej i shiroko
rasprostranennoj putanicej mezhdu metodami matematiki i ee predmetom. Sejchas
ya poyasnyu eto. V otlichie ot otnoshenij mezhdu fizicheskimi kategoriyami,
otnosheniya mezhdu abstraktnymi kategoriyami nezavisimy ot kakih by to ni bylo
nepredvidennyh faktov i zakonov fiziki. Oni absolyutno i ob®ektivno
opredelyayutsya avtonomnymi svojstvami samih abstraktnyh kategorij. Matematika,
izuchayushchaya eti otnosheniya i svojstva, takim Obrazom, izuchaet absolyutno
neobhodimye istiny. Drugimi slovami, Istiny, izuchaemye matematikoj,
absolyutno opredelenny. No eto ne govorit ni ob opredelennosti samogo nashego
znaniya etih neobhodimyh istin, ni o tom, chto metody matematiki dayut svoim
vyvodam neobhodimuyu im istinnost'. Kak-nikak, matematika izuchaet eshche i
lozhnye utverzhdeniya i paradoksy. I eto ne oznachaet, chto vyvody podobnogo
izucheniya nepremenno yavlyayutsya lozhnymi ili paradoksal'nymi. Neobhodimaya istina
-- eto vsego lish' predmet matematiki, a ne nagrada za to, chto my zanimaemsya
matematikoj. Matematicheskaya opredelennost' ne yavlyaetsya i ne mozhet yavlyat'sya
cel'yu matematiki. Ee cel'yu yavlyaetsya dazhe ne matematicheskaya istina,
opredelennaya ili kakaya-nibud' eshche. Ee cel'yu yavlyaetsya i dolzhno yavlyat'sya
matematicheskoe ob®yasnenie.
Pochemu zhe togda matematika rabotaet tak, kak ona rabotaet? Pochemu ona
vedet k vyvodam, kotorye, nesmotrya na ih neopredelennost'. Mozhno prinimat' i
bez problem primenyat', po krajnej mere, v techenie tysyachi let? V konechnom
schete, prichina v tom, chto nekotoraya chast' nashego znaniya fizicheskogo mira
stol' zhe nadezhna i neprotivorechiva. A kogda my ponimaem fizicheskij mir
dostatochno horosho, my takzhe ponimaem, kakie fizicheskie ob®ekty imeyut obshchie
svojstva s abstraktnymi. No, v principe, nadezhnost' nashego znaniya matematiki
ostaetsya vtorostepennoj po otnosheniyu k nashemu znaniyu fizicheskoj real'nosti.
Obosnovannost' kazhdogo matematicheskogo dokazatel'stva polnost'yu zavisit ot
togo, pravy li my otnositel'no pravil, upravlyayushchih povedeniem kakih-libo
fizicheskih ob®ektov, bud' to generatory virtual'noj real'nosti, chernila i
bumaga ili nash sobstvennyj mozg.
Takim obrazom, matematicheskaya intuiciya -- eto vid fizicheskoj intuicii.
Fizicheskaya intuiciya -- nabor empiricheskih pravil (nekotorye iz kotoryh
vozmozhno vrozhdennye, a bol'shaya chast' -- razvivshiesya v detstve), o tom, kak
vedet sebya fizicheskij mir. Naprimer, u nas est' intuiciya sushchestvovaniya
fizicheskih ob®ektov i togo, chto eti ob®ekty obladayut opredelennymi
svojstvami: formoj, cvetom, vesom i polozheniem v prostranstve, nekotorye iz
etih svojstv sushchestvuyut, dazhe kogda za etimi ob®ektami ne nablyudayut. Drugaya
intuiciya zaklyuchaetsya v tom, chto sushchestvuet fizicheskaya peremennaya -- vremya --
po otnosheniyu k kotoroj izmenyayutsya svojstva, no, tem ne menee, ob®ekty
sposobny sohranyat' svoyu identichnost' s techeniem vremeni. Eshche odna intuiciya
zaklyuchaetsya v tom, chto ob®ekty vzaimodejstvuyut i chto eto vzaimodejstvie
mozhet izmenit' nekotorye ih svojstva. Matematicheskaya intuiciya opisyvaet
sposob demonstracii svojstv abstraktnyh kategorij fizicheskim mirom. Odnim iz
takih napravlenij intuicii yavlyaetsya abstraktnyj zakon ili, po krajnej mere,
ob®yasnenie, lezhashchee v osnove povedeniya ob®ektov. Intuiciyu, predpolagayushchuyu,
chto prostranstvo dopuskaet zamknutye poverhnosti, otdelyayushchie "vnutrennyuyu
chast'" ot "naruzhnoj chasti", mozhno utochnit', preobrazovav ee v matematicheskuyu
intuiciyu mnozhestva, razdelyayushchego vse na chleny i nechleny etogo mnozhestva.
Odnako dal'nejshee utochnenie matematikami (nachinaya s oproverzheniya Rasselom
teorii mnozhestv Frege) pokazalo, chto eta intuiciya perestaet byt' tochnoj,
kogda rassmatrivaemoe mnozhestvo soderzhit "slishkom mnogo" chlenov (slishkom
bol'shuyu stepen' beskonechnosti chlenov).
Dazhe esli by hot' kakaya-to fizicheskaya ili matematicheskaya intuiciya byla
vrozhdennoj, eto ne predostavilo by ej kakogo-to osobogo avtoriteta.
Vrozhdennuyu intuiciyu nevozmozhno vosprinimat' kak surrogat "vospominanij"
Platona o mire Form. Ibo lozhnost' mnogih napravlenij intuicii, kotorye
sluchajno razvilis' u lyudej v processe evolyucii, -- banal'noe nablyudenie.
Naprimer, chelovecheskij glaz i matematicheskoe obespechenie, kotoroe im
upravlyaet, voploshchayut lozhnuyu teoriyu o tom, chto zheltyj svet sostoit iz smesi
krasnogo i zelenogo sveta (v smysle, chto zheltyj svet daet nam tochno takoe zhe
oshchushchenie kak smes' krasnogo i zelenogo sveta). V real'nosti vse tri tipa
sveta imeyut raznye chastoty i ne mogut byt' sozdany posredstvom smeshivaniya
sveta drugih chastot. Tot fakt, chto smes' krasnogo i zelenogo sveta kazhetsya
nam zheltym svetom, ne imeet nichego obshchego so svojstvami sveta, no svyazan so
svojstvami nashih glaz. |to rezul'tat kompromissa, imevshego mesto na kakom-to
etape otdalennoj evolyucii nashih dalekih predkov. Sushchestvuet tol'ko
vozmozhnost' (hotya ya v nee ne veryu), chto geometriya Evklida ili logika
Aristotelya kakim-to obrazom vstroeny v strukturu nashego mozga, kak schital
filosof Immanuil Kant. No eto logicheski ne oznachalo by ih istinnosti. Dazhe
esli predstavit' eshche bolee neveroyatnyj sluchaj, chto u nas est' vrozhdennaya
intuiciya, ot kotoroj my ne v sostoyanii izbavit'sya, takaya intuiciya, tem ne
menee, ne stala by neobhodimoj istinoj.
Znachit, real'nost' dejstvitel'no imeet bolee ob®edinennuyu strukturu,
chem eto bylo by vozmozhno, esli by matematicheskoe znanie mozhno bylo proverit'
s opredelennost'yu. A sledovatel'no, ee struktura -- eto ierarhiya, kak i
schitalos' tradicionno. Matematicheskie kategorii yavlyayutsya chast'yu struktury
real'nosti, poskol'ku oni slozhny i avtonomny. Sozdavaemaya imi real'nost'
nekotorym obrazom pohozha na oblast' abstrakcij, o kotoroj razmyshlyali Platon
i Penrouz: nesmotrya na to, chto po opredeleniyu oni neosyazaemy, oni ob®ektivno
sushchestvuyut i imeyut svojstva, nezavisimye ot zakonov fiziki. Odnako imenno
fizika pozvolyaet nam priobresti znanie ob etoj oblasti. I ona nakladyvaet
strogie ogranicheniya. Togda kak v fizicheskoj real'nosti postizhimo vse,
postizhimye matematicheskie istiny v tochnosti sostavlyayut beskonechno maloe
men'shinstvo, kotoroe okazyvaetsya v tochnosti sootvetstvuyushchim kakoj-to
fizicheskoj istine -- kak tot fakt, chto esli opredelennymi simvolami,
napisannymi chernilami na bumage, manipulirovat' opredelennym obrazom,
poyavyatsya drugie opredelennye simvoly. To est', eto i est' te istiny, kotorye
mozhno peredat' v virtual'noj real'nosti. U nas net drugogo vybora, krome kak
prinyat', chto nepostizhimye matematicheskie kategorii tozhe real'ny, t.k. oni
slozhnym obrazom voznikayut v nashih ob®yasneniyah postizhimyh kategorij.
Sushchestvuyut fizicheskie ob®ekty, naprimer, pal'cy, komp'yutery i mozg,
povedenie kotoryh mozhet modelirovat' povedenie opredelennyh abstraktnyh
ob®ektov. Takim obrazom, struktura fizicheskoj real'nosti daet nam okno v mir
abstrakcij. |to ochen' uzkoe okno, ono predostavlyaet tol'ko ogranichennyj
diapazon perspektiv. Nekotorye iz struktur, kotorye my vidim iz nego,
naprimer, natural'nye chisla ili pravila vyvoda klassicheskoj logiki, kazhutsya
takimi zhe vazhnymi ili "fundamental'nymi" dlya abstraktnogo mira, kakimi
glubokie zakony prirody yavlyayutsya dlya fizicheskogo mira. No eta vidimost'
mozhet vvesti v zabluzhdenie. Poskol'ku dejstvitel'no my vidim tol'ko to, chto
nekotorye abstraktnye struktury fundamental'ny po otnosheniyu k nashemu
ponimaniyu abstrakcij, u nas net nikakoj prichiny schitat', chto eti struktury
ob®ektivno vazhny v abstraktnom mire. Prosto nekotorye abstraktnye kategorii
blizhe, chem drugie, i ih proshche uvidet' iz nashego okna.
TERMINOLOGIYA
Matematika -- izuchenie absolyutno neobhodimyh istin.
Dokazatel'stvo -- sposob ustanovleniya istinnosti matematicheskih
vyskazyvanij.
(Tradicionnoe opredelenie): posledovatel'nost' utverzhdenij, kotoraya
nachinaetsya s nekotoryh posylok, zakanchivaetsya zhelaemym vyvodom i
udovletvoryaet opredelennym "pravilam vyvoda".
(Luchshee opredelenie): vychislenie, modeliruyushchee svojstva kakoj-to
abstraktnoj kategorii, rezul'tat kotorogo ustanavlivaet, chto abstraktnaya
kategoriya obladaet dannym svojstvom.
Matematicheskaya intuiciya (tradicionnoe) -- vysshij samoochevidnyj istochnik
dokazatel'stva v matematicheskom rassuzhdenii.
(Dejstvitel'noe): Mnozhestvo teorij (osoznannyh i neosoznannyh) o
povedenii opredelennyh fizicheskih ob®ektov, povedenie kotoryh modeliruet
povedenie interesnyh abstraktnyh kategorij.
Intuicionizm -- doktrina, svyazannaya s tem, chto vse rassuzhdenie ob
abstraktnyh kategoriyah nenadezhno, krome togo sluchaya, kogda ono osnovano na
pryamoj samoochevidnoj intuicii. |to matematicheskaya versiya solipsizma.
Desyataya zadacha Gil'berta -- "raz i navsegda ustanovit' opredelennost'
matematicheskih metodov", najdya nabor pravil vyvoda, dostatochnyj dlya vseh
obosnovannyh dokazatel'stv, i zatem dokazat' sostoyatel'nost' etih pravil v
sootvetstvii s ih sobstvennymi normami.
Teorema Gedelya o nepolnote -- dokazatel'stvo togo, chto desyataya zadacha
Gil'berta ne imeet resheniya. Dlya lyubogo nabora pravil vyvoda sushchestvuyut
obosnovannye dokazatel'stva, kotorye eti pravila ne opredelyayut kak takovye.
REZYUME
Slozhnye i avtonomnye abstraktnye kategorii ob®ektivno sushchestvuyut i
yavlyayutsya chast'yu struktury real'nosti. Sushchestvuyut logicheski neobhodimye
istiny ob etih kategoriyah, kotorye i sostavlyayut predmet matematiki. Odnako,
eti istiny nevozmozhno znat' opredelenno. Dokazatel'stva ne dayut ih vyvodam
opredelennost'. Obosnovannost' konkretnoj formy dokazatel'stva zavisit ot
istinnosti nashih teorij o povedenii ob®ektov, s pomoshch'yu kotoryh my
osushchestvlyaem dokazatel'stvo. Sledovatel'no, matematicheskoe znanie
nasledstvenno proizvodno i polnost'yu zavisit ot nashego znaniya fiziki.
Postizhimye matematicheskie istiny -- eto v tochnosti to beskonechno maloe
men'shinstvo, kotoroe mozhno peredat' v virtual'noj real'nosti. Odnako
nepostizhimye matematicheskie kategorii (naprimer, sredy Kantgoutu) tozhe
sushchestvuyut, t. k. oni slozhnym obrazom poyavlyayutsya v nashih ob®yasneniyah
postizhimyh kategorij.
YA skazal, chto vychislenie vsegda bylo kvantovoj koncepciej, potomu chto
klassicheskaya fizika nesovmestima s intuiciej, sozdavshej osnovu klassicheskoj
teorii vychisleniya. To zhe samoe otnositsya ko vremeni. Za tysyachu let do
kvantovoj teorii vremya bylo pervoj kvantovoj koncepciej.
Glava 11. Vremya: pervaya kvantovaya koncepciya
Kak dvizhetsya k zemle morskoj priboj,
Tak i ryady besschetnye minut,
Smenyaya predydushchie soboj,
Poocheredno k vechnosti begut.
Uil'yam SHekspir (Sonet 60)
Dazhe buduchi odnim iz naibolee znakomyh svojstv fizicheskogo mira, vremya
imeet reputaciyu gluboko zagadochnogo. Zagadka -- chast' samogo ponyatiya
vremeni, s kotorym my rastem. Svyatoj Avgustin, naprimer, skazal:
"CHto zhe togda est' vremya? Esli nikto ne sprosit menya, ya znayu; esli ya
zahochu ob®yasnit' eto tomu, kto sprosit, ya ne znayu". (Confessions)
Malo kto schitaet, chto rasstoyanie zagadochno, no to, chto vremya zagadochno,
znayut vse. I vsya zagadochnost' vremeni proistekaet iz ego osnovnogo
logicheskogo svojstva, a imenno, chto nastoyashchij moment, kotoryj my nazyvaem
"sejchas", ne stacionaren, a postoyanno dvizhetsya v napravlenii budushchego. |to
dvizhenie nazyvaetsya potokom vremeni.
My uvidim, chto potoka vremeni ne sushchestvuet. Tem ne menee, takoe
predstavlenie sovershenno obydenno. My prinimaem eto kak dolzhnoe nastol'ko,
chto eto prinimaetsya v samoj strukture nashego yazyka. V knige A Comprehensive
Grammar of the English Language Rendol'f Kvirk i ego soavtory ob®yasnyayut
koncepciyu vremeni s pomoshch'yu diagrammy, pokazannoj na risunke 11.1. Kazhdaya
tochka na linii predstavlyaet konkretnyj stacionarnyj moment. Treugol'nik "s"
pokazyvaet, gde na linii raspolozhena "nepreryvno dvizhushchayasya tochka, nastoyashchij
moment". Schitaetsya, chto ona dvizhetsya sleva napravo. Nekotorye lyudi, kak
SHekspir v procitirovannom vyshe sonete, schitayut opredelennye sobytiya
"stacionarnymi", a samu liniyu dvizhushchejsya mimo nih (sprava nalevo na risunke
11.1), tak chto momenty iz budushchego pronosyatsya mimo nastoyashchego momenta, chtoby
stat' proshlymi momentami.
"vremya mozhno schitat' liniej (teoreticheski, liniej beskonechnoj dlinny),
na kotoroj raspolozhen, kak postoyanno dvizhushchayasya tochka, nastoyashchij moment.
Vse chto nahoditsya pered nastoyashchim momentom, - v budushchem, vse chto
nahoditsya za nastoyashchim momentom, - v proshlom".
Ris. 11.1. Obshcheizvestnaya koncepciya vremeni, prinyataya v anglijskom yazyke
(osnovannaya na Kvirk i dr. A Comprehensive Grammar of the English Language,
. 175)
Ris. 11.2. Dvizhushchijsya ob®ekt kak posledovatel'nost' "snimkov", kotorye
odin za drugim stanovyatsya nastoyashchim momentom
CHto my podrazumevaem pod vyskazyvaniem "vremya mozhno schitat' liniej"? My
podrazumevaem, chto tochno tak zhe, kak liniyu mozhno schitat' posledovatel'nost'yu
tochek v razlichnyh polozheniyah, tak i lyuboj dvizhushchijsya ili izmenyayushchijsya ob®ekt
mozhno schitat' posledovatel'nost'yu nepodvizhnyh variantov "snimkov" samogo
sebya, po odnomu variantu v kazhdyj moment. Skazat', chto kazhdaya tochka linii
predstavlyaet konkretnyj moment, vse ravno, chto skazat', chto mozhno
predstavit' vse snimki sobrannymi vdol' linii, kak na risunke 11.2.
Nekotorye iz nih pokazyvayut vrashchayushchuyusya strelku, kakoj ona byla v proshlom,
Drugie pokazyvayut, kakoj ona budet v budushchem, a odin iz nih -- tot, na
kotoryj sejchas pokazyvaet dvizhushchijsya s -- pokazyvaet strelku takoj, kakaya
ona sejchas, hotya cherez mgnovenie etot konkretnyj variant strelki budet v
proshlom, potomu chto s peredvinetsya. Sovokupnost' mgnovennyh variantov
ob®ekta yavlyaetsya dvizhushchimsya ob®ektom v tom zhe smysle, v kakom
posledovatel'nost' nepodvizhnyh kartinok, sproecirovannyh na ekran, v
sovokupnosti yavlyaetsya fil'mom (dvizhushchejsya kartinkoj). Ni odna iz nih v
otdel'nosti ne izmenyaetsya. Izmenenie sostoit v tom, chto v posledovatel'nosti
na nih ukazyvaet ("osveshchaet") dvizhushchijsya s ("kinoproektor"), tak chto drug za
drugom, po ocheredi oni okazyvayutsya v nastoyashchem momente.
Sovremennye grammatisty starayutsya ne davat' sub®ektivnyh ocenok
ispol'zovaniya yazyka; oni starayutsya tol'ko zapisyvat', analizirovat' i
ponimat'. Sledovatel'no, Kvirka i dr. nikak nel'zya obvinit' v kachestve
teorii vremeni, opisyvaemoj imi. Oni ne pretenduyut na to, chto eto horoshaya
teoriya. Oni pretenduyut tol'ko na to, i, po-moemu, dovol'no pravil'no, chto
eto nasha teoriya. K sozhaleniyu, eta teoriya ne horosha. Skazhem pryamo, prichina
togo, chto teoriya vremeni iznachal'no zagadochna, v tom, chto ona iznachal'no
bessmyslenna. Delo ne sovsem v tom, chto ona fakticheski netochna. My uvidim,
chto ona ne imeet smysla dazhe sama po sebe.
Vozmozhno, vas eto udivit. My privykli vidoizmenyat' svoj zdravyj smysl,
chtoby prisposobit'sya k nauchnym otkrytiyam. Zdravyj smysl chasto okazyvaetsya
lozhnym, dazhe krajne lozhnym. No dlya zdravogo smysla neobychno byt'
bessmyslennym v tom, chto kasaetsya povsednevnogo opyta. Tem ne menee, imenno
eto i proizoshlo v dannom sluchae.
Rassmotrim snova risunok 11.2. On illyustriruet dvizhenie dvuh ob®ektov.
Odin iz nih -- eto vrashchayushchayasya strelka, pokazannaya v vide posledovatel'nosti
snimkov. Drugoj -- dvizhushchijsya "nastoyashchij moment", kotoryj peremeshchaetsya po
kartinke sleva napravo. Odnako dvizhenie nastoyashchego momenta ne pokazano na
kartinke v vide posledovatel'nosti snimkov. Vmesto etogo odin konkretnyj
moment vydelen s pomoshch'yu s, bolee temnyh linij i edinstvennoj nadpisi
"(sejchas)". Takim obrazom, dazhe nesmotrya na to, chto nadpis' glasit, chto
"sejchas" dvizhetsya po kartinke, pokazan tol'ko odin ego snimok, v odin
konkretnyj moment.
Pochemu? Kak-nikak, osnovnaya cel' etogo risunka -- pokazat', chto
proishodit ne v odin moment, a za bolee dlitel'nyj period. Esli by my
hoteli, chtoby na risunke byl pokazan tol'ko odin moment, nam bylo by
dostatochno pokazat' tol'ko odin snimok vrashchayushchejsya strelki. Risunok dolzhen
illyustrirovat' razumnuyu teoriyu o tom, chto lyuboj dvizhushchijsya ili izmenyayushchijsya
ob®ekt yavlyaetsya posledovatel'nost'yu snimkov, po odnomu snimku na kazhdyj
moment. Takim obrazom, esli dvizhetsya s, pochemu my ne pokazyvaem
posledovatel'nost' i ego snimkov? Odin pokazannyj snimok, dolzhno byt',
tol'ko odin iz mnozhestva snimkov, kotorye sushchestvovali by, esli by etot
risunok tochno opisyval princip dejstviya vremeni. V dejstvitel'nosti, v takom
vide etot risunok opredelenno vvodit v zabluzhdenie: on pokazyvaet, chto s ne
dvizhetsya, a skoree nachinaet sushchestvovat' v konkretnyj moment, a potom
nemedlenno prekrashchaet svoe sushchestvovanie. Esli by eto bylo tak, eto sdelalo
by "sejchas" stacionarnym momentom. Nichego ne znachit dobavlennaya mnoj nadpis'
"Dvizhenie nastoyashchego momenta" i shtrihpunktirnaya liniya, kotoraya pokazyvaet,
chto s dvizhetsya vpravo. Sam risunok, tak zhe, kak i diagramma Kvirk i dr.
(risunok 11.1), pokazyvaet, chto s nikogda ne dostignet momenta, otlichnogo ot
vydelennogo.
V luchshem sluchae, mozhno bylo skazat', chto risunok 11.2 -- eto
risunok-gibrid, kotoryj iskazhenno illyustriruet dvizhenie dvumya razlichnymi
sposobami. V otnoshenii dvizhushchejsya strelki on illyustriruet teoriyu vremeni.
Odnako risunok prosto utverzhdaet, chto nastoyashchij moment dvizhetsya, pri etom
pokazyvaya, chto on ne dvizhetsya. Kak nam sleduet izmenit' risunok, chtoby on
proillyustriroval teoriyu vremeni otnositel'no dvizheniya nastoyashchego momenta tak
zhe, kak i dvizheniya strelki? Vklyuchiv drugie snimki "s", po odnomu na kazhdyj
moment: kazhdyj snimok budet oboznachat', gde v etot moment nahoditsya
"sejchas". A gde ono nahoditsya? Ochevidno, chto v kazhdyj moment "sejchas"
yavlyaetsya etim samym mome