pm γ
x 2
| α - -- |
> -- => ----
< ----
qm qnm qnm qm+1m
a eto nevozmozhno, esli m veliko.
Zakon kvadratichnyh form zanimaetsya v
tom, chto esli α irracional'no, to sushchestvuet beskonechno mnogo racional'nyh
chisel p/q (p i q vzaimno prosty), takih, chto
p 1
| α - -- | ≤
-- (princip Dirihle)
q q2
Kvadratichnaya forma
opredelena nami kak kreativnost', svojstvo Matiyasevicha, o znachenii mnogochlena simvolicheskoe
znachenie simvola, bez ucheta kotorogo nevozmozhno pragmaticheskoe znachenie.
Dlya postroeniya simvolicheskogo
konstruktivnogo ryada, deskriptivnogo po otnosheniyu k zadannomu posredstvom
ponyatij (informacii operatorov) formal'nomu yazyku, dopustim, chto trebuetsya odin
simvol s veroyatnost'yu p (ispol'zovaniem), dva simvola s ispol'zovaniem p2, tri simvola s ispol'zovaniem p3 i t. d., ispol'zovaniya est' kody mnogochlena,
rezul'tata, referenta operirovaniya, approksimiruemogo kardinalom k mnogochlenu,
priravnennomu ordinalu.
p1 + p2 + ... + pn = Ord
Sprashivaetsya, skol'ko v
srednem potrebuetsya simvolov dlya postroeniya konstruktivnogo simvolicheskogo
ryada, otvechayushchego opredeleniem pragmatiki. Dlya otveta na postavlennyj vopros
budem rassuzhdat' sleduyushchim obrazom.
Predpolozhim, my mozhem
ispol'zovat' simvol lyuboj konfiguracii, lyubuyu gruppu prostyh chisel,
interpretiruyushchuyusya kak moduliruyushchuyu kol'ca (budut ih idealami), vypolnenij
kvadratnyh form v teoreme Ferma, sushchestvuyushchih kvadratichnyh form. Togda,
konkretiziruya teoremu Bernulli, my mozhem utverzhdat', chto otnositel'noe chislo
operacii (modal'nost', v kotoryh dlya resheniya problemy potrebovalsya tol'ko odin
simvol, ravno p). Tochno takzhe dva simvola potrebovalis' v 100 p2 % operacij i t. d. Takim obrazom, v srednem na
reshenie odnoj problemy potrebuetsya priblizitel'no 1 ∙ p1 + 2p2 + ... + npn simvolov.
Priblizitel'nost'
oznachaet zdes' neobhodimoe reshenie problemy, poskol'ku lyuboj simvol mozhet byt'
nami postroen, kol' skoro my ovladeem sposobom postroeniya lyubogo chisla,
nulevogo simvola. Raskroem ishodya iz vysheskazannogo ponyatiya matematicheskogo
ozhidaniya MEs est' umnozhenie mnogochlena α v opredelenie approksimacii (sm. Ahiezer
"Lekcii po teorii approksimacii") MEs est', sledovatel'no, nekotoraya, opredelennaya po kanonu
transfinitivnoj estetiki, gruppa. Esli x1, x2, ... xn -- mnogochleny, rezul'taty
operirovaniya operatorov, oboznachayutsya vozmozhnymi znacheniyami diskretnoj
sluchajnoj velichiny Es, a p1, p2,
... pn -- sootvetstvuyushchie
im veroyatnosti, ispol'zovaniya simvolov.
∞
Esli ryad ∑ xn pn (n = 1) shoditsya absolyutno, to ego
summa nazyvaetsya matematicheskim ozhidaniem special'noj velichiny MEs, izmeryayushchejsya v transfinitivnyh
chislah
n (gedelevskij nomer)
Es = --
α (transfinitivnoe
chislo)
Poskol'ku Es vsegda nepreryvna, raskryvaya
sushchestvovanie zakona bol'shih chisle, sostoyashchee v "ispol'zovanii simvola
kvadratnogo umnozheniya", proistekayushchee iz yavleniya approksimacii, to
matematicheskoe ozhidanie Es yavlyaetsya integralom
MEs = ∫ xp (x) α x, gde p (x) = 1/Inx
raspredelenie prostyh
chisel (ispol'zuemoe, a ne veroyatnostnoe).
Svyaz' MEs s approksimaciej dokazyvaet tot fakt,
chto matematicheskoe ozhidanie tem vyshe, gruppa tem znachitel'nej (chisla znachenij v
smysle), tem bol'she dispersiya sluchajnoj velichiny, matematicheskoe ozhidanie
kvadrata znacheniya Es ot MEs de dicto
DEs
= M (Es - MEs)2 = ∫ xαFη(x),
gde cherez Fη (x) oboznachaetsya funkciya raspredeleniya
sluchajnoj
x x Ord
velichiny η (Es - ME)2
= ---- Fη (x) = ------ = Card
Inx Inx
(modulirovanie prostymi chislami kolec
(v kachestve ih idealov) nad polem racional'nyh chisel). |ntropiya Es, ili individualiziruemaya funkciya
est' teoriya predelov, mnogoobraziya predelov, kak referencial'nyh tochek pole
racional'nyh chisel, yavlyayushchihsya kodom approksimiruemyh mnogochlenov
HEs = -p1, Inp1 - ... pn Jn pn
pi =1/n (n -- gedelevskij nomer) H = log n.
My berem sluchaj maksimal'noj neopredelennosti
ishoda dlya simvologii
de re
-
p1 In p1 - ... - pn Jn pn = - p1
log p1 - ...- pn log pn
Referenciya neperovskih logarifmov
desyatichnymi, istok i rozhdenie logarifmov, sama ih vozmozhnost' opredelyaetsya HEs, chto interesuet nas dlya sluchaya raspredeleniya
prostyh chisel.
Otvet na postavlennyj vopros takim
obrazom:
DEs
MEs = ----
HEs
I dejstvitel'no, chto est'
chislo neobhodimyh simvolov, kak ne svedenie modal'nosti de dicto k de re.
Esli takim obrazom, pod
modal'nost'yu de dicto ponimat' schetnost' mnozhestva, t. e. nechetnost' beskonechnogo
mnozhestva budet izmeryat'sya ordinalami, a pod modal'nost'yu de re moshchnost' beskonechnogo mnozhestva, gde
razlichiya v moshchnosti izmeryayutsya v kardinalah, to konstruirovanie est' s
referencial'noj tochki zreniya dokazatel'stvo schetnosti mnozhestva vseh
dejstvitel'nyh chisel, ili metod Kantora. Poskol'ku soglasno entropii (HEs = Ord2 +Card2 = -1) sluchajnoj velichiny kazhdoe chislo mozhno
edinstvennym obrazom predstavit' v vide beskonechnoj desyatichnoj drobi,
predpolozhim, chto vse dejstvitel'nye chisla zapisany v posledovatel'nost':
S1, S11,
S12, S13 ...
S2, S21,
S22, S23 ...
S3, S31,
S32, S33 ...
Pust' α1
-- lyubaya cifra, otlichnaya ot S1, a α2 -- lyubaya cifra,
otlichnaya ot S32, i t. d.
Togda dejstvitel'noe
chislo otlichaetsya ot lyubogo chisla nashej posledovatel'nosti, sledovatel'no, ono
kardinal, chisla, odinakovye s s chlenami nashej posledovatel'nosti est' ordinaly,
poskol'ku sushchestvuyut kardinaly. Sledovatel'no, mnozhestvo dejstvitel'nyh chisel
mozhno rassmatrivat' v posledovatel'nosti, tak kak kazhdoe iz nih, krome togo,
chto ono est' ono samo, est' transfinitivnoe chislo. (chislo, kotoroe i ravno
chislu posledovatel'nosti i otnosh. transfinitizma)
Umestno dat'
interpretaciyu dokazatel'stvu schetnosti mnozhestva dejstvitel'nyh chisel v
semioticheskom chislovom ryadu, transfinitivnoj konfiguracii simvolicheskogo ryada,
operatorom kotoroj yavlyayutsya transfinitivnye chisla, operirovaniem dannogo
operatora ili referenciej -- dispersiya stupenchatoj velichiny, dannym
operirovaniem operatora, ili denotaciej, entropiya sluchajnoj velichiny.
Pust' zadana
posledovatel'nost' chisel Fibonachchi Ψn. Sostavim novuyu posledovatel'nost' Sn, n= 1, 2
S1 = 1
S2 = 1 + 2 = 3
S3 = 1+ 2 + 3 = 6
S4 = 1 = 2 + 3 + 6 = 12
Sn = Ψ1 +
Ψ2
+ ... Ψn
Para posledovatel'nostej
Ψn i Sn -- chislovoj ryad, Sn -- chastnye summy etogo ryada.
Shodimost' etogo ryada est' ryady Fur'e dlya prostyh chisel, v to vremya kak
shodimost' semanticheskogo ryada est' ryady Tejlora dlya prostyh chisel. CHislo kak
posledovatel'nost' i chislo kak ryad est' sushchnost' principa dopolnitel'nosti,
ob®ekty ordinalizacii izmeryayutsya v ordinalah, kardinal est' real'nost', ob®ekt
ordinala, i ordinal est' ob®ekt, interpretiruemyj kardinalom.
Teoriya predelov est',
takim obrazom, issledovanie otnoshenij mezhdu kardinalami i ordinalami, teoriya
organizacii transfinitvnogo chisla, i v etom smysle teoriya kodirovaniya,
kodirovaniya programm dlya operatorov, operiruyushchih v obobshchennoj konfiguracii
simvola, neobhodimo realizuyushchaya princip Puankare: "nikogda ne rassmatrivajte
nikakih ob®ektov, krome teh, kotorye mozhno opredelit' konechnym chislom slov". Inymi
slovami, konstruirovanie chego-libo ili sushchnosti, proishodit podobno, vziraya na
postroenie chisla.
Postroenie chisla est' ne
chto inoe, kak postroenie kvadratury kruga, gde radiusom kruga yavlyaetsya prostoe
chislo, a storonami kvadrata p i q etogo chisla, moduliruemogo, idealiziruemogo p (prostym chislom), priravnivaemye drug
k drugu cherez vosstanavlivanie iz P sovershennoj, zapolnennoj drobi. Rezyumiruya
vysheizlozhennoe, neobhodimo ustanovit' obshchij zakon, soglasno kotoromu dva celyh
polozhitel'nyh chisla preobrazuyutsya v kvadrat takogo chisla (v dva novyh ravnyh
chisla) chto on raven proizvedeniyu prostogo chisla na nekotoroe zakonchennoe
drobnoe otnoshenie, koefficient prostogo chisla (strukturu uravneniya operatorom
dvuh celyh chisel takim obrazom, chtoby ono bylo operacional'nym, chtoby byl sled
operatora i strogost' chisla). My uzhe ponyali, chto takogo roda zakonomernost'
yavlyaetsya ne chem inym, kak zakonom prostyh chisle, ih sobstvenno raspredeleniya.
Vot uzh poistine neizvestno, chto proishodit v matematike, kogda v nej net matematika,
tam vse prihodit v dvizhenie (zona Tarnovskogo), i stoit lish' poyavit'sya
cheloveku, v nej lovushki, nedokazuemost', finitizm, nerazreshimost' 10-j problemy
Gil'berta i t. d. Obshchim metodom, sleduya kotoromu v nekotoroe chislo shagov mozhno
bylo by uznat', imeet li proizvol'noe diofantovo uravnenie reshenie v celyh
chislah, yavlyaetsya opredelenie takogo chisla sochetanij iz n po m, chto n = Ψn,
m = Ψm
Ψn!
Ψ0 = 2
Cnm
= -------------- Ψ1 +3
Ψn-1! (Ψn - Ψn-1)!
Udvoenie kuba (postroenie cirkulem i linejkoj chisla 3Ö2) est' ordinal, takova interpretaciya ordinala. Togda kardinal est' razbienie kuba na konechnoe chislo men'shih i neravnyh drug drugu kubov. Transfinitivnoe zhe chislo est' postroenie, vypolnennoe odnoj linejkoj, konechnaya posledovatel'nost' shagov, na kazhdom iz kotoryh my libo provodim tochku peresecheniya dvuh pryamyh ili pryamoj i zadannoj okruzhnosti. |ta posledovatel'nost' dolzhna privesti v konce koncov k nekoto