геометрии или интегрирования в частных производных: различие в числовой отчетности будет сравнительно небольшим. Еще более нелепая картина складывается при оценке работы учителей русского языка, когда балл "1" выставляется за 10 и более ошибок. 10 ошибок - единица, 50 ошибок - та же единица. Как в этих условиях оценить работу учителя, сумевшего за период эксперимента уменьшить число ошибок, скажем, с 20 до 12? Как показать развитие и перспективность процесса? Выход один: оперировать не оценками, а общим количеством ошибок, допущенных учениками во время контрольных проверок - диктантов, сочинений, изложений и пр. Кстати сказать, несколько лет назад Донецкий областной отдел народного образования провел в одной из школ области диктанты, чтобы выявить не отчетную, а истинную грамотность учащихся. Естественно, что инспекторам было дано указание придерживаться строгих министерских норм словарного объема работ, времени их проведения, повторов при чтении текстов и правил произношения. Когда подсчитали общее количество всех допущенных учащимися ошибок, разделили их на количество учащихся, то получили общую итоговую единицу. Среднестатистическая оценка грамотности - 1. Если кто-то думает, что в Донецкой области работают словесники-не-умехи, то пусть он пригласит этих "неумех" в свою школу для проведения таких же контрольных проверок. Подытожим: общепринятая пятибалльная система оценивания знаний учащихся неприемлема для отражения итогов экспериментальной работы. Что же можно предложить взамен? Вариантов много. Один из них - троичная система оценивания письменных работ, при которой за правильно решенное упражнение или безупречный ответ на теоретический вопрос ученик получает высшую оценку 2 балла, за ответ с недочетами или небольшими ошибками - 1 балл и за неправильное решение или за неверный ответ - 0 баллов. Особо подчеркнем значимость последней оценки: отсутствие ответа или абсолютное незнание материала не может отражаться никаким числовым эквивалентом, кроме как ноль. В массовом эксперименте важен прежде всего общий итог работы группы, класса, учебной параллели или всей школы. Дифференцированный учет следует вести исходя из других критериев. Если же речь идет о действенности методики в целом, то на первом плане должен быть только итоговый уровень знаний и практических навыков всей группы, работавшей в новых условиях. В детализированном анализе результатов сопоставительных работ и контрольных проверок со всей определенностью отражаются преимущества и недостатки экспериментальной методики. Вот, например, как это может выглядеть. 1. Заметно повышаются результаты наиболее сильных учащихся и практически не меняются результаты основной массы учащихся. Вывод: есть смысл перенести экспериментальные исследования в специализированные школы и поставить под особый контроль уровень загруженности учащихся во внеурочное время. 2. Наблюдается общий подъем результатов у подавляющего большинства учащихся. Вывод: рамки эксперимента следует расширить. 3. Качественно улучшаются результаты работы наиболее слабых учащихся при сохранении высоких результатов у лучших ребят. Вывод: провести контрольный эксперимент и рекомендовать проверку экспериментальных приемов в условиях работы вспомогательных школ. 4. При общем подъеме результатов учебной работы среди средних и слабых учащихся наибольших успехов достигают лучшие учащиеся. Вывод: оптимальный вариант. Экспериментальную методику можно рекомендовать и распространять во всех школах данного типа. Разумеется, этими четырьмя результатами и выводами не ограничиваются все возможные варианты, оценку которым могут дать только компетентные научные коллективы и довести до сведения всех учителей-экспериментаторов и научно-поисковых групп для утверждения статуса их исследовательской работы. Не менее важен и подбор упражнений для сопоставительных контрольных работ. Знания учащихся необходимо проверять не по отдельным темам или разделам, а по всему изученному курсу. Более того, содержание сопоставительных контрольных работ должно быть таким же глубоким и всеохватным, какими являются материалы экзаменационных работ. Это, с одной стороны, позволит исключить и необъективность, и тенденциозность, и предвзятость при оценке возможности применяемой методики, а с другой - будет соответствовать особенностям и целям эксперимента. В подкрепление сказанного приведем варианты контрольной, предложенной весной 1986 г. ученикам экспериментального IV класса после освоения ими за один учебный год курсов математики IV и V классов. Речь идет о том самом классе, где каждый третий еще осенью 1985 г. читал по слогам. I вариант.
  • От города до колхоза 24 км. Из города в колхоз выехал грузовик, который проходит 1 км за 2-мин. Через 15 мин из колхоза в город выехал велосипедист со скоростью вдвое меньшей скорости грузовика. Через сколько времени после своего выезда велосипедист встретит грузовик?
  • Пионерский отряд в первый день прошел 5/14; всего пути, во второй день 7/18 оставшегося пути, а в третий день остальные 22 км. Каков весь путь отряда?
  • Колхоз должен был засеять 840 га, но он перевыполнил план на 7,5 %. Другой колхоз засеял на 33 га больше, чем первый, но его план 900 га. На сколько процентов перевыполнил свой план второй колхоз?
  • На укладке газопровода три бригады заработали 1308 рублей. В первой бригаде было 5 человек, и работала она 9 дней, во второй бригаде было 6 человек, и работала она 8 дней, а в третьей бригаде было 4 человека, и работала она 50% того времени, которое работала вторая бригада. Сколько рублей получила каждая бригада в отдельности?
  • Найти периметр и площадь фигуры, размеры которой даны на чертеже в метрах. II вариант.
  • После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30%. Спустя некоторое время выпуск продукции увеличился еще на 10%, а после замены оборудования увеличился еще на 15%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?
  • Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому числу прибавить 36, то получится новое число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
  • У треугольника координаты вершин (-3; 1), (-1; 4) и (2; 3). Построить симметричный ему треугольник относительно оси, проходящей через точки с координатами (-8; -2) и (-7; -2).
  • Я задумал число, увеличил его в полтора раза, к произведению прибавил 4,4, полученную сумму разделил на 3-, из полученного частного вычел 1,4 и получил 0,6. Найти задуманное число.
  • Ученик может выполнить работу за 16 ч, мастер - за 12 ч. Сначала в течение 4 ч работал ученик, затем 2 ч работал мастер. За сколько часов они выполнят оставшуюся работу, работая вместе? (Специалистам-математикам нетрудно заметить, что в этих двух вариантах учащимся предложены задачи с цифровой вариацией из сборника М. И. Сканави - No 13 005 и 13 030.) III вариант.
  • В треугольнике один из углов на 20░ больше второго, а третий на 44░ меньше второго. Найти углы треугольника.
  • Сумма двух чисел 70. Если большее из этих чисел разделить на меньшее, то в частном получится 5, а в остатке 4. Найти эти числа.
  • Все билеты на футбольный матч проданы за 4 дня. В первый день было продано 20% всех билетов, во второй день 150% того, что в первый день, в третий день - 80% того количества билетов, которые были проданы в первые два дня вместе. А в четвертый день были проданы последние 2000 билетов. Сколько всего мест на стадионе?
  • На плане, выполненном в масштабе 1 : 1000, длина земельного участка 25 см, ширина 15 см. Найти площадь земельного участка.
  • Со станций А и Б, расстояние между которыми 26,6 км, вышли навстречу друг другу два поезда. До точки встречи поезд из А прошел на 1,4 км больше, чем поезд из Б. Найти скорость каждого поезда, если поезд из А был в пути 15 мин, а поезд из Б вышел на 1 мин раньше, чем поезд из А. IV вариант.
  • Координаты вершин треугольника (-2; 4), (-1; -4) и (6; -2). Построить ему симметричный треугольник относительно центра симметрии, имеющего координаты (1; -3).
  • Магазин в первый день продал 3/8 всех поступивших в него для продажи кубиков Рубика. Во второй день - 2/3 того, что в первый день, а в третий день на 20 кубиков больше, чем во второй день, после чего продажа была закончена. Сколько кубиков получил магазин?
  • Один насос может выкачать воду из котлована за 16 ч, другой - за 75% этого времени. Первые 3 ч они выкачивали воду вместе, затем оставшуюся воду выкачал только первый насос. Сколько времени первый насос работал самостоятельно?
  • Для 5 лошадей и 57 коров необходимо на день 630 кг сена, а для 10 лошадей и 17 коров - 290 кг сена. Сколько сена нужно одной лошади и сколько одной корове?
  • Среднее арифметическое четырех последовательных нечетных чисел равно 2. Найти эти числа. Содержание задач охватывает по крайней мере 10 разделов программы. Необычность контрольной и в объеме (5 задач), и в отсутствии примеров, и в абсолютной несхожести вариантов. Еще одна особенность требует пояснений. Традиционные контрольные преследуют цель выяснить подготовку каждого ученика по отношению к должному уровню знаний и практических навыков. При этом не учитывается скорость выполнения заданий, тогда как отдельные учащиеся тратят на решение значительно меньше времени, чем основная масса детей. А ведь время решения - тоже показатель, отражающий уровень подготовки. Если же в контрольную работу включить заведомо избыточное число задач, то каждый ученик за одно и то же время решит неодинаковое количество задач, что позволит совершенно точно определить различия в уровне подготовки школьников. Примеры же характеризуют только технические навыки счета и преобразования, что никак не соотносится с логикой решения задач. Именно поэтому навыки решения примеров проверяются в отдельной работе.  На финише года Для приведенной выше контрольной лучшим учащимся экспериментального IV класса потребовалось всего только от 25 до 30 минут, в то время как в контрольных классах до истечения 45-й минуты урока не была сдана ни одна работа. Итоговые результаты оказались следующими: учащиеся VIII контрольного класса набрали в общей сложности 55 баллов, учащиеся VI контрольного класса - 32 балла, учащиеся V контрольного класса - 7 баллов, учащиеся IV экспериментального класса - 157 баллов. Это значит, что каждый из учащихся экспериментального IV класса решил в среднем столько задач, сколько все учащиеся V контрольного класса, вместе взятые! Иными словами, 4 лучших ученика IV класса решили столько задач, сколько все ученики VI класса, или, иначе, б лучших учеников IV класса решили столько задач, сколько все ученики VIII класса. Это ли не убедительное подтверждение давно уже сделанного вывода, что новые формы работы, обеспечивая достижение успеха всех учащихся, создают режим наибольшего благоприятствования для самых одаренных. Приведенные полностью четыре варианта контрольной позволяют каждому учителю математики в течение 45 минут сопоставить результаты, полученные в экспериментальном и в контрольных классах, с возможностями своих собственных учеников. Сделать это в высшей степени интересно еще и потому, что задания близки по своему содержанию к тем требованиям, которые предъявлялись к учащимся пятых классов общеобразовательных школ... 30 лет назад, когда сложность контрольных была несравнимо выше предлагающихся сегодня. А теперь о классе, в котором была начата работа на новой методической основе осенью (23 сентября - это существенно!) 1985 г. Более 60% учащихся на протяжении всего учебного года в III классе не имели ни одной хорошей четвертной оценки по математике, 40% ребят аттестовались во всех учебных четвертях по всем учебным предметам только тройками. Из 800 учителей начальных классов, проходивших курсы повышения квалификации при Донецком ИУУ за последние годы, ни один не смог припомнить в своей педагогической практике таких низких результатов к окончанию начальной школы. А ведь 800 учителей - это 12 000 лет педагогического стало. Иными словами, за 12 000 лет ни один из учителей не имел подобного класса. Какой же вывод следует сделать из этого разительного примера? Один: работу на повой методической основе можно начинать в любом классе, ибо более тяжелого по уровню подготовки, чем четвертый экспериментальный 1985г., встретить едва ли возможно.  Потерянное время Откройте наугад любую тетрадь ученика любого класса. Под заголовком "Классная работа" вы обнаружите, как правило, максимум две задачи и один пример. Под заголовком "Домашняя работа" чаще всего будет одна задача и один пример. Конечно, в старших классах сплошь и рядом встречаются такие задачи, для решения каждой из которых иной раз и урока мало: чертежи, расчеты, письменные объяснения к решению,- 45 минут пролетают как одно мгновение. Но в начальных-то классах вполне возможно решать за один урок до 10 задач! Почему же не получается? В объяснительной записке к программам по математике есть одно вполне резонное требование: "...привить учащимся некоторые навыки в краткой записки условий задач". Почему-то оно воспринято учителями как обязательное, И везде ребята пишут краткие условия ко всем без исключения задачам - когда нужно, и когда ненужно. Причем делают это по совершенно одинаковым шаблонам и стандартным схемам, вне зависимости от того, как видит задачу каждый отдельный ученик. В результате возникают парадоксы: ученик отлично представляет все этапы решения прочитанной им задачи, от первого до последнего действия, и может произвести устно все расчеты - вплоть до окончательного ответа, но его принуждают выполнять рутинную работу по письменному оформлению краткого условия задачи. В школе это делают учителя, дома - родители. Времени на это уходит уйма. И что же получаем в итоге? Слабое владение вычислительными навыками, сдерживающее развитие логического мышления. А самое печальное - утрачивается живой интерес детей к поисковой деятельности, самообразованию, снижается познавательная активность.  Начало урока На всем поле доски - краткие записи, разделенные небольшими промежутками и объединенные самыми разнообразными границами разделов и рамками. Свободное место оставлено только под первой задачей. Краткие записи - это условия задач, которые будут решаться на уроке. Все записи аккуратно и тщательно сделаны на перемене учителем. На чистой части доски выполняются расчеты при решении первой задачи, после чего и решение и само условие задачи будут стерты. На освободившемся пространстве начнется решение следующей задачи, по завершении которого запись снова стирают, и т. д. Доска становится все чище и чище. Психологическая значимость этого приема весьма существенна: дети уже на первых минутах урока видят объем предстоящей работы, а затем - динамику движения коллективной мысли, наконец, приближающийся с последней задачей конец урока как венец дела. Появляются деловой азарт, заинтересованность в достижении цели, даже энтузиазм: класс увлекается новой перспективой точно так же, как и сам учитель. Общность цели рождает единомыслие и сотрудничество. Ранее скрытые от ребят замысел и план урока становятся зримыми, отраженными в конкретных задачах, которые во что бы то ни стало надо решить. Теперь уже и для самого нерадивого ученика время урока не тянется, а летит: успеем или не успеем? И о какой пассивности может идти речь, если учитель вдруг остановится, посмотрит с сожалением на часы и озабоченно скажет: - М-да-с... Осталось всего 12 минут, а у нас еще три задачи, и притом самые интересные. Поднатужимся? Педагогическим мастерством и психологической грамотностью учителя включается вдохновение ребят на любой минуте урока, будь она первая или сорок четвертая! Краткие записи условий задач на доске лучше выполнять цветными мелками, однако не следует злоупотреблять такими сильно действующими раздражителями. Ярко нужно выделить одну-две задачи, на которых должно быть заострено внимание ребят. А заинтересовать можно еще и новизной, и сложностью, и нестандартностью, и перспективностью, да мало ли загадок обнаружится у каждой задачи! Порядок расположения условий на доске совсем не обязательно должен соответствовать последовательности работы над ними - это и уныло и однообразно. За каждой записью скрыто неизведанное, и учебный процесс может захватить, как самая увлекательная игра или чтение детектива. Тем более что время от времени учитель обращается к классу с вопросом: - А теперь какую решим?  Резервные задачи Совершенно очевидно, что никакой педагогический опыт не поможет с абсолютной точностью предсказать весь ход урока и тем более предусмотреть возможную скорость решения задачи тем или иным учеником. Для учителя предстоящий урок - всегда уравнение с несколькими неизвестными, дорога в неведомое. Случается, не удается выполнить все запланированное или, наоборот, остаются минуты свободного времени. Конечно, если класс готовится к итоговому опросу по листам группового контроля или к плановой контрольной работе, то учителю просто необходимо сделать на уроке все, что предусмотрено его планом урока. В иных же случаях, особенно при решении задач, учитель должен включать в свой поурочный план одну-две "избыточные" задачи. Избыточные с точки зрения необходимости и достаточности. На деле же они помогут оградить урок от любых случайностей. Такие задачи называются резервными. И не беда, если какая-то из них не будет полностью выполнена на уроке, а решение окажется прерванным вместе со звонком на перемену. Будьте уверены, многие непременно попытаются одолеть начатую задачу самостоятельно. А спустя несколько дней можно предложить ее на уроке. И тогда она уже будет решена оперативно и четко, без каких-либо потерь.  Включить мысль С этим можно соглашаться или не соглашаться, но начинать урок необходимо не с легкой разминки в форме полетного повторения, устного счета или решения шутливой задачи, а с напряжения мысли. Расслабляться легко. Напрягаться несравненно более трудно, и первые "расслабленные" минуты урока могут выбить из колеи делового ритма не только отдельных учащихся, но и весь класс на все 45 минут. - Однозначное число,- начинается урок в V классе,- увеличили на 10 единиц. Если же полученное число увеличить на столько процентов, как в первый раз, то получится 72. Найти первоначальное число. Пусть специалиста не смутит сложность задачи и даже выход ее решения на квадратное уравнение (это задача No 13 168 по сборнику М. И. Сканави) - подобные задания предусмотрены экспериментальной программой для учащихся IV класса. Речь о другом: что и как делает учитель в процессе осмысливания ребятами условия задачи? На каких моментах он концентрирует их внимание? Кому предоставляет право работать у доски? Какова допускаемая им степень содействия ученику при движении к цели? Вопросов не счесть, да и ответы на них не могут быть ни унифицированными, ни категоричными. Но есть единые педагогические закономерности, обеспечивающие и взаимное уважение ребят, выполняющих разные математические операции, и устойчивый интерес к самому процессу поиска. Согласимся, что изложить весь ход решения задачи-далеко не просто. В самом деле, 6 логических этапов должен преодолеть ученик, чтобы выйти на составление уравнения. Вот эти этапы. Двумя этапами определяется первоначальное процентное увеличение неизвестного числа: 10 : x/100 На третьем этапе записывается формула нового числа: х + 10. Еще двумя этапами определяется приращение к образовавшемуся числу: (x+10)/100 * (10 : x/10) На шестом этапе записывается формула окончательного числа и составляется уравнение: x + 10 + (x + 10) * 10/x = 72 Право же, авторский коллектив, работавший под руководством М. И. Сканави, со всей серьезностью отнесся к поставленной перед ним задаче - создать критерий математической подготовки выпускника средней школы. Средней... Но разве кто-нибудь мог предположить, что над этими задачами спустя всего несколько лет начнут работать ученики IV-V классов? Дети, которым только-только минуло 10 лет! Как же строить учебный процесс при работе с такими ребятами? Начнем с того, что уже записанное условие дважды прочитывается учителем и при этом основной акцент делается на ключевой детали: "... на столько процентов, как в первый раз...". Неторопливо, четко выговаривая слова. Здесь должна сработать генеральная мысль. В классе тишина. Спустя минуту - первая рука. Это один из лучших учеников - Вова Брага. За ним вторая - Андрей Бустеряков. Если сейчас вызвать для решения одного из них, то это будет повторяться до бесконечности на многих уроках - Брага, Бустеряков, Бустеряков, Брага... А 32 остальных? На что они обречены? На списывание с доски и медленное, но неуклонное угасание? Недопустимо. А как допустимо? Времени-то на уроке не столь уж много, да и Бустеряков с Брагой, подняв руки, призывно требуют к себе внимания. Требуют, вроде бы, по праву, да только право это ведет к ущемлению интересов товарищей. Здесь уже одним методическим приемом не обойтись, нужен надежно срабатывающий комплекс действий педагога. Поднятую первым учеником руку видят далеко не все. А видеть должны все - в этом престиж первого. - Так-так,- неторопливо оглядывая класс, произносит учитель,- Бустерякова вижу, Брагу вижу, Серых вижу, Волченского вижу, Моисееву вижу, Я-ку-ша вижу... Последняя фамилия растягивается, произносится тише и выжидательнее - кто следующий? Но секунды летят, а рук в классе нет. Отметим в этом месте два методических приема. 1. Называется фамилия ученика, поднявшего руку, и тем самым решается проблема приоритета. 2. Растягивая последние слова и слоги, учитель как бы приглашает поднять руки всех тех, кто еще сомневается, не уверен в правильности своих рассуждений. И вот еще одна рука! Это преодолела свою робость Леночка Исаева. Маленькая, кажется, из одной только застенчивости и вылепленная. Итогом трех лет ее работы в начальной школе стала безликая тройка. Почерк у Лены невероятно плохой, уровень грамотности - в области устойчивой единицы. В классе такие дети предпочитают молчать даже тогда, когда у них возникают какие-нибудь догадки или мысли. Для таких нужен особый добрый стимул, чтобы они безбоязненно предложили ответ, не стушевавшись перед авторитетом лучших учеников класса. Итак, задачу пойдет решать Лена. Именно она должна стать точкой отсчета на этом уроке. Пусть она говорит тихо - не беда! Учитель каждое ее правильное слово громко и внятно повторит классу. Пусть она надолго задумывается. Пусть! Это только уверенный в себе ученик может без малейших сомнений последовательно и стройно изложить план решения конкурсной задачи для поступающих в высшие учебные заведения, будучи всего лишь пятиклассником. Пусть она ошибается. И это извинительно. Ведь на нее устремлены десятки глаз тех, кто сопереживает и готовит себя к такому же смелому шагу, который только что совершила вчерашняя троечница. Ее успех - это завтрашний взлет десятков подобных ей. Реакция учителя на тихий голос, на раздумья, на неудачи - это тоже методические приемы, найденные долгим опытом. - Ошиблась - не беда,- говорит во время одной из пауз учитель,- ошибка - это даже хорошо: не убежим далеко от тех, кто поотстал. Вся наша работа - неизбежные ошибки. Если бы вы не ошибались, то зачем тогда вам учитель? "Значит,- спросит озадаченный читатель,- к доске всегда вызывается самый неуверенный в себе ученик? Тот, который последним поднял руку?" Нет, не всегда. Но в большинстве случаев. "Но не будет ли это действовать угнетающе на лучших учеников? Не потеряют ли они интерес к работе?" Вопрос резонный. Если бы учитель ограничивался только тем, что на протяжении многих уроков называл лишь фамилии учеников, первыми поднимающих руки, то спад их интереса к делу произошел непременно. И даже более того: почувствовав бесконтрольность, они вполне могут начать поднимать руки даже тогда, когда не совсем уверены в правильности предполагаемого ими хода решения, а это уже недопустимый воспитательный сбой. Как должен вести себя ученик, выяснивший, что верного решения он найти не смог? К каким нравственным издержкам это приведет? А если решение было верным, но оригинальным и непохожим на то, которое прозвучало в классе? Здесь впору и обидеться, и замкнуться, и надолго замолчать... И вот на одном из уроков, когда несколько первых учеников подняли руки, учитель снова называет их фамилии и говорит: - Во время больших сражений главнокомандующий всегда держит в резерве несколько своих лучших воинских соединений. Они не вступают в бой, но уже одно только их присутствие наполняет сердца воинов уверенностью в победе. В этих условиях никогда не будет паники: резервные войска есть, значит, пока еще можно обойтись и без них. Значит, выстоим. Так было в сражении под Бородином в 1812 году. Так было в великой битве под Москвой в 1941 году. Ставка всегда должна располагать резервом главного командования. Уничтоженный резерв-это катастрофа. Так вот, Бустеряков, Брага, Волченский, Серых, Моисеева, Якуш, Талалаев, вы сейчас выполняете роль резерва главнокомандующего, и к вам мы обратимся только тогда, когда уже никто, кроме вас, не поможет нам выиграть бой с этой задачей. И на линию огня сейчас пойдет Игорь Каширин. У Игорька, так же как и у Лены Исаевой, годовой оценкой по математике в III классе была тройка. Но то было в III классе, а уже в V и Лена и Игорь стали лучшими учениками класса, и в их экранах успеваемости по математике стояли одни только пятерки. И никто из многочисленных посетителей уроков в экспериментальном классе даже представить себе не мог, какими беспомощными были эти ребята всего только год назад. Гости представить не могли, но дети в классе отлично понимают и знают, кто сейчас у доски, кто решает такие задачи, и уже на следующем уроке поднимаются новые руки, затаенной надеждой на немыслимый еще вчера успех загораются новые глаза. О "резерве главного командования" на одном из родительских собраний непременно ставятся в известность родители - пусть не возмущаются сообщением сына или дочери о том, что их "сегодня не вызывали, хотя руку они поднимали". Пусть понимают, что их ребенок поднялся на новую высоту. В этом скрыт еще один побуждающий мотив содружества семьи и школы. "Резерв" - "резервом", а долгое молчание ребят, входящих в него, никак не может благотворно влиять на их отношение ко всему происходящему на уроке. Гипертрофия в использовании этого методического приема неизбежно повлечет за собой спад активности лучших ребят, а это чревато самыми неприятными последствиями. В экспериментальных классах подобного не происходило никогда - лучшие учащиеся всегда оставались самыми активными. Причин тому много, но одна из них в том, что, когда класс думает над решением задачи, им, уже поднявшим руки, предлагается приступить к черновым расчетам, составлению итоговых уравнений и даже к записи решения в тетрадь набело, если все расчеты окажутся верными и будет получен правильный ответ. Это даст им в конце урока несколько свободных минут, и, как уже было сказано, они или раньше других уйдут домой, если идет последний урок, или приступят к выполнению домашних заданий. Проверку правильности решений проводит учитель, если задача сложная и решивших ее ранее других не столь уж много, или это делается в форме парного контроля, или десантом, или цепочкой - было бы что проверять Но как же быть, если в систему взаимопроверки просочится ошибка и у одного из ребят или одновременно у двоих в паре окажутся неверными ответы? Такое тоже не исключено - часто проверяются не только готовые записи, но и черновые наброски. Не беда! За время, пока лучшие оформляют свои решения, к доске обычно уже выходит ученик и начинает работать перед всем классом. Тетради же, которыми обменялись ребята при парном контроле, остаются у тех, кто их проверял, и окончательное решение о правильности выполненных операций выносится только тогда, когда четко прорисовывается весь ход решения на доске.  Это могут все 10 октября 1986 г. V эксперимен-тальный класс. Тема урока "Решение упражнений". K началу урока во время перемены подготовлена классная доска, на которой учителем сделаны следующие записи и числовые пометки (см. рис.). Читатель, видимо, уже догадался, что это краткие условия задач, которые ребятам предстоит решить на уроке. Ежедневно работая с такими буквенно-числовыми сокращениями, ученики исподволь овладевают основными умственными операциями анализа и синтеза, приучаются выделять действенные данные задач, устанавливать между ними связи и представлять условия задач в наглядной и лаконичной графической форме. Не по шаблонам, не по обязанности, а в высшей степени естественно, так, как этого требует собственное видение условия. С течением времени такая обработка условия становится привычной, и ребята пользуются ею при самостоятельном решении задач, хотя к этому их не понуждают никакие требования или обязательные установки. Краткие условия обычно записываются на черновиках и не переносятся в тетради или чистовые экземпляры самостоятельных работ. Краткая запись нужна ученику всего только как строительные леса при возведении объекта. С завершением строительства леса убираются. Условие первой задачи учитель прочитывает дважды. Первый раз - в обычном разговорном темпе. Второй раз - медленно, акцентирование. - В одной школе 840 учащихся. Во второй на 1/7 этого числа больше, в третьей 5/6 числа учащихся второй школы, а в четвертой 3/10 числа учащихся первых трех школ вместе. Сколько учащихся во всех четырех школах вместе? Короткая пауза. - Писать ничего не нужно. Расчеты произвести устно и записать в тетради окончательный ответ. Для 20 учителей, присутствовавших на этом уроке, установка решить задачу устно прозвучала сенсационно, для ребят - привычно, буднично. Сколько логических переходов и сопутствующих им вычислений должны произвести ребята устно, не делая никаких записей?
  • 1/7 от 840. На 120 учащихся больше во второй школе, чем в первой.
  • 840+120=960 учащихся во второй школе.
  • 5/6 от 960. 800 учащихся в третьей школе.
  • 840+960+800=2600 учащихся в трех школах вместе.
  • 3/10 от 2600. 780 учащихся в четвертой школе.
  • 2600+780=3380 учащихся в четырех школах. Итого пять логических переходов и 7 арифметических действий. Это вполне доступно абсолютному большинству учащихся, но при двух обязательных условиях. 1. Учитель сам должен решать такие задачи-примеры только устно, давая тем самым ученикам образец выполнения операций, вселяя уверенность в посильности подобного способа решения, побуждая к напряжению мысли. 2. Учитель не должен сомневаться в возможностях ребят, ибо даже малейшее проявление скептицизма мгновенно передастся детям и демобилизует их. Лучшим учащимся класса для решения этой задачи требуется не более одной минуты, а к концу учебного года умение производить устные расчеты такого объема приобретают почти все ученики. Описываемый урок проводился через 40 дней после начала учебного года, и до этого были решены только 2 задачи с устными расчетами, так как на первом плане начала учебного года - массированное повторение: необходимо восстановить навыки расчетов и весь учебный материал IV класса, подзабытый за 3 месяца летних каникул. К исходу второй минуты в классе 5 рук. - Колос, Бустеряков, Якуш, Зуенко, Каширин - к доске. Пять человек решили задачу, и все пятеро должны доказать правильность своих действий, окончательный результат которых учитель уже проверил по их ответам в тетрадях. Слов нет, записанное в тетради число 3380 само по себе уже говорит о правильно решенной задаче, но доказанное учителю должно быть доказано и всем. Вызвать одного, как это обычно практикуется, значит обидеть четырех остальных: они-то тоже решили задачу. Зачем же давать пищу чувству обиды и неудовлетворенности? И поэтому все пятеро идут к доске и выполняют последовательно один за другим все 20 операций - вопросы, действия к ним, а сверх того называют ответы каждого промежуточного действия. По 4 операции на каждого. Этого вполне достаточно, чтобы судить о степени понимания решения задачи каждым из тех, кто поднял руку. В результате никто не обижен. Всем можно поставить отличные оценки. И никакого обезличивания, каждый оценивается индивидуально. Вот только с выставлением оценки торопиться не следует. Коварно-реактивное это оружие - оценка. Списывания, подсказки, заискивания, обман, лицемерие, угодничество, трусость, чванство - все эти негативные явления возникают там, где оценка становится побуждающим мотивом и целью учения. Вторая задача из "Сборника задач московских математических олимпиад" (М., 1967): "Сумма двух чисел 640. Если большее из этих чисел разделить на меньшее, то в частном получится 3, а в остатке 60. Найти эти числа". Следует оговориться, что в 1967 г. пятиклассники, которым автор сборника Г. И. Зубелевич рекомендовала эту задачу, еще не пользовались приемом составления уравнений, и потому процесс решения в 1989 г. несколько отличается от того, как это должны были делать ребята 22 года назад, но существо дела остается практически тем же. Задача общедоступна и выглядит даже несколько наивно в сравнении с задачами такого же типа из сборника 1897 г. Судите сами. No 283. "Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и остатке 1, третье число при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа". No 284. "Найти число, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при делении на 8 дает в остатке 5, знак при этом, что первое частное тремя больше второго". И эти задачи не для участников московских математических олимпиад, а для рядовых гимназистов IV класса. Информация к размышлению. В V экспериментальном ребята составляют уравнение, а составив, сразу же поднимают руки. Вот подняты две первые руки. - Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями и подержите их у себя, пока закончат работу другие. Не прошло и минуты, как тетрадями обменялись десять пар учеников, а 21-й был вызван к доске и начал последовательный рассказ о процессе решения, сопровождая его краткими записями. Все остальные учащиеся делают такие же записи в тетрадях, ноне в своих, а в чужих. А почему, собственно, не позволить один раз в месяц сделать записи в чужих тетрадях? С одной стороны, вряд ли кто станет писать в чужой тетради вкривь и вкось, а с другой - хозяевам тетрадей будет с чем сравнивать собственные записи, чтобы постараться в дальнейшем оформлять свои работы не хуже "соавтора". Возможно, в этом приеме можно найти и какие-нибудь теневые стороны, да только стоит ли это делать, если ребята с очевидным удовольствием включаются в эту игру? А у игры свои законы, с которыми спорить почти невозможно. И нужно ли? Работа над второй задачей заканчивается сравнением результатов, которые назвали ребята до начала фронтального решения, с окончательным ответом. Случаи расхождения здесь, отметим попутно, чрезвычайно редки. Ученики относятся к этому виду работы с большой ответственностью и осторожностью: кому хочется вручить товарищу документальное свидетельство несостоятельности своего пути решения? Для учителя, и это понятно, важны не только общие подходы к выполнению практических работ, но и методические "частности", связанные с постановкой вопросов, с переключением внимания одного ученика к другому, с рассмотрением различных вариантов, возникающих в ходе решения... Но все эти моменты носят индивидуальный характер, и в каждом отдельном случае учитель действует по-своему. Какие-либо универсальные советы здесь, по-видимому, нецелесообразны. Вторая задача решена. Тетради возвращены их хозяевам. Условия первых двух задач стерты с доски, и она стала просторнее и чище. Это мощный, как уже было отмечено ранее, психологический фактор. Класс видит поступательное движение урока! Но энтузиазм тоже нужно подпитывать. С этой целью перед началом решения третьей задачи учитель, как бы между прочим, говорит: - А теперь совершенно новая задача. Незамысловатее первой. В первой - что там было особенного?.. В одной школе 840, во второй на 1/7, больше, в третьей 5/6 второй, а в четвертой 3/10 первых трех. Прямой ход решения. Нашли 1/7 от 840, прибавили, нашли 5/6 от 960, сложили все три и нашли 8/10 этого количества. Пустяк! И все это спокойно, чуть насмешливо, на одном дыхании, без запинки! "А и верно,- думают при этом те, кто не смог решить самостоятельно первую задачу.- Легкота. Как же это я оплошал?" Краткий пересказ решения первой задачи преследует многие цели: повторить процесс решения для тех ребят, которые еще отстают от своих товарищей (нужны-то для этого считанные секунды!), сориентировать на быстрое мышление, мобилизовать внимание на основных действиях, но главное - подготовить ребят к решению третьей задачи: "Плавательный бассейн наполняется двумя трубами за 48 мин, если открыть сразу две трубы. Через одну трубу бассейн может наполниться за 2 ч. Найти объем бассейна, если известно, что за 1 минуту через вторую трубу поступает на 50 куб. м больше, чем через первую" (Сборник задач московских математических олимпиад. М., 1967). Третья задача - задача-разрядка. Здесь искушенный читатель может возразить: "Задача на совместную работу с переходом на разность и отношение величин не может выполнить эту функцию из-за своей сложности". И тем не менее это так. Все дело в том, что принцип решения таких задач надежно усваивается ребятами и они любят и умеют распутывать самые замысловатые условия. Появление таких задач на уроке вызывает радостное оживление, ибо их готов решать любой ученик. Вот почему это разрядка. В абсолютном большинстве случаев решение задач на совместную, работу не записывается в тетради, а только проговаривается устно. Как это будет происходить (решает ли у доски один ученик или сразу несколько, работает ли одновременно весь класс или ведется диалог между двумя учениками), зависит от уровня подготовки ребят, новизны и сложности условия задачи, громоздкости расчетов и прочих условий. Венчает урок конечно же четвертая задача (М. И. Сканави, No 13 048): "Длина Дуная относится к длине Днепра, как 63/1 : 5, а длина Дона относится к длине Дуная, как 61/2 : 91/2. Найти протяженность каждой из трех рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км". Учителя математики хорошо знают, что таких задач нет ни в одном из учебников IV-VI классов, хотя еще совсем недавно они занимали значительное место во всех без исключения сборниках. Любопытен и такой факт. В Таганроге, в школе, где учился А. П. Чехов, хранится его ученическая тетрадь с записью решения подобной задачи. Стало быть, работа над материалом такой сложности нисколько не помешала Антону Павловичу стать великим русским писателем и, как знать, возможно, даже помогла ему развить логику мышления, вниман