font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:150%;mso-ansi-language: EN-US'>α º A} -- ego dekartovo proizvedenie. Podmnozhestvo P < x nazovem tonkim, esli pri kazhdom α º A, α s koordinaty x'_α i x"_α lyubyh dvuh razlichnyh elementov x', x" mnozhestva P razlichny x'_α ≠ x"_α . Inymi slovami mnozhestvo P < x yavlyaetsya tonkim v tom i tol'ko v tom sluchae, esli dlya kazhdogo α º A suzhenie π₂/ P : P → x_α otobrazheniya proektirovaniya π₂ h → x_α na mnozhestvo x_α in®ektivno, t. e. perevodit razlichnye teorii mnozhestva P v razlichnye tochki mnozhestva x_α.

Pust' takzhe A, < - proizvol'noe ordinarnoe vpolne uporyadochennoe mnozhestvo. CHerez P (A; <) uslovimsya oboznachat' plan vseh vpolne uporyadochennyh mnozhestv iz M, podobnyh A, <. Mnozhestvo P (A; <), gde A º M i < - vpolne uporyadochennye na A, nazyvayutsya ordinalami, pri etom govoryat, chto ordinal P (A; <) yavlyaetsya poryadkovym tipom vpolne uporyadochennogo mnozhestva A, <. Klan vseh ordinalov oboznachaetsya cherez Ord:

Ord = {P (A, <) : A º M i < - vpolne uporyadochenie na A}

Trebuetsya, takim obrazom, dokazat', chto

P² P

Poskol'ku slova v alfavitah yavlyayutsya konstruktivnymi ob®ektami obshchego vida, to, sravnivaya mezhdu soboj slova v kakom-libo fiksirovannom alfavite, my mozhem vstretit'sya s dvumya slovami, sostavlennymi iz odinakovyh bukv i odinakovym obrazom raspolozhennyh, graficheski ravnopravnymi (). Vazhnuyu rol' v dokazatel'stve budet igrat' operaciya soedineniya slov. Ee primenenie k slovam R i H v alfavite A budet sostoyat' v pripisyvanii sprava k slovu, graficheski ravnomu R, slova, graficheski ravnogo H, v rezul'tate chego poluchaetsya slovo, nazyvaemoe soedineniem slov R i H, [R, H]_A. V svoih "Arifmeticheskih issledovaniyah" K. Gaus nachinaet vvodnyj razdel sleduyushchim opredeleniem: "Esli nekotoroe chislo a delit raznost' chisel b i c, budem nazyvat' b i c sravnitel'nymi otnositel'no a. CHislo a budem nazyvat' modulem". "Esli nekotoroe proizvol'no vzyatoe prostoe chislo, kotoroe na edinicu prevoshodit kratnoe 4, ne sostavlyaetsya iz dvuh kvadratov, to budet sushchestvovat' prostoe chislo toj zhe prirody, men'shee dannogo, a zatem tret'e, men'shee i t. d., spuskayas' do beskonechnosti, poka ne dojdem do chisla 5, kotoroe yavlyaetsya samym malen'kim iz chisla etoj prirody, kotoroe, sledovatel'no, ne dolzhno sostavlyat'sya iz dvuh kvadratov, chto odnako imeet mesto. Otsyuda sleduet zaklyuchit', chto vse chisla etoj prirody sostavlyayutsya iz dvuh kvadratov".

Poskol'ku vozvedenie v stepen' chisla po modulyu mod p (prostoe chislo) okazyvaetsya takim obrazom, vypolneniem kvadrata tonkogo mnozhestva, a imenno, x^p^-1 ≡ 1 (mod p),

x² ≡ 1 (mod p), t. k. x ≡ 1/x (mod p)

Perevedem etot fakt na yazyk formal'noj arifmetiki, na yazyk arifmetiki, sobstvenno govorya.

Soglasno teoreme Vil'sona aksiomy, pravilo vyvoda dlya tozhdestvenno-istinnoj formuly pravilo vyvoda Gamil'ton obshcheznachimaya tozhdestvennaya matematicheskaya formula cⁿ = aⁿ + bⁿ.

(p - 1) ! ≡ - 1 (mod p), togda √x² ≡ √-1 (mod p),

Oboznachim √-1 cherez i.

(Imeem izvlechenie kornya, smysl etoj operacii otkryvaetsya pri ego konstruirovanii v arifmetike po modulyu p. Operaciya izvlecheniya kornya v arifmetike po modulyu p ne opredelena osobym obrazom, t. k. eta arifmetika -- rezul'tat neopredelennogo izvlecheniya kornya, imeyushchaya v arifmetike izvlechenie kornya po modulyu p est' gruppa podstanovok (celyh chisel) teoremy Ferma, a samo izvlechenie est' kol'co modulya p so storony struktury yazyka ono -- cirkuliruyushchij organizovannyj graf.)

Togda vypolnenie zakonov umnozheniya Gamil'tona

1 · i = i · 1, 1 · j = j · 1 = j, 1 · k = k · 1 = R,

i² = -1, j² = -1, R² = -1

ij = k; jk = i, Ri = j, ji = - R, Rj = - I, ik = -j,

ili zakonov edinichnosti, otnoshenie predela i bespredel'nogo, po Proklu, chto dokazyvaet, takim obrazom, teoremu Ferma, yazyk perevoda formal'noj teorii mnozhestv na yazyk arifmetiki, t. e. konstruirovaniya.

Poskol'ku n = p! + 1,

to cⁿ = aⁿ + bⁿ⁽^mod¹⁾ imeet reshenie v celyh chislah pri n < 2 ili p² p.

V osnovanii arifmetiki ordinalov takim obrazom lezhit definiciya ego znacheniya, referent znacheniya ponyatiya chisla Ord² = ord, togda summoj ordinalov yavlyaetsya radikal, raznost'yu -- graf ordinala, znachenie grafa proizvedeniem -- logarifm ordinala, znachenie logarifma -- chastnym tangens.

Aksiomatizaciej arifmetiki ordinalov yavlyaetsya, takim obrazom, normal'nyj algorifm A. A. Martynova, stepeni ego semantiki sistem chisla klassov.

Transfinitizm otlichaetsya ot finitizma, kak venecianskogo zerkalo ot prostogo, svecha, podnesennaya k prostomu zerkalu daet odin strogij abris, v venecianskom zhe mnozhestvo otrazhenij. Arifmetika ordinalov yavlyaetsya tem samym sistemoj aksiom stupenchatogo ischisleniya predikatov (usilennogo ischisleniya predikatov) Gil'berta, takoe preobrazovanie "formal'nogo operirovaniya s peremennymi znakami vyskazyvanij i funkcii, chtoby somnitel'nye obrazovaniya sovokupnostej vyskazyvanij ili funkcii byli isklyucheny" soobrazno vyyasneniyu nami roli v obosnovanii matematicheski sovershennoj gruppy s prostym delitelem p, interpretaciej kotoroj yavlyaetsya dokazatel'stvo teoremy Ferma.

CHtoby otobrazit' razlichie stupenej, my snabzhaem vyskazyvaniya i funkcii chislovymi indeksami takim obrazom, chto eto budut chisla klassov, znacheniya tozhdestvenno-istinnyh suzhdenij arifmetiki ordinalov.

|to oboznachenie nado ponimat' v tom smysle, chto oblast' znachenij znaka vyskazyvanij x_n ili znaka funkcii F_n ogranichena takimi vyskazyvaniyami ili funkciyami, kotorye soderzhatsya v teorii n-j stupeni. Kazhdoe vyrazhenie, esli ono predstavlyaet vyskazyvanie ili opredelennuyu funkciyu, esli ko vsyakomu vstrechayushchemusya v nem znaku vyskazyvanij i znak funkcii poluchaet indeks (my imeem zdes' v vidu sposob postroeniya, konstruirovaniya chisla). Otnosheniya mezhdu indeksom znaka funkcii i indeksom argumenta est' vypolnenie teoremy Ferma dlya ordinalov.

Sovershennaya gruppa s prostym delitelem p, vyrazhennaya v teoreme Ferma dlya ordinalov est' reshenie problemy razreshimosti, nominal'nym opredeleniyami kotoroj yavlyaetsya problema obshcheznachimosti, real'nym -- problema vypolnimosti, "postulirovanie obshcheznachimosti (sootvetstvenno vypolnimosti) nekotoroj logicheskoj formuly yavlyaetsya ekvivalentnym vyskazyvaniyu o chisle individuumov". Cel'yu vyskazyvanij yavlyaetsya znachenie, inache govorya, ekvivalentnost' vyskazyvaniya oznacheniya vyskazyvaniya, opredelennogo tem bolee, poskol'ku v sobstvennom smysle kazhdoe vyskazyvanie yavlyaetsya vyskazyvaniem o znachenii vyskazyvaniya, inache govorya, my imeem v vidu vyskazyvanie o sobstvennom znachenii byt' vyskazyvaniem o znachenii drugogo vyskazyvaniya, t. e. vyskazyvanie o ponyatii, o znachenii.

Takim obrazom, yazyk konstruirovaniya ob®ekta, yavlyayushchegosya ob®ektom logiki, yazyk, formalizuyushchij znacheniya, mozhet byt' predstavlen svoim alfavitom sleduyushchim obrazom:

1) α radikaly, formalizuyushchie peremennuyu velichinu i yavlyayushchiesya. Sledovatel'no, podstanovochnoj interpretaciej sintaksisa;

2) β prostye chisla, dokazyvayushchie neprotivorechivost' postoyannoj velichiny, sredstvami, formalizuyushchimi v yazyke morfologii; i yavlyayushchiesya, sledovatel'no, standartnoj interpretaciej grammatiki;

3) z sovershennye chisla s prostym delitelem p, formalizuyushchie morfizmy i yavlyayushchiesya, sledovatel'no, vypolneniem (interpretaciej) podstanovochnoj interpretacii semiotik.

4) Tavtologii matematiki p² (kvadrat tonkogo mnozhestva), interpretiruyushchie semantik i "standartnye interpretacii model'nyh mnozhestv".

5) Normal'nyj algorifm, formalizuyushchij izomorfizm, podnimaya tem samym material'nuyu implikaciyu do urovnya znacheniya implikacii (logicheskoj implikacii, predposylki yazyka logiki i otnoshenij, funkcii v pragmatike), chto vyrazhaetsya principom normalizacii algorifma. Vsyakij normal'nyj algorifm budet zadavat'sya ukazaniem sleduyushchih treh ob®ektov: nekotorogo alfavita, v dannom sluchae alfavita yazyka znachenij, v kotorom on vystupaet v kachestve logicheskoj svyazki nekotorogo trehbukvennogo alfavita αβγ, ne imeyushchih bukv, obshchih s alfavitom A, to est' vyskazyvanie, podlezhashchee rassmotreniyu yazykom dannogo alfavita i nekotoroj γ-shemoj z v alfavite Aαβ. Formulami podstanovok alfavita yavlyayutsya sovershennye gruppy s prostym delitelem p. Vsyakij verbal'nyj algorifm v alfavite A vpolne ekvivalenten otnositel'no A nekotoromu normal'nomu algorifmu nad A. Vsyakij verbal'nyj algorifm normalizuet v yazyke znachenie (tezis A. CHercha). Logika mozhet primenyat'sya dlya resheniya zadach, no ona ne podskazhet nam kakie zadachi stoit reshit', lish' formalizovav znachenie, my, nahodyas' v neobhodimosti normalizovat' izvestnym obrazom (podobnym logicheskim svyazkam, ih ierarhii, teorii tipov i subordinacii) algorifm resheniya kakoj-libo zadachi, verbal'nyj po otnosheniyu k yazyku znacheniya soglasno principu transfinitizma, usmatrivaem znachenie zadachi, ved' algorifm, normalizuyushchijsya samostoyatel'no, svodimyj logicheskim obrazom k normal'nomu, i est' prostoe vyskazyvanie yazyka znacheniya, prinyatoe za ob®ekt, lingvisticheskij podhod Vitgenshtejna, "znachenie znacheniya", lish' demonstrativnoe umozaklyuchenie o "znachenii znacheniya", prinyatoe za induktivnoe, inache govorya, ono ne konstruktivno, otsutstvuet deskripciya formalizma, eto "govoryashchij cherez nas" formalizm, prisoedinyayushchij algorifm, vtoraya stupen' implikacii, vypolnyayushchej ideyu stupenchatoj semanticheskoj sistemy v pragmatike, razlichayutsya, takim obrazom, levyj prisoedineniyu dnej i pravyj prisoedinyayushchij allomorfy: sokrashchayushchij algorifm; formalizuyushchij avtomorfizm.

Formula podstanovki sokrashchayushchaya, esli dlina ee pravoj chasti men'she dliny ee levoj chasti. Normal'nyj algorifm, sokrashchayushchij ili kak ego formuly podstanovok sokrashchayushchie, chto bylo pokazano dlya nashej gruppy P² P, razvetvlyayushchij algorifm, formalizuyushchij endomorfizm, vypolnyaya induktivnuyu implikaciyu, pryamym ee otricaniem pokazyvaya znachenie, udvaivayushchee algorifm, formalizuyushchij otricanie, formalizaciej kotorogo yavlyaetsya yazyk morfologii, nakonec obrashchayushchij algorifm, formalizuyushchij signaturu -- logicheskuyu svyazku yazyka morfologii. |kvivalentnost' verbal'nogo" algorifma normal'nomu est' reshenie zadachi po algorifmu, formalizuyushchemu po kanonu teorii algorifmaov yazyk znacheniya, opredelennyj yazyk. My obrashchaemsya zdes' myslenno k drevnim, gde dokazatel'stvo analitichno, esli i tol'ko esli ono ne vvodit v rassmotrenie novyh simvolov, i sintetichno, esli i tol'ko esli ono vvodit v rassmotrenie novye simvoly (imeetsya v vidu razlozhenie zadachi na podzadachi)

6. ordinal - indeks -- topologiya -- kardinal (kvantory) Tehnicheskie znaki -- graficheskoe ravenstvo, = - ravenstvo (substantivnaya ekvivalenciya). Tablicami istinnosti yazyka znacheniya yavlyayutsya matricy, opredelitelyami kotoryh sluzhat ordinaly, teoriya vypolneniya teoremy Ferma est' konstruktivnaya tehnika yazyka znacheniya. Teoriya znacheniya, okazavshayasya chistoj deskripciej ponyatiya yazyka znacheniya, to est' takogo ponyatiya, kotoroe, krome togo, chto yavlyaetsya samim soboj, finitno posredstvom imenno ponyatiya yazyka (formal'nogo) znaniya est' deskripciya transcendiruyushchej sposobnosti myshleniya, meroj otvlechennosti i otvlekaemosti myshleniem, slozhnoj uzhe v silu togo, chto yavlyaetsya smyslom, trebuyushchim obrazovanie ponyatiya mery. Transcendirovanie myshleniya est' ego vypolnenie mysl'yu i ispolnenie v mysli, transcendirovanie myshleniem ili transcendiruyushchee myshlenie est', takim obrazom, znachenie, smysl, trebuyushchij obrazovanie ponyatiya znacheniya, samo znachenie. Transcendirovanie est', sledovatel'no, znachenie logiki, trebuyushchee obrazovaniya samoj logiki. Transfinitizm takim obrazom est' otnoshenie mezhdu ponyatiyami v konechnom schete otnoshenie mezhdu ob®ektami (= formal'nymi yazykami), v voprose o schetnosti, chisle individov dlya problemy razreshimosti finitizma. Transfinitizm est' eksplikat ponyatiya myshleniya, transcendentalizm ego eksplienduum, takova istina znacheniya, trebuyushchaya smysl, obrazuyushchij vposledstvii ponyatie logiki. Ponyatie myshleniya, to, chto oznachaet myshlenie, est' poetomu myshlenie, kotoroe transcendiruet, poskol'ku rech' finitna i, sledovatel'no, sushchestvuet posredstvom ponyatij. Konstruirovanie est' poetomu vsegda transcendirovanie myshleniya, vstuplenie mysli v takoe i izvestnym obrazom protivorechie (logicheskoe) s myshleniem radi etogo, osparivaemogo u nego znacheniya, normalizuemogo v nem algorifmicheskim obrazom.

Znachenie, takim obrazom, est' eksplikat i ekspliciruet ponyatie chisla, eksplikat v kachestve smysla, trebuyushchego ponyatie chisla i eksplienduum v kachestve znacheniya, denotata ponyatiya chisla. Znachenie mozhet byt' predstavleno v vide sverhtonkogo mnozhestva simvolov, udovletvoryayushchego sleduyushchemu usloviyu: lyubye dva proizvol'no vzyatye simvola etogo mnozhestva takovy, chto ih kon®yunkciya, diz®yunkciya i t. d. -- tozhdestvennno-istinnye formuly. Mnozhestva i sami dolzhny i mogut byt' interpretiruemy. Nazovem eto mnozhestvo vremennym, sut' etogo nazvaniya sostoit v tom, chto smysl, trebuyushchij obrazovaniya ponyatiya vremeni opoznan nami kak logicheskij znak tozhdestva, ego formal'noe narushenie radi znacheniya, tak nazyvaemoe absolyutnoe, ili razlichayushchee tozhdestvo nemeckoj klassiki, deskripcii ponyatiya suzhdeniya.

Vsyakoe mnozhestvo (matematicheskoe ponyatie mnozhestva) est', sledovatel'no, model'noe mnozhestvo vremennogo mnozhestva, ili oblast' racional'nosti, osmyslennogo otricaniya simvolov vremennogo mnozhestva i cel'yu eksplikacii uslovij vhozhdeniya v nego kon®yunkcij, diz®yunkcij i t. d., prevrashcheniya ih v formuly podstanovok, maksimal'no neprotivorechivoe mnozhestvo znachimyh formul. Kak vidno, model'noe mnozhestvo, yavlyayas' znacheniem zakona protivorechiya v logike, est' smysl, trebuyushchij obrazovaniya prostranstva, ili, inache govorya, nezavisimo sushchestvuyushchee model'noe mnozhestvo est' prostranstvennoe mnozhestvo, i nakonec mnozhestvo znachimyh neprotivorechivyh formul est' tavtologicheskoe mnozhestvo, edinstvennyj smysl logicheskogo zakona isklyuchennogo tret'ego po otnosheniyu k ponyatiyam prostranstva i vremeni. Vremennoe mnozhestvo est', takim obrazom, model' matematicheskogo ponyatiya mnozhestva, prostranstvenn