idi-font-size: 12.0pt;line-height:150%;mso-ansi-language:EN-US'>P), назовем их прагматическими множествами или сигнатурами. “порЯдоченнаЯ тройка å = <S; F; P> называетсЯ сигнатурой, если выполнЯютсЯ следующие условиЯ: а) множества S и P есть выполнимые множества; б) множество F акцидентальное длЯ множеств S и P. Љак видно, эта схема исчерпывает структуру конструктивной теории множеств, показавшей себЯ таким образом.

ђазъЯсним это подробнее, построив алфавит Языка морфологии, формализующего Язык логики отношений. Њетафорическое изложение Языка морфологии мы имеем, в частности, в статье ѓете "Џрирода".

1) E_s₁, E_s₂, E_s₃ (переменнаЯ величина) -- синтаксисы;

2) C₁, C₂, C₃ (постоЯннаЯ величина) -- грамматика;

3) B₁, B₁, B₃ (морфизмы) --семиотики;

4) m₁, m₂, m₃ (модельные множества) -- семантики;

5) изоморфизм -- материальнаЯ импликациЯ,

самоморфизм -- строгаЯ импликациЯ,

автоморфизм -- дедуктивнаЯ импликациЯ,

эндоморфизм -- индуктивнаЯ импликациЯ

сигнатура -- субстантивациЯ

6) Џ (индекс) -- S, T (топологиЯ) -- P

“кажем на подобные контроверзы у —. Џирса ("горизонтальнаЯ регрессиЯ бесконечности в отличие от вертикальной", теорема Џирса в топологии)

7) технические знаки "и, л" - " , E

уместно здесь вспомнить замечаниЯ Ђ. ќйнштейна, Ќ. Ѓора, ѓейденберга о "простоте" формул. ’аблицы здесь -- правила употреблениЯ квазикванторов n, ’.

„обавим также, что доказательство собственной непротиворечивости в морфологии достигаетсЯ формализуемыми в ней же средствами, поскольку это доказательство, будучи формализмом, интерпретируетсЯ адекватно в интерпретируемом Языком морфологии Языке логики отношений, снимающих в свою очередь обвинение в неполноте, интерпретируЯ Языки логики предикатов, пустой формализации по отношению к нему, как логики понЯтиЯ. ‘делаем также замечание о том, что полнота системы доказываетсЯ той системой, которую она формализует, ее же непротиворечивость доказываетсЯ системой, котораЯ формализует ее самое. ‘истема морфологии в этом смысле система конъюнктивнаЯ, подобно тому, как система логики отношений импликативна, т. е. ЯвлЯетсЯ логикой понЯтиЯ, интерпретирующего импликативную конструктивную теории множеств, ее формальный Язык по отношению к ней, как к речи. ‚ собственном смысле, существуют не различные логики, математики, физики, не различные науки со стороны их точности и гуманитарности, а различные, различных измерений теории множеств, что впрочем, не слишком усложнЯет и в отношении них (этих теорем дело), поскольку множество прежде всего ЯвлЯетсЯ понЯтием и, следовательно лишь его интерпретирующий, т. е. интерпретаций интерпретаций, конечно, как мы покажем далее, показав коррелируемость этих измерений (при этом следует помнить, что, объективистски выражаЯсь, субстантивациЯ множества есть ничто; безусловно, здесь следует упомЯнуть русского философа ‘оловьева, его "Љритику отвлеченных начал") множество в этом смысле есть вспомогательное средство, формализующеесЯ в системе и доказывающее ее непротиворечивость референцией интерпретации, экспликации, экспликатом которого ЯвлЯетсЯ понЯтие. ђассмотрим карнаповскую теорию функции ‘, разработанную им в "‹огических основаниЯх вероЯтностей", и p-систему, предложенную Љарнапом позднее в "Љонтинууме индуктивных методов" в зависимости от того, существует или не существует непрерывный переход от одного описаниЯ состоЯниЯ к другому, имеем мы дело с непрерывным или прерывным многообразием, отдельные описаниЯ состоЯниЯ называютсЯ в первом случае индексами, или геделевыми номерами, во втором -- референциальными точками, общим понЯтием, предпосланным топологами, изучающей свойства геометрических объектов, сохранЯющихсЯ при непрерывных преобразованиЯх.

Љак известно, конечное число независимых одночленных предикатов и число независимых индивидных констант имеет Язык логики Љарнапа. Ћпределим их соответственно через референциальные точки и геделевские номера. Ћбразуемые из исходных предикатов Q-предикаты

Q_i (x) = (±) P₁(x) & (±) P₂ (x)& .... & (±) P_R (x),

где (±) P_j (x) означает P_j (x) или ~ P_j (x), рассматриваютсЯ нами как сумма топологий или некотораЯ теориЯ множеств определенного измерениЯ n (геделевского номера, то есть референтативный характер множеств, данных одновременно и заданного типа.

Љонъюнкции из Q-предикатов, называютсЯ тогда конструктивной теорией множеств, теорией определенного референтативного типа, т. е. измерительный характер множеств. Ќазовем их поэтому суммой теологий.

S = Q_ji (α₁) & Q_j₂ (α₂) & ... & Q_in (α_n)

Ћбластью рациональности уравнениЯ Q_i (x) будет совокупность рациональных функций коэффициентов R (p₁, p₂, p₃).

„лЯ уравнений Q_i (x)=0 в той же области рациональности можно найти уравнение S = 0 такое, что корни данных уравнений будут выражатьсЯ друг через друга рациональностью. “равнение S (α) в этом случае называетсЯ нормальным. Џодстановки корней нормального уравнениЯ образуют совершенную группу с простым делителем p, имеЯ в виду иерархию типов чисел, снимаемую таким образом.

‚сЯкое рациональное соотношение между корнЯми уравнениЯ и элементами полЯ R инвариантно относительно подстановок группы.

Ќеобходимое и достаточное условие разрешимости уравнениЯ в радикалах состоит в разрешимости этой группы, условие разрешимости будет соответствовать уравнению.

’акова сущность программы трансфинитизма, прагматики в качестве теоретической дисциплины, крайней точкой зрениЯ которой ЯвлЯетсЯ кантианство, единственно предполагающее существование формализмов в речи. Љак Ясно, у программы трансфинитизима существует лишь одна крайнЯЯ точка зрениЯ, и поэтому она может быть выражена также концепцией пониманиЯ в физике, сформулированной Ђ. ќйнштейном в виде тезиса о реальности общих понЯтий, принципа дополнительности Ќ. Ѓора.

‘овершеннаЯ группа с простым делителем избираетсЯ еще и потому, что подстановки корней нормального уравнениЯ S (α) = 0 не исчерпывают G_p и образуют, точнее. …й образуетсЯ также подстановки корней уравнениЯ длЯ всех логических свЯзок Языка логики предикатов и формализующих его Языков, в чем и состоит необходимое и достаточное условие формализации G_p выражает, таким образом, субстантивацию свЯзки "есть" и служит исходным словом в алгорифме.

’рансфинитизм выражает тот факт, что объектом в подлинном смысле любой науки любой специализацией, ЯвлЯетсЯ не опыт, не эксперимент, не уравнение, а математические понЯтиЯ группы.

Ќа вопрос "что исследуетсЯ, что изучаетсЯ?" следует, таким образом, отвечать "понЯтие группы", трансфинитизм есть финитизм логики понЯтиЯ. Њатематические суждениЯ, высказываемые в этой главе получат демонстративное доказательство (так сказать, "вокальный жест" (Њид), идуктивного доказательства) в следующей главе, здесь же они принимаютсЯ в виду допущениЯ понЯтийной структуры, предшествующей образованию понЯтиЯ "величины", требующей имЯ величины. Џрагматики -- это ловцы душ ученых, они всесильны там, где бессилен ученый и индифферентны там, где всесилен ученый. ‘обственно говорЯ, эта глава посвЯщена схеме и схематизированию, понЯтию схемы, которое было подвергнуто и незаслуженно подвергаетсЯ и поныне самой резкой критике, как в области философии, так и в области науки, а между тем, смысл, требующий образованиЯ понЯтиЯ схемы весьма глубок и лежит у истоков чистого теоретического мышлениЯ, и состоит он, на наш взглЯд, в том, что выражает и начинает прагматику мышлениЯ, будучи ее нетематизируемым основанием, иначе говорЯ, план длЯ самого мышлениЯ выглЯдит конструирование мышлением прагматической системе, в каждой его десигнируемой ситуации, фазе, этапе, образе, десигнируемой теперь уже посредством самого понЯтиЯ, его собственной финитности. ’аким пониманием схематизма мы обЯзаны, по-видимому, еллингу. Ћно дает нам право вместо термина "схема систем" употреблЯть термин "конфигурациЯ". ‡начением термина "конфигурациЯ" тогда будет выступать финитизм понЯтиЯ арифметической формулы, поскольку трансфинитивно арифметическаЯ формула представлЯет из себЯ любую комбинацию символов.

+, -, х, :, (,), =, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

ЏонЯтно, что мы приступаем здесь к изложению трансфинитивной логики, поскольку Ясно, что таких формул бесконечно много, но множество их счетно: существует соответствие между ними и множеством n натуральных чисел.

—тобы установить это соответствие, начнем с того, что "закодируем" символы:

+ - х : ( ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

(под каждым символом стоит его код). „алее, чтобы закодироваь цепочку символов, например

4+7=11

образуем число

2¹² · 3¹ · 5¹⁵ · 7⁷ · 11⁹ · 13⁹,

где 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... - последовательность простых чисел, а показатели степени 12, 1, 15, 7, 9, 9 -- коды символов 4, +, 7, =, 1, 1, образующих нашу цепочку. ’аким способом можно поставить каждой цепочке в соответствие ее код, который ЯвлЯетсЯ натуральным числом. Џоскольку каждое число единственным образом разлагаетсЯ на простые множители, цепочку можно восстановить по ее коду. „опустим, например, что кодом ЯвлЯетсЯ число 720. ђазложим его на множители: 720 = 2⁴ · 3² · 5¹

—исла 4, 2, 1 ЯвлЯютсЯ кодами символов: -, +.

‡начит, 720 есть код цепочки: -, +.

’акие коды называют геделевскими номерами.

Ќашей задачей, таким образом, ЯвлЯетсЯ построение такой цепочки символов и кодирующейсЯ таким образом, чтобы каждый код цепочки давал осмысленное выражение, выполнимую цепочку символов. ’акова истина логики формального Языка, трансфинитивной логики Языка, имеющего самостоЯтельное, независимое существование.

Џервый отсюда вывод -- это тот, что геделевский номер есть некотораЯ формула. ”ормула геделевского номера есть доказательство, устанавливающее существование произвольно больших простых чисел, простой и изЯщный результат …вклида:

n = p! + 1

ѓеделевский номер, код, не делитсЯ ни на какое простое число, вплоть до p. Џоэтому либо между p и n должно быть какое-нибудь простое число, либо простым ЯвлЯетсЯ само n. € то и другое противоречит предположению, что p - наибольшее простое число.

’аким образом, конструирование числа конструктивной теорией множеств операциЯ проектированиЯ конструктивной теории множеств, есть индексациЯ (индексирование). ѓеделев номер, или индекс, имеет таким образом, следующую дефиницию: индекс тем выше, чем выше порЯдок множества и тем ниже, чем выше мощность множества и определЯетсЯ по формуле (т. е. конструируетсЯ)

_Ord

n = ----

^Card

џсно, что n -- целое число, таким образом, определены степени свободы, схема конструированиЯ множества с заданной структурой. ‚ конструктивной теории множеств рассматриваютсЯ, следовательно, только множества такой структуры. ”ундаментальной теоремой Љ’Њ ЯвлЯетсЯ теорема об однопорЯдковости множества такой структуры квадрату, аналогу теоремы о равномощности бесконечного множества своему квадрату и в этом смысле правилом вывода формальной системы арифметики, полной и непротиворечивой, доказательством теоремы ”ерма в качестве доказательства непротиворечивости системы формализуемыми в ней средствами.

’еорема об однопорЯдковости множества тонкой структуры своему квадрату есть теориЯ субстантивного алгорифма, т. к. ЯвлЯетсЯ правилом построениЯ числа, свободным от соотнесениЯ с самим собой, в основе теории субстантивного алгорифма, измерение и равенство множества с самим собой, а не графическое тождество и подобие. ’еорему об однопорЯдковости множества тонкой структуры своему квадрату мы можем назвать иначе теоремой об абстрактности инерции, или теоремой об отвлеченностЯх. „окажем эту теорему.

Џусть {x_α : d є A} -- произвольное семейство множеств x_α и π₂{x_α :