Kurs nachertatel'noj geometrii pod redakciej V.Gordon
---------------------------------------------------------------
OCR: Sergej Boldyrev
---------------------------------------------------------------
OGLAVLENIE
Predislovie redaktora k dvadcat' chetvertomu izdaniyu 6
Predislovie k vosemnadcatomu izdaniyu 7
Prinyatye oboznacheniya 8
Vvedenie 9
Glava I. Obrazovanie proekcij 10
§ 1. Proekcii central'nye 10
§ 2. Proekcii parallel'nye 11
§ 3. Metod Monzha 13
Voprosy k glave I 14
Glava P. Tochka i pryamaya 15
§ 4. Tochka v sisteme dvuh ploskostej proekcij ,, 2 15
§ 5. Tochka v sisteme treh ploskostej proekcij 1, 2, 3 17
Voprosy k §§ 4-5 18
§ 6. Ortogonal'nye proekcii i sistema pryamougol'nyh koordinat .... 18
§ 7. Tochka v chetvertyah i oktantah prostranstva 20
Voprosy k §§6-7 22
§ 8. Obrazovanie dopolnitel'nyh sistem ploskostej proekcij 22
§ 9. CHertezhi bez ukazaniya osej proekcij 24
Voprosy k §§ 8-9 25
§ 10. Proekcii otrezka pryamoj linii 25
§ 11. Osobye (chastnye) polozheniya pryamoj linii otnositel'no ploskostej
pro
ekcij 27
§ 12. Tochka na pryamoj. Sledy pryamoj 29
Voprosy k §§ 10-12 32
§ 13. Postroenie na chertezhe natural'noj velichiny otrezka pryamoj obshchego
polozheniya i uglov naklona pryamoj k ploskostyam proekcij 1 i 2 · · · 32
§ 14. Vzaimnoe polozhenie dvuh pryamyh 35
§ 15. O proekciyah ploskih uglov 37
Voprosy k §§ 13-15 40
Glava III. Ploskost' 42
§ 16. Razlichnye sposoby zadaniya ploskosti na chertezhe 42
§ 17. Sledy ploskosti 43
§ 18. Pryamaya i tochka v ploskosti. Pryamye osobogo polozheniya 44
Voprosy k §§ 16-18 49
§ 19. Polozheniya ploskosti otnositel'no ploskostej proekcij 49
Voprosy k § 19 54
§ 20. Provedenie proeciruyushchej ploskosti cherez pryamuyu liniyu 54
§ 21. Postroenie proekcij ploskih figur 55
Voprosy k §§ 20-21 61
Glava GU. Vzaimnoe polozhenie dvuh ploskostej, pryamoj linii i ploskosti
.... 62
§ 22. Obzor vzaimnyh polozhenij dvuh ploskostej, pryamoj linii i
ploskosti 62
§ 23. Peresechenie pryamoj linii s ploskost'yu, perpendikulyarnoj k odnoj
ili
k dvum ploskostyam proekcij 64
§ 24. Postroenie linii peresecheniya dvuh ploskostej 65
Voprosy §§ 22-24 68
§ 25. Peresechenie pryamoj linii s ploskost'yu obshchego polozheniya 69
§ 26. Postroenie linii peresecheniya dvuh ploskostej po tochkam
peresecheniya
pryamyh linij s ploskost'yu 70
Voprosy k §§ 25-26 72
§ 27. Postroenie pryamoj linii i ploskosti, parallel'nyh mezhdu soboj ...
72
§ 28. Postroenie vzaimno parallel'nyh ploskostej 73
Voprosy k §§ 27-28 74
§ 29. Postroenie vzaimno perpendikulyarnyh pryamoj i ploskosti 74
§ 30. Postroenie vzaimno perpendikulyarnyh ploskostej 77
§ 31. Postroenie proekcij ugla mezhdu pryamoj i ploskost'yu i mezhdu dvumya
ploskostyami 78
Voprosy k §§ 29-31 80
Glava V. Sposoby peremeny ploskostej proekcij i vrashcheniya 81
§ 32. Privedenie pryamyh linij i ploskih figur v chastnye polozheniya otno
sitel'no ploskostej proekcij 81
§ 33. Sposob peremeny ploskostej proekcij 81
Voprosy k §§ 32-33 85
§ 34. Osnovy sposoba vrashcheniya 85
§ 35. Vrashchenie tochki, otrezka pryamoj, ploskosti vokrug osi, perpendiku
lyarnoj k ploskosti proekcij 86
Voprosy k §§ 34-35 90
§ 36. Primenenie sposoba vrashcheniya bez ukazaniya na chertezhe osej
vrashcheniya,
perpendikulyarnyh k ploskosti 1 ili 2 90
§ 37. Vrashchenie tochki, otrezka pryamoj, ploskosti vokrug osi,
parallel'noj
ploskosti proekcij, i vokrug sleda ploskosti .... 92
Voprosy k §§ 36-37 96
§ 38. Primery resheniya zadach s primeneniem sposobov peremeny ploskostej
proekcij i vrashcheniya 96
Voprosy k § 38 106
Glava VI. Izobrazhenie mnogogrannikov 107
§ 39. Postroenie proekcij mnogogrannikov 107
§ 40. CHertezhi prizm i piramid 108
§ 41. Sistema raspolozheniya izobrazhenij na tehnicheskih chertezhah 112
§ 42. Peresechenie prizm i piramid ploskost'yu i pryamoj liniej .... 114
Voprosy k §§ 39 --42 118
§ 43. Peresechenie odnoj mnogogrannoj poverhnosti drugoyu 118
§ 44. Obshchie priemy razvertyvaniya grannyh poverhnostej (prizmy i
piramidy) 121
Voprosy k §§ 43-44 124
Glava VII. Krivye linii 125
§ 45. Obshchie svedeniya o krivyh liniyah i ih proecirovanii 125
§ 46. Ploskie krivye linii 127
§ 47. Prostranstvennye krivye linii 130
Voprosy §§ 45-47 131
§ 48. Vintovye linii -- cilindricheskie i konicheskie 131
Voprosy k § 48 136
Glava VIII. Krivye poverhnosti 137
§ 49. Obshchie svedeniya o krivyh poverhnostyah 137
§ 50. Obzor nekotoryh krivyh poverhnostej, ih zadanie i izobrazhenie na
chertezhah , 139
A. Poverhnosti linejchatye razvertyvaemye 139
B. Poverhnosti linejchatye nerazvertyvaemye 143
B. Poverhnosti nelinejchatye 148
G. Poverhnosti, zadavaemye karkasom 149
D. Poverhnosti graficheskie 149
Voprosy k §§ 49-50 150
§ 51. Poverhnosti vrashcheniya 150
Voprosy § 51 156
§ 52. Vintovye poverhnosti i vinty 157
Voprosy § 52 163
§ 53. Provedenie ploskostej, kasatel'nyh krivym poverhnostyam 164
§ 54. Primery postroeniya ocherkov proekcij tela vrashcheniya s naklonnoj
os'yu 166
Voprosy k §§ 53-54 169
Glava IX. Peresechenie krivyh poverhnostej ploskost'yu i pryamoj liniej
.... 170
§ 55. Obshchie priemy postroeniya linii peresecheniya krivoj poverhnosti plos
kost'yu 170
§ .56. Peresechenie cilindricheskoj poverhnosti ploskost'yu. Postroenie
raz
vertki.. 171
Voprosy k §§ 55-56 176
§ 57. Peresechenie konicheskoj poverhnosti ploskost'yu. Postroenie
razvertki 176
Voprosy k § 57 185
§ 58. Peresechenie sfery i tora ploskost'yu. Primer postroeniya "linii
sreza"
na poverhnosti kombinirovannogo tela vrashcheniya 185
§ 59. Peresechenie krivyh poverhnostej pryamoj liniej 189
Voprosy k §§ 58-59 192
Glava X. Peresechenie odnoj poverhnosti drugoyu, yu kotoryh hotya by odna
krivaya 194
§ 60. Obshchij sposob postroeniya linii peresecheniya odnoj poverhnosti
drugoyu 194
§ 61. Podbor vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej v sluchayah, kogda oni
mogut
peresekat' obe poverhnosti po pryamym liniyam 195
§ 62. Primenenie vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej, parallel'nyh plo
skostyam proekcij 200
Voprosy k §§ 60-62 201
§ 63. Nekotorye osobye sluchai peresecheniya odnoj poverhnosti drugoyu . .
. 202
§ 64. Primenenie vspomogatel'nyh sekushchih sfer 206
§ 65. Proecirovanie linii peresecheniya dvuh poverhnostej vrashcheniya
vtorogo
poryadka na ploskost', parallel'nuyu ih obshchej ploskosti simmetrii . . 211
Voprosy §§ 63 -- 65 216
§ 66. Primery postroeniya linij peresecheniya odnoj poverhnosti drugoyu . .
. 217
§ 67. Peresechenie krivoj linii s krivoj poverhnost'yu 225
Voprosy k §§ 66-61 . 226
Glava XI. Razvertyvanie krivyh poverhnostej 227
§ 68. Razvertyvanie cilindricheskih i konicheskih poverhnostej 227
§ 69. Uslovnoe razvertyvanie sfericheskoj poverhnosti 229
§ 70. Primery postroeniya razvertok nekotoryh form 231
Voprosy k glave XI 233
Glava XII. Aksonometricheskie proekcii 234
§ 71. Obshchie svedeniya 234
§ 72. Pryamougol'nye aksonometricheskie proekcii. Koefficienty iskazheniya
i ugly mezhdu osyami 238
§ 73. Postroenie pryamougol'noj aksonometricheskoj proekcii okruzhnosti .
. . 243
§ 74. Primery postroenij v izometricheskoj i dimetricheskoj proekciyah ...
251
§ 75. Nekotorye kosougol'nye aksonometricheskie proekcii 255
Voprosy k glave XII 258
Prilozheniya 259
§ 76. O rodstvennom sootvetstvii i ego primenenii k resheniyu nekotoryh
zadach 259
Voprosy k § 76 265
Dobavlenie. Nachertatel'naya geometriya i mashinnaya grafika. (A. A.
CHekmarev) 266
Spisok dopolnitel'noj literatury 272
PREDISLOVIE REDAKTORA
K DVADCATX CHETVERTOMU IZDANIYU
Uchebnoe posobie sootvetstvuet programme, utverzhdennoj Ministerstvom
obshchego i professional'nogo obrazovaniya RF, dlya mashinostroitel'nyh,
priborostroitel'nyh i mehaniko-tehnologicheskih special'nostej vtuzov.
Odnim iz napravlenij perestrojki vysshej shkoly yavlyaetsya usilenie
samostoyatel'nosti, predostavlyaemoj studentam pri izuchenii toj ili inoj
discipliny. Pri izuchenii nachertatel'noj geometrii etomu budet sposobstvovat'
nastoyashchee izdanie "Kurs nachertatel'noj geometrii", a takzhe novoe izdanie
"Sbornik zadach po kursu nachertatel'noj geometrii" V.O. Gordona, YU.B.
Ivanova, T.E. Solncevoj. Sovmestnoe ih ispol'zovanie dast studentam
vozmozhnost' ne tol'ko ponyat' i osmyslit' ves' kurs, uyasnit' plan i hod
resheniya zadach, privedennyh v zadachnike v kachestve primerov, no i
samostoyatel'no proverit' svoi resheniya, sveriv ih s pomeshchennymi v konce
zadachnika otvetami.
Dlya povtoreniya i zakrepleniya izuchaemogo materiala v celyah samoproverki
k materialu kazhdogo paragrafa imeetsya znachitel'noe chislo voprosov.
V konce knigi pomeshcheno nebol'shoe dopolnenie, napisannoe professorom
A.A. CHekmarevym "Nachertatel'naya geometriya i mashinnaya grafika", o primenenii
personal'nyh komp'yuterov dlya resheniya na ekrane monitora graficheskih zadach
nachertatel'noj geometrii.
V nastoyashchem izdanii ukazana uchebnaya literatura dlya zhelayushchih
oznakomit'sya s razlichnymi variantami izlozheniya razdelov programmy i s
nekotorymi dopolnitel'nymi voprosami nachertatel'noj geometrii. V knige
ukazana takzhe literatura, otnosyashchayasya k mashinnoj grafike.
Professor YU.B. Ivanov
PREDISLOVIE K VOSEMNADCATOMU IZDANIYU
Posle 14-go izdaniya uchebnika (1962 g.), peresmotrennogo i sokrashchennogo,
sledovali stereotipnye vypuski. Nastoyashchee izdanie knigi znachitel'no
pererabotano, prezhde vsego s cel'yu soglasovaniya s posobiem "Sbornik zadach po
kursu nachertatel'noj geometrii" V. O. Gordona, YU. B. Ivanova i T. E.
Solncevoj. V svyazi s etim iz uchebnika isklyuchen sootvetstvuyushchij material --
zadachi dlya samostoyatel'nogo resheniya i nekotorye primery postroenij,
vklyuchennye v upomyanutyj vyshe sbornik. V etom zhe sbornike privedeny otvety na
vse zadachi v graficheskoj forme.
Uchteny takzhe pozhelaniya, vyskazannye po soderzhaniyu i ob®emu uchebnika.
V osnovu uchebnika, kak i prezhde, polozhena programma, utverzhdennaya
Ministerstvom vysshego i srednego special'nogo obrazovaniya SSSR dlya
mashinostroitel'nyh, priborostroitel'nyh i mehaniko-tehnologicheskih
special'nostej vtuzov. Poetomu v knige izlozheny "Sistema ortogonal'nyh
proekcij" i "Aksonometriya".
Pozhelaniya o sokrashchenii ob®ema s tem, chtoby on sootvetstvoval vremeni,
otvodimomu po uchebnomu planu na kurs nachertatel'noj geometrii, konechno, ne
mogli byt' udovletvoreny za schet programmnogo materiala. No takoe sokrashchenie
bylo v pole zreniya avtora. V to zhe vremya pererabotka knigi pozvolila vvesti
mestami novyj material dlya bolee polnogo izlozheniya "nekotoryh razdelov
programmy i obosnovaniya otdel'nyh polozhenij. Znachitel'no uvelicheno chislo
voprosov dlya povtoreniya izuchaemogo materiala i samoproverki.
Oboznacheniya, prinyatye v knige pri pervom izdanii (1936 g.), v osnovnom
vvedeny eshche v XIX stoletii otechestvennymi uchenymi N. I. Makarovym i V. I.
Kur-dyumovym i primenyayutsya, kak pokazyvaet opyt, v uchebnoj rabote i v uchebnoj
literature bez kakih-libo oslozhnenij. |ti oboznacheniya prosty, vyrazitel'ny i
ne zagromozhdayut chertezhi. Ochevidno, na segodnyashnij den' nel'zya ukazat'
sistemu oboznachenij, kotoraya mogla by schitat'sya aprobirovannoj v kachestve
obladayushchej bezuslovnymi dostoinstvami dlya vnedreniya ee v uchebnuyu praktiku.
Esli "starym" oboznacheniyam prisushchi nekotorye nedostatki, to ne men'shie, a
podchas i znachitel'no bol'shie nedostatki prisushchi tak nazyvaemym "novym"
sistemam.
Kak i v predydushchih izdaniyah (nachinaya s 14-go), v knige pomeshchena tablica
dlya sopostavleniya oboznachenij v uchebnoj literature segodnyashnego dnya.
V etom izdanii ukazana literatura, preimushchestvenno uchebnaya, dlya
zhelayushchih oznakomit'sya s variantami izlozheniya razdelov programmy i nekotorymi
dopolnitel'nymi voprosami.
V rabote po podgotovke knigi k pereizdaniyu avtorom uchteny sovety i
zamechaniya A. V. Bubennikova, YU. B. Ivanova, L. A. Ol'hovskogo i dr., kotorym
avtor prinosit serdechnuyu blagodarnost'. Avtor blagodaren V. P. Panchenko za
pomoshch' v podgotovke chertezhej.
Hotya rabota nad knigoj so vremeni konchiny M. A. Semencova-Ogievskogo
(1950 g.) vypala na moyu dolyu i kniga s teh por preterpela ryad sushchestvennyh
izmenenij i dopolnenij, nashi imena stoyat ryadom v zaglavii v pamyat' o nashej
dolgoletnej druzhbe i sovmestnoj rabote.
V. Gordon
PRINYATYE OBOZNACHENIYA
Tochki v prostranstve -- propisnymi bukvami latinskogo alfavita A, B, S,
..., a tak
zhe ciframi.
Posledovatel'nost' tochek (i drugih elementov) -- podstrochnymi
indeksami·. a1, A2,
A3...
Linii v prostranstve - po tochkam, opredelyayushchim liniyu, i strochnymi
bukvami la-
tinskogo alfavita a, b, c, ...
Ugly -- strochnymi bukvami grecheskogo alfavita , , , i .
Ploskosti -- strochnymi bukvami grecheskogo alfavita , , , i .
Poverhnosti -- rimskimi ciframi, a takzhe propisnymi bukvami russkogo
alfavita:
cilindr -- C, konus -- K, sfera -- Sf., ...
Ploskosti proekcij -- strochnoj bukvoj grecheskogo alfavita .
Proizvol'naya
ploskost' -- , gorizontap'naya -- , frontal'naya -- 2, profil'naya
(ili
dopolnitel'naya) -- Pz, lyubaya dopolnitel'naya -- 4, 5,...
Osi proekcij -- strochnymi bukvami h, u, z ili (pri vvedenii
dopolnitel'nyh plo-
skostej) 2/, 2/3, 2/5, ... Nachapo koordinat - propisnoj bukvoj
O.
Proekcii tochek::
na proizvol'nuyu ploskost' -- A0, Bo,
Co,...; na gorizontal'nuyu ploskost' --A', B', S',...; na
frontal'nuyu ploskost' 2 -- A", V", C"...;
na profil'nuyu ploskost' Pz -- A'", V'", C'" .. na dopolnitel'nuyu ploskost'
4 -- AIV , BIV , CIV ...
10. Proekcii linij -- po proekciyam tochek, opredelyayushchih liniyu; krome
togo:
gorizontap'naya liniya -- bukvoj h;
frontal'naya liniya -- bukvoj f; profil'naya liniya -- bukvoj r.
11. Oboznachenie ploskostej, zadannyh sledami:
gorizontal'nyj sled ploskosti -- h0a;
frontal'nyj sled ploskosti -- foa;
profil'nyj sled ploskosti -- oa
V teh sluchayah, kogda ploskost' ne trebuet naimenovaniya, oboznachenie
sledov uproshcheno - ho, fo, po".
Dlya proeciruyushchih ploskostej zadaetsya proekciya ploskosti:
' -- gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost';
" -- frontal'no-proeciruyushchaya ploskost';
'"-- profil'no-proeciruyushchaya ploskost'.
Tochki shoda sledov ploskosti -- propisnymi bukvami , , s indeksom
sootvetstvuyu-shchej ploskosti: , U, .
12. Pri preobazovanii epyura (chertezha) vrashcheniem (ili sovmeshcheniem) v
novom polo-
zhenii tochki -- 
ploskosti -- 
sledov ploskosti -- 
. Posle
vtorogo vrashcheniya sootvetstvenno . 
Novoe polozhenie tochki shoda sledov pri vrashchenii ploskosti a -- 
13. Ploskost' proekcij (kartinnaya ploskost') v aksonometrii -- bukvoj
a, a proekciya
lyubogo elementa na etu ploskost' -- s indeksom a.
VVEDENIE
V chislo disciplin, sostavlyayushchih osnovu inzhenernogo obrazovaniya, vhodit
nachertatel'naya geometriya.
Predmetom nachertatel'noj geometrii yavlyaetsya izlozhenie i obosnovanie
sposobov postroeniya izobrazhenij prostranstvennyh form na ploskosti i
sposobov resheniya zadach geometricheskogo haraktera po zadannym izobrazheniyam
etih form1).
Izobrazheniya, postroennye po pravilam, izuchaemym v nachertatel'noj
geometrii, pozvolyayut predstavit' myslenno formu predmetov i ih vzaimnoe
raspolozhenie v prostranstve, opredelit' ih razmery, issledovat'
geometricheskie svojstva, prisushchie izobrazhaemomu predmetu.
Nachertatel'naya geometriya, vyzyvaya usilennuyu rabotu prostranstvennogo
voobrazheniya, razvivaet ego.
Nakonec, nachertatel'naya· geometriya peredaet ryad svoih vyvodov v
praktiku vypolneniya tehnicheskih chertezhej, obespechivaya ih vyrazitel'nost' i
tochnost', a sledovatel'no; i vozmozhnost' osushchestvleniya izobrazhennyh
predmetov.
Pravila postroeniya izobrazhenij, izlagaemye v nachertatel'noj geometrii,
osnovany na metode proekcij 2).
Rassmotrenie metoda proekcij nachinayut s postroeniya. proekcij tochki, tak
kak pri postroenii izobrazheniya lyuboj prostranstvennoj formy rassmatrivaetsya
ryad tochek, prinadlezhashchih etoj forme.
*) Prostranstvennye formy mozhno izobrazhat' ne tol'ko na ploskoj, no i
na-kakoj-libo drugoj poverhnosti, naprimer cilindricheskoj ili sfericheskoj,
chto izuchaetsya v special'nyh otdelah nachertatel'noj geometrii.
2) V osnove etogo slova latinskoe projectio -- brosanie
vpered, vdal' (ot projicere-- brosit', vystavit' vpered). V dal'nejshem
izlozhenii v smysle "postroit' proekcii" budet primenyat'sya slovo
"proecirovat'", a ne slovo "proektirovat'", kak eto imelo mesto ran'she.
GLAVA I OBRAZOVANIE PROEKCIJ
§ 1. PROEKCII CENTRALXNYE
Dlya polucheniya central'nyh proekcij (central'noe proecirovanie) nado
zadat'sya ploskost'yu proekcij i centrom proekcij -- tochkoj, ne lezhashchej v etoj
ploskosti (ris. 1: ploskost' 0 i tochka S). Vzyav nekotoruyu tochku A i provedya
cherez S i A pryamuyu liniyu do peresecheniya ee s pl. 0, poluchaem tochku A°. Tak
zhe postupaem, naprimer, s tochkami V i S. Tochki A°, V°, S° yavlyayutsya
central'nymi proekciyami tochek A, V, S na pl. 0: oni poluchayutsya v
peresechenii proeciruyushchih pryamyh (ili, inache, proeciruyushchih luchej) SA, SB, SC
s ploskost'yu proekcij').
Esli dlya nekotoroj tochki D (ris. 1) proeciruyushchaya pryamaya okazhetsya
parallel'noj ploskosti proekcij, to prinyato schitat', chto oni peresekayutsya,
no v beskonechno udalennoj tochke: tochka D takzhe imeet svoyu proekciyu, no
beskonechno udalennuyu (D").
Ne izmenyaya polozheniya pl. 0 i vzyav novyj centr S1 (ris. 2), poluchaem
novuyu proekciyu tochki A -- tochku A°1 Esli zhe vzyat' centr S2 na toj zhe
proeciruyushchej pryamoj SA, to proekciya A° ostanetsya neizmennoj (A°" A°).
Itak, pri zadannyh ploskosti proekcij i centre proekcij (ris. 1) mozhno
postroit' proekciyu tochki; no imeya proekciyu (naprimer, A°), nel'zya po nej
opredelit' polozhenie samoj tochki A v prostranstve, tak kak lyubaya tochka
proeciruyushchej pryamoj SA proeciruetsya v odnu i tu zhe tochku; dlya edinstvennogo
resheniya, ochevidno, neobhodimy dopolnitel'nye usloviya.
Proekciyu linii mozhno postroit', proeciruya ryad ee tochek (ris. 3). Pri
etom proeciruyushchie pryamye v svoej sovokupnosti obrazuyut konicheskuyu
poverhnost' 2)
*) Centr proekcij nazyvayut takzhe polyusom proekcij, a central'nuyu
proekciyu -- polyarnoj.
) V svyazi s etim central'nye proekcii takzhe nazyvayut konicheskimi.
Ponyatie o konicheskoj poverhnosti sm. v stereometrii.
10
ili mogut okazat'sya v odnoj ploskosti (naprimer, pri proecirovanii
pryamoj li-nii, ne prohodyashchej cherez centr proekcij, ili lomanoj i krivoj, vse
tochki kotoryh lezhat v ploskosti, sovpadayushchej s proeciruyushchej).
Ris. 3 Ris. 4
Ochevidno, proekciya linii poluchaetsya v peresechenii proeciruyushchej
poverhnosti s ploskost'yu proekcij (ris. 3). No, kak pokazyvaet ris. 4,
proekciya linii ne opredelyaet proeciruemuyu liniyu, tak kak na proeciruyushchej
poverhnosti mozhno razmestit' ryad linij, proeciruyushchihsya v odnu i tu zhe liniyu
na ploskosti proekcij.
Ot proecirovaniya tochki i linii mozhno perejti k proecirovaniyu
poverhnosti i tela.
§ 2. PROEKCII PARALLELXNYE
Rassmotrim teper' sposob proecirovaniya, nazyvaemyj parallel'nym.
Uslovimsya schitat' vse proeciruyushchie pryamye parallel'nymi. Dlya ih
provedeniya dolzhno byt' ukazano nekotoroe napravlenie (sm. strelku na ris.
5). Tak postroennye proekcii nazyvayutsya parallel'nymi.
Parallel'noe proecirovanie mozhno rassmatrivat' kak chastnyj sluchaj
central'nogo, esli prinyat', chto centr proekcij beskonechno udalen.
Sledovatel'no, parallel'noj proekciej tochki budem nazyvat' tochku
peresecheniya proeciruyushchej pryamoj, provedennoj parallel'no zadannomu
napravleniyu, s ploskost'yu proekcij.
Ris. 5 Ris. 6
CHtoby poluchit' parallel'nuyu proekciyu nekotoroj linii, mozhno postroit'
proekcii ryada ee tochek i provesti cherez eti proekcii liniyu (ris. 6).
Pri etom proeciruyushchie pryamye v svoej sovokupnosti obrazuyut
cilindricheskuyu poverhnost'; poetomu parallel'nye proekcii takzhe nazyvayut
cilindricheskimi1).
Ponyatie o cilindricheskoj poverhnosti sm. v stereometrii.
11
V parallel'nyh proekciyah, tak zhe kak i v central'nyh:
1) dlya pryamoj linii proeciruyushchej poverhnost'yu v obshchem sluchae sluzhit
ploskost', i poetomu pryamaya liniya voobshche proeciruetsya v vide pryamoj;
2) kazhdaya tochka i liniya v prostranstve imeyut edinstvennuyu svoyu
proekciyu;
3) kazhdaya tochka na ploskosti proekcij mozhet byt' proekciej mnozhestva
tochek, esli cherez nih prohodit obshchaya dlya nih proeciruyushchaya pryamaya (ris. 5:
tochka D° sluzhit proekciej tochek D, D1, D2);
4) kazhdaya liniya na ploskosti proekcij mozhet byt' proekciej mnozhestva
linij, esli oni raspolozheny v obshchej dlya nih proeciruyushchej ploskosti (ris. 7:
otrezok A°V° sluzhit proekciej otrezkov AV i A1V1 i otrezka A2V2 ploskoj
krivoj linii); dlya edinstvennogo resheniya neobhodimy dopolnitel'nye usloviya;
5) dlya postroeniya proekcii pryamoj dostatochno sproecirovat' dve ee tochki
i cherez poluchennye proekcii etih tochek provesti pryamuyu liniyu;
Ris. 7
6) esli tochka prinadlezhit pryamoj, to proekciya tochki prinadlezhit
proekcii etoj pryamoj (ris. 8: tochka K prinadlezhit pryamoj, proekcii K°
prinadlezhit proekcii etoj pryamoj).
Krome perechislennyh svojstv dlya parallel'nyh proekcij mozhno ukazat' eshche
sleduyushchie:
7) esli pryamaya parallel'na napravleniyu proecirovaniya (pryamaya AV na ris.
8), to proekciej pryamoj (i lyubogo ee otrezka) yavlyaetsya tochka (A°, ona zhe
V°);
8) otrezok pryamoj linii, parallel'noj ploskosti proekcij, proeciruetsya
na etu ploskost' v natural'nuyu svoyu velichinu (ris. 8: CD = C°D°, kak otrezki
parallel'nyh mezhdu parallel'nymi).
V dal'nejshem budut rassmotreny eshche nekotorye svojstva parallel'nyh
proekcij, pokazyvayushchie, kakie natural'nye sootnosheniya v rassmatrivaemyh
predmetah sohranyayutsya v proekciyah etih predmetov.
Primenyaya priemy parallel'nogo proecirovaniya tochki i linii, mozhno
stroit' parallel'nye proekcii poverhnosti i tela.
Parallel'nye proekcii delyatsya na kosougol'nye i pryamougol'nye. V pervom
sluchae napravlenie proecirovaniya sostavlyaet s ploskost'yu proekcij ugol, ne
ravnyj 90°; vo vtorom sluchae proeciruyushchie pryamye perpendikulyarny k pl. pr.
Pri rassmotrenii parallel'nyh proekcij sledovalo by predstavit' sebya
udalennym na beskonechno bol'shoe rasstoyanie ot izobrazheniya. Na samom zhe dele
predmety i ih izobrazheniya rassmatrivayutsya s konechnogo rasstoyaniya; pri etom
luchi, idushchie v glaz zritelya, obrazuyut poverhnost' konicheskuyu, a ne
cilindricheskuyu. Sledovatel'no, bolee estestvennoe izobrazhenie poluchaetsya
(pri soblyudenii opredelennyh uslovij) central'nym proecirovaniem, a ne
parallel'nym. Poetomu, kogda trebuetsya, chtoby izobrazhenie davalo takoe zhe
zritel'noe vpechatlenie, kak i samyj predmet, primenyayut perspektivnye
proekcii, v osnove kotoryh lezhit central'noe proecirovanie 1).
1) Perspektivnye proekcii v programmu dannogo kursa ne
vhodyat. Interesuyushchihsya otsylaem k knigam: Glagolev N. A. Nachertatel'naya
geometriya.- M: Gostehizdat, 1953; Dobryakov A. I. Kurs nachertatel'noj
geometrii.--M.: GTTI, 1931.
12
No sravnitel'no bol'shaya prostota postroeniya i svojstva parallel'nyh
proekcij, obespechivayushchie sohranenie natural'nyh razmernyh sootnoshenij,
ob®yasnyayut shirokoe primenenie parallel'nogo proecirovaniya, nesmotrya na
uslovnost', ukazannuyu vyshe.
§ 3. METOD MONZHA
Svedeniya i priemy postroenij, obuslovlivaemye potrebnost'yu v ploskih
izobrazheniyah prostranstvennyh form, nakaplivalis' postepenno eshche s drevnih
vremen. V techenie prodolzhitel'nogo perioda ploskie izobrazheniya vypolnyalis'
preimushchestvenno kak izobrazheniya naglyadnye. S razvitiem tehniki
pervostepennoe znachenie priobrel vopros o primenenii metoda, obespechivayushchego
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij, t. e. vozmozhnost' tochno ustanovit'
mesto kazhdoj tochki izobrazheniya otnositel'no drugih tochek ili ploskostej i
putem prostyh priemov opredelit' razmery otrezkov linij i figur. Postepenno
nakopivshiesya otdel'nye pravila i priemy postroenij takih izobrazhenij byli
privedeny v sistemu i razvity v trude francuzskogo uchenogo o c zh a,
izdannom v 1799 g. pod nazvaniem "Geometric' descriptive".
Gaspar Monzh (1746--1818) voshel v istoriyu kak krupnyj francuzskij
geometr konca XVIII i nachala XIX vv., inzhener, obshchestvennyj i
gosudarstvennyj deyatel' v period revolyucii 1789--1794 gg. i pravleniya
Napoleona I, odin iz osnovatelej znamenitoj Politehnicheskoj shkoly v Parizhe,
uchastnik raboty po vvedeniyu metricheskoj sistemy mer i vesov. Buduchi odnim iz
ministrov v revolyucionnom pravitel'stve Francii, Monzh mnogo sdelal dlya ee
zashchity ot inostrannoj intervencii i dlya pobedy revolyucionnyh vojsk. Monzh ne
srazu poluchil vozmozhnost' opublikovat' svoj trud s izlozheniem razrabotannogo
im metoda. Uchityvaya bol'shoe prakticheskoe znachenie etogo metoda dlya
vypolneniya chertezhej ob®ektov voennogo znacheniya i ne zhelaya, chtoby metod Monzha
stal izvesten vne granic Francii, ee pravitel'stvo zapretilo pechatanie
knigi. Lish' v konce XVIII stoletiya eto zapreshchenie bylo snyato. Posle
restavracii Burbonov Gaspar Monzh podvergsya goneniyu, vynuzhden byl skryvat'sya
i konchil svoyu zhizn' v nishchete. Izlozhennyj Mon-zhem metod -- metod
parallel'nogo proecirovaniya (prichem berutsya pryamougol'nye proekcii na dve
vzaimno perpendikulyarnye ploskosti proekcij) -- obespechivaya vyrazitel'nost',
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij predmetov na ploskosti, byl i
ostaetsya osnovnym metodom sostavleniya tehnicheskih chertezhej.
Slovo pryamougol'nyj chasto zamenyayut slovom ortogonal'nyj, obrazovannym
iz slov drevnegrecheskogo yazyka, oboznachayushchih "pryamoj" i "ugol". V dal'nejshem
izlozhenii termin ortogonal'nye proekcii budet primenyat'sya dlya oboznacheniya
sistemy pryamougol'nyh proekcij na vzaimno perpendikulyarnyh ploskostyah.
V dannom kurse preimushchestvenno rassmatrivayutsya pryamougol'nye proekcii.
V sluchae primeneniya parallel'nyh kosougol'nyh proekcij eto budet kazhdyj raz
ogovarivat'sya.
Nachertatel'naya geometriya (n. g.) stala predmetom prepodavaniya v nashej
strane s 1810 g., kogda v tol'ko chto osnovannom Institute korpusa inzhenerov
putej soobshcheniya nachalis' zanyatiya naryadu s drugimi disciplinami uchebnogo
plana i po nachertatel'noj geometrii. |to bylo vyzvano vse vozrastayushchim ee
prakticheskim znacheniem.
V Institute korpusa inzhenerov putej soobshcheniya1) protekala
prepodavatel'skaya deyatel'nost' okonchivshego etot institut v 1814 g. YAkova
Aleksandrovicha Sevast'yanova (1796--1849), s imenem kotorogo svyazano
poyavlenie v Rossii pervyh sochinenij po n. g., snachala perevodnyh s
francuzskogo yazyka, a zatem pervogo original'nogo truda pod nazvaniem
"Osnovaniya nachertatel'noj geometrii" (1821 g.), v osnovnom posvyashchennogo
izlozheniyu metoda ortogonal'nyh proekcij.
1) Teper' Peterburgskij gosudarstvennyj universitet putej
soobshcheniya.
Lekcii YA. A. Sevast'yanov chital na russkom yazyke, hotya prepodavanie v te
gody voobshche velos' na francuzskom yazyke. Tem samym YA. A. Sevast'yanov polozhil
nachalo prepodavaniyu i ustanovleniyu terminologii v n. g. na rodnom yazyke. Eshche
pri zhizni YA. A. Sevast'yanova n. g. voshla v uchebnye plany ryada grazhdanskih i
voennyh uchebnyh zavedenij.
Krupnyj sled v razvitii n. g. v XIX stoletii v Rossii ostavili Nikolaj
Ivanovich Makarov (1824--1904), prepodavavshij etot predmet v Peterburgskom
tehnologicheskom institute, i Valerian Ivanovich Kurdyumov (1853--1904),
kotoryj, buduchi professorom Peterburgskogo instituta inzhenerov putej
soobshcheniya po kafedre stroitel'nogo iskusstva, chital v etom institute kurs n.
g. V svoej praktike prepodavaniya V. I. Kurdyumov privodit mnogochislennye
primery primeneniya n. g. k resheniyu inzhenernyh zadach.
Deyatel'nost'yu i trudami V. I. Kurdyumova kak by zavershilsya pochti
stoletnij period razvitiya n. g. i ee prepodavaniya v Rossii. V etot period
naibol'shee vnimanie bylo udeleno organizacii prtpodavaniya, sozdaniyu trudov,
prednaznachennyh sluzhit' uchebnikami, razrabotke uluchshennyh priemov i sposobov
resheniya ryada zadach. |to byli sushchestvennye i neobhodimye momenty v razvitii
prepodavaniya n. g.; odnako ee nauchnoe razvitie otstavalo ot dostizhenij v
oblasti metodiki izlozheniya predmeta. Lish' v trudah V. I. Kurdyumova teoriya
poluchila bolee yarkoe otrazhenie. Mezhdu tem v nekotoryh zarubezhnyh stranah v
XIX stoletii n. g. uzhe poluchila znachitel'noe nauchnoe razvitie. Ochevidno, dlya
likvidacii otstavaniya i dlya dal'nejshego razvitiya nauchnogo soderzhaniya n. g.
neobhodimo bylo rasshirit' ee teoreticheskuyu osnovu i obratit'sya
issledovatel'skoj rabote.
|to mozhno videt' v trudah i deyatel'nosti Evgrafa Stepanovicha Fedorova
(1853 -- 1919), znamenitogo russkogo uchenogo, geometra-kristallografa, i
Nikolaya Alekseevicha Rynina (1877--1942), kotorye, uzhe v poslednie gody pered
Velikoj Oktyabr'skoj socialisticheskoj revolyuciej obratilis' k razvitiyu
nachertatel'noj geometrii kak nauki. K nastoyashchemu vremeni nachertatel'naya
geometriya kak nauka poluchila znachitel'noe razvitie v trudah sovetskih uchenyh
N.A.Glagoleva (1888--1945), A. I. D obryak ova (1895-1947), D. D. Mordu
ai-Bo l tovsk ogo (1876-1952), M. YA. Gromova (1884-1963), S. M. Kolotova
(1885-1965), N. F. CHetveruhina (1891-1974), I. I. Kotova (1909-1976) i
mnogih drugih1).
VOPROSY K GLAVE 1
1. Kak stroitsya central'naya proekciya tochki?
2. V kakom sluchae central'naya proekciya pryamoj linii predstavlyaet soboj
tochku?
3. V chem zaklyuchaetsya sposob proecirovaniya, nazyvaemyj parallel'nym?
4. Kak stroitsya parallel'naya proekciya pryamoj linii?
5. Mozhet li parallel'naya proekciya pryamoj linii predstavlyat' soboj
tochku?
6. Esli tochka prinadlezhit dannoj pryamoj, to kak vzaimno raspolagayutsya
ih proekcii?
7. V kakom sluchae v parallel'noj proekcii otrezok pryamoj linii
proeciruetsya v natural'nuyu svoyu velichinu?
8. CHto takoe "metod Monzha"?
9. Kak rasshifrovyvaetsya slovo "ortogonal'nyj"?
1) Interesuyushchihsya bolee podrobnymi svedeniyami otsylaem k
6--13-mu izdaniyam ili, naprimer, k knige: Bubennikov A. V., Gromov M. YA.
Nachertatel'naya geometriya.-- M.: Vysshaya shkola, 1965.
GLAVA II TOCHKA I PRYAMAYA
§ 4. TOCHKA V SISTEME DVUH PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1,2
Vyshe (§ 2) bylo skazano, chto proekciya tochki ne opredelyaet polozheniya
tochki v prostranstve, i chtoby, imeya proekciyu tochki, ustanovit' eto
polozhenie, trebuyutsya dopolnitel'nye usloviya. Naprimer, dana pryamougol'naya
proekciya tochki na gorizontal'noj ploskosti proekcij i ukazano udalenie etoj
tochki ot ploskosti chislovoj otmetkoj; ploskost' proekcij prinimaetsya za
"ploskost' nulevogo urovnya", i chislovaya otmetka schitaetsya polozhitel'noj,
esli tochka v prostranstve vyshe ploskosti nulevogo urovnya, i otricatel'noj,
esli tochka nizhe etoj ploskosti.
Na etom osnovan metod proekcij s chislovymi otmetkami 1).
V dal'nejshem izlozhenii opredelenie polozheniya tochek v prostranstve budet
proizvodit'sya po ih pryamougol'nym proekciyam na dvuh i bolee ploskostyah
proekcij.
Na ris. 9 izobrazheny dve vzaimno perpendikulyarnye ploskosti. Primem ih
za ploskosti proekcij. Odna iz nih, oboznachennaya bukvoj 1, raspolozhena
gorizontal'no; drugaya, oboznachennaya bukvoj 2,-- vertikal'no. |tu ploskost'
nazyvayut frontal'noj ploskost'yu proekcij, pl. 1 nazyvayut gorizontal'noj
ploskost'yu proekcij. Ploskosti proekcij i 2 obrazuyut sistemu 1 ,2.
Liniya peresecheniya ploskostej proekcij nazyvaetsya os'yu proekcij. Os'
proekcij razdelyaet kazhduyu iz ploskostej 1 i 2 na poluploskosti. Dlya etoj
osi budem primenyat' oboznachenie ili oboznachenie
v vide drobi 2/1. Iz chetyreh dvugrannyh uglov, obrazovannyh
ploskostyami proekcij, schitaetsya pervym tot, grani kotorogo na ris. 9 imeyut
oboznacheniya 1 i 2.
Na ris. 10 pokazano postroenie proekcij nekotoroj tochki A v sisteme 1,
2. Provedya iz A perpendikulyary k i 2, poluchaem proekcii tochki A:
gorizontal'nuyu, oboznachennuyu A', i frontal'nuyu, oboznachennuyu A".
Proeciruyushchie pryamye, sootvetstvenno perpendikulyarnye k 1 i 2,
opredelyayut ploskost', perpendikulyarnuyu k ploskostyam i k osi proekcij. |ta
ploskost' v peresechenii s i 2 obrazuet dve vzaimno perpendikulyarnye
pryamye A'AH i A"AH, peresekayushchiesya v tochke Ah na osi proekcij.
Sledovatel'no, proekcii neko-
ris.9 ris.10
1) Metod proekcij s chislovymi otmetkami v programmu
izlagaemogo kursa ne vhodit. Interesuyushchihsya otsylaem k knigam po
nachftatel'noj geometrii dlya stroitel'nyh i arhitekturnyh special'nostej.
15
toroj tochki poluchayutsya raspolozhennymi na pryamyh, perpendikulyarnyh k osi
proekcij i peresekayushchih etu os' v odnoj i toj zhe tochke.
Esli dany proekcii A' i A" nekotoroj tochki A (ris. 11), to, provedya
perpendikulyary -- cherez A' k pl. 1 i cherez A" k pl. 2 -- poluchim v
peresechenii etih perpendikulyarov opredelennuyu tochku. Itak, dve proekcii
tochki vpolne opredelyayut ee polozhenie v prostranstve otnositel'no dannoj
sistemy ploskostej proekcij.
Ris. 11 Ris. 12
Povernuv pl. vokrug osi proekcij na ugol 90° (kak eto pokazano na
ris. 12), poluchim odnu ploskost' -- ploskost' chertezha; proekcii A" i A'
raspolozhatsya na odnom perpendikulyare k osi proekcij (ris. 13) -- na linii
svyazi. V rezul'tate ukazannogo sovmeshcheniya ploskostej , i 2 poluchaetsya
chertezh, izvestnyj pod nazvaniem epyur1) (epyur Monzha). |to chertezh v
sisteme 1,2 (ili v sisteme dvuh pryamougol'nyh proekcij).
Perejdya k epyuru, my utratili prostranstvennuyu kartinu raspolozheniya
ploskostej proekcij i tochki. No, kak uvidim dal'she, epyur obespechivaet
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij pri znachitel'noj prostote
postroenij. CHtoby predstavit' po nemu prostranstvennuyu kartinu, trebuetsya
rabota voobrazheniya: naprimer, po ris. 13 nado predstavit' kartinu,
izobrazhennuyu na ris. 10.
Tak kak pri nalichii osi proekcij polozhenie tochki A otnositel'no
ploskostej proekcij 1i 2 ustanovleno, to otrezok A'AH vyrazhaet rasstoyanie
tochki A ot ploskosti proekcij 2, a otrezok A "Ah -- rasstoyanie tochki A ot
ploskosti proekcij 1. Tak zhe mozhno opredelit' rasstoyanie tochki A ot osi
proekcij. Ono vyrazhaetsya gipotenuzoj treugol'nika, postroennogo po katetam
A'AH i A"A* (ris. 14): otkladyvaya na epyure otrezok A"A, ravnyj A'AH,
perpendikulyarno k A"AH, poluchaem gipotenuzu AAH, vyrazhayushchuyu iskomoe
rasstoyanie.
Sleduet obratit' vnimanie na neobhodimost' provedeniya linii svyazi mezhdu
proekciyami tochki: tol'ko pri nalichii etoj linii, vzaimosvyazyvayushchej proekcii,
poluchaetsya vozmozhnost' ustanovit' polozhenie opredelyaemoj imi tochki.
Ris. 14
Uslovimsya v dal'nejshem epyur Monzha, a takzhe proekcionnye chertezhi, v
osnove kotoryh lezhit metod Monzha (sm. § 3), nazyvat' odnim slovom -- chertezh:
i ponimat' eto tol'ko v ukazannom smysle. V drugih sluchayah primeneniya slova
"chertezh" ono budet soprovozhdat'sya sootvetstvuyushchim opredeleniem
(perspektivnyj chertezh, aksonometricheskij chertezh i t. p.).
1) ¨rige (franc.) -- chertezh, proekt. Inogda vmesto "epyur"
pishut i proiznosyat "epyura", chto sootvetstvuet ne proiznosheniyu slova epure, a
zhenskomu rodu etogo slova vo francuzskom yazyke.
16
§ 5. TOCHKA V SISTEME TREH PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1, 2, 3
V ryade postroenij i pri reshenii zadach okazyvaetsya neobhodimym vvodit' v
sistemu 1; 2 i drugie ploskosti proekcij. Izvestno, chto v praktike
sostavleniya chertezhej, naprimer mashin i ih chastej, chertezh preimushchestvenno
soderzhit ne dva, a bol'shee chislo izobrazhenij.
Rassmotrim vvedenie v sistemu ^ 2 eshche odnoj ploskosti proekcij (ris.
15): oboznachennaya bukvoj 3 ploskost' perpendikulyarna i k 1 i k 2. Ee
nazyvayut profil'noj ploskost'yu proekcij. Tak zhe, kak i pl. 2, pl. 3
raspolozhena vertikal'no. Pomimo osi proekcij h, poyavlyayutsya eshche osi z i u,
perpendikulyarnye k osi h. Bukvoj O oboznachena tochka peresecheniya vseh treh
osej proekcij. Tak kak os' h% 3, os' y% 2, os' z% 3 to v tochke O
sovpadayut proekcii osi h na pl. 3, osi u na pl. 2 i osi z na pl. .
Na ris. 15 pokazana shema sovmeshcheniya ploskostej 1, 2 i 3 v odnu
ploskost'. Dlya osi u dano dva polozheniya (ris. 17).
Naglyadnoe izobrazhenie na ris. 16 i chertezh na ris. 18 soderzhat
gorizontal'nuyu, frontal'nuyu i profil'nuyu proekcii nekotoroj tochki A.
Ris. 15 Ris. 16 Ris.17
Ris. 18 Ris. 19 Ris. 20
Gorizontal'naya i frontal'naya proekcii (A1 i A") raspolozheny
na odnom perpendikulyare k osi h- na linii svyazi A"A', frontal'naya i
profil'naya proekcii (A" i A") -- na odnom perpendikulyare k osi z - na linii
svyazi A"A".
Postroenie profil'noj proekcii po frontal'noj i gorizontal'noj pokazano
na ris. 17. Mozhno vospol'zovat'sya ili dutoj okruzhnosti, provodimoj iz tochki
O, ili bissektrisoj ugla uOu.
Rasstoyanie tochki A ot pl. izmeryaetsya na chertezhe otrezkom A"AH ili
otrezkom A'"Au, rasstoyanie ot 2 -- otrezkom A'AH ili otrezkom A'"Ag,
rasstoyanie ot 3 -- otrezkom A'Au ili otrezkom A"Ag. Poetomu proekciyu A'"
mozhno postroit' i tak, kak pokazano na ris. 18, t. e. otkladyvaya na linii
svyazi proekcij A" i A" ot osi z vpravo otrezok, ravnyj A'AH. Takoe
postroenie predpochtitel'no.
Rasstoyanie ot tochki A do osi h (ris. 19) izmeryaetsya v prostranstve
otrezkom AAH. No otrezok AAH raven otrezku A'"O (sm. s. 12, punkt 8).
Poetomu dlya opredeleni