\input style

¤ТА СХЕМА НЕ ЯВЛЯЕТСЯ НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНОЙ СРЕДИ ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ, НО ОНА 
ИНТЕРЕСНА ТЕМ, ЧТО ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО МЕТОДЫ С ЧАСТИЧНЫМИ ПРОХОДАМИ 
РАССМАТРИВАЛИСЬ ДЛЯ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКИ ЕЩЕ В 1946~Г., ХОТЯ В 
ЛИТЕРАТУРЕ ПО СЛИЯНИЮ ОНИ ПОЯВИЛИСЬ ЛИШЬ ОКОЛО 1960~Г.

¤ФФЕКТИВНАЯ КОНСТРУКЦИЯ СХЕМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ОБРАТНЫМ ЧТЕНИЕМ БЫЛА 
ПРЕДЛОЖЕНА ¤.~сАЙЕСОМ 
[{\sl CACM\/}, {\bf 11} (1968), 491--493]. яУСТЬ ДАНО $P+1$ ЛЕНТ И $S$ 
КЛЮЧЕЙ; РАЗДЕЛИТЕ КЛЮЧИ НА $P$ ПОДФАЙЛОВ, КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ 
$\lfloor S/P \rfloor$ ИЛИ $\lceil S/P \rceil$ КЛЮЧЕЙ, И ПРИМЕНЯЙТЕ ЭТУ 
ПРОЦЕДУРУ РЕКУРСИВНО К КАЖДОМУ ПОДФАЙЛУ. хСЛИ $S<2P$, ТО ОДИН ПОДФАЙЛ 
ДОЛЖЕН СОСТОЯТЬ ИЗ ЕДИНСТВЕННОГО НАИМЕНЬШЕГО КЛЮЧА; ЕГО И СЛЕДУЕТ ЗАПИСАТЬ 
НА ВЫВОДНУЮ ЛЕНТУ. (юБЩАЯ КОНСТРУКЦИЯ С ПРЯМЫМ ПОРЯДКОМ Ё.~ь.~ъАРПА, 
ОПИСАННАЯ В КОНЦЕ П.~5.4.4, ВКЛЮЧАЕТ ЭТОТ МЕТОД КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ.)

юБРАТНОЕ ЧТЕНИЕ НЕСКОЛЬКО УСЛОЖНЯЕТ СЛИЯНИЕ, ПОСКОЛЬКУ ОНИ ОБРАЩАЕТ 
ПОРЯДОК ОТРЕЗКОВ. ёООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЭФФЕКТ ИМЕЕТСЯ И В ПОРАЗРЯДНОЙ 
СОРТИРОВКЕ. ЁЕЗУЛЬТАТ ОКАЗЫВАЕТСЯ УСТОЙЧИВЫМ ИЛИ "АНТИУСТОЙЧИВЫМ" В 
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, КАКОЙ УРОВЕНЬ ДОСТИГНУТ В ДЕРЕВЕ. яОСЛЕ ПОРАЗРЯДНОЙ 
СОРТИРОВКИ С ОБРАТНЫМ ЧТЕНИЕМ, КОГДА НЕКОТОРЫЕ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НАХОДЯТСЯ НА 
ЧЕТНЫХ УРОВНЯХ, А НЕКОТОРЫЕ---НА НЕЧЕТНЫХ, ДЛЯ ОДНИХ КЛЮЧЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ 
ПОРЯДОК РАЗЛИЧНЫХ ЗАПИСЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ КЛЮЧАМИ БУДЕТ \emph{СОВПАДАТЬ} С 
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ПОРЯДКОМ, НО ДЛЯ ДРУГИХ ОН БУДЕТ \emph{ПРОТИВОПОЛОЖЕН} 
ИСХОДНОМУ. (ёР. С УПР.~6.)

\emph{юСЦИЛЛИРУЮЩАЯ} СОРТИРОВКА СЛИЯНИЕМ ТАКЖЕ ИМЕЕТ СВОЮ ПАРУ В ЭТОЙ 
ДВОЙСТВЕННОСТИ. т \emph{ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКЕ} МЫ 
ПРОДОЛЖАЕМ РАЗДЕЛЯТЬ КЛЮЧИ, ПОКА НЕ ДОСТИГНЕМ ПОД- ФАЙЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ 
ТОЛЬКО ОДИН КЛЮЧ ИЛИ ДОСТАТОЧНО МАЛЫХ, ЧТОБЫ ПОДДАВАТЬСЯ ВНУТРЕННЕЙ 
СОРТИРОВКЕ; ТАКИЕ ПОДФАЙЛЫ СОРТИРУЮТСЯ И ЗАПИСЫВАЮТСЯ НА ВЫВОДНУЮ ЛЕНТУ, 
ЗАТЕМ ПРОЦЕСС РАЗДЕЛЕНИЯ ВОЗОБНОВЛЯЕТСЯ. эАПРИМЕР, ЕСЛИ ИМЕЮТСЯ ТРИ 
РАБОЧИЕ ЛЕНТЫ И ОДНА ВЫВОДНАЯ И ЕСЛИ КЛЮЧИ ЯВЛЯЮТСЯ ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ, 
МЫ МОЖЕМ НАЧАТЬ С ТОГО, .ЧТО ПОМЕСТИМ КЛЮЧИ ВИДА `$0x$' НА ЛЕНТУ T1, А 
КЛЮЧИ `$1x$' НА ЛЕНТУ T2. хСЛИ НА ЛЕНТЕ T1 ОКАЖЕТСЯ БОЛЬШЕ ЗАПИСЕЙ, ЧЕМ 
ЕМКОСТЬ ПАМЯТИ, ТО ВНОВЬ ПРОСМАТРИВАЕМ ЕЕ И ПОМЕЩАЕТ `$00x$' НА T2 И 
`$01x$' НА Tч. ЄЕПЕРЬ, ЕСЛИ ПОДФАЙЛ `$00x$' ДОСТАТОЧНО КОРОТКИЙ, 
ПРОИЗВОДИМ ВНУТРЕННЮЮ СОРТИРОВКУ ЕГО И ВЫВОДИМ РЕЗУЛЬТАТ, А ЗАТЕМ 
НАЧИНАЕМ ОБРАБОТКУ ПОДФАЙЛА `$01x$'. яОДОБНЫЙ МЕТОД БЫЛ 
НАЗВАН ¤.~X.~ЇРЭНДОМ "КАСКАДНОЙ ПСЕВДОПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКОЙ" [{\sl 
JACM\/}, {\bf 3} (1956), 157--159]; БОЛЕЕ ПОДРОБНО ЕГО 
РАЗРАБОТАЛИ X.~эЭГЛЕР [{\sl JACM\/}, {\bf 6} (1959), 459--468], КОТОРЫЙ 
ДАЛ ЕМУ КРАСОЧНОЕ ИМЯ "МЕТОД ДВУГЛАВОГО ЗМИЯ", И ъ. X. уОДЕТТ 
[{\sl IBM Tech. Disclosure Bull.\/}, {\bf 12} (April, 1970), 1849--1853].

%% 416
\qsection яРЕВОСХОДИТ ЛИ ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА СЛИЯНИЕ? юДНИМ ВАЖНЫМ 
СЛЕДСТВИЕМ ПРИНЦИПА ДВОЙСТВЕННОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО 
\emph{ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА ОБЫЧНО ХУЖЕ СОРТИРОВКИ СЛИЯНИЕМ}. 
¤ТО СВЯЗАНО С ТЕМ, ЧТО МЕТОД 
ВЫБОРА С ЗАМЕЩЕНИЕМ ДАЕТ СОРТИРОВКЕ СЛИЯНИЕМ ОПРЕДЕЛЕННОЕ ПРЕИМУЩЕСТВО: 
НЕТ ОЧЕВИДНОГО ПУТИ ТАК ПОСТРОИТЬ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ, ЧТОБЫ МОЖНО БЫЛО 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВНУТРЕННИЕ СОРТИРОВКИ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ БОЛЕЕ ОДНОЙ ЕМКОСТИ 
ПАМЯТИ ЗА ОДИН РАЗ. эА САМОМ ДЕЛЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА 
ЧАСТО БУДЕТ ПОРОЖДАТЬ ПОДФАЙЛЫ, НЕСКОЛЬКО МЕНЬШИЕ ЕМКОСТИ ПАМЯТИ, ТАК 
ЧТО ЕЕ СХЕМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СООТВЕТСТВУЕТ ДЕРЕВУ СО ЗНАЧИТЕЛЬНО БОЛЬШИМ 
ЧИСЛОМ ВНЕШНИХ УЗЛОВ, ЧЕМ БЫЛО БЫ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЛИЯНИЯ И ВЫБОРА С 
ЗАМЕЩЕНИЕМ. ёООТВЕТСТВЕННО ВОЗРАСТАЕТ ДЛИНА ВНЕШНЕГО ПУТИ ДЕРЕВА (Т. Е.
 ВРЕМЯ СОРТИРОВКИ). (ёМ. УПР. 5.3.1--33.)

фЛЯ ВНЕШНЕЙ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКИ СУЩЕСТВУЕТ, ОДНАКО, ОДНО ВАЖНОЕ 
ПРИМЕНЕНИЕ. яРЕДПОЛОЖИМ, НАПРИМЕР, ЧТО ИМЕЕТСЯ ФАЙЛ, СОДЕРЖАЩИЙ ФАМИЛИИ 
ВСЕХ СОТРУДНИКОВ БОЛЬШОГО ПРЕДПРИЯТИЯ В АЛФАВИТНОМ ПОРЯДКЕ; ПРЕДПРИЯТИЕ 
СОСТОИТ ИЗ 10 ОТДЕЛЕНИЙ, И ТРЕБУЕТСЯ ОТСОРТИРОВАТЬ ЭТОТ ФАЙЛ ПО 
ОТДЕЛЕНИЯМ, \emph{СОХРАНЯЯ} АЛФАВИТНЫЙ ПОРЯДОК СОТРУДНИКОВ В КАЖДОМ 
ОТДЕЛЕНИИ. хСЛИ ФАЙЛ ДЛИННЫЙ, ТО МЫ ИМЕЕМ ДЕЛО ИМЕННОЕ ТОЙ СИТУАЦИЕЙ, 
ГДЕ СЛЕДУЕТ ПРИМЕНЯТЬ СТАБИЛЬНУЮ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ, ТАК КАК ЧИСЛО 
ЗАПИСЕЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КАЖДОМУ ИЗ 10 ОТДЕЛЕНИЙ, БУДЕТ, ВЕРОЯТНО, БОЛЬШЕ, 
ЧЕМ ЧИСЛО ЗАПИСЕЙ, КОТОРОЕ БЫЛО БЫ В НАЧАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ, ПОЛУЧЕННЫХ 
ВЫБОРОМ С ЗАМЕЩЕНИЕМ. тООБЩЕ ГОВОРЯ, ЕСЛИ ДИАПАЗОН КЛЮЧЕЙ ТАК МАЛ, ЧТО 
НАБОР ЗАПИСЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ КЛЮЧАМИ БОЛЕЕ ЧЕМ ВДВОЕ ПРЕВЫСИТ 
ОПЕРАТИВНУЮ ПАМЯТЬ, ТО РАЗУМНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ.

ьЫ ВИДЕЛИ В П.~5.2.5, ЧТО НА НЕКОТОРЫХ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ¤ть 
\emph{ВНУТРЕННЯЯ} ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЕЕ СЛИЯНИЯ, 
ПОСКОЛЬКУ "ВНУТРЕННИЙ ЦИКЛ" ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКИ ОБХОДИТСЯ БЕЗ СЛОЖНЫХ 
ПЕРЕХОДОВ. хСЛИ ВНЕШНЯЯ ПАМЯТЬ ОЧЕНЬ БЫСТРАЯ, ТО ДЛЯ ТАКИХ МАШИН МОЖЕТ 
ОКАЗАТЬСЯ ПРОБЛЕМОЙ ПРОВОДИТЬ СЛИЯНИЕ ДАННЫХ С ТАКОЙ СКОРОСТЬЮ, 
ЧТОБЫ УСПЕТЬ ЗА ОБОРУДОВАНИЕМ ВВОДА/ВЫВОДА. яОЭТОМУ В ПОДОБНОЙ СИТУАЦИИ 
ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА, ВОЗМОЖНО, ЛУЧШЕ СЛИЯНИЯ, ОСОБЕННО ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, 
ЧТО КЛЮЧИ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ.

\excercises
\ex[20] сЛИЖЕ К НАЧАЛУ П. 5.4 БЫЛО ОПРЕДЕЛЕНО ОБЩЕЕ 
СБАЛАНСИРОВАННОЕ СЛИЯНИЕ НА $T$ ЛЕНТАХ С ПАРАМЕТРОМ $P$, $1 \le P < T$. 
яОКАЖИТЕ, ЧТО ОНО СООТВЕТСТВУЕТ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКЕ, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ 
СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ СО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЕМ.

\ex[ь28] т ТЕКСТЕ СХЕМАТИЧЕСКИ ПРЕДСТАВЛЕНА МНОГОФАЗНАЯ 
ПОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА 21 КЛЮЧА! юБОБЩИТЕ ЕЕ НА СЛУЧАЙ $F_n$ КЛЮЧЕЙ; 
ОБоЯСНИТЕ, КАКИЕ КЛЮЧИ И НА КАКОЙ ЛЕНТЕ ОКАЗЫВАЮТСЯ В КОНЦЕ КАЖДОЙ ФАЗЫ. 
[{\sl єКАЗАНИЕ:\/}
%% 417
РАССМОТРИТЕ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩУЮ ЧИСЛА ЇИБОНАЧЧИ; 
УПР. 1.2.8-34.]

\ex[ь40] ЁАСПРОСТРАНИТЕ РЕЗУЛЬТАТЫ УПР.~2 НА МНОГОФАЗНУЮ ПОРАЗРЯДНУЮ 
СОРТИРОВКУ С ЧЕТЫРЬМЯ ИЛИ БОЛЬШИМ КОЛИЧЕСТВОМ ЛЕНТ (СР. С УПР.~5.4.2--10).

\ex[ь20] фОКАЖИТЕ, ЧТО СХЕМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ¤ШЕНХЕРСТА СЛУЖИТ НАИЛУЧШИМ 
СПОСОБОМ СОРТИРОВКИ 10 КЛЮЧЕЙ НА ЧЕТЫРЕХ ЛЕНТАХ БЕЗ ОБРАТНОГО ЧТЕНИЯ В ТОМ 
СМЫСЛЕ, ЧТО СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ 
СРЕДИ ВСЕХ "СИЛЬНЫХ 4-fifo ДЕРЕВЬЕВ". (ЄАКИМ ОБРАЗОМ, ЭТО, ПО СУЩЕСТВУ, 
НАИЛУЧШИЙ МЕТОД, ЕСЛИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВРЕМЯ ПЕРЕМОТКИ.)

\ex[15] эАРИСУЙТЕ 4-lifo ДЕРЕВО, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПОРАЗРЯДНОЙ 
СОРТИРОВКЕ ьОЧЛИ С ОБРАТНЫМ ЧТЕНИЕМ 10 КЛЮЧЕЙ.

\rex[20] эЕКОТОРЫЙ ФАЙЛ СОДЕРЖИТ ДВУХРАЗРЯДНЫЕ КЛЮЧИ $00$, $01$, \dots, 
$99$. яОСЛЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИОВКИ ьОЧЛИ ПО ЦИФРЕ ЕДИНИЦ МЫ 
МОЖЕМ ПОВТОРИТЬ ТУ ЖЕ СХЕМУ ПО ЦИФРЕ ДЕСЯТКОВ, ПОМЕНЯВ РОЛЯМИ ЛЕНТЫ 
$T2$ И $T4$. т КАКОМ ПОРЯДКЕ В КОНЦЕ КОНЦОВ ОКАЖУТСЯ КЛЮЧИ НА $T2$?

\ex[21] яРИМЕНИМ ЛИ ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ ТАКЖЕ И К ФАЙЛАМ НА 
НЕСКОЛЬКИХ БОБИНАХ?

\subsubchap{ёОРТИРОВКА С ДВУМЯ ЛЕНТАМИ}
фЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ СЛИЯНИЯ НЕ БЫЛО ЧРЕЗМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕНТ,
 НЕОБХОДИМЫ ТРИ ЛЕНТЫ. шНТЕРЕСНО ПОДУМАТЬ О ТОМ, КАК МОЖНО РАЗУМНЫМ 
ОБРАЗОМ ВЫПОЛНИТЬ ВНЕШНЮЮ СОРТИРОВКУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОЛЬКО ДВУХ ЛЕНТ.

т 1956~Г. у.~с.~фЕМУТ ПРЕДЛОЖИЛ НЕКИЙ МЕТОД, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЙ СОБОЙ 
КОМБИНАЦИЮ ВЫБОРА С ЗАМЕЩЕНИЕМ И СОРТИРОВКИ МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА. 
яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАНИМАЮТ ЛЕНТУ $T1$, И НАЧНЕМ С ТОГО, 
ЧТО ПРОЧИТАЕМ В ПАМЯТЬ $P+1$ ЗАПИСЕЙ. ЄЕПЕРЬ ВЫВЕДЕМ ЗАПИСЬ С 
НАИМЕНЬШИМ КЛЮЧОМ НА ЛЕНТУ $T2$ И ЗАМЕНИМ ЕЕ СЛЕДУЮЩЕЙ ИСХОДНОЙ ЗАПИСЬЮ. 
яРОДОЛЖАЕМ ВЫВОДИТЬ ЗАПИСИ, КЛЮЧ КОТОРЫХ В ТЕКУЩИЙ МОМЕНТ НАИМЕНЬШИЙ В 
ПАМЯТИ, СОХРАНЯЯ ДЕРЕВО ВЫБОРА ИЛИ ПРИОРИТЕТНУЮ ОЧЕРЕДЬ ИЗ $P+1$ ЭЛЕМЕНТОВ.
 ъОГДА ВВОД НАКОНЕЦ ИСЧЕРПАЕТСЯ, В ПАМЯТИ ОКАЖУТСЯ НАИБОЛЬШИЕ $P$ 
КЛЮЧЕЙ ФАЙЛА; ВЫВЕДЕМ ИХ В ВОЗРАСТАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ. ЄЕПЕРЬ ПЕРЕМОТАЕМ ОБЕ 
ЛЕНТЫ И ПОВТОРИМ ЭТОТ ПРОЦЕСС, ЧИТАЯ С $T2$ И ЗАПИСЫВАЯ НА $T1$; КАЖДЫЙ 
ТАКОЙ ПРОХОД ПОМЕЩАЕТ ЕЩЕ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $P$ ЗАПИСЕЙ НА СВОИ МЕСТА. т 
ПРОГРАММУ МОЖНО ВСТРОИТЬ ПРОСТУЮ ПРОВЕРКУ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТА, КОГДА 
ВЕСЬ ФАЙЛ СТАНЕТ УПОРЯДОЧЕННЫМ. яОТРЕБУЕТСЯ НЕ БОЛЕЕ  
$\lceil(N-1)/P\rceil$  ПРОХОДОВ.

ьИНУТНОЕ РАЗМЫШЛЕНИЕ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО КАЖДЫЙ ПРОХОД ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ 
ЭКВИВАЛЕНТЕН $P$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ПРОХОДАМ СОРТИРОВКИ МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА 
(АЛГОРИТМ 5.2.2т)! хСЛИ ЭЛЕМЕНТ ИМЕЕТ $P$ ИЛИ БОЛЕЕ ИНВЕРСИЙ, ТО ПРИ ВВОДЕ 
ОН ОКАЖЕТСЯ МЕНЬШЕ ВСЕХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДЕРЕВЕ И ПОЭТОМУ БУДЕТ НЕМЕДЛЕННО 
ВЫВЕДЕН (ПОТЕРЯВ, ТАКИМ ОБРАЗОМ, $P$ ИНВЕРСИЙ). хСЛИ ЭЛЕМЕНТ ИМЕЕТ МЕНЕЕ 
$P$ ИНВЕРСИЙ, ТО ОН ПОПАДАЕТ В ДЕРЕВО ВЫБОРА И БУДЕТ ВЫВЕДЕН РАНЬШЕ ВСЕХ 
БОЛЬШИХ КЛЮЧЕЙ (ПОТЕРЯВ, ТАКИМ ОБРАЗОМ,
%% 418
ВСЕ СВОИ ИНВЕРСИИ). хСЛИ $P=1$, ТО ПРОИСХОДИТ ТО ЖЕ САМОЕ, ЧТО И В МЕТОДЕ 
ПУЗЫРЬКА, ПО ТЕОРЕМЕ 5.2.21.

юБЩЕЕ ЧИСЛО ПРОХОДОВ БУДЕТ, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, РАВНО $\lceil I/P \rceil$, ГДЕ 
$I$---МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИНВЕРСИЙ ЛЮБОГО ЭЛЕМЕНТА. яО ТЕОРИИ, РАЗВИТОЙ В 
П.~5.2.2, СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ $I$ ЕСТЬ 
$N-\sqrt{\pi N/2}+(2/3) +O(1/\sqrt{N})$.

хСЛИ ФАЙЛ НЕ СЛИШКОМ СИЛЬНО ПРЕВОСХОДИТ РАЗМЕР ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ ИЛИ 
ЕСЛИ ОН ПЕРВОНАЧАЛЬНО ПОЧТИ УПОРЯДОЧЕН, ТО ЭТА СОРТИРОВКА МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА 
$P$-ГО ПОРЯДКА БУДЕТ ДОВОЛЬНО БЫСТРОЙ; В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ЕЕ МОЖНО 
ПРЕДПОЧЕСТЬ ДАЖЕ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ИМЕЮТСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ 
ЛЕНТОПРОТЯЖНЫЕ УСТРОЙСТВА, ТАК КАК ВЕСЬ ПРОЦЕСС СОРТИРОВКИ МОЖЕТ 
ЗАКОНЧИТЬСЯ РАНЬШЕ, ЧЕМ ОПЕРАТОР УСПЕЕТ УСТАНОВИТЬ ТРЕТЬЮ ЛЕНТУ! ё 
ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ОНА БУДЕТ РАБОТАТЬ ВЕСЬМА МЕДЛЕННО НАД ДОВОЛЬНО БОЛЬШИМИ 
ФАЙЛАМИ СО СЛУЧАЙНЫМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ, ТАК КАК ВРЕМЯ ЕЕ РАБОТЫ 
ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО $N^2$.

яОСМОТРИМ, КАК РЕАЛИЗУЕТСЯ ЭТОТ МЕТОД ДЛЯ 100000 ЗАПИСЕЙ В ПРИМЕРЕ ИЗ 
П.~5.4.6. эАМ НУЖНО РАЗУМНО ВЫБРАТЬ $P$, ЧТОБЫ УЧЕСТЬ МЕЖБЛОЧНЫЕ 
ПРОМЕЖУТКИ ПРИ СОВМЕЩЕНИИ ОПЕРАЦИЙ ЧТЕНИЯ И ЗАПИСИ С ВЫЧИСЛЕНИЯМИ. ЄАК 
КАК В ПРИМЕРЕ ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО КАЖДАЯ ЗАПИСЬ ИМЕЕТ ДЛИНУ 100 ЛИТЕР, 
А 100000 ЛИТЕР ЗАПОЛНЯЮТ ПАМЯТЬ, ТО У НАС БУДЕТ МЕСТО ДЛЯ ДВУХ БУФЕРОВ 
ВВОДА И ДВУХ БУФЕРОВ ВЫВОДА РАЗМЕРА $B$, ЕСЛИ ВЫБРАТЬ ЗНАЧЕНИЯ $P$ И $B$, 
ТАКИЕ, ЧТО
$$
100 (P+1) +4B =100000.
\eqno(1)
$$
хСЛИ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ П.~5.4.6, ТО ПРИБЛИЗИТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ РАБОТЫ 
КАЖДОГО ПРОХОДА ВЫРАЖАЕТСЯ КАК
$$
NC\omega\tau(1+\rho), \qquad \omega=(B+\gamma)/B.
\eqno (2)
$$
яОСКОЛЬКУ ЧИСЛО ПРОХОДОВ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО $P$, МЫ ХОТИМ ВЫБРАТЬ 
ТАКОЕ $B$, КРАТНОЕ 100, КОТОРОЕ МИНИМИЗИРУЕТ ВЕЛИЧИНУ $\omega/P$. 
¤ЛЕМЕНТАРНЫЙ АНАЛИЗ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО МИНИМУМ
ДОСТИГАЕТСЯ, КОГДА $B$ РАВНО ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО 
$\sqrt{24975\gamma}+\gamma^2-\gamma$. яОЭТОМУ МЫ ВЫБИРАЕМ $B=3000$, $P=879$.
 яОЛОЖИВ В ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ ФОРМУЛАХ $N=100000$, ПОЛУЧАЕМ, ЧТО ЧИСЛО 
ПРОХОДОВ $\lceil I/P\rceil$ БУДЕТ .ОКОЛО 114, А. ОЦЕНКА ОБЩЕГО ВРЕМЕНИ 
РЕШЕНИЯ СОСТАВЛЯЕТ ПРИМЕРНО $8.57$~Ч (ПРЕДПОЛАГАЯ ДЛЯ УДОБСТВА, 
ЧТО ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ВЫВОД ТАКЖЕ ИМЕЮТ $B=3000$). чДЕСЬ 
ПРЕДСТАВЛЕН СЛУЧАЙ, КОГДА ДАННЫЕ ЗАНИМАЮТ ОКОЛО $0.44$ БОБИНЫ; ПОЛНАЯ 
БОБИНА ПОТРЕБОВАЛА БЫ ПРИМЕРНО В ПЯТЬ РАЗ БОЛЬШЕ ВРЕМЕНИ. ьОЖНО ПРОИЗВЕСТИ 
НЕКОТОРЫЕ УЛУЧШЕНИЯ, ПРЕДУСМОТРЕВ В АЛГОРИТМЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРЕРЫВАНИЯ И 
ПЕРЕСЫЛКУ ЗАПИСЕЙ С НАИБОЛЬШИМИ КЛЮЧАМИ НА ВСПОМОГАТЕЛЬНУЮ 
%% 419
ЛЕНТУ, КОТОРАЯ ЗАТЕМ СНИМАЕТСЯ, НЕСКОЛЬКУ ЭТИ ЗАПИСИ ПРОСТО 
КОПИРУЮТСЯ ТУДА И ОБРАТНО ПОСЛЕ ТОГО, КАК ОНИ УЖЕ ОКАЗАЛИСЬ НА СВОИХ МЕСТАХ.

\section яРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКИ. хЩЕ ОДНИМ МЕТОДОМ ВНУТРЕННЕЙ 
СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЙ ПРОХОДИТ ДАННЫЕ ПОЧТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЯВЛЯЕТСЯ 
ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА С РАЗДЕЛЕНИЕМ ИЛИ БЫСТРАЯ СОРТИРОВКА (АЛГОРИТМ 5.2.2Q) 
ьОЖНО ЛИ ЕЕ ПРИСПОСОБИТЬ К ДВУМ ЛЕНТАМ? [N. т; Yoash, {\sl CACM\/}, {\bf 
8} (1965), 649.]

эЕТРУДНО УВИДЕТЬ КАК МОЖНО СДЕЛАТЬ ЭТО, ВОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ ОБРАТНЫМ ЧТЕНИЕМ. 
яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ДВЕ ЛЕНТЫ ПОМЕЧЕНЫ 0 И 1, И ПРЕДСТАВИМ, ЧТО ФАЙЛ 
РАСПОЛАГАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\picture{ЁАСПОЛОЖЕНИЕ ФАЙЛА НА ЛЕНТЕ, СТР. 419}
ъАЖДАЯ ЛЕНТА ВЫСТУПАЕТ В КАЧЕСТВЕ СТЕКА. фВЕ ЛЕНТЫ ВМЕСТЕ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ 
КАК ПРЕДСТАВЛЕНО ЗДЕСЬ, ДАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ СЧИТАТЬ ФАЙЛ ЛИНЕЙНЫМ СПИСКОМ, 
В КОТОРОМ МЫ МОЖЕМ ПЕРЕМЕЩАТЬ ТЕКУЩУЮ ПОЗИЦИЮ ВЛЕВО ИЛИ ВПРАВО, КОПИРУЯ 
ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ ОДНОГО СТЕКА В ДРУГОЙ. ёЛЕДУЮЩИЕ РЕКУРСИВНЫЕ ПОДПРОГРАММЫ 
ОПРЕДЕЛЯЮТ СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ.

\itemize
\li \strong{SORT00} [ОТСОРТИРОВАТЬ ВЕРХНИЙ ПОДФАЙЛ С ЛЕНТЫ $0$ И ВЕРНУТЬ 
ЕГО НА ЛЕНТУ $0$]. хСЛИ ПОДФАЙЛ ПОМЕЩАЕТСЯ В ОПЕРАТИВНУЮ ПАМЯТЬ, ТО 
ПРИМЕНИТЬ К НЕМУ ВНУТРЕННЮЮ СОРТИРОВКУ И ЗАТЕМ ВЕРНУТЬ ЕГО НА ЛЕНТУ. т 
ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ ВЫБРАТЬ ОДНУ ЗАПИСЬ $R$ ИЗ ПОДФАЙЛА; ПУСТЬ ЕЕ КЛЮЧОМ 
БУДЕТ $K$. ўИТАЯ ЛЕНТУ $0$ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ, КОПИРОВАТЬ ВСЕ ЗАПИСИ, 
КЛЮЧИ КОТОРЫХ $>K$, ПОЛУЧАЯ ТАКИМ ОБРАЗОМ НОВЫЙ "ВЕРХНИЙ" ПОДФАЙЛ НА ЛЕНТЕ 
$1$. ЄЕПЕРЬ, ЧИТАЯ ЛЕНТУ $0$ В ПРЯМОМ НАПРАВЛЕНИИ, КОПИРОВАТЬ ВСЕ ЗАПИСИ 
С КЛЮЧАМИ, РАВНЫМИ $K$, НА ЛЕНТУ $1$. чАТЕМ, ВНОВЬ ЧИТАЯ ЛЕНТУ $0$ В 
ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ, КОПИРОВАТЬ ВСЕ ЗАПИСИ С КЛЮЧАМИ $<K$ НА ЛЕНТУ 1. 
тЫПОЛНИТЬ \strong{SORT10} НАД КЛЮЧАМИ $<K$, ЗАТЕМ СКОПИРОВАТЬ КЛЮЧИ, 
РАВНЫЕ $K$, НА ЛЕНТУ $0$ И, НАКОНЕЦ, ВЫПОЛНИВ \strong{SORT10} НАД КЛЮЧАМИ 
$>K$, ЗАВЕРШИТЬ СОРТИРОВКУ.

\li \strong{SORT01} [ОТСОРТИРОВАТЬ ВЕРХНИЙ ПОДФАЙЛ С ЛЕНТЫ 0 И ЗАПИСАТЬ 
ЕГО НА ЛЕНТУ 1]. рНАЛОГИЧНО \strong{SORЄ00}, НО ПОСЛЕДНЕЕ ОБРАЩЕНИЕ К 
\strong{"SORT10"} ЗАМЕНЕНО НА \strong{"SORT11"}, ЗА КОТОРЫМ 
СЛЕДУЕТ КОПИРОВАНИЕ КЛЮЧЕЙ  $\le K$ НА ЛЕНТУ 1.

\li \strong{SORT10} [ОТСОРТИРОВАТЬ ВЕРХНИЙ ПОДФАЙЛ С ЛЕНТЫ 1 И ЗАПИСАТЬ 
ЕГО НА ЛЕНТУ 0]. ЄАКАЯ ЖЕ, КАК \strong{SORT01}, НО МЕНЯЮТСЯ МЕСТАМИ 0 И~1, 
А ТАКЖЕ ОПЕРАТОРЫ ОТНОШЕНИЙ $<$ И~$>$.
%% 420
\li \strong{SORT11} [ОТСОРТИРОВАТЬ ВЕРХНИЙ ПОДФАЙЛ С ЛЕНТЫ 1 И ВЕРНУТЬ 
ЕГО НА ЛЕНТУ 1]. ЄАКАЯ ЖЕ, КАК \strong{SORT00}, НО МЕНЯЮТСЯ МЕСТАМИ 0 И 1, 
А ТАКЖЕ ОТНОШЕНИЯ $<$ И $>$. ьОЖНО БЕЗ ТРУДА СПРАВИТЬСЯ С РЕКУРСИВНОЙ 
ПРИРОДОЙ ЭТИХ ПРОЦЕДУР, ЗАПИСЫВАЯ ПОДХОДЯЩУЮ УПРАВЛЯЮЩУЮ ИНФОРМАЦИЮ НА ЛЕНТЫ.
\itemend

хСЛИ СЧИТАТЬ, ЧТО ДАННЫЕ НАХОДЯТСЯ В СЛУЧАЙНОМ ПОРЯДКЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ 
РАВНЫХ КЛЮЧЕЙ ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛА, ТО МОЖНО ОЦЕНИТЬ ВРЕМЯ РАБОТЫ ЭТОГО 
АЛГОРИТМА СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. яУСТЬ $M$---ЧИСЛО ЗАПИСЕЙ, ПОМЕЩАЮЩИХСЯ В 
ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ. яУСТЬ $X_N$---СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ЗАПИСЕЙ, ЧИТАЕМЫХ ВО ВРЕМЯ 
ПРИМЕНЕНИЯ \strong{SORT00} ИЛИ \strong{SORT11} К ПОДФАЙЛУ ИЗ $N$ ЗАПИСЕЙ,
 ГДЕ $N > M$, И ПУСТЬ $Y_N$---СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ВЕЛИЧИНА ДЛЯ 
\strong{SORT01} И~\strong{SORT10}. ЄОГДА ИМЕЕМ:
$$
\eqalign{
 X_N&=\cases{
  0, & ЕСЛИ $N\le M$,\cr
  3N+1+{1\over N}\sum_{0\le k<N}(Y_k+Y_{N-1-k}), & ЕСЛИ $N>M$,\cr
 }\cr
 Y_N&=\cases{
  0, & ЕСЛИ $N\le M$,\cr
  3N+2+{1\over N}\sum_{0\le k<N}(Y_k+X_{N-1-k}+k), & ЕСЛИ $N>M$.\cr
 }\cr
}
\eqno(3)
$$
ЁЕШЕНИЕ ЭТИХ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ (СМ. УПР. 2) ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ОБЩИЙ 
ОБоЕМ ИНФОРМАЦИИ, ЧИТАЕМОЙ С ЛЕНТЫ В ТЕЧЕНИЕ ФАЗ ВНЕШНЕГО РАЗДЕЛЕНИЯ, В 
СРЕДНЕМ РАВЕН $6{2\over 3}N\ln N+O(N)$
ПРИ $N\to\infty$. ьЫ ТАКЖЕ ЗНАЕМ ИЗ ФОРМУЛЫ (5.2.2--25), ЧТО СРЕДНЕЕ ЧИСЛО 
ФАЗ ВНУТРЕННЕЙ СОРТИРОВКИ БУДЕТ РАВНО $2(N+1)/(M+2)-1$.

хСЛИ МЫ ПРИМЕНИМ ЭТОТ АНАЛИЗ К ПРИМЕРУ 100000 ЗАПИСЕЙ, РАССМОТРЕННОМУ В 
П.~5.4.6, ПРИЧЕМ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ БУФЕРАМИ ПО 25000 ЛИТЕР И БУДЕМ СЧИТАТЬ, 
ЧТО ВРЕМЯ СОРТИРОВКИ ПОДФАЙЛА ИЗ $n\le M=1000$ ЗАПИСЕЙ РАВНО 
$2nC\omega\tau$, ТО ПОЛУЧИМ СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ СОРТИРОВКИ, ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО 
РАВНОЕ 103 МИН (ВКЛЮЧАЯ, КАК В СХЕМЕ р, ОКОНЧАТЕЛЬНУЮ ПЕРЕМОТКУ). шТАК, 
МЕТОД БЫСТРОЙ СОРТИРОВКИ В СРЕДНЕМ НЕПЛОХ; НО, КОНЕЧНО, В 
\emph{НАИХУДШЕМ} СЛУЧАЕ ОН УЖАСЕН И УСТУПАЕТ ДАЖЕ МЕТОДУ ПУЗЫРЬКА, 
ОБСУЖДАВШЕМУСЯ ВЫШЕ.
\section яОРАЗРЯДНАЯ СОРТИРОВКА. юБМЕННУЮ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ
(АЛГОРИТМ 5.2.2R) МОЖНО АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ ПРИСПОСОБИТЬ ДЛЯ СОРТИРОВКИ С 
ДВУМЯ ЛЕНТАМИ, ТАК КАК ОН ОЧЕНЬ ПОХОЖ НА БЫСТРУЮ СОРТИРОВКУ. т КАЧЕСТВЕ 
ТРЮКА, КОТОРЫЙ ПОЗВОЛИЛ
ПРИМЕНИТЬ ОБА ЭТИ МЕТОДА, ИСПОЛЬЗОВАЛАСЬ ИДЕЯ ЧТЕНИЯ ФАЙЛА БОЛЕЕ ЧЕМ ОДИН 
РАЗ---ТО, ЧЕГО МЫ НИКОГДА НЕ ДЕЛАЛИ В ПРЕДЫДУЩИХ АЛГОРИТМАХ ДЛЯ ЛЕНТ.

%% 421

ё ПОМОЩЬЮ ТОГО ЖЕ ТРЮКА МОЖНО ОСУЩЕСТВИТЬ ОБЫЧНУЮ ПОРАЗРЯДНУЮ 
СОРТИРОВКУ НА ДВУХ ЛЕНТАХ "СНАЧАЛА-ПО-МЛАДШЕЙ-ЦИФРЕ". шМЕЯ ИСХОДНЫЕ 
ДАННЫЕ НА $T1$, КОПИРУЕМ НА $T2$ ВСЕ ЗАПИСИ, КЛЮЧ КОТОРЫХ В ДВОИЧНОЙ 
СИСТЕМЕ ОКАНЧИВАЕТСЯ НА 0;
ЗАТЕМ ПОСЛЕ ПЕРЕМОТКИ $T1$ ЧИТАЕМ ЕЕ ВНОВЬ, КОПИРУЯ ЗАПИСИ С КЛЮЧАМИ, 
ОКАНЧИВАЮЩИМИСЯ НА 1. ЄЕПЕРЬ ПЕРЕМАТЫВАЮТСЯ ОБЕ ЛЕНТЫ И ВЫПОЛНЯЕТСЯ 
АНАЛОГИЧНАЯ ПАРА ПРОХОДОВ, НО С ЗАМЕНОЙ $T1$ НА $T2$ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 
\emph{ПРЕДПОСЛЕДНЕЙ} ДВОИЧНОЙ ЦИФРЫ. т ЭТОТ МОМЕНТ $T1$ БУДЕТ СОДЕРЖАТЬ 
ВСЕ ЗАПИСИ С КЛЮЧАМИ $(\ldots00)_2$, ЗА КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ ЗАПИСИ С КЛЮЧАМИ 
$(\ldots01)_2$, ЗАТЕМ $(\ldots10)_2$, ЗАТЕМ $(\ldots11)_2$. хСЛИ КЛЮЧИ 
ИМЕЮТ РАЗМЕР $b$ БИТОВ, НАМ ПОТРЕБУЕТСЯ, ЧТОБЫ ЗАВЕРШИТЬ СОРТИРОВКУ, 
ТОЛЬКО $2b$ ПРОХОДОВ ПО ВСЕМУ ФАЙЛУ.

яОДОБНУЮ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ МОЖНО ПРИМЕНЯТЬ ТОЛЬКО К \emph{СТАРШИМ} 
$b$ БИТАМ КЛЮЧА ДЛЯ НЕКОТОРОГО РАЗУМНО ВЫБРАННОГО ЧИСЛА $b$; ТАКИМ 
ОБРАЗОМ, ЧИСЛО ИНВЕРСИЙ УМЕНЬШИТСЯ ПРИМЕРНО В $2^b$ РАЗ, ЕСЛИ КЛЮЧИ БЫЛИ 
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ; И ТОГДА НЕСКОЛЬКО ПРОХОДОВ $P$-ПУТЕВОЙ СОРТИРОВКИ 
МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА ПОЗВОЛЯТ ЗАВЕРШИТЬ РАБОТУ.

эОВЫЙ, НО НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ СЛОЖНЫЙ ПОДХОД К РАСПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ СОРТИРОВКЕ С 
ДВУМЯ ЛЕНТАМИ ПРЕДЛОЖИЛИ р. ш. эИКИТИН И ы. ш. °ОЛМОВ [{\sl 
ъИБЕРНЕТИКА\/}, {\bf 2}, 6 (1966), 79--84]. шМЕЮТСЯ СЧЕТЧИКИ ЧИСЛА КЛЮЧЕЙ 
ПО ОДНОМУ НА КАЖДУЮ ВОЗМОЖНУЮ КОНФИГУРАЦИЮ СТАРШИХ БИТОВ, И НА ОСНОВЕ 
ЭТИХ СЧЕТЧИКОВ СТРОЯТСЯ ИСКУССТВЕННЫЕ КЛЮЧИ $\kappa_1$, $\kappa_2$, 
\dots, $\kappa_M$ ТАК, ЧТОБЫ ДЛЯ КАЖДОГО $i$ ЧИСЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КЛЮЧЕЙ, 
ЛЕЖАЩИХ МЕЖДУ $\kappa_i$ И $\kappa_{i+1}$, БЫЛО МЕЖДУ ЗАРАНЕЕ 
ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ $P_1$ И $P_2$. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, $M$ ЛЕЖИТ МЕЖДУ 
$\lceil  N/P_1 \rceil$ И $\lceil N/P_1\rceil$. хСЛИ СЧЕТЧИКИ СТАРШИХ БИТОВ 
НЕ ДАЮТ ДОСТАТОЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТАКИХ $\kappa_1$, 
$\kappa_2$, \dots, $\kappa_M$, ТО ДЕЛАЕТСЯ ЕЩЕ ОДИН ИЛИ НЕСКОЛЬКО 
ПРОХОДОВ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ЧАСТОТЫ КОНФИГУРАЦИЙ МЕНЕЕ ЗНАЧАЩИХ БИТОВ ПРИ 
НЕКОТОРЫХ КОНФИГУРАЦИЯХ СТАРШИХ БИТОВ. яОСЛЕ ТОГО КАК ТАБЛИЦА 
ИСКУССТВЕННЫХ КЛЮЧЕЙ ПОСТРОЕНА, $2\lceil \log_2 M \rceil$  ПРОХОДОВ БУДЕТ 
ДОСТАТОЧНО ДЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ СОРТИРОВКИ. (¤ТОТ МЕТОД ТРЕБУЕТ ПРОСТРАНСТВА 
ПАМЯТИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО $N$, И ПОЭТОМУ НЕ МОЖЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ДЛЯ 
ВНЕШНЕЙ СОРТИРОВКИ ПРИ $N\to\infty$. эА ПРАКТИКЕ МЫ НЕ СТАНЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ 
ЭТОТ МЕТОД ДЛЯ ФАЙЛОВ НА НЕСКОЛЬКИХ БОБИНАХ, И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, $M$ БУДЕТ 
СРАВНИТЕЛЬНО НЕВЕЛИКО, ТАК ЧТО ТАБЛИЦА ИСКУССТВЕННЫХ КЛЮЧЕЙ ЛЕГКО 
ПОМЕСТИТСЯ В ПАМЯТИ.)

\section шМИТАЦИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛЕНТ. Ї.~ъ.~їЕННИ И Ё.~¤.~ёТИРНЗ ИЗОБРЕЛИ 
ОБЩИЙ МЕТОД ИМИТАЦИИ $k$ ЛЕНТ ВСЕГО НА ДВУХ ЛЕНТАХ, ПРИЧЕМ ТАКИМ ОБРАЗОМ, 
ЧТО ТРЕБУЕМОЕ СУММАРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ЛЕНТЫ ВОЗРАСТАЕТ ВСЕГО ЛИШЬ В $O(\log 
L)$ РАЗ, ГДЕ $L$---МАКСИМАЛЬНОЕ РАССТОЯНИЕ, КОТОРОЕ НУЖНО ПРОЙТИ НА ЛЮБОЙ ОДНОЙ
%% 422
ЛЕНТЕ [{\sl JACM\/}, {\bf 13} (1966), 533--546]. шХ ПОСТРОЕНИЕ В 
СЛУЧАЕ СОРТИРОВКИ МОЖНО СЛЕГКА УПРОСТИТЬ, ЧТО И СДЕЛАНО В СЛЕДУЮЩЕМ 
МЕТОДЕ, ПРЕДЛОЖЕННОМ Ё.~ь.~ъАРПОМ.

сУДЕМ ИМИТИРОВАТЬ ОБЫЧНОЕ СБАЛАНСИРОВАННОЕ СЛИЯНИЕ НА ЧЕТЫРЕХ ЛЕНТАХ, 
ИСПОЛЬЗУЯ ДВЕ ЛЕНТЫ: $T1$ И $T2$. эА ПЕРВОЙ ИЗ НИХ (Т. Е. НА $T1$) 
СОДЕРЖИМОЕ ИМИТИРУЕМЫХ ЛЕНТ ХРАНИТСЯ ТАКИМ СПОСОБОМ, КАК ИЗОБРАЖЕНО НА 
РИС.~86; ПРЕДСТАВИМ СЕБЕ, ЧТО ДАННЫЕ ЗАПИСАНЫ НА ЧЕТЫРЕХ ДОРОЖКАХ ПО ОДНОЙ 
ДЛЯ КАЖДОЙ ИМИТИРУЕМОЙ ЛЕНТЫ. (т ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ЛЕНТА НЕ ИМЕЕТ ТАКИХ
\picture{ЁИС. 86. ЁАЗБИВКА ЛЕНТЫ $T1$ В КОНСТРУКЦИИ їЕННИ И ёТИРНЗА}
ДОРОЖЕК; МЫ МЫСЛИМ БЛОКИ $1$, $5$, $9$, $13$, \dots  КАК ДОРОЖКУ $1$,
 БЛОКИ $2$, $6$, $10$, $14$, \dots КАК ДОРОЖКУ $2$ И Т. Д.) фРУГАЯ ЛЕНТА 
($T2$) ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХРАНЕНИЯ, ЧТОБЫ ПОМОЧЬ В 
ВЫПОЛНЕНИИ ПЕРЕСТАНОВОК НА $T1$.

сЛОКИ НА КАЖДОЙ ДОРОЖКЕ РАЗДЕЛЯЮТСЯ НА \emph{ЗОНЫ}, 
СОДЕРЖАЩИЕ СООТВЕТСТВЕННО $1$, $2$, $4$, $8$, \dots, $2^k$, \dots БЛОКОВ. 
чОНА $k$ НА КАЖДОЙ ДОРОЖКЕ ЛИБО ЗАПОЛНЕНА ТОЧНО $2^k$ БЛОКАМИ ДАННЫХ, ЛИБО 
ЦЕЛИКОМ ПУСТА. эАПРИМЕР, НА РИС.~86 НА ДОРОЖКЕ~$1$ ДАННЫЕ СОДЕРЖАТСЯ В 
ЗОНАХ~$1$ И~$3$; НА ДОРОЖКЕ $2$---В ЗОНАХ $0$, $1$ И~$2$; НА ДОРОЖКЕ $3$---В 
ЗОНАХ $0$ И~$2$; НА ДОРОЖКЕ 4---В ЗОНЕ~$1$, А ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ ЗОНЫ ПУСТЫ.

яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО МЫ СЛИВАЕМ ДАННЫЕ С ДОРОЖЕК $1$ И~$2$ НА ДОРОЖКУ~$3$. т 
ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ ¤ть НАХОДЯТСЯ ДВА БУФЕРА, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДВУХПУТЕВЫМ 
СЛИЯНИЕМ ДЛЯ ВВОДА, А ТАКЖЕ ТРЕТИЙ БУФЕР---ДЛЯ ВЫВОДА. ъОГДА БУФЕР ВВОДА ДЛЯ 
ДОРОЖКИ~$1$ СТАНЕТ ПУСТЫМ, МОЖНО ЗАПОЛНИТЬ ЕГО СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: НАЙТИ 
ПЕРВУЮ НЕПУСТУЮ ЗОНУ ДОРОЖКИ~$1$, СКАЖЕМ ЗОНУ $k$, И СКОПИРОВАТЬ ПЕРВЫЙ ЕЕ 
БЛОК В БУФЕР ВВОДА, ЗАТЕМ СКОПИРОВАТЬ ОСТАЛЬНЫЕ $2^k-1$ БЛОКОВ ДАННЫХ НА 
$T2$ И ПЕРЕМЕСТИТЬ ИХ В ЗОНЫ 0, 1, \dots, $k-1$ ДОРОЖКИ~1. (ЄЕПЕРЬ ЗОНЫ 0, 
1, \dots, $k-1$ ЗАПОЛНЕНЫ, ЗОНА $k$ ПУСТА.) рНАЛОГИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА 
ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДЛЯ ЗАПОЛНЕНИЯ БУФЕРА ВВОДА ДЛЯ ДОРОЖКИ~2, КАК ТОЛЬКО ОН 
СТАНЕТ ПУСТЫМ. ъОГДА БУФЕР ВЫВОДА ПОДГОТОВЛЕН ДЛЯ ЗАПИСИ НА ДОРОЖКУ~3, 
МЫ ОБРАЩАЕМ ЭТОТ ПРОЦЕСС, Т. Е. ПРОСМАТРИВАЕМ $T1$ ПОКА НЕ НАЙДЕТСЯ ПЕРВАЯ 
\emph{ПУСТАЯ} ЗОНА НА ДОРОЖКЕ~$3$, СКАЖЕМ ЗОНА~$k$, И В ТО ЖЕ ВРЕМЯ 
КОПИРУЕМ ДАННЫЕ ИЗ ЗОН 0, 1, \dots, $k-1$ НА $T2$. фАННЫЕ
%%423
НА $T2$, К КОТОРЫМ ПРИСОЕДИНЯЕТСЯ СОДЕРЖИМОЕ БУФЕРА ВЫВОДА, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ 
ТЕПЕРЬ ДЛЯ ЗАПОЛНЕНИЯ ЗОНЫ $k$ НА ДОРОЖКЕ 3.

фЛЯ ЭТОЙ ПРОЦЕДУРЫ МЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ ПИСАТЬ В СЕРЕДИНУ ЛЕНТЫ $T1$, НЕ 
РАЗРУШАЯ ПОСЛЕДУЮЩУЮ ИНФОРМАЦИЮ НА ЭТОЙ ЛЕНТЕ. ъАК И В СЛУЧАЕ 
ОСЦИЛЛИРУЮЩЕЙ СОРТИРОВКИ С ПРЯМЫМ ЧТЕНИЕМ (П.~5.4.5), МОЖНО БЕЗ ОПАСЕНИЙ 
ВЫПОЛНЯТЬ ЭТО ДЕЙСТВИЕ, ЕСЛИ ПРИНЯТЬ МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ.

яОСКОЛЬКУ ПРОСМОТР ДО ЗОНЫ $k$ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ ЗА КАЖДЫЕ $2^k$ 
ШАГОВ, ТО, ЧТОБЫ ПЕРЕПИСАТЬ $2^i-1$ БЛОКОВ С ДОРОЖКИ 1 В ПАМЯТЬ, 
ПОТРЕБУЕТСЯ ПЕРЕМЕСТИТЬ ЛЕНТУ НА $\sum_{v\le k<l} 2^{l-1-k}\cdot c \cdot 
2^k=cl2^{l-1}$, ГДЕ $c$---НЕКОТОРАЯ КОНСТАНТА. ЄАКИМ ОБРАЗОМ, КАЖДЫЙ ПРОХОД 
СЛИЯНИЯ ТРЕБУЕТ $O(N\log N)$ ШАГОВ. ЄАК КАК В СБАЛАНСИРОВАННОМ СЛИЯНИИ 
ИМЕЕТСЯ $O(\log N)$ ПРОХОДОВ, ТО ОБЩЕЕ ВРЕМЯ РАБОТУ БУДЕТ $O(N(\log 
N)^2)$, ЧТО АСИМПТОТИЧЕСКИ ЗНАЧИТЕЛЬНО ЛУЧШЕ, ЧЕМ НАИХУДШИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ БЫСТРОЙ 
СОРТИРОВКИ.

эО НА САМОМ ДЕЛЕ ЭТОТ МЕТОД ОКАЗЫВАЕТСЯ ПОЧТИ БЕСПОЛЕЗНЫМ, ЕСЛИ 
ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЛЯ СОРТИРОВКИ 100000 ЗАПИСЕЙ ИЗ ПРИМЕРА П.~5.4.6, ПОСКОЛЬКУ 
ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРАЯ ДОЛЖНА РАЗМЕЩАТЬСЯ НА ЛЕНТЕ $T1$, НЕ УМЕСТИТСЯ НА 
ОДНОЙ БОБИНЕ ЛЕНТЫ. ш ДАЖЕ ЕСЛИ МЫ ПРЕНЕБРЕЖЕМ ЭТИМ ФАКТОМ И БУДЕМ 
ИСХОДИТЬ ИЗ САМЫХ ОПТИМИСТИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СОВМЕЩЕНИЯ 
ЧТЕНИЯ/ЗАПИСИ/ВЫЧИСЛЕНИЙ, ОТНОСИТЕЛЬНО ДЛИН МЕЖБЛОЧНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ И Т. Д.,
 ТО НАЙДЕМ, ЧТО ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ СОРТИРОВКИ ПОТРЕБУЕТСЯ ОКОЛО 37~Ч! шТАК, 
ЭТОТ МЕТОД ПРЕДСТАВЛЯЕТ ЧИСТО АКАДЕМИЧЕСКИЙ ИНТЕРЕС: КОНСТАНТА В 
$O(N(\log N)^2)$ СЛИШКОМ ВЕЛИКА, ЧТОБЫ МЕТОД БЫЛ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЕН ДЛЯ 
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ $N$.

\section юДНОЛЕНТОЧНАЯ СОРТИРОВКА. ьОЖНО ЛИ ОБОЙТИСЬ ВСЕГО ОДНОЙ ЛЕНТОЙ? 
эЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО СОРТИРОВКУ МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА $P$-ГО ПОРЯДКА МОЖНО 
ПРЕОБРАЗОВАТЬ В ОДНОЛЕНТОЧНУЮ СОРТИРОВКУ, НО РЕЗУЛЬТАТ БУДЕТ УЖАСЕН.

у.~с.~фЕМУТ [Ph.~D.~thesis (Stanford University, 1956), 85] СДЕЛАЛ 
НАБЛЮДЕНИЕ, ЧТО В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОПЕРАТИВНОЙ 
ПАМЯТЬЮ НЕЛЬЗЯ, УМЕНЬШИТЬ ЧИСЛО ИНВЕРСИЙ ПЕРЕСТАНОВКИ БОЛЬШЕ, ЧЕМ НА 
ОГРАНИЧЕННУЮ ВЕЛИЧИНУ, ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ЛЕНТЫ НА ОГРАНИЧЕННОЕ РАССТОЯНИЕ; 
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЛЮБОЙ АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ С ОДНОЙ ЛЕНТОЙ ПОТРЕБУЕТ В 
СРЕДНЕМ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $dN^2$ ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ (ГДЕ $d$---НЕКОТОРАЯ 
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ КОНСТАНТА, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ КОНФИГУРАЦИИ ¤ть).

Ё.~ь.~ъАРП НАШЕЛ ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ. ЭТОЙ ТЕМЫ, 
ОБНАРУЖИВ ТО, ЧТО, ПО СУЩЕСТВУ, ЯВЛЯЕТСЯ \emph{ОПТИМАЛЬНЫМ} СПОСОБОМ 
СОРТИРОВКИ С ОДНОЙ ЛЕНТОЙ. яРИ ОБСУЖДЕНИИ АЛГОРИТМА ъАРПА УДОБНО 
СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ ПЕРЕФОРМУЛИРОВАТЬ ЗАДАЧУ: \emph{КАК БЫСТРЕЕ ВСЕГО 
ПЕРЕВЕЗТИ ЛЮДЕЙ МЕЖДУ ЭТАЖАМИ, ЕСЛИ РАБОТАЕТ ТОЛЬКО ОДИН ЛИФТ?}

%% 424

ЁАССМОТРИМ ЗДАНИЕ С $n$ ЭТАЖАМИ; ПОМЕЩЕНИЕ КАЖДОГО ЭТАЖА РАССЧИТАНО НА $c$ 
ЧЕЛОВЕК. т ЭТОМ ЗДАНИИ НЕТ НИ ОКОН, НИ ДВЕРЕЙ, НИ ЛЕСТНИЦ, НО ВСЕ ЖЕ ЕСТЬ 
ЛИФТ, КОТОРЫЙ МОЖЕТ ОСТАНАВЛИВАТЬСЯ НА ЛЮБОМ ЭТАЖЕ. т ЗДАНИИ НАХОДЯТСЯ 
$cn$ ЧЕЛОВЕК, И РОВНО $c$ ИЗ НИХ ХОТЯТ ПОПАСТЬ НА КАЖДЫЙ ОТДЕЛЬНЫЙ ЭТАЖ. т 
ЛИФТ ВМЕЩАЕТСЯ САМОЕ БОЛЬШЕЕ $b$ ЧЕЛОВЕК, И ОН ЗАТРАЧИВАЕТ ОДНУ ЕДИНИЦУ 
ВРЕМЕНИ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ С ЭТАЖА $i$ НА ЭТАЖ $i+1$. ьЫ ХОТЕЛИ БЫ НАЙТИ 
БЫСТРЕЙШИЙ СПОСОБ ПЕРЕМЕСТИТЬ ВСЕХ ЛЮДЕЙ НА НУЖНЫЕ ЭТАЖИ, ЕСЛИ ТРЕБУЕТСЯ, 
ЧТОБЫ ЛИФТ НАЧАЛ И ЗАКОНЧИЛ СВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПЕРВОМ ЭТАЖЕ.

эЕТРУДНО ЗАМЕТИТЬ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭТОЙ ЗАДАЧЕЙ И ОДНОЛЕНТОЧНОЙ СОРТИРОВКОЙ: 
ЛЮДИ---ЭТО ЗАПИСИ, ЗДАНИЕ---ЛЕНТА, ЭТАЖИ--- ОТДЕЛЬНЫЕ, БЛОКИ НА ЛЕНТЕ, А 
ЛИФТ---ОПЕРАТИВНАЯ ПАМЯТЬ ¤ть. фЕЙСТВИЯМ ПРОГРАММ ДЛЯ ¤ть СВОЙСТВЕННА 
БОЛЬШАЯ ГИБКОСТЬ, ЧЕМ ДЕЙСТВИЯМ ЛИФТЕРА (ОНА МОЖЕТ, НАПРИМЕР, СОЗДАВАТЬ 
ДВОЙНИКОВ ИЛИ, РАЗРЕЗАВ ЧЕЛОВЕКА НА ДВЕ ЧАСТИ, ОСТАВИТЬ ИХ НА ВРЕМЯ НА 
РАЗНЫХ ЭТАЖАХ И Т. Д.); НО В ПРИВОДИМОМ НИЖЕ АЛГОРИТМЕ ЗАДАЧА РЕШАЕТСЯ 
БЫСТРЕЙШИМ МЫСЛИМЫМ СПОСОБОМ БЕЗ ВЫПОЛНЕНИЯ ТАКИХ ОПЕРАЦИЙ. рЛГОРИТМ ъАРПА 
ИСПОЛЬЗУЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ МАССИВА:
$$
\eqalign{
u_k, 1\le k\le n:& 
\rem{ЧИСЛО ЛЮДЕЙ НА ЭТАЖАХ  $\le k$, СТРЕМЯЩИХСЯ ПОПАСТЬ НА ЭТАЖИ $>k$}\cr
d_k, 1\le k \le n:& 
\rem{ЧИСЛО ЛЮДЕЙ НА ЭТАЖАХ $\ge k$, СТРЕМЯЩИХСЯ ПОПАСТЬ НА ЭТАЖИ $<k$}\cr
}
\eqno(4)
$$.
ъОГДА ЛИФТ ПУСТ, МЫ ВСЕГДА ИМЕЕМ $u_k=d_{k+1}$ ПРИ $1\le k < n$, ТАК КАК НА 
КАЖДОМ ЭТАЖЕ НАХОДЯТСЯ $c$ ЧЕЛОВЕК; КОЛИЧЕСТВО ЛЮДЕЙ, НАПРАВЛЯЮЩИХСЯ С 
ЭТАЖЕЙ $\{1, \ldots, k\}$ НА ЭТАЖИ $\{k+1, \ldots, П\}$, ДОЛЖНО РАВНЯТЬСЯ 
ЧИСЛУ ЛЮДЕЙ, СТРЕМЯЩИХСЯ ПЕРЕПРАВИТЬСЯ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ. яО 
ОПРЕДЕЛЕНИЮ $u_n=d_1=0$.

▀СНО, ЧТО ЛИФТ ДОЛЖЕН СДЕЛАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $\lceil u_k/b\rceil$ РЕЙСОВ 
С ЭТАЖА $k$ НА ЭТАЖ $k+1$ ПРИ $1\le k<n$, ТАК КАК ТОЛЬКО $b$ ПАССАЖИРОВ 
МОГУТ ПОДНЯТЬСЯ ЗА ОДИН РЕЙС. рНАЛОГИЧНО, ОН ДОЛЖЕН СДЕЛАТЬ НЕ МЕНЕЕ 
$\lceil d_k/b\rceil$ РЕЙСОВ С ЭТАЖА $k$ НА ЭТАЖ $k-1$. ёЛЕДОВАТЕЛЬНО, 
ЛИФТУ ПОТРЕБУЕТСЯ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$$
\sum_{1\le k\le n} (\lceil u_k/n\rceil+\lceil d_k/b\rceil)
\eqno (5)
$$
ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ ПРИ ЛЮБОМ ПРАВИЛЬНОМ ГРАФИКЕ РАБОТЫ. ъАРП ОБНАРУЖИЛ, ЧТО 
ЭТА НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ДОСТИЖИМА, ЕСЛИ $u_1$, \dots,  $u_{n-1}$ НЕНУЛЕВЫЕ.

\proclaim ЄЕОРЕМА ъ. хСЛИ $u_k>0$ ПРИ $1\le k <n$, ТО СУЩЕСТВУЕТ 
ГРАФИК РАБОТЫ ЛИФТА, ПРИ КОТОРОМ ВСЕ ЛЮДИ ДОСТАВЛЯЮТСЯ НА СВОИ ЭТАЖИ ЗА 
МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ (5).
%%425

\bye