\input style
\chapno=5\subchno=2\chapnotrue
\subchap{оптимальная сортировка} % 5.3

тЕПЕРЬ, КОГДА МЫ ПРОАНАЛИЗИРОВАЛИ ТАКОЕ МНОЖЕСТВО МЕТОДОВ ВНУТРЕННЕЙ
СОРТИРОВКИ, ПРИШЛО ВРЕМЯ ОБРАТИТЬСЯ К БОЛЕЕ ОБЩЕМУ ВОПРОСУ: \emph{КАКОЙ
МЕТОД ВНУТРЕННЕЙ СОРТИРОВКИ НАИЛУЧШИЙ?} сУЩЕСТВУЕТ ЛИ ТАКОЙ ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ
СКОРОСТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРОГО БЫ НЕ МОГ ДОСТИЧЬ НИ ОДИН ПРОГРАММИСТ, КАК
БЫ ИСКУСЕН ОН НИ БЫЛ?

рАЗУМЕЕТСЯ, НАИЛУЧШЕГО ВОЗМОЖНОГО СПОСОБА СОРТИРОВКИ \emph{НЕТ}; МЫ ДОЛЖНЫ
ТОЧНО ОПРЕДЕЛИТЬ, ЧТО ПОНИМАТЬ ПОД СЛОВОМ "НАИЛУЧШИЙ", НО НЕ СУЩЕСТВУЕТ
НАИЛУЧШЕГО ВОЗМОЖНОГО СПОСОБА ОПРЕДЕЛИТЬ СЛОВО "НАИЛУЧШИЙ". аНАЛОГИЧНЫЕ
ВОПРОСЫ ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ АЛГОРИТМОВ МЫ ОБСУЖДАЛИ В П.~4.3.3, 4.6.3
И~4.6.4, ГДЕ РАССМАТРИВАЛОСЬ УМНОЖЕНИЕ С ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТЬЮ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПОЛИНОМОВ. в КАЖДОМ СЛУЧАЕ, ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ВЫПОЛНЯЛИСЬ УСЛОВИЯ
"ДОСТАТОЧНОСТИ", Т.~Е.\ ЧТОБЫ ЗАДАЧА СТАЛА РАЗРЕШИМОЙ, НЕОБХОДИМО БЫЛО
СФОРМУЛИРОВАТЬ ДОВОЛЬНО ПРОСТОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГОРИТМА, "НАИЛУЧШЕГО ИЗ
ВОЗМОЖНЫХ". и В КАЖДОМ СЛУЧАЕ ПЕРЕД НАМИ ВСТАВАЛИ ИНТЕРЕСНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ,
НАСТОЛЬКО СЛОЖНЫЕ, ЧТО ОНИ ДО СИХ ПОР ПОЛНОСТЬЮ НЕ РЕШЕНЫ. тАК ЖЕ ОБСТОИТ
ДЕЛО И С СОРТИРОВКОЙ: БЫЛИ ПОЛУЧЕНЫ НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, НО
ОСТАЛОСЬ ЕЩЕ МНОГО ИНТРИГУЮЩИХ ВОПРОСОВ, НА КОТОРЫЕ ДО СИХ ПОР НЕТ ОТВЕТОВ.

иЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО МЕХАНИЗМА МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ ОБЫЧНО БЫЛО НАПРАВЛЕНО
НА МИНИМИЗАЦИЮ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИЛИ
СЛИЯНИИ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ, ИЛИ ВЫБОРЕ
$t\hbox{-Гo}$~НАИБОЛЬШЕГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ НЕУПОРЯДОЧЕННОГО НАБОРА
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. в П.~5.3.1, 5.3.2 И~5.3.3 ЭТИ ВОПРОСЫ ОБСУЖДАЮТСЯ В ОБЩЕМ
СЛУЧАЕ; В П.~5.3.4 РАССМАТРИВАЮТСЯ АНАЛОГИЧНЫЕ ВОПРОСЫ С ИНТЕРЕСНЫМ
ОГРАНИЧЕНИЕМ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СРАВНЕНИЙ ДОЛЖНА БЫТЬ, ПО СУЩЕСТВУ,
ЗАРАНЕЕ ФИКСИРОВАНА. нЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ТИПЫ ИНТЕРЕСНЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ
ВОПРОСОВ, СВЯЗАННЫХ С ОПТИМАЛЬНОЙ СОРТИРОВКОЙ, МОЖНО НАЙТИ В УПРАЖНЕНИЯХ
К П.~5.3.4 И В ОБСУЖДЕНИИ ВНЕШНЕЙ СОРТИРОВКИ В П.~5.4.4.

%% 219

\subsubchap{сОРТИРОВКА С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ} % 5.3.1

оЧЕВИДНО, МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, РАВНО~\emph{НУЛЮ,} ПОСКОЛЬКУ, КАК МЫ ВИДЕЛИ, СУЩЕСТВУЮТ
МЕТОДЫ ПОРАЗРЯДНОЙ СОРТИРОВКИ, В КОТОРЫХ ВООБЩЕ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЙ.
 в САМОМ ДЕЛЕ, МОЖНО НАПИСАТЬ \MIX-ПРОГРАММЫ, СПОСОБНЫЕ СОРТИРОВАТЬ И НЕ
СОДЕРЖАЩИЕ ТЕМ НЕ МЕНЕЕ НИ ОДНОЙ КОМАНДЫ УСЛОВНОГО
ПЕРЕХОДА! (сМ.~УПР.~5-6 В НАЧАЛЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ.) мЫ ТАКЖЕ ВСТРЕЧАЛИСЬ С
НЕСКОЛЬКИМИ МЕТОДАМИ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ, ПО СУЩЕСТВУ, БЫЛИ ОСНОВАНЫ НА
СРАВНЕНИИ КЛЮЧЕЙ, НО ВРЕМЯ РАБОТЫ КОТОРЫХ НА ДЕЛЕ ОПРЕДЕЛЯЛОСЬ ДРУГИМИ
ФАКТОРАМИ, ТАКИМИ, КАК ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДАННЫХ, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ И~Т.~Д.

пОЭТОМУ ЯСНО, ЧТО ПОДСЧЕТ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ---НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ
ИЗМЕРИТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДА СОРТИРОВКИ. оДНАКО В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ
НЕБЕЗЫНТЕРЕСНО ПРОВЕСТИ ТЩАТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ,
ПОСКОЛЬКУ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ЭТОГО ВОПРОСА ПОЗВОЛИТ НАМ С ПОЛЬЗОЙ ДЛЯ
ДЕЛА ПРОНИКНУТЬ ВО ВНУТРЕННЮЮ ПРИРОДУ ПРОЦЕССОВ СОРТИРОВКИ, А ТАКЖЕ
ПОМОЖЕТ ОТТОЧИТЬ МАСТЕРСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ БОЛЕЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ,
КОТОРЫЕ МОГУТ ВСТАТЬ ПЕРЕД НАМИ В БУДУЩЕМ.

чТОБЫ ИСКЛЮЧИТЬ ПОРАЗРЯДНУЮ СОРТИРОВКУ, ГДЕ СОВСЕМ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ
СРАВНЕНИЙ, ОГРАНИЧИМСЯ ОБСУЖДЕНИЕМ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ, ОСНОВАННЫХ ТОЛЬКО
НА АБСТРАКТНОМ ЛИНЕЙНОМ ОТНОШЕНИИ ПОРЯДКА "$<$" МЕЖДУ КЛЮЧАМИ,
РАССМОТРЕННОМ В НАЧАЛЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ. дЛЯ ПРОСТОТЫ МЫ ТАКЖЕ ОГРАНИЧИМ СВОЕ
ОБСУЖДЕНИЕ СЛУЧАЕМ \emph{РАЗЛИЧНЫХ} КЛЮЧЕЙ, А ЭТО ЗНАЧИТ, ЧТО ПРИ ЛЮБОМ
СРАВНЕНИИ КЛЮЧЕЙ~$K_i$ И~$K_j$ ВОЗМОЖНЫ ЛИШЬ ДВА ИСХОДА: ЛИБО~$K_i<K_j$,
ЛИБО~$K_i>K_j$. (рАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭТОЙ ТЕОРИИ НА ОБЩИЙ СЛУЧАЙ, КОГДА
ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, СМ.~В УПР.~ОТ~3 ДО~12.)

зАДАЧУ СОРТИРОВКИ ПОСРЕДСТВОМ СРАВНЕНИЙ МОЖНО СФОРМУЛИРОВАТЬ ТАКЖЕ
ДРУГИМИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ СПОСОБАМИ. еСЛИ ЕСТЬ $n$~ГРУЗОВ И ВЕСЫ С ДВУМЯ
ЧАШАМИ, ТО КАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ВЗВЕШИВАНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ ТОГО,
ЧТОБЫ РАСПОЛОЖИТЬ ГРУЗЫ ПО ПОРЯДКУ В СООТВЕТСТВИИ С ВЕСОМ, ЕСЛИ В КАЖДОЙ
ЧАШЕ ВЕСОВ ПОМЕЩАЕТСЯ ТОЛЬКО ОДИН ГРУЗ? иЛИ ЖЕ, ЕСЛИ В НЕКОТОРОМ ТУРНИРЕ
УЧАСТВУЮТ $n$~ИГРОКОВ, ТО КАКОВО НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО ИГР, ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ
ТОГО, ЧТОБЫ РАСПРЕДЕЛИТЬ МЕСТА МЕЖДУ СОРЕВНУЮЩИМИСЯ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО
СИЛЫ ИГРОКОВ МОЖНО ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧИТЬ (НИЧЕЙНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НЕ ДОПУСКАЮТСЯ).

мЕТОДЫ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ УКАЗАННЫМ ОГРАНИЧЕНИЯМ,
МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ ПОСРЕДСТВОМ СТРУКТУРЫ РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА,
ТАКОГО, КАК ПОКАЗАНО НА РИС.~34. кАЖДЫЙ \emph{ВНУТРЕННИЙ УЗЕЛ}
(ИЗОБРАЖЕННЫЙ В ВИДЕ КРУЖОЧКА) СОДЕРЖИТ
%%220
ДВА ИНДЕКСА "$i:j$" И ОЗНАЧАЕТ СРАВНЕНИЕ КЛЮЧЕЙ~$K_i$
И~$K_j$. лЕВОЕ ПОДДЕРЕВО ЭТОГО УЗЛА СООТВЕТСТВУЕТ ПОСЛЕДУЮЩИМ СРАВНЕНИЯМ,
КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ, ЕСЛИ~$K_i<K_j$, А ПРАВОЕ ПОДДЕРЕВО---ТЕМ
ДЕЙСТВИЯМ, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ПРЕДПРИНЯТЬ В СЛУЧАЕ~$K_i>K_j$. кАЖДЫЙ
\emph{ВНЕШНИЙ УЗЕЛ} ДЕРЕВА (ИЗОБРАЖЕННЫЙ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА) СОДЕРЖИТ
ПЕРЕСТАНОВКУ $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$
\picture{рИС.~34. дЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ.}
МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$, ОБОЗНАЧАЮЩУЮ ТОТ ФАКТ, ЧТО
БЫЛО УСТАНОВЛЕНО УПОРЯДОЧЕНИЕ
$$
K_{a_1}<K_{a_2}<\ldots<K_{a_n}.
$$
(еСЛИ ВЗГЛЯНУТЬ НА ПУТЬ ОТ КОРНЯ К ЭТОМУ ВНЕШНЕМУ УЗЛУ, ТО КАЖДОЕ ИЗ
$n-1$~СООТНОШЕНИЙ $K_{a_i}<K_{a_{i+1}}$, ГДЕ~$1\le i < n$, БУДЕТ
РЕЗУЛЬТАТОМ НЕКОТОРОГО СРАВНЕНИЯ~$a_i:a_{i+1}$ ИЛИ~$a_{i+1}:a_i$ НА ЭТОМ ПУТИ.)

тАК, НА РИС.~34 ПРЕДСТАВЛЕН МЕТОД СОРТИРОВКИ, СОГЛАСНО КОТОРОМУ НУЖНО
СНАЧАЛА СРАВНИТЬ~$K_1$ С~$K_2$; ЕСЛИ~$K_1>K_2$, ТО ПРОДОЛЖАТЬ (ДВИГАЯСЬ
ПО ПРАВОМУ ПОДДЕРЕВУ) СРАВНИВАТЬ~$K_2$ С~$K_3$, А ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$K_2<K_3$,
СРАВНИТЬ~$K_1$ С~$K_3$; НАКОНЕЦ, ЕСЛИ~$K_1>K_3$, СТАНОВИТСЯ ЯСНО,
ЧТО~$K_2<K_3<K_1$. рЕАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ ОБЫЧНО БУДЕТ ТАКЖЕ
ПЕРЕМЕЩАТЬ КЛЮЧИ ПО ФАЙЛУ, НО НАС ИНТЕРЕСУЮТ ТОЛЬКО СРАВНЕНИЯ, ПОЭТОМУ МЫ
ИГНОРИРУЕМ ВСЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ДАННЫХ. пРИ СРАВНЕНИИ~$K_i$ С~$K_j$ В ЭТОМ
ДЕРЕВЕ ВСЕГДА ИМЕЮТСЯ В ВИДУ \emph{ИСХОДНЫЕ} КЛЮЧИ~$K_i$ И~$K_j$, А НЕ ТЕ
КЛЮЧИ, КОТОРЫЕ МОГЛИ ЗАНЯТЬ~$i\hbox{-Ю}$ И~$j\hbox{-Ю}$ ПОЗИЦИИ В ФАЙЛЕ
В РЕЗУЛЬТАТЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ЗАПИСЕЙ.

вОЗМОЖНЫ И ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ; НАПРИМЕР, НА РИС.~35 НЕТ НЕОБХОДИМОСТИ
СРАВНИВАТЬ~$3:1$, ПОСКОЛЬКУ ИЗ НЕРАВЕНСТВ~$K_1<K_2$ И~$K_2<K_3$
СЛЕДУЕТ~$K_1<K_3$. нИКАКАЯ ПЕРЕСТАНОВКА НЕ МОЖЕТ СООТВЕТСТВОВАТЬ ЛЕВОМУ
ПОДДЕРЕВУ УЗЛА~$\elnode{3:1}$ НА РИС.~35, ТАК ЧТО ЭТА ЧАСТЬ АЛГОРИТМА
НИКОГДА НЕ БУДЕТ ВЫПОЛНЯТЬСЯ! пОСКОЛЬКУ НАС ИНТЕРЕСУЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ, ТО МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ НЕ ПРОИЗВОДИТСЯ;
С ЭТОГО МОМЕНТА МЫ БУДЕМ ИМЕТЬ ДЕЛО СО СТРУКТУРОЙ РАСШИРЕННОГО
%%221
БИНАРНОГО ДЕРЕВА, В КОТОРОМ КАЖДОМУ ВНЕШНЕМУ УЗЛУ СООТВЕТСТВУЕТ
НЕКОТОРАЯ ПЕРЕСТАНОВКА. вСЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ИСХОДНЫХ КЛЮЧЕЙ ВОЗМОЖНЫ, И
КАЖДАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ОПРЕДЕЛЯЕТ ЕДИНСТВЕННЫЙ ПУТЬ ОТ КОРНЯ К ВНЕШНЕМУ
УЗЛУ; ОТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЧТО \emph{В ДЕРЕВЕ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ БЕЗ ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТСЯ РОВНО $n!$~ВНЕШНИХ УЗЛОВ.}

\picture{рИС. 35.            пРИМЕР ИЗБЫТОЧНОГО СРАВНЕНИЯ.}

\section оПТИМИЗАЦИЯ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ. пЕРВАЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ
ОБРАЗОМ ВОЗНИКАЮЩАЯ ЗАДАЧА---НАЙТИ ДЕРЕВЬЯ СРАВНЕНИЙ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ
\emph{МАКСИМАЛЬНОЕ} ЧИСЛО ВЫПОЛНЯЕМЫХ СРАВНЕНИЙ. (пОЗЖЕ МЫ РАССМОТРИМ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ.)

пУСТЬ $S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. еСЛИ ВСЕ ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ В ДЕРЕВЕ СРАВНЕНИЙ РАСПОЛАГАЮТСЯ НА
УРОВНЯХ $<k$, ТО ОЧЕВИДНО, ЧТО В ДЕРЕВЕ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ БОЛЕЕ $2^k$~УЗЛОВ.
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОЛАГАЯ~$k=S(n)$, ИМЕЕМ
$$
n!\le 2^{S(n)}.
$$
пОСКОЛЬКУ $S(n)$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ТО МОЖНО ЗАПИСАТЬ ЭТУ ФОРМУЛУ  ИНАЧЕ,
ПОЛУЧИВ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ:
$$
S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}.
\eqno(1)
$$
зАМЕТИМ, ЧТО ПО ФОРМУЛЕ сТИРЛИНГА
$$
\ceil{\log_2 n!}=n\log_2 n-n/(\ln 2)+{1\over2}\log_2 n+O(1);
\eqno(2)
$$
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ ОКОЛО $n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ.

сООТНОШЕНИЕ~(1) ЧАСТО НАЗЫВАЮТ "ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКОЙ",
ПОСКОЛЬКУ СПЕЦИАЛИСТ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ СКАЗАЛ БЫ, ЧТО В ПРОЦЕССЕ
СОРТИРОВКИ ПРОВЕРЯЕТСЯ $(\log_2 n!)$~"БИТОВ ИНФОРМАЦИИ"; КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ
ДАЕТ НЕ БОЛЕЕ  ОДНОГО "БИТА ИНФОРМАЦИИ". тАКИЕ ДЕРЕВЬЯ, КАК НА РИС.~34,
НАЗЫВАЮТ ТАКЖЕ "ВОПРОСНИКАМИ" ("questionnaires"), А ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ИССЛЕДОВАНЫ В КНИГЕ кЛОДА пИКАРА Th\'eorie des questionnaires
(Paris: Gauthier-Villars, 1965).
%%222
иЗ ВСЕХ РАССМОТРЕННЫХ НАМИ МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ ТРИ МЕТОДА ТРЕБУЮТ МЕНЬШЕ
ВСЕГО СРАВНЕНИЙ: БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ (СР.~С~П.~5.2.1), ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА
(СР.~С~П.~5.2.3) И ПРОСТОЕ ДВУХПУТЕВОЕ СЛИЯНИЕ, КАК ОНО ОПИСАНО В
АЛГОРИТМЕ~5.2.4L. нЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ
МЕТОДА БИНАРНЫХ ВСТАВОК РАВНО
$$
B(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2 k}=n\ceil{\log_2 n}-2^{\ceil{\log_2 n}}+1
\eqno(3)
$$
(СР.~С~УПР.~1.2.4-42), А МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ
АЛГОРИТМА~5.2.4L ПРИВЕДЕНО В УПР.~5.2.4-14. оКАЗЫВАЕТСЯ (СМ.~П.~5.3.3),
 ЧТО ДЛЯ ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ ЛИБО ТАКАЯ ЖЕ,
КАК ДЛЯ БИНАРНЫХ ВСТАВОК, ЛИБО ТАКАЯ ЖЕ, КАК ДЛЯ ДВУХПУТЕВОГО СЛИЯНИЯ, В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, КАК СТРОИТСЯ ДЕРЕВО. вО ВСЕХ ТРЕХ СЛУЧАЯХ ИМЕЕМ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$n\log_2 n$; ОБЎЕДИНЯЯ ВЕРХНЮЮ И НИЖНЮЮ ОЦЕНКИ
ДЛЯ~$S(n)$, ДОКАЖЕМ, ЧТО
$$
\lim_{n\to\infty} {S(n)\over n\log_2 n}=1.
\eqno(4)
$$
тАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ПОЛУЧИЛИ ПРИБЛИЖЕННУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ~$S(n)$, ОДНАКО
ЖЕЛАТЕЛЬНО ИМЕТЬ БОЛЕЕ ТОЧНУЮ ИНФОРМАЦИЮ. в СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПРИВЕДЕНЫ
ЗНАЧЕНИЯ УКАЗАННЫХ ВЫШЕ ВЕЛИЧИН ПРИ МАЛЫХ~$n$:
\ctable{
\hfill$#$\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
\ceil{\log_2 n!}=0 & 1 & 3 & 5 & 7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            B(n)=0 & 1 & 3 & 6 & 8 & 11 & 14 & 17 & 21 & 25 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49 & 54\cr
            L(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 14 & 17 & 25 & 27 & 30 & 33 & 38 & 41 & 45 & 49 & 65\cr
}
зДЕСЬ~$B(n)$ И~$L(n)$ ОТНОСЯТСЯ СООТВЕТСТВЕННО К БИНАРНЫМ ВСТАВКАМ И
СЛИЯНИЮ СПИСКОВ. мОЖНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$B(n)\le L(n)$ ПРИ ЛЮБОМ~$n$ (СМ.~УПР.~2).

кАК ВИДНО ИЗ ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ ТАБЛИЦЫ, $S(4)=5$, НО~$S(5)$ МОЖЕТ РАВНЯТЬСЯ
ЛИБО~7, ЛИБО~8. в РЕЗУЛЬТАТЕ СНОВА ПРИХОДИМ К ЗАДАЧЕ, ПОСТАВЛЕННОЙ В
НАЧАЛЕ~\S~5.2. кАКОВ НАИЛУЧШИЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ? вОЗМОЖНА
ЛИ СОРТИРОВКА ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ ВСЕГО СЕМИ СРАВНЕНИЙ?

тАКАЯ СОРТИРОВКА ВОЗМОЖНА, НО САМ СПОСОБ НАЙТИ НЕ ТАК ПРОСТО. нАЧИНАЕМ ТАК
ЖЕ, КАК ПРИ СОРТИРОВКЕ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОСРЕДСТВОМ СЛИЯНИЙ, СРАВНИВАЯ
СПЕРВА~$K_1:K_2$, ЗАТЕМ~$K_3:K_4$, А ЗАТЕМ НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОБЕИХ ПАР.
эТИ СРАВНЕНИЯ ПОРОЖДАЮТ КОНФИГУРАЦИЮ, КОТОРУЮ МОЖНО ИЗОБРАЗИТЬ ДИАГРАММОЙ
\picture{рИС. СТР. 222}
%%223
ПОКАЗЫВАЮЩЕЙ, ЧТО~$a<b<d$ И~$c<d$. (дЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗВЕСТНЫХ
ОТНОШЕНИЙ ПОРЯДКА МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ УДОБНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ НАПРАВЛЕННЫМИ
ГРАФАМИ, ТАКИМИ, КАК ЭТОТ, ГДЕ НЕРАВЕНСТВО~$x<y$ СЧИТАЕТСЯ ИЗВЕСТНЫМ
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА НА ГРАФЕ ЕСТЬ ПУТЬ ОТ~$x$ К~$y$.) тЕПЕРЬ
ВСТАВЛЯЕМ ПЯТЫЙ ЭЛЕМЕНТ~$K_5=e$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО СРЕДИ~$\set{a, b, d}$;
ДЛЯ ЭТОГО ТРЕБУЮТСЯ ВСЕГО ДВА СРАВНЕНИЯ, ПОСКОЛЬКУ МОЖНО СРАВНИТЬ
ЕГО СНАЧАЛА С~$b$, А ЗАТЕМ С~$a$ ИЛИ~$d$. тАКИМ ОБРАЗОМ, ОСТАЕТСЯ ОДНА ИЗ
ЧЕТЫРЕХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ:
\picture{p.223}
И В КАЖДОМ СЛУЧАЕ ДОСТАТОЧНО ЕЩЕ ДВУХ СРАВНЕНИЙ, ЧТОБЫ ВСТАВИТЬ~$c$ В
ЦЕПОЧКУ ОСТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$d$. тАКОЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ ПЯТИ
ЭЛЕМЕНТОВ ВПЕРВЫЕ ОБНАРУЖИЛ г.~б.~дЕМУТ [Ph.~D.~thesis, Stanford
University (Oct., 1956). 41--43].

\section сОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ. иЗЯЩНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ИЗЛОЖЕННОГО
ВЫШЕ МЕТОДА ПРИНАДЛЕЖИТ лЕСТЕРУ фОРДУ~МЛ.\ И~сЕЛМЕРУ~м.~дЖОНСОНУ.
пОСКОЛЬКУ ОНО ОБЎЕДИНЯЕТ НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВУХ СПОСОБОВ СОРТИРОВКИ:
ПОСРЕДСТВОМ СЛИЯНИЙ И ПОСРЕДСТВОМ ВСТАВОК, ТО МЫ НАЗОВЕМ ЭТОТ МЕТОД
\dfn{СОРТИРОВКОЙ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ.} рАССМОТРИМ, НАПРИМЕР, ЗАДАЧУ
СОРТИРОВКИ 21~ЭЛЕМЕНТА. нАЧАТЬ МОЖНО СО СРАВНЕНИЙ ДЕСЯТИ ПАР
КЛЮЧЕЙ~$K_1:K_2$, $K_3:K_4$,~\dots, $K_{19}:K_{20}$, ЗАТЕМ СЛЕДУЕТ
ОТСОРТИРОВАТЬ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ БОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПАР. в РЕЗУЛЬТАТЕ
ПОЛУЧИМ КОНФИГУРАЦИЮ
\picture{223.2}
АНАЛОГИЧНУЮ~(5). сЛЕДУЮЩИЙ ШАГ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ ВСТАВИТЬ
ЭЛЕМЕНТ~$b_3$ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\set{b_1, a_1, a_2}$, А ЗАТЕМ~$b_2$---В
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОСТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$a_2$, ПРИХОДИМ К КОНФИГУРАЦИИ
\picture{223.3}
нАЗОВЕМ ВЕРХНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ \dfn{ГЛАВНОЙ ЦЕПОЧКОЙ.} эЛЕМЕНТ~$b_5$
МОЖНО ВСТАВИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ (СРАВНИВ ЕГО СНАЧАЛА
С~$c_4$, ЗАТЕМ С~$c_2$ ИЛИ~$c_6$ И~Т.~Д.); ЗАТЕМ ЕЩЕ ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ
МОЖНО ПЕРЕМЕСТИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ~$b_4$, ЧТО ПРИВОДИТ
%%224
К КОНФИГУРАЦИИ
\picture{224.1}
сЛЕДУЮЩИЙ ШАГ РЕШАЮЩИЙ; ЯСНО ЛИ ВАМ, ЧТО ДЕЛАТЬ ДАЛЬШЕ? пРИ ПОМОЩИ ВСЕГО
ЧЕТЫРЕХ СРАВНЕНИЙ ВСТАВЛЯЕМ~$b_{11}$ (А \emph{НЕ}~$b_7$) В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ.
 пОСЛЕ ЭТОГО ЭЛЕМЕНТЫ~$b_{10}$, $b_9$, $b_8$, $b_7$, $b_6$ (ИМЕННО В ТАКОМ
ПОРЯДКЕ) МОЖНО ВСТАВИТЬ В НУЖНОЕ МЕСТО В ГЛАВНОЙ ЦЕПОЧКЕ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
ЧЕТЫРЕ СРАВНЕНИЯ КАЖДЫЙ.

аККУРАТНЫЙ ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ТРЕБУЕМЫХ СРАВНЕНИЙ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО 21~ЭЛЕМЕНТ
МОЖНО ОТСОРТИРОВАТЬ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА $10+22+2+2+3+3+4+4+4+4+4+4=66$~ШАГОВ.
пОСКОЛЬКУ
$$
2^{65}<21!<2^{66},
$$
ЯСНО ТАКЖЕ, ЧТО И В ЛЮБОМ ДРУГОМ СЛУЧАЕ НЕОБХОДИМО НЕ МЕНЕЕ 66~СРАВНЕНИЙ;
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
S(21)=66.
\eqno(10)
$$
(пРИ СОРТИРОВКЕ БИНАРНЫМИ ВСТАВКАМИ ПОНАДОБИЛОСЬ БЫ 74~СРАВНЕНИЯ.)

в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
ВЫГЛЯДИТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\medskip
\item{i)}~пРОИЗВЕСТИ СРАВНЕНИЯ $\floor{n/2}$~НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ
ПАР ЭЛЕМЕНТОВ. (еСЛИ $n$~НЕЧЕТНО, ТО ОДИН ЭЛЕМЕНТ НЕ УЧАСТВУЕТ В СРАВНЕНИЯХ.)

\item{ii)}~оТСОРТИРОВАТЬ $\floor{n/2}$~Б\'ОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПАР,
НАЙДЕННЫХ В ШАГЕ~(i), ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ.

\item{iii)}~дЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЯ $a_1$, $a-2$,~\dots,
$a_{\floor{n/2}}$, $b_1$, $b_2$,~\dots, $b_{\ceil{n/2}}$, КАК В~(7),
ГДЕ~$a_1\le a_2 \le\ldots\le a_{\floor{n/2}}$ И~$b_i\le a_i$
ПРИ~$1\le i \le \floor{n/2}$; НАЗОВЕМ~$b_1$ И ВСЕ ЭЛЕМЕНТЫ~$a$ "ГЛАВНОЙ
ЦЕПОЧКОЙ". нЕ ТРОГАЯ ЭЛЕМЕНТОВ~$b_j$ ПРИ~$j>\ceil{n/2}$, ВСТАВИТЬ
БИНАРНЫМИ ВСТАВКАМИ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ ОСТАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ~$b$ В СЛЕДУЮЩЕМ
ПОРЯДКЕ:
$$
b_3, b_2; b_5, b_4; b_{11}, b_{10},~\dots, b_6; b_{t_k}, b_{t_k-1},~\ldots,
b_{t_{k-1}+1};~\ldots\,.
\eqno(11)
$$
нАМ ХОТЕЛОСЬ БЫ ОПРЕДЕЛИТЬ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$(t_1, t_2, t_3, t_4,~\ldots)=(1, 3, 5, 11,~\ldots)$,
УЧАСТВУЮЩУЮ В~(11), ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ КАЖДЫЙ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ~$b_{t_k}$,
$b_{t_k-1}$,~\dots, $b_{t_{k-1}+1}$ МОЖНО БЫЛО ВСТАВИТЬ В ГЛАВНУЮ ЦЕПОЧКУ
НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ЗА $k$~СРАВНЕНИЙ. оБОБЩАЯ~(7), (8) И~(9), ПОЛУЧИМ ДИАГРАММУ
\picture{224.2}
%%225
ГДЕ ГЛАВНАЯ ЦЕПОЧКА ДО~$a_{t_k-1}$~ВКЛЮЧИТЕЛЬНО СОДЕРЖИТ
$2t_{k-1}+(t_k-t_{k-1}-1)$~ЭЛЕМЕНТОВ. эТО ЧИСЛО ДОЛЖНО БЫТЬ МЕНЬШЕ~$2^k$;
ДЛЯ НАС ЛУЧШЕ ВСЕГО ПОЛОЖИТЬ ЕГО РАВНЫМ~$2^k-1$, И ТОГДА
$$
t_{k-1}+t_k=2^k.
\eqno(12)
$$
пОСКОЛЬКУ~$t_1=1$, ТО ДЛЯ УДОБСТВА МОЖНО ПОЛОЖИТЬ~$t_0=1$; ТОГДА, СУММИРУЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ, НАЙДЕМ
$$
\eqalignno{
t_k=2^k-t_{k-1}&=2^k-2^{k-1}+t_{k-2}=\ldots\cr
\ldots&= 2^k-2^{k-1}+\cdots+(-1)^k2^0=(2^{k+1}+(-1)^k)/3. & (13)\cr
}
$$
(лЮБОПЫТНО, ЧТО ТОЧНО ТАКАЯ ЖЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВОЗНИКЛА ПРИ ИЗУЧЕНИИ
АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ ДВУХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ; СР.~С~УПР.~4.5.2-27.)


пУСТЬ $F(n)$---ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СОРТИРОВКИ П ЭЛЕМЕНТОВ
ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ. яСНО, ЧТО
$$
F(n)=\floor{n/2}+F(\floor{n/2})+G(\ceil{n/2}),
\eqno(14)
$$
ГДЕ ФУНКЦИЯ~$G$ ОПИСЫВАЕТ КОЛИЧЕСТВО РАБОТЫ, ВЫПОЛНЯЕМОЙ В ШАГЕ~(iii).
еСЛИ~$t_{k-1}\le m \le t_k$, ТО, СУММИРУЯ ПО ЧАСТЯМ, ПОЛУЧАЕМ
$$
\eqalignno{
G(m)&=\sum_{1\le j <k} j(t_j-t_{j-1})+k(m-t_{k-1})=\cr
&=km-(t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}). & (15)\cr
}
$$
пОЛОЖИМ
$$
w_k=t_0+t_1+\cdots+t_{k-1}=\floor{2^{k+1}/3},
\eqno(16)
$$
И ТОГДА $(w_0, w_1, w_2, w_3, w_4,~\ldots)=(0, 1, 2, 5, 10, 21,~\ldots)$.
в УПР.~13 ПОКАЗАНО, ЧТО
$$
F(n)-F(n-1)=k \rem{ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $w-k<n\le w_{k+1}$},
\eqno(17)
$$
А ПОСЛЕДНЕЕ УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНО НЕРАВЕНСТВАМ
$$
\displaylines{
{2^{k+1}\over 3} < n \le {2^{k+2}\over 3},\cr
k+1<\log_2 (3n)\le k+2;\cr
}
$$
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
F(n)-F(n-1)=\ceil{\log_2\left({3\over4}n\right)}.
\eqno(18)
$$
(эТОЙ ФОРМУЛОЙ МЫ ОБЯЗАНЫ а.~аДЬЯНУ [Ph.~D.~thesis, Univ.~of~Minnesota
(1969), 38--42].) оТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЧТО ФУНКЦИЯ~$F$ ВЫРАЖАЕТСЯ УДИВИТЕЛЬНО
ПРОСТОЙ ФОРМУЛОЙ:
$$
F(n)=\sum_{1\le k\le n} \ceil{\log_2\left({3\over4}k\right)},
\eqno(19)
$$
%%226
КОТОРАЯ ОЧЕНЬ ПОХОЖА НА СООТВЕТСТВУЮЩУЮ ФОРМУЛУ~(3) ДЛЯ БИНАРНЫХ ВСТАВОК.
в "ЗАМКНУТОМ ВИДЕ" ЭТУ СУММУ МОЖНО НАЙТИ В УПР.~14.

вОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ~(19), НЕТРУДНО ПОСТРОИТЬ ТАБЛИЦУ ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИИ~$F(n)$; ИМЕЕМ
\ctable{
\hfill$#$&$\hbox{}#$\hfill\bskip && \hfill$#$\bskip\cr
               n&=1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\cr
 \ceil{\log_2n!}&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 29 & 33 & 37 & 41 & 45 & 49\cr
            F(n)&=0 &  1 &  3 &  5 &  7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 & 26 & 30 & 34 & 38 & 42 & 46 & 50\cr
\noalign{\smallskip}
              n&=18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33\cr
\ceil{\log_2n!}&=53 & 57 & 62 & 66 & 70 & 75 & 80 & 84 & 89 & 94 & 98 &103 &108 &113 &118 &123\cr
           F(n)&=54 & 58 & 62 & 66 & 71 & 76 & 81 & 86 & 91 & 96 &101 &106 &111 &116 &121 &126\cr
}
зАМЕТИМ, ЧТО ПРИ~$1\le n\le 11$ И~ПРИ~$20 \le n \le 21$ $F(n)=\ceil{\log_2n!}$;
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПРИ ЭТИХ ЗНАЧЕНИЯХ СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ОПТИМАЛЬНА:
$$
S(n)=\ceil{\log_2 n!}=F(n) \rem{ПРИ $1\le n \le 11$ И~$20\le n \le 21$}.
\eqno (20)
$$

зАДАЧУ НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S(n)$ ПОСТАВИЛ гУГО шТЕЙНГАУЗ ВО ВТОРОМ ИЗДАНИИ
СВОЕЙ КЛАССИЧЕСКОЙ КНИГИ Mathematical Snapshots   (Oxford   University
Press,   1950),   38--39\note{1}%
{еСТЬ ПЕРЕВОД ПЕРВОГО ИЗДАНИЯ ЭТОЙ КНИГИ: мАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕЙДОСКОП, м.,
гОСТЕХИЗДАТ, 1949.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}
}). оН ОПИСАЛ БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ, КОТОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ НАИЛУЧШИМ СПОСОБОМ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО $n\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ НЕ
РАССМАТРИВАЕТСЯ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА НЕ ОТСОРТИРОВАНЫ ПЕРВЫЕ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ;
И ОН СДЕЛАЛ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О ТОМ, ЧТО МЕТОД БИНАРНЫХ ВСТАВОК ОПТИМАЛЕН И В
ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. нЕСКОЛЬКО ЛЕТ СПУСТЯ [{\sl Calcutta Math.~Soc.\ Golden
Jubilee Commemoration,\/} 2 (1959), 323--327] ОН СООБЩИЛ, ЧТО ДВОЕ ЕГО
КОЛЛЕГ, с.~тРИБУЛА И с.~пИН, "НЕДАВНО" ОПРОВЕРГЛИ ЕГО ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ И
НАШЛИ ЗНАЧЕНИЯ~$S(n)$ ПРИ~$n\le11$. вЕРОЯТНО, тРИБУЛА И пИН НЕЗАВИСИМО
ПРИШЛИ К СОРТИРОВКЕ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ, ПО КОТОРОЙ ВСКОРЕ ПОЯВИЛАСЬ
ПУБЛИКАЦИЯ л.~р.~фОРДА И~с.~м.~дЖОНСОНА [{\sl AMM,\/} {\bf 66} (1950), 387--389].

пОСЛЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ СОРТИРОВКИ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ПЕРВЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ
ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ~$S(n)$ СТАЛО~$S(12)$. иЗ ТАБЛ.~1 ВИДНО, ЧТО ЧИСЛО~$12!$
ДОВОЛЬНО БЛИЗКО К~$2^29$, ПОЭТОМУ СУЩЕСТВОВАНИЕ 29-ШАГОВОЙ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ 12~ЭЛЕМЕНТОВ ВЕСЬМА МАЛОВЕРОЯТНО. дЛЯ РЕШЕНИЯ ЭТОГО ВОПРОСА
мАРКОМ уЭЛСОМ БЫЛ ПРЕДПРИНЯТ ИСЧЕРПЫВАЮЩИЙ ПОИСК (ЗАНЯВШИЙ НА
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ мАНИАК~II ОКОЛО~60~Ч.), КОТОРЫЙ ПОКАЗАЛ,
ЧТО~$S(12)=30$
[Proc. IFIP Congress 65, 2 (1965), 497--498]. иТАК, ПРОЦЕДУРА ВСТАВОК И
СЛИЯНИЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ ОПТИМАЛЬНОЙ И ПРИ~$n=12$.

%%227

\htable{тАБЛИЦА 1}%
{зНАЧЕНИЯ ФАКТОРИАЛОВ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ}%
{\hfill$#$&$\hbox{}=#$\cr
1 & 1!\cr
10 &2!\cr
110 & 3!\cr
11000 & 4!\cr
1111000 & 5!\cr
1011010000 & 6!\cr
1001110110000 & 7!\cr
1001110110000000 & 8!\cr
1011000100110000000 & 9!\cr
1101110101111100000000 & 10!\cr
10011000010001010100000000 & 11!\cr
11100100011001111110000000000 & 12!\cr
101110011001010001100110000000000 & 13!\cr
1010001001101111110110010100000000000 & 14!\cr
10011000001110111011101110101100000000000 & 15!\cr
100110000011101110111011101011000000000000000 & 16!\cr
}

\section *бОЛЕЕ ПОДРОБНЫЙ АНАЛИЗ. чТОБЫ БОЛЕЕ ТЩАТЕЛЬНО
ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ~$S(n)$, ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧИМ ДИАГРАММЫ
ЧАСТИЧНОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ, ТАКИЕ, КАК~(5). пОЛУЧЕННЫЕ ПОСЛЕ
НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ СВЕДЕНИЯ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ НАПРАВЛЕННОГО ГРАФА.
 эТОТ НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ В СИЛУ ТРАНЗИТИВНОСТИ ОТНОШЕНИЯ~$<$ НЕ СОДЕРЖИТ
ЦИКЛОВ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕГО ВСЕГДА МОЖНО ИЗОБРАЗИТЬ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ
ВСЕ ДУГИ ШЛИ СЛЕВА НАПРАВО;
ПОЭТОМУ УДОБНЕЕ УДАЛИТЬ ИЗ ДИАГРАММЫ СТРЕЛКИ. в РЕЗУЛЬТАТЕ ДИАГРАММА~(5)
ПРЕОБРАЗУЕТСЯ В
\picture{p.227}
пУСТЬ $G$---ТАКОЙ НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ; ОБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ $T(G)$~ЧИСЛО
ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, Т.~Е.~ЧИСЛО СПОСОБОВ ПОМЕТИТЬ ВЕРШИНЫ
ГРАФА~$G$ ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, n}$ ТАК, ЧТОБЫ ЧИСЛО В
ВЕРШИНЕ~$x$ БЫЛО МЕНЬШЕ ЧИСЛА В ВЕРШИНЕ~$y$, ЕСЛИ ДУГА~$x\to y$
ПРИНАДЛЕЖИТ~$G$. пРИМЕР ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~(21): $a=1$, $b=4$,
 $c=2$, $d=5$, $e=3$. мЫ ИЗУЧИЛИ ФУНКЦИЮ~$T(G)$ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ~$G$ В
П.~5.1.4, ГДЕ БЫЛО ЗАМЕЧЕНО, ЧТО $T(G)$~ЕСТЬ ЧИСЛО СПОСОБОВ "ТОПОЛОГИЧЕСКИ
ОТСОРТИРОВАТЬ" ГРАФ~$G$.

пУСТЬ $G$---ГРАФ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЙ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ПОСЛЕ
$k$~СРАВНЕНИЙ; ОПРЕДЕЛИМ \emph{ЭФФЕКТИВНОСТЬ} ГРАФА~$G$ ФУНКЦИЕЙ
$$
E(G)={n!\over 2^k T(G)}.
\eqno(22)
$$
%%228
(эТА ИДЕЯ ПРИНАДЛЕЖИТ фРАНКУ хУАНУ И~шЕНЬ лИНЮ.) сТРОГО ГОВОРЯ,
ЭФФЕКТИВНОСТЬ НЕ ЕСТЬ ФУНКЦИЯ ЛИШЬ САМОГО ГРАФА~$G$---ОНА ЗАВИСИТ ОТ ТОГО
ПУТИ, КОТОРЫМ МЫ ПРИШЛИ К~$G$ В ПРОЦЕССЕ СОРТИРОВКИ, ОДНАКО НАМ УДОБНО
ДОПУСТИТЬ ЭТУ МАЛЕНЬКУЮ НЕТОЧНОСТЬ. вЫПОЛНИВ ЕЩЕ ОДНО СРАВНЕНИЕ НАД
ЭЛЕМЕНТАМИ~$i$ И~$j$, ПОЛУЧИМ ДВА ГРАФА~$G_1$, И~$G_2$: ОДИН---ДЛЯ
СЛУЧАЯ~$K_i<K_j$ И ДРУГОЙ---ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i>K_j$. яСНО, ЧТО
$$
T(G)=T(G_1)+T(G_2).
$$
еСЛИ~$T(G_1)\ge T(G_2)$, ТО ИМЕЕМ
$$
\eqalignno{
T(G)&\le 2T(G_1),\cr
E(G_1)={n!\over 2^{k+1}T(G_1)} &={E(G)T(G)\over 2T(G_1)}\le E(G).&(23)\cr
}
$$
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ПРИВОДИТ К ГРАФУ МЕНЬШЕЙ ИЛИ РАВНОЙ
ЭФФЕКТИВНОСТИ; НЕЛЬЗЯ УВЕЛИЧИТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЗА СЧЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ.

зАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ~$G$ СОВСЕМ НЕ СОДЕРЖИТ ДУГ, ТО~$k=0$ И~$T(G)=n!$,
Т.~Е.~НАЧАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАВНА~1. еСЛИ ЖЕ ГРАФ~$G$ ПРЕДСТАВЛЯЕТ
ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ СОРТИРОВКИ, ТО $G$~ВЫГЛЯДИТ КАК ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ,
И~$T(G)=1$. тАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ НАМ НУЖНО ПОСТРОИТЬ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ,
КОТОРАЯ БЫ СОРТИРОВАЛА ПЯТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ЗА СЕМЬ ИЛИ МЕНЕЕ СРАВНЕНИЙ,
ТО НЕОБХОДИМО ПОЛУЧИТЬ ЛИНЕЙНЫЙ ГРАФ
\picture{228.1}
ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОТОРОГО РАВНА~$5!/(2^7\times1)=120/128=15/16$. оТСЮДА
СЛЕДУЕТ, ЧТО ВСЕ ГРАФЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ПРОЦЕССЕ СОРТИРОВКИ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge{15\over16}$; ЕСЛИ БЫ ПОЯВИЛСЯ
КАКОЙ-НИБУДЬ ГРАФ МЕНЬШЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ, ТО ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДИН ИЗ ЕГО
ПОТОМКОВ ТОЖЕ ИМЕЛ БЫ МЕНЬШУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ, И МЫ БЫ В КОНЦЕ КОНЦОВ ПРИШЛИ
К ЛИНЕЙНОМУ ГРАФУ С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ~$<{15\over16}$. в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЭТО
РАССУЖДЕНИЕ ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
ВСЕ ГРАФЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УЗЛАМ ДЕРЕВА ДЛЯ НЕКОТОРОЙ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge n!/2^l$, ГДЕ
$l+1$---ЧИСЛО УРОВНЕЙ В ДЕРЕВЕ. эТО ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
НЕРАВЕНСТВА~$S(n)\ge \ceil{\log_2 n!}$, ХОТЯ ТАКОЕ РАССУЖДЕНИЕ НА САМОМ
ДЕЛЕ НЕ СИЛЬНО ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ПРИВЕДЕННОГО ВЫШЕ.

гРАФ~(21) ИМЕЕТ ЭФФЕКТИВНОСТЬ~1, ПОСКОЛЬКУ~$T(G)=15$ И ГРАФ~$G$ БЫЛ
ПОЛУЧЕН ЗА ТРИ СРАВНЕНИЯ. чТОБЫ ВЫЯСНИТЬ, КАКИЕ ВЕРШИНЫ ДОЛЖНЫ УЧАСТВОВАТЬ
В СЛЕДУЮЩЕМ СРАВНЕНИИ, МОЖНО
%%229
ПОСТРОИТЬ \dfn{МАТРИЦУ СРАВНЕНИЙ}
$$
C(G)=\bordermatrix{
  & a & b & c & d & e \cr
a&0& 15 & 10 & 15 & 11 \cr
b & 0 & 0 & 5 & 15 & 7 \cr
c & 5 & 10 & 0 & 15 & 9 \cr
d & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \cr
e & 4 & 8 & 6 & 12 & 0 \cr
},
\eqno(24)
$$
ГДЕ~$C_{ij}$ ЕСТЬ~$T(G_1)$ ДЛЯ ГРАФА~$G_1$, ПОЛУЧЕННОГО ИЗ~$G$ ПУТЕМ
ДОБАВЛЕНИЯ ДУГИ~$i\to j$. еСЛИ МЫ, НАПРИМЕР, СРАВНИМ~$K_c$ С~$K_e$, ТО
15~ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, РАСПАДУТСЯ НА ДВЕ ГРУППЫ: $C_{ec}=6$,
 В КОТОРЫХ $K_e<K_c$, И~$C_{ce}=9$, В КОТОРЫХ~$K_c<K_e$. пОСЛЕДНИЙ ГРАФ
ИМЕЛ БЫ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$15/(2 \times 9)={5\over6}<{15\over16}$, ТАК ЧТО ЭТО
СРАВНЕНИЕ НЕ МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К СЕМИШАГОВОЙ ПРОЦЕДУРЕ СОРТИРОВКИ.
сЛЕДУЮЩИМ СРАВНЕНИЕМ, ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ СОХРАНИТЬ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ~$\ge{15\over16}$, \emph{ОБЯЗАНО} БЫТЬ~$K_b:K_e$.

пОНЯТИЕ "ЭФФЕКТИВНОСТЬ" ОСОБЕННО ПОЛЕЗНО ПРИ РАССМОТРЕНИИ "СВЯЗНЫХ
КОМПОНЕНТ" ГРАФОВ. вОЗЬМЕМ, НАПРИМЕР, ГРАФ
\picture{p.229.1}
ОН СОСТОИТ ИЗ ДВУХ КОМПОНЕНТ
\picture{p.229.2}
ГДЕ НИ ОДНА ДУГА НЕ СОЕДИНЯЕТ~$G'$ И~$G''$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОН
БЫЛ ОБРАЗОВАН ПУТЕМ НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ ВЕРШИН ТОЛЬКО~$G'$ И НЕЗАВИСИМО
НЕСКОЛЬКИХ СРАВНЕНИЙ ВЕРШИН ТОЛЬКО~$G''$. в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО
ГРАФ~$G=G'+G''$ НЕ СОДЕРЖИТ ДУГ, СВЯЗЫВАЮЩИХ~$G'$ И~$G''$, ГДЕ~$G'$
И~$G''$ ИМЕЮТ СООТВЕТСТВЕННО~$n'$ И~$n''$ ВЕРШИН; ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
$$
T(G)=\perm{n'+n''}{n'}T(G')T(G''),
\eqno(25)
$$
ПОСКОЛЬКУ КАЖДАЯ ПЕРЕСТАНОВКА, СОГЛАСУЮЩАЯСЯ С~$G$, ПОЛУЧАЕТСЯ ПУТЕМ
ВЫБОРА $n'$~ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЕ СЧИТАЮТСЯ ПРИНАДЛЕЖАЩИМИ ГРАФУ~$G'$, И
ПОСЛЕДУЮЩЕГО СОСТАВЛЕНИЯ ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~$G'$, И НЕЗАВИСИМО,
ПЕРЕСТАНОВКИ, СОГЛАСУЮЩЕЙСЯ С~$G''$. пУСТЬ ВНУТРИ~$G'$ ВЫПОЛНЕНО~$k'$
СРАВНЕНИЙ, А ВНУТРИ $G''$---%
%%230
СООТВЕТСТВЕННО $k''$~СРАВНЕНИЙ; ПОЛУЧАЕМ ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
$$
E(G)={(n'+n'')!\over 2^{k'+k''}T(G)}
={n'!\over 2^{k'}T(G')}\cdot{n''!\over 2^{k''}T(G'')}=E(G')E(G''),
\eqno(26)
$$
ПОКАЗЫВАЮЩИЙ, ЧТО МЕЖДУ ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ ГРАФА И ЭФФЕКТИВНОСТЯМИ ЕГО
КОМПОНЕНТ СУЩЕСТВУЕТ ПРОСТАЯ СВЯЗЬ. пОЭТОМУ МЫ МОЖЕМ ОГРАНИЧИТЬ НАШЕ
РАССМОТРЕНИЕ ГРАФАМИ, ИМЕЮЩИМИ ТОЛЬКО ОДНУ КОМПОНЕНТУ.

тЕПЕРЬ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО~$G'$ И~$G''$---ОДНОКОМПОНЕНТНЫЕ ГРАФЫ, И МЫ ХОТИМ
СВЯЗАТЬ ИХ ВМЕСТЕ, СРАВНИВ ВЕРШИНУ~$x$ ГРАФА~$G'$ С ВЕРШИНОЙ~$y$
ГРАФА~$G''$. нУЖНО ВЫЯСНИТЬ, НАСКОЛЬКО ЭФФЕКТИВНЫМ ПОЛУЧИТСЯ ГРАФ. дЛЯ
ЭТОЙ ЦЕЛИ НАМ НЕОБХОДИМА ФУНКЦИЯ, КОТОРУЮ МОЖНО ОБОЗНАЧИТЬ ЧЕРЕЗ
$$
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right),
\eqno(27)
$$
РАВНАЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛУ ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С ГРАФОМ
\picture{p.230}
тАКИМ ОБРАЗОМ, $\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ ЕСТЬ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ~$\perm{m+n}{m}$ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО
$p\hbox{-Й}$~НАИМЕНЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ ИЗ МНОЖЕСТВА $m$~ЧИСЕЛ МЕНЬШЕ
$q\hbox{-ГО}$~НАИМЕНЬШЕГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ НЕЗАВИСИМО ВЫБРАННОГО
МНОЖЕСТВА $n$~ЧИСЕЛ. в УПР.~17 ПОКАЗАНО, ЧТО
ФУНКЦИЮ~$\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)$ МОЖНО ВЫРАЗИТЬ ЧЕРЕЗ
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДВУМЯ СПОСОБАМИ:
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)&=\sum_{0\le k <q}
\perm{m-p+n-k}{m-p}\perm{p-1+1}{p-1}=\cr
&=\sum_{p\le j \le m}\perm{n-q+m-j}{n-q}\perm{q-1+j}{q-1}.&(29)\cr
}
$$
(мЕЖДУ ПРОЧИМ, АЛГЕБРАИЧЕСКИ НИКОИМ ОБРАЗОМ НЕ ОЧЕВИДНО, ЧТО ЭТИ ДВЕ СУММЫ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДОЛЖНЫ БЫТЬ РАВНЫ.) иМЕЕМ ТАКЖЕ ФОРМУЛЫ
$$
\eqalignno{
\left({p\atop m}<{q\atop n}\right)+\left({q\atop n}<{p\atop m}\right) &=\perm{m+n}{m}, &(30)\cr
\left({q\atop n}<{p\atop m}\right)&=\left({m+1-p\atop m}<{n+1-q\atop n}\right). &(31)\cr
}
$$

%%231
дЛЯ ЯСНОСТИ РАССМОТРИМ ДВА ГРАФА
\picture{p.231}
нЕТРУДНО ПОКАЗАТЬ ПРОСТЫМ ПЕРЕЧИСЛЕНИЕМ, ЧТО~$T(G')=42$ И~$T(G'')=5$; ТАК
ЧТО ЕСЛИ~$G$---ГРАФ С~11~ВЕРШИНАМИ, СОДЕРЖАЩИЙ~$G'$ И~$G''$ В КАЧЕСТВЕ СВОИХ
КОМПОНЕНТ, ТО ПО ФОРМУЛЕ~(25)
$T(G)=\perm{11}{4}\cdot 42 \cdot 5=69~300$. эТО ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК
СЛИШКОМ ВНУШИТЕЛЬНО, ЧТОБЫ ИХ МОЖНО БЫЛО ВЫПИСАТЬ И, ТАКИМ ОБРАЗОМ,
 ВЫЯСНИТЬ, В СКОЛЬКИХ ИЗ НИХ $x_i < y_j$ ДЛЯ ВСЕХ~$i$ И~$j$. оДНАКО ЭТО
ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕНЕЕ ЧЕМ ЗА ЧАС МОЖНО ПРОДЕЛАТЬ ВРУЧНУЮ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ.
пОСТРОИМ МАТРИЦЫ~$A(G')$ И~$A(G'')$, ГДЕ~$A_{ik}$---ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК,
СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G'$ (ИЛИ~$G''$), В КОТОРЫХ~$x_i$ (ИЛИ~$y_i$) РАВНО~$k$.
тОГДА ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК, СОГЛАСУЮЩИХСЯ С~$G$, В КОТОРЫХ~$x_i$
МЕНЬШЕ~$y_j$, ЕСТЬ СУММА ПО ВСЕМ~$p$ И~$q$, $1\le p \le 7$, $1\le q \le 4$,
 ПРОИЗВЕДЕНИЙ $(ip)\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА МАТРИЦЫ~$A(G')$ НА~$\left({p\atop
7}<{q\atop 4}\right)$ И НА $(jq)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ~$A(G'')$. иНАЧЕ
ГОВОРЯ, НУЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ~$A(G')\cdot L \cdot A(G'')^T$,
 ГДЕ~$L_{pq}=\left({p\atop 7}<{q\atop 4}\right)$. оНО РАВНО
{\def\pmatrix#1{\left(\vcenter{
\halign{
\hfill$\scriptstyle ##$&&\hfill$\quad\scriptstyle ##$\cr
#1
}}
\right)}
$$
\pmatrix{
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
 0 &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
21 & 16 &  5 &  0 &  0 &  0 &  0 \cr
0  &  0 & 12 & 18 & 12 &  0 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
0  &  5 & 10 & 12 & 10 &  5 &  0 \cr
0  &  0 &  0 &  0 &  5 & 16 & 21 \cr
}
\pmatrix{
210 & 294 & 322 & 329 \cr
126 & 238 & 301 & 325 \cr
 70 & 175 & 265 & 315 \cr
 35 & 115 & 215 & 295 \cr
 15 &  65 & 155 & 260 \cr
  5 &  29 &  92 & 204 \cr
  1 &   8 &  36 & 120 \cr
}
\pmatrix{
2 & 3 & 0 & 0 \cr
2 & 2 & 0 & 1 \cr
1 & 0 & 2 & 2 \cr
0 & 0 & 3 & 2 \cr
}
=\pmatrix{
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
48169 & 42042 & 66858 & 64031 \cr
22110 & 14850 & 54450 & 47190 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
22825 & 16005 & 53295 & 46475 \cr
 5269 & 2442 & 27258 & 21131 \cr
}.
$$
}
тАКИМ ОБРАЗОМ, "НАИЛУЧШИЙ" СПОСОБ СОЕДИНИТЬ~$G'$
С~$G''$---ЭТО СРАВНИТЬ~$x_1$ С~$y_2$; В 42~042~СЛУЧАЯХ ПОЛУЧИМ~$x_1<y_2$ И
В~$69~300-42~042=27~258$~СЛУЧАЯХ---$x_1>y_2$. (в СИЛУ СИММЕТРИИ, ПО
СУЩЕСТВУ, К ТЕМ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТАМ ПРИВЕЛИ БЫ СРАВНЕНИЯ~$x_3$ С~$y_2$, $x_5$
С~$y_3$ ИЛИ~$x_7$ С~$y_3$.) эФФЕКТИВНОСТЬ ПОЛУЧЕННОГО ГРАФА ДЛЯ~$x_1<y_2$ РАВНА
$$
{69~300\over 84~084}E(G')E(G''),
$$
Т.~Е.~НЕ ОСОБЕННО ВЫСОКА; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПО-ВИДИМОМУ, ВООБЩЕ НЕ СТОИТ НИ В
ОДНОМ МЕТОДЕ СОРТИРОВКИ ПРИМЕНЯТЬ СОЕДИНЕНИЕ~$G'$ С~$G''$! сМЫСЛ ЭТОГО
ПРИМЕРА В ТОМ, ЧТО МЫ СМОГЛИ ПРИНЯТЬ ТАКОЕ РЕШЕНИЕ, НЕ ПРОИЗВОДЯ НЕПОМЕРНО
БОЛЬШИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ.
%%232
эТИМИ ИДЕЯМИ МОЖНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАКЖЕ ДЛЯ НЕЗАВИСИМОГО ПОДТВЕРЖДЕНИЯ
ПРИНАДЛЕЖАЩЕГО мАРКУ уЭЛСУ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТОГО, ЧТО~$S(12)=30$. нАЧАВ С
ГРАФА, СОДЕРЖАЩЕГО ОДНУ ВЕРШИНУ, МЫ МОЖЕМ ПОВТОРЯТЬ ПОПЫТКИ ДОБАВЛЕНИЯ
СРАВНЕНИЙ К ОДНОМУ ИЗ НАШИХ ГРАФОВ~$G$ ИЛИ К ПАРЕ КОМПОНЕНТ
ГРАФА~$G'$ И~$G''$ С ТАКИМ РАСЧЕТОМ, ЧТОБЫ ОБА ПОЛУЧЕННЫХ ГРАФА СОДЕРЖАЛИ~12
\picture{рИС.~36.                нЕКОТОРЫЕ ГРАФЫ И ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ,
ПОЛУЧЕННЫЕ В НАЧАЛЕ ДЛИННОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВА~$S(12)>29$.
}
ИЛИ МЕНЕЕ ВЕРШИН И ОБЛАДАЛИ ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ $\ge 12!/2^{29}\approx0.89221$.
вСЯКИЙ РАЗ, КАК ЭТО ОКАЗЫВАЕТСЯ ВОЗМОЖНЫМ, МЫ ВЫБИРАЕМ ГРАФ С МЕНЬШЕЙ
ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ И ДОБАВЛЯЕМ ЕГО К НАШЕМУ МНОЖЕСТВУ, ЕСЛИ ТОЛЬКО ОН НЕ
ЯВЛЯЕТСЯ ИЗОМОРФНЫМ ОДНОМУ ИЗ УЖЕ ВКЛЮЧЕННЫХ В МНОЖЕСТВО ГРАФОВ (ИЛИ
ДВОЙСТВЕННЫМ К НЕМУ, Т.~Е.~ПОЛУЧАЕТСЯ ОБРАЩЕНИЕМ ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА).
еСЛИ ОБА ПОЛУЧЕННЫХ ГРАФА ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ, ТО
ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ ВЫБИРАЕТСЯ ОДИН ИЗ НИХ. пЕРВЫЕ 24~ГРАФА, ПОЛУЧЕННЫЕ
ТАКИМ СПОСОБОМ, ИЗОБРАЖЕНЫ НА РИС.~36, ГДЕ ПРИВЕДЕНЫ ТАКЖЕ ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ.

пРИ ПОМОЩИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ БЫЛО ПОСТРОЕНО РОВНО 1594~ГРАФА, ПРЕЖДЕ
ЧЕМ ЭТОТ ПРОЦЕСС ЗАВЕРШИЛСЯ. пОСКОЛЬКУ ГРАФ
%%233
НЕ БЫЛ ПОЛУЧЕН, МОЖНО СДЕЛАТЬ ВЫВОД О ТОМ, ЧТО~$S(12)>29$. вЕСЬМА
ПРАВДОПОДОБНО, ЧТО И ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВА~$S(22)>70$ МОЖНО
ПРОИЗВЕСТИ АНАЛОГИЧНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ЗА ВПОЛНЕ РАЗУМНОЕ ВРЕМЯ, ПОСКОЛЬКУ
$22!/2^{70}\approx 0.952$---ЭТО ЧРЕЗВЫЧАЙНО ВЫСОКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЛЯ
СОРТИРОВКИ ЗА 70~ШАГОВ. (иЗ 1594~НАЙДЕННЫХ ГРАФОВ С~12 ИЛИ МЕНЕЕ ВЕРШИНАМИ
ВСЕГО 92~ИМЕЮТ СТОЛЬ ВЫСОКУЮ ЭФФЕКТИВНОСТЬ.)

пРОМЕЖУТОЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДАЮТ ВЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛОЖИТЬ,
ЧТО~$S(13)=33$, И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ НЕ
ОПТИМАЛЬНА ПРИ~$n=13$. нО ДО СИХ ПОР НИКОМУ НЕ УДАЛОСЬ ОБНАРУЖИТЬ \emph{НИ
ОДНОГО} ТАКОГО ЗНАЧЕНИЯ~$n$, ЧТО~$S(n)<F(n)$.

нАВЕРНЯКА МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО~$S(16)<F(16)$, ПОСКОЛЬКУ~$F(16)$---ЭТО КАК РАЗ
ТАКОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, КАКОЕ ТРЕБУЕТСЯ, ЧТОБЫ СНАЧАЛА ОТСОРТИРОВАТЬ
10~ЭЛЕМЕНТОВ ЗА $S(10)$~ШАГОВ, А ЗАТЕМ ПОСРЕДСТВОМ БИНАРНЫХ ВСТАВОК
ВСТАВИТЬ ПО ОДНОМУ ОСТАЛЬНЫЕ ШЕСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ. нЕПРЕМЕННО ДОЛЖЕН
СУЩЕСТВОВАТЬ БОЛЕЕ ХОРОШИЙ СПОСОБ!

\section сРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ. дО СИХ ПОР МЫ РАССМАТРИВАЛИ ПРОЦЕДУРЫ,
НАИЛУЧШИЕ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ОНИ НЕ ПЛОХИ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ; МЫ ИСКАЛИ
"МИНИМАКСНЫЕ" ПРОЦЕДУРЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ \emph{МАКСИМАЛЬНОЕ} ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ. пОИЩЕМ ТЕПЕРЬ "МИНИСРЕДНИЕ" ПРОЦЕДУРЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
СЛУЧАЙНЫ, Т.~Е.~ВСЕ ПЕРЕСТАНОВКИ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

рАССМОТРИМ ЕЩЕ РАЗ ИЗОБРАЖЕННОЕ НА РИС.~34 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕДУРЫ
СОРТИРОВКИ В ВИДЕ ДЕРЕВА. сРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИИ ПО ВСЕМ ПЕРЕСТАНОВКАМ
ДЛЯ ЭТОГО ДЕРЕВА РАВНО
$$
{2+3+3+3+3+2\over 6}=2{2\over3}.
$$
в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ МЕТОДА СОРТИРОВКИ ЕСТЬ
\emph{ДЛИНА ВНЕШНЕГО ПУТИ ДЕРЕВА,} ДЕЛЕННАЯ НА~$n$. (нАПОМНИМ, ЧТО ДЛИНА
ВНЕШНЕГО ПУТИ---ЭТО СУММА ВСЕХ РАССТОЯНИЙ ОТ КОРНЯ ДО КАЖДОГО ИЗ ВНЕШНИХ
УЗЛОВ; СМ.~П.~2.3.4.5.) иЗ ОБСУЖДЕНИЯ В П.~2.3.4.5 ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
МИНИМУМ ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ ДОСТИГАЕТСЯ НА ТАКОМ БИНАРНОМ ДЕРЕВЕ С
$N$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ, У КОТОРОГО ИМЕЕТСЯ $2^q-N$~ВНЕШНИХ УЗЛОВ НА
УРОВНЕ~$q-1$ И~$2N-2^q$ НА УРОВНЕ~$q$, ГДЕ~$q=\ceil{\log_2 N}$. (кОРЕНЬ
НАХОДИТСЯ НА НУЛЕВОМ УРОВНЕ.) тАКИМ ОБРАЗОМ, МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА
ВНЕШНЕГО ПУТИ РАВНА
$$
(q-1)(2^q-N)+q(2N-2^q)=(q+1)N-2^q.
\eqno(33)
$$

иМЕЕТСЯ ЕЩЕ ОДИН ИНТЕРЕСНЫЙ СПОСОБ ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ МИНИМАЛЬНУЮ ДЛИНУ
ПУТИ: \dfn{РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ
%%234
ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ
ЧИСЛО~$l$, ЧТО ВСЕ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НАХОДЯТСЯ НА УРОВНЯХ~$l$ И~$l+1$.}
(сМ.~УПР.~20.)

еСЛИ ПОЛОЖИТЬ~$q=\log_2 N+\theta$, ГДЕ~$0\le \theta < 1$, ТО
ФОРМУЛА МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ ПРИМЕТ ВИД
$$
N(\log_2 N+1+\theta-2^\theta).
\eqno(34)
$$
гРАФИК ФУНКЦИИ~$1+\theta-2^\theta$ ИЗОБРАЖЕН НА РИС.~37;
ПРИ~$0<\theta<1$ ОНА ПРИНИМАЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ, НО ОЧЕНЬ МАЛЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, НЕ
ПРЕВЫШАЮЩИЕ
$$
1-(1+\ln\ln 2)/(\ln 2)=0.08607~13320~55934+.
\eqno(35)
$$
\picture{рИС.~37.  фУНКЦИЯ $1+\theta-2^\theta$.}
тАКИМ ОБРАЗОМ, МИНИМАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНАЯ СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПУТИ, КОТОРАЯ
ПОЛУЧАЕТСЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ДЕЛЕНИЯ~(34) НА~$N$, НЕ МОЖЕТ БЫТЬ МЕНЬШЕ~$\log_2 N$
И БОЛЬШЕ~$\log_2 N+0.0861$. (эТОТ РЕЗУЛЬТАТ ВПЕРВЫЕ ПОЛУЧИЛ э.~гЛИСОН В
НЕОПУБЛИКОВАННОЙ ЗАМЕТКЕ (1956).)

еСЛИ ТЕПЕРЬ ПОЛОЖИМ~$N=n!$, ТО ПОЛУЧИМ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ СРЕДНЕГО ЧИСЛА
СРАВНЕНИЙ ПО ВСЕМ СХЕМАМ СОРТИРОВКИ. зАМЕТИМ, ЧТО ОЦЕНКА РАВНА~$\log_2
n!+O(1)=n\log_2 n-n/(\ln 2)+O(\log n)$.

пУСТЬ~$\bar F(n)$---СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ
СОРТИРОВКИ ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ; ИМЕЕМ
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3  &  4 & 5 & 6 & 7 & 8 \cr
{\hbox{\sl нИЖНЯЯ ОЦЕНКА\/}}(33)=0 & 2 & 16 & 112 & 832 & 6896 & 62368 & 619904\cr
            \hfill n! \bar F(n) = 0& 2 & 16 & 112 & 832 & 6912 & 62784 & 623232\cr
}
$$
иТАК, СОРТИРОВКА ВСТАВКАМИ И СЛИЯНИЕМ ОПТИМАЛЬНА В ОБОИХ СМЫСЛАХ ПРИ~$n
\ge 5$, ОДНАКО ПРИ~$n=6$ ПРИ ТАКОМ МЕТОДЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В
СРЕДНЕМ~$6912/720=9.6$~СРАВНЕНИЯ ВМЕСТО ВОЗМОЖНЫХ, СОГЛАСНО НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ,
$6896/720=9.577777\ldots$~СРАВНЕНИЯ. нЕМНОГО ПОДУМАВ, НЕТРУДНО ПОНЯТЬ,
ПОЧЕМУ ЭТО ТАК: НЕКОТОРЫЕ "УДАЧНЫЕ" ПЕРЕСТАНОВКИ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
СОРТИРУЮТСЯ МЕТОДОМ ВСТАВОК И СЛИЯНИЙ ВСЕГО ЗА ВОСЕМЬ СРАВНЕНИЙ, И ТОГДА
ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НА ТРЕХ, А НЕ НА ДВУХ УРОВНЯХ. иЗ-ЗА
ЭТОГО УВЕЛИЧИВАЕТСЯ СУММАРНАЯ ДЛИНА ПУТИ. в УПР.~24 ПОКАЗАНО, ЧТО МОЖНО
ПОСТРОИТЬ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ, ТРЕБУЮЩУЮ ВСЕГДА ДЕВЯТЬ
ИЛИ ДЕСЯТЬ СРАВНЕНИЙ; СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
%%235
ЭТОТ МЕТОД ПРЕВОСХОДИТ МЕТОД ВСТАВОК И СЛИЯНИЙ В СРЕДНЕМ И НЕ
ХУЖЕ НЕГО В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ.

и.~сЕЗАРИ [thesis (Paris, 1968), Р.~37] ДОКАЗАЛ, ЧТО ПРИ~$n=7$ НЕ
СУЩЕСТВУЕТ МЕТОДА СОРТИРОВКИ, ПРИ КОТОРОМ БЫ ДОСТИГАЛАСЬ НИЖНЯЯ
ОЦЕНКА~62368 ДЛИНЫ ВНЕШНЕГО ПУТИ. (иСПОЛЬЗУЯ РЕЗУЛЬТАТ УПР.~22, ЭТОТ
ФАКТ МОЖНО ДОКАЗАТЬ ВРУЧНУЮ.) с ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ОН ПОСТРОИЛ ПРОЦЕДУРЫ,
ДЛЯ КОТОРЫХ ДОСТИГАЕТСЯ НИЖНЯЯ ОЦЕНКА~(33) ПРИ~$n=9$ ИЛИ~10. вООБЩЕ ЖЕ
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ СРЕДНЕГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ ГОРАЗДО СЛОЖНЕЕ НАХОЖДЕНИЯ
ФУНКЦИИ~$S(n)$. вПОЛНЕ ДАЖЕ ВОЗМОЖНО, ЧТО ПРИ НЕКОТОРЫХ~$n$ ВСЕ МЕТОДЫ,
МИНИМИЗИРУЮЩИЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ ТРЕБУЮТ
\emph{БОЛЕЕ}~$S(n)$ СРАВНЕНИЙ.

\excercises
\ex[20] нАРИСУЙТЕ ДЕРЕВЬЯ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ
ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОДАМИ (a)~БИНАРНЫХ ВСТАВОК; (b)~ПРОСТОГО ДВУХПУТЕВОГО СЛИЯНИЯ.
 кАКОВЫ ДЛИНЫ ВНЕШНИХ ПУТЕЙ ДЛЯ ЭТИХ ДЕРЕВЬЕВ?

\ex[м24] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$B(n)\le L(n)$, И НАЙДИТЕ ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ~$n$,
ПРИ КОТОРЫХ ИМЕЕТ МЕСТО РАВЕНСТВО.

\ex[м22] еСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТО ПРИ СОРТИРОВКЕ ТРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВОЗМОЖНЫ 13~ИСХОДОВ:
$$
\displaylines{
\matrix{
K_1=K_2=K_3, & K_1=K_2<K_3, & K_1=K_3<K_2, \cr
K_2=K_3<K_1, & K_1<K_2=K_3, & K_2<K_1=K_3, \cr
K_3<K_1=K_2, & K_1<K_2<K_3, & K_1<K_3<K_2, \cr
}\cr
\matrix{
K_2<K_1<K_3, & K_2<K_3<K_1, & K_3<K_1<K_2, & K_3<K_2<K_1.\cr
}\cr
}
$$
оБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$P_n$ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ,
 ЕСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТАК ЧТО
$(P_0, P_1, P_2, P_3, P_4, P_5,~\ldots)=(1, 1, 3, 13, 75, 541,~\dots)$.
дОКАЖИТЕ, ЧТО ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ~$P(z)=\sum_{n\ge 0} P_n z^n/n!$
РАВНА~$1/(2-e^z)$. \emph{уКАЗАНИЕ:} ПОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
P_n=\sum_{k>0} \perm{n}{k} P_{n-k} \rem{ПРИ $n>0$.}
$$

\ex[вм27] (о.~а.~гРОСС.) нАЙДИТЕ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ~$P_n$ ИЗ
УПР.~3 ПРИ~$n\to\infty$. [\emph{вОЗМОЖНОЕ УКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ ЧАСТИЧНОЕ
РАЗЛОЖЕНИЕ В ДРОБЬ~$\ctg z$.]

\ex[16] еСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ, ТО КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ МОЖЕТ ИМЕТЬ НЕ
ДВА, А ТРИ РЕЗУЛЬТАТА: $K_i<K_j$, $K_i=K_j$, $K_i>K_j$. в ЭТОЙ
ОБЩЕЙ СИТУАЦИИ АЛГОРИТМЫ СОРТИРОВКИ МОЖНО ПРЕДСТАВЛЯТЬ В ВИДЕ
РАСШИРЕННЫХ \emph{ТЕРНАРНЫХ} ДЕРЕВЬЕВ, В КОТОРЫХ КАЖДЫЙ ВНУТРЕННИЙ
УЗЕЛ~$i:j$ ИМЕЕТ ТРИ ПОДДЕРЕВА: ЛЕВОЕ, СРЕДНЕЕ И ПРАВОЕ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
ТРЕМ ВОЗМОЖНЫМ ИСХОДАМ СРАВНЕНИЯ.

нАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ
ДЛЯ~$n=3$, ЕСЛИ ДОПУСКАЮТСЯ РАВНЫЕ КЛЮЧИ. в ВАШЕМ ДЕРЕВЕ ДОЛЖНО БЫТЬ
13~ВНЕШНИХ УЗЛОВ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ 13~ВОЗМОЖНЫМ ИСХОДАМ, ПЕРЕЧИСЛЕННЫМ В УПР.~3.

\rex[м22] пУСТЬ~$S'(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ И ВЫЯВЛЕНИЯ ВСЕХ РАВЕНСТВ МЕЖДУ КЛЮЧАМИ,
ЕСЛИ КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ТРИ ВОЗМОЖНЫХ РЕЗУЛЬТАТА, КАК В УПР.~5.
нЕТРУДНО ОБОБЩИТЬ "ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЕ" РАССУЖДЕНИЕ, ПРИВЕДЕННОЕ В
ТЕКСТЕ,
%%236
И ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$S'(n)\ge \ceil{\log_3 P_n}$, ГДЕ~$P_n$---ФУНКЦИЯ, ИЗУЧЕННАЯ
В УПР.~3 И~4; ДОКАЖИТЕ, ЧТО НА САМОМ ДЕЛЕ~$S'(n)=S(n)$.

\ex[20] нАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО В СМЫСЛЕ УПР.~5
ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ
ЛИБО~0, ЛИБО~1. (тАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ~$K_1<K_2$ И~$K_3<K_4$, ТО ПОНЯТНО,
ЧТО~$K_1=K_3$ И~$K_2=K_4$!) дОБЕЙТЕСЬ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ В
СРЕДНЕМ, СЧИТАЯ, ЧТО ВСЕ $2^4$~ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДНЫХ ФАЙЛОВ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

\ex[26] нАРИСУЙТЕ РАСШИРЕННОЕ ТЕРНАРНОЕ ДЕРЕВО, КАК В УПР.~7, ДЛЯ
СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ
ЛИБО~$-1$, ЛИБО~0, ЛИБО~$+1$. дОБЕЙТЕСЬ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ В
СРЕДНЕМ, СЧИТАЯ, ЧТО ВСЕ $3^4$~ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДНЫХ ФАЙЛОВ РАВНОВЕРОЯТНЫ.

\ex[м20] кАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ
ПРИ СОРТИРОВКЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~7, КОГДА ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ
ЭЛЕМЕНТЫ РАВНЫ ЛИБО~0, ЛИБО~1?

\rex[м25] кАКОВО МИНИМАЛЬНОЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ПРИ СОРТИРОВКЕ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~7, КОГДА ИЗВЕСТНО, ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ РАВНЫ ЛИБО~0,
ЛИБО~1? рЕЗУЛЬТАТ ПРЕДСТАВЬТЕ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ОТ~$n$.

\ex[вм25] пУСТЬ~$S_m(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ В
НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, КАК В УПР.~5, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО,
 ЧТО ВСЕ КЛЮЧИ ПРИНАДЛЕЖАТ МНОЖЕСТВУ~$\set{1, 2,~\ldots, m}$. [тАКИМ
ОБРАЗОМ, СОГЛАСНО УПР.~6,  $S_n(n)=S(n)$.] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_m(n)$
СТРЕМИТСЯ К~$n\log_2 m$ ПРИ ФИКСИРОВАННОМ~$m$ И $n\to\infty$.

\rex[м25] (у.~г.~бУРИСИУС, ОКОЛО 1954~Г.) пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО РАВНЫЕ
КЛЮЧИ МОГУТ ВСТРЕЧАТЬСЯ, НО МЫ ХОТИМ ПРОСТО ОТСОРТИРОВАТЬ
ЭЛЕМЕНТЫ~$\set{K_1, K_2,~\ldots, K_n}$  ТАК, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ
ПЕРЕСТАНОВКУ~$a_1\ a_2~\ldots a_n$, ТАКУЮ,
ЧТО~$K_{a_1}\le K_{a_2} \le \ldots \le K_{a_n}$; НАМ НЕ ВАЖНО, ИМЕЕТ ЛИ
МЕСТО РАВЕНСТВО МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ~$K_{a_i}$ И~$K_{a_{i+1}}$.

бУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ \emph{СИЛЬНО} СОРТИРУЕТ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ, ЕСЛИ ОНО СОРТИРУЕТ ЭТУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ В
ВЫШЕУКАЗАННОМ СМЫСЛЕ, НЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, КАКОЙ ПУТЬ ВЫБИРАТЬ В
УЗЛАХ~$i:j$, ДЛЯ КОТОРЫХ~$K_i=K_j$. (дЕРЕВО БИНАРНОЕ, А НЕ ТЕРНАРНОЕ.)

\medskip
\item{a)}~дОКАЖИТЕ, ЧТО ДЕРЕВО, НЕ СОДЕРЖАЩЕЕ ИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ,
СИЛЬНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА ОНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ КЛЮЧЕЙ.

\item{b)}~дОКАЖИТЕ, ЧТО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ СИЛЬНО СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КЛЮЧЕЙ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНО СИЛЬНО
СОРТИРУЕТ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.
\medskip

\ex[м28] дОКАЖИТЕ УТВЕРЖДЕНИЕ~(17).

\ex[м24] вЫРАЗИТЕ СУММУ~(19) В "ЗАМКНУТОМ ВИДЕ".

\ex[м21] оПРЕДЕЛИТЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$B(n)$ И~$F(n)$ С
ТОЧНОСТЬЮ ДО~$O(\log n)$. [\emph{уКАЗАНИЕ:} ПОКАЖИТЕ, ЧТО В ОБОИХ СЛУЧАЯХ
КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ~$n$ СОДЕРЖИТ ФУНКЦИЮ, ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~37.]

\ex[вм26] (ф.~хУАН И ш.~лИНЬ.) дОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ~$n\ge22$
ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО~$F (n) > \ceil{\log_2 n!}$.

\ex[м20] дОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО~(29).

\ex[20] еСЛИ БЫ ПРОЦЕДУРА, НАЧАЛО КОТОРОЙ ИЗОБРАЖЕНО НА РИС.~36,
ПОРОДИЛА ГРАФ
\picture{p.236}
С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ~$12!/2^{29}$, ТО БЫЛО ЛИ БЫ ТЕМ САМЫМ ДОКАЗАНО,
ЧТО~$S(12) =29$?

\ex[40] пРОВЕДИТЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ СО СЛЕДУЮЩИМ ЭВРИСТИЧЕСКИМ ПРАВИЛОМ РЕШЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО ТОГО, КАКУЮ ПАРУ КЛЮЧЕЙ СРАВНИВАТЬ СЛЕДУЮЩЕЙ
ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ. пУСТЬ НА КАЖДОЙ СТАДИИ СОРТИРОВКИ
КЛЮЧЕЙ~$\set{K_1,~\ldots, K_n}$ ЧИСЛО КЛЮЧЕЙ, О КОТОРЫХ НА ОСНОВАНИИ
ВЫПОЛНЕННЫХ ДО СИХ ПОР СРАВНЕНИЙ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ~$\le K_i$, ОБОЗНАЧАЕТСЯ
ЧЕРЕЗ~$u_i$, А ЧИСЛО КЛЮЧЕЙ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ~$\ge K_i$,
ОБОЗНАЧАЕТСЯ ЧЕРЕЗ~$v_i$, $1\le i\le n$.

%%237
пЕРЕНУМЕРУЕМ КЛЮЧИ ТАК, ЧТОБЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$u_i/v_i$ СТАЛА ВОЗРАСТАЮЩЕЙ:
$u1/v_1 \le u_2/v_2 \le \ldots \le u_n/v_n$. тЕПЕРЬ СРАВНИМ~$K_i:K_{i+1}$,
ГДЕ~$i$---ИНДЕКС, МИНИМИЗИРУЮЩИЙ ВЫРАЖЕНИЕ~$\abs{u_iv_{i+1}-u_{i+1}v_i}$.
(хОТЯ ЭТОТ МЕТОД ИСПОЛЬЗУЕТ ГОРАЗДО МЕНЬШЕ ИНФОРМАЦИИ, ЧЕМ СОДЕРЖИТСЯ В
ПОЛНОЙ МАТРИЦЕ СРАВНЕНИЙ, ПОДОБНОЙ~(24), ОН, КАК ОКАЗЫВАЕТСЯ, ВО МНОГИХ
СЛУЧАЯХ ДАЕТ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.)

\rex[м26] дОКАЖИТЕ, ЧТО РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ
ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ ЧИСЛО~$l$,
 ЧТО ВСЕ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ НАХОДЯТСЯ НА УРОВНЯХ~$l$ И~$l+1$ (ИЛИ, БЫТЬ МОЖЕТ,
ТОЛЬКО НА УРОВНЕ~$l$).

\edef\exref{\the\excerno}
\ex[м21] \dfn{вЫСОТОЙ} РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА НАЗЫВАЕТСЯ
МАКСИМАЛЬНЫЙ НОМЕР УРОВНЯ, НА КОТОРОМ ЕСТЬ ВНЕШНИЕ УЗЛЫ.
пУСТЬ~$x$---ВНУТРЕННИЙ УЗЕЛ РАСШИРЕННОГО БИНАРНОГО ДЕРЕВА; ОБОЗНАЧИМ
ЧЕРЕЗ~$t(x)$ ЧИСЛО ВНЕШНИХ УЗЛОВ-ПОТОМКОВ УЗЛА~$x$, А ЧЕРЕЗ~$l(x)$ КОРЕНЬ
ЛЕВОГО ПОДДЕРЕВА УЗЛА~$x$. еСЛИ $x$---ВНЕШНИЙ УЗЕЛ, ТО ПОЛОЖИМ~$t(x)=1$.
дОКАЖИТЕ, ЧТО РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ ВЫСОТУ СРЕДИ
ВСЕХ БИНАРНЫХ ДЕРЕВЬЕВ С ТЕМ ЖЕ ЧИСЛОМ УЗЛОВ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ДЛЯ ВСЕХ ЕГО ВНУТРЕННИХ УЗЛОВ~$x$  ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x).
$$

\ex[м24] пРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~\exref. дОКАЖИТЕ, ЧТО БИНАРНОЕ ДЕРЕВО
ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ ДЛИНУ ВНЕШНЕГО ПУТИ СРЕДИ ВСЕХ БИНАРНЫХ ДЕРЕВЬЕВ С ТЕМ
ЖЕ ЧИСЛОМ УЗЛОВ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ВСЕХ ЕГО ВНУТРЕННИХ
УЗЛОВ~$x$ ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА
$$
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le 2^{\ceil{\log_2 t(x)}}-t(x) \hbox{ И }
\abs{t(x)-2t(l(x))}\le t(x)-2^{\floor{\log_2 t(x)}}.
$$
[тАК, НАПРИМЕР, ЕСЛИ~$t(x)=67$, ТО ДОЛЖНО БЫТЬ~$t(l(x))=32$, 33, 34
ИЛИ~35. еСЛИ НУЖНО ПРОСТО МИНИМИЗИРОВАТЬ ВЫСОТУ ДЕРЕВА, ТО, СОГЛАСНО
ПРЕДЫДУЩЕМУ УПРАЖНЕНИЮ, ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ~$3\le t(l(x))\le 64$.]

\ex[10] в ТЕКСТЕ ДОКАЗАНО [СМ.~ФОРМУЛУ~(34)], ЧТО СРЕДНЕЕ ЧИСЛО
СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЛЮБЫМ МЕТОДОМ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ МЕНЬШЕ~$\ceil{\log_2 n!}\approx n\log_2 n$. оДНАКО ПРИ СОРТИРОВКЕ
ВСТАВКАМИ В НЕСКОЛЬКО СПИСКОВ (АЛГОРИТМ~5.2.1м) ЗАТРАЧИВАЕТСЯ В СРЕДНЕМ
ВСЕГО $O(n)$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ. чЕМ ЭТО ОБЎЯСНЯЕТСЯ?

\ex[27] (к. пИКАР.) пОСТРОЙТЕ ТАКОЕ ДЕРЕВО СОРТИРОВКИ ДЛЯ ШЕСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ, ЧТОБЫ ВСЕ ЕГО ВНЕШНИЕ УЗЛЫ РАСПОЛАГАЛИСЬ НА УРОВНЯХ~10 И~11.

\ex[11] еСЛИ БЫ СУЩЕСТВОВАЛА ПРОЦЕДУРА СОРТИРОВКИ СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ,
НА КОТОРОЙ ДОСТИГАЛСЯ МИНИМУМ СРЕДНЕГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЯЕМЫЙ ПРИ
ПОМОЩИ ФОРМУЛЫ~(34), ТО СКОЛЬКО ВНЕШНИХ УЗЛОВ БЫЛО БЫ НА УРОВНЕ~13
СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ДЕРЕВА?

\ex[м42] нАЙДИТЕ ПРОЦЕДУРУ СОРТИРОВКИ ДЛЯ СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ, МИНИМИЗИРУЮЩУЮ
СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ВЫПОЛНЯЕМЫХ СРАВНЕНИЙ.

\rex[20] пУСТЬ ИЗВЕСТНО, ЧТО КОНФИГУРАЦИИ ($K_1<K_2<K_3$, $K_1<K_3<K_2$,
 $K_2<K_1<K_3$,  $K_2<K_3<K_1$,   $K_3<K_1<K_2$,  $K_3<K_2<K_1$)
ВСТРЕЧАЮТСЯ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ СООТВЕТСТВЕННО ($.01$, $.25$, $.01$, $.24$,
$.25$, $.24$). нАЙДИТЕ ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, КОТОРОЕ БЫ СОРТИРОВАЛО ТАКИЕ ТРИ
ЭЛЕМЕНТА С НАИМЕНЬШИМ СРЕДНИМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ.

\ex[40] нАПИШИТЕ MIX-ПРОГРАММУ, КОТОРАЯ СОРТИРУЕТ 5~ОДНОСЛОВНЫХ КЛЮЧЕЙ ЗА
МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОЕ ВРЕМЯ, ПОСЛЕ ЧЕГО ОСТАНАВЛИВАЕТСЯ. (сМ.~ОСНОВНЫЕ
ПРАВИЛА В НАЧАЛЕ~\S~5.2.)

\ex[м25] (с.~м.~чЭЙЗ.) пУСТЬ $a_1$ $a_2$~\dots $a_n$---ПЕРЕСТАНОВКА
МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЙ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ
РАСПОЗНАЕТ, ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ДАННАЯ ПЕРЕСТАНОВКА ЧЕТНОЙ ИЛИ НЕЧЕТНОЙ
(Т.~Е.~СОДЕРЖИТ ЛИ ОНА ЧЕТНОЕ ИЛИ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ИНВЕРСИЙ), И ОСНОВАННЫЙ
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО НА СРАВНЕНИЯХ ЭЛЕМЕНТОВ~$a$, ДОЛЖЕН ВЫПОЛНИТЬ НЕ МЕНЕЕ
$n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ, ХОТЯ ОН ИМЕЕТ ВСЕГО ДВА ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДА.
%%238

\ex[м23] \exhead(оПТИМАЛЬНАЯ ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА.) лЮБОЙ АЛГОРИТМ
ОБМЕННОЙ СОРТИРОВКИ В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ДАННОГО В П.~5.2.2, МОЖНО
ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ \dfn{ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ,} А ИМЕННО В ВИДЕ
СТРУКТУРЫ БИНАРНОГО ДЕРЕВА, ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ КОТОРОГО ИМЕЮТ
ВИД~$\elnode{i:j}$, ГДЕ~$i<j$, И ИНТЕРПРЕТИРУЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
"ЕСЛИ~$K_i\le K_j$, ТО ПРОДВИНУТЬСЯ ПО ЛЕВОЙ ВЕТВИ ДЕРЕВА; ЕСЛИ~$K_i>K_j$,
ТО ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ ЗАПИСИ~$i$ И~$j$ И ПРОДВИНУТЬСЯ ПО ПРАВОЙ
ВЕТВИ ДЕРЕВА"   пО ДОСТИЖЕНИИ ВНЕШНЕГО УЗЛА ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ
УСЛОВИЯ~$K_1\le K_2\le \ldots\le K_n$. тАКИМ ОБРАЗОМ, ДЕРЕВО
СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ ТЕМ, ЧТО ОНО ОПИСЫВАЕТ НЕ
ТОЛЬКО ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ, НО И ОПЕРАЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ДАННЫХ.

оБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$S_e(n)$ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ,
НЕОБХОДИМЫХ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ
ДЕРЕВА СРАВНЕНИЙ-ОБМЕНОВ. дОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_e(n)\le S(n)+n-1$.

\ex[м38] пРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~30. дОКАЖИТЕ, ЧТО~$S_e(5)=8$.

\ex[м42] пРОДОЛЖЕНИЕ УПР.~31. иССЛЕДУЙТЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S_e(n)$ ПРИ
МАЛЫХ~$n>5$.

\ex[M30] (т.~н.~хИББАРД.) \dfn{вЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНЫМ ДЕРЕВОМ ПОИСКА}
ПОРЯДКА~$x$ С РАЗРЕШЕНИЕМ~$\delta$ НАЗЫВАЕТСЯ РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО,
КАЖДЫЙ УЗЕЛ КОТОРОГО СОДЕРЖИТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ,
ТАКОЕ, ЧТО (i)~ЗНАЧЕНИЕ В ЛЮБОМ ВНЕШНЕМ УЗЛЕ~$\le \delta$; (ii)~ЗНАЧЕНИЕ
В ЛЮБОМ ВНУТРЕННЕМ УЗЛЕ~$\le $ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ ЕГО СЫНОВЕЙ;
(iii)~ЗНАЧЕНИЕ В КОРНЕ РАВНО~$x$. \dfn{дЛИНА ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ} ТАКОГО
ДЕРЕВА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ КАК СУММА ПО ВСЕМ ВНЕШНИМ УЗЛАМ НОМЕРОВ УРОВНЕЙ ЭТИХ
УЗЛОВ, УМНОЖЕННЫХ НА СОДЕРЖАЩИЕСЯ В НИХ ЗНАЧЕНИЯ.

дОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНОЕ ДЕРЕВО ПОИСКА ПОРЯДКА~$x$ С
РАЗРЕШЕНИЕМ~1 ИМЕЕТ МИНИМАЛЬНУЮ СРЕДИ ВСЕХ ТАКИХ ДЕРЕВЬЕВ ТОГО ЖЕ
ПОРЯДКА И С ТЕМ ЖЕ РАЗРЕШЕНИЕМ ДЛИНУ ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
 КОГДА В~(ii) ИМЕЕТ МЕСТО РАВЕНСТВО И ДЛЯ ВСЕХ ПАР ЗНАЧЕНИЙ~$x_0$ И~$x_1$,
ПРИНАДЛЕЖАЩИХ УЗЛАМ-БРАТЬЯМ, ВЫПОЛНЯЮТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ УСЛОВИЯ: (iv)~НЕ
СУЩЕСТВУЕТ ЦЕЛОГО ЧИСЛА~$k\ge 0$, ТАКОГО, ЧТО~$x_0<2^k<x_1$
ИЛИ~$x_1 < 2^k < x_0$; (v)~$\ceil{x_0}-x_0+\ceil{x_1}-x_1<1$.
(в ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ
$x$---ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, ТО ИЗ УСЛОВИЯ~(v) СЛЕДУЕТ, ЧТО ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ В
ДЕРЕВЕ---ЦЕЛЫЕ, А УСЛОВИЕ~(iv) ЭКВИВАЛЕНТНО РЕЗУЛЬТАТУ УПР.~22.)

дОКАЖИТЕ ТАКЖЕ, ЧТО СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ДЛИНА ВЗВЕШЕННОГО ПУТИ
РАВНА~$x\ceil{\log_2 x}+\ceil{x}-2^{\ceil{\log_2 x}}$.

\ex[м50] оПРЕДЕЛИТЕ ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ~$S(n)$ ДЛЯ
БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА АРГУМЕНТОВ~$n$.

\subsubchap{*сЛИЯНИЕ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ}%%5.3.2
рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ ВОПРОС, ИМЕЮЩИЙ ОТНОШЕНИЕ К ПРЕДЫДУЩЕМУ ПУНКТУ: КАКОВ
НАИЛУЧШИЙ СПОСОБ СЛИЯНИЯ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С
УПОРЯДОЧЕННЫМ МНОЖЕСТВОМ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ? оБОЗНАЧИМ ЭЛЕМЕНТЫ СЛИВАЕМЫХ
МНОЖЕСТВ ЧЕРЕЗ
$$
\eqalignno{
A_1 &< A_2 < \ldots < A_m, \cr
B_1 &< B_2 < \ldots < B_n. & (1) \cr
}
$$
кАК И В П.~5.3.1, БУДЕМ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ВСЕ $m+n$~ЭЛЕМЕНТОВ РАЗЛИЧНЫ.
эЛЕМЕНТЫ~$A$ СРЕДИ ЭЛЕМЕНТОВ~$B$ МОГУТ РАСПОЛАГАТЬСЯ
$\perm{m+n}{m}$~СПОСОБАМИ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, ИЗ РАССУЖДЕНИЯ, КОТОРЫМ МЫ %%239
ВОСПОЛЬЗОВАЛИСЬ В ЗАДАЧЕ О СОРТИРОВКЕ, СЛЕДУЕТ, ЧТО НЕОБХОДИМО ВЫПОЛНИТЬ
ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$$
\ceil{\log_2 \perm{m+n}{m}}
\eqno(2)
$$
СРАВНЕНИЙ. еСЛИ ПОЛОЖИТЬ~$m=\alpha n$ И УСТРЕМИТЬ~$n$ К~$\infty$,
ОСТАВИВ~$\alpha$ НЕИЗМЕННЫМ, ТО ПО ФОРМУЛЕ сТИРЛИНГА
$$
\log_2 \perm{\alpha n+n}{\alpha n}= n \left((1+\alpha)\log_2 (1+\alpha)
-\alpha\log_2\alpha\right)-{1\over2}\log_2 n+O(1).
\eqno(3)
$$
оБЫЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СЛИЯНИЯ (АЛГОРИТМ~5.2.4м) ВЫПОЛНЯЕТ В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ $m+n-1$~СРАВНЕНИЙ.

оБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$M(m, n)$ ФУНКЦИЮ, АНАЛОГИЧНУЮ~$S(n)$, А ИМЕННО
МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ЗАВЕДОМО ДОСТАТОЧНОЕ ДЛЯ СЛИЯНИЯ
$m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ. иЗ ТОЛЬКО ЧТО СДЕЛАННОГО НАБЛЮДЕНИЯ
СЛЕДУЕТ, ЧТО
$$
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}\le M(m,n)\le m+n-1  \rem{ПРИ ВСЕХ $m, n\ge1$.}
\eqno(4)
$$
фОРМУЛА~(3) ПОКАЗЫВАЕТ, НАСКОЛЬКО ДАЛЕКО МОГУТ ОТСТОЯТЬ ДРУГ ОТ ДРУГА
НИЖНЯЯ И ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКИ. пРИ~$\alpha=1$ (Т.~Е.~$m=n$)
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАВНА~$2n-{1\over 2}\log_2 n+O(1)$, ТАК ЧТО ОБЕ
ОЦЕНКИ---ВЕЛИЧИНЫ ОДНОГО ПОРЯДКА, НО РАЗНОСТЬ МЕЖДУ НИМИ МОЖЕТ БЫТЬ СКОЛЬ
УГОДНО ВЕЛИКА. пРИ~$\alpha=0.5$ $\left(\hbox{Т.~Е.~$m={1\over2}n$}\right)$
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА РАВНА
$$
{3\over2}n \left(\log_2 3 -{2\over3}\right)+O(\log n),
$$
ЧТО СОСТАВЛЯЕТ ПРИМЕРНО~$\log_2 3-{2\over3}\approx 0.918$ ОТ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ.
с УБЫВАНИЕМ~$\alpha$ РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКАМИ
ВСЕ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ, ПОСКОЛЬКУ СТАНДАРТНЫЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ РАЗРАБОТАН
ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ДЛЯ ФАЙЛОВ С~$m\approx n$.

пРИ~$m=n$ ЗАДАЧА О СЛИЯНИИ ИМЕЕТ ВЕСЬМА ПРОСТОЕ РЕШЕНИЕ;
НЕВЕРНОЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ ВЕРХНЯЯ, А \emph{НИЖНЯЯ} ОЦЕНКА~(4). сЛЕДУЮЩУЮ
ТЕОРЕМУ НЕЗАВИСИМО ДОКАЗАЛИ р.~л.~гРЭХЕМ И~р.~м.~кАРП ПРИМЕРНО В 1968~Г.

\proclaim тЕОРЕМА~M. пРИ~$m\ge 1$ СПРАВЕДЛИВО РАВЕНСТВО~$M(m,m)=2m-1$.

\proof рАССМОТРИМ КАКОЙ-НИБУДЬ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ОСУЩЕСТВЛЯЕТ СЛИЯНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A_1<\ldots<A_m$ С~$B_1<\ldots<B_m$. пРИ СРАВНЕНИИ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A_i:B_j$ ВЫБЕРЕМ ВЕТВЬ~$A_i<B_j$, ЕСЛИ~$i<j$, И ВЕТВЬ~$A_i>B_j$,
 ЕСЛИ~$i\ge j$. сЛИЯНИЕ ДОЛЖНО ЗАВЕРШИТЬСЯ
%%240
КОНФИГУРАЦИЕЙ
$$
B_1<A_1<B_2<A_2<\ldots<B_m<A_m,
\eqno(5)
$$
ПОСКОЛЬКУ ОНА СОГЛАСУЕТСЯ СО ВСЕМИ ВЫБРАННЫМИ ВЕТВЯМИ. и КАЖДОЕ ИЗ
$2m-1$~СРАВНЕНИЙ $B_1:A_1$, $A_1:B_2$, $B_2:A_2$,~\dots, $B_m:A_m$ ДОЛЖНО
БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО ЯВНО, ИНАЧЕ НАШЛИСЬ БЫ ПО МЕНЬШЕЙ МЕРЕ ДВЕ КОНФИГУРАЦИИ, НЕ
ПРОТИВОРЕЧАЩИЕ ИЗВЕСТНЫМ ФАКТАМ. еСЛИ БЫ МЫ, НАПРИМЕР, НЕ СРАВНИЛИ~$A_1$
С~$B_2$, ТО КОНФИГУРАЦИЯ
$$
B_1<B_2<A_1<A_2<\ldots<B_m<A_m
$$
БЫЛА БЫ НЕОТЛИЧИМА ОТ~(5).
\proofend

пРОСТАЯ МОДИФИКАЦИЯ ЭТОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ДАЕТ АНАЛОГИЧНУЮ ФОРМУЛУ
$$
M(m, m+1)=2m \rem{ПРИ $m\ge 0$.}
\eqno  (6)
$$

\section нАХОЖДЕНИЕ НИЖНИХ ОЦЕНОК. тЕОРЕМА~M ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
"ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННАЯ" НИЖНЯЯ ОЦЕНКА~(2) МОЖЕТ СКОЛЬ УГОДНО ДАЛЕКО
ОТСТОЯТЬ ОТ ИСТИННОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТЕОРЕМЫ~M ДАЕТ НАМ ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ НИЖНИХ ОЦЕНОК. тАКОЙ МЕТОД
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЧАСТО РАССМАТРИВАЕТСЯ КАК ПОРОЖДЕНИЕ \dfn{ДЬЯВОЛА,} НЕКОЕГО
ЗЛОГО ДУХА, КОТОРЫЙ ПЫТАЕТСЯ ПРИНУДИТЬ АЛГОРИТМ РАБОТАТЬ КАК МОЖНО
МЕДЛЕННЕЕ. кОГДА АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ РЕШАЕТ СРАВНИТЬ ЭЛЕМЕНТЫ~$A_i:B_j$,
ДЬЯВОЛ ТАК ОПРЕДЕЛЯЕТ СУДЬБУ СРАВНЕНИЯ, ЧТО ВЫНУЖДАЕТ АЛГОРИТМ ИЗБРАТЬ
НАИБОЛЕЕ ТРУДНЫЙ ПУТЬ. еСЛИ БЫ МЫ СМОГЛИ ПРИДУМАТЬ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА, ТО
СМОГЛИ БЫ УБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО ВСЯКИЙ ПРАВИЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ ДОЛЖЕН
ВЫПОЛНИТЬ ДОВОЛЬНО МНОГО СРАВНЕНИЙ. (нЕКОТОРЫЕ НАЗЫВАЮТ ЕГО НЕ ДЬЯВОЛОМ,
А "ОРАКУЛОМ" ИЛИ "ДЕМОНОМ"; ОДНАКО ЖЕЛАТЕЛЬНО ИЗБЕГАТЬ ТАКИХ ТЕРМИНОВ В
ЭТОМ КОНТЕКСТЕ, ПОСКОЛЬКУ СЛОВО "ОРАКУЛ" ИМЕЕТ СОВСЕМ ДРУГОЕ ЗНАЧЕНИЕ В
ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ, А СЛОВО "ДЕМОН" УПОТРЕБЛЯЕТСЯ В ДРУГОМ СМЫСЛЕ
В ТЕРМИНОЛОГИИ, СВЯЗАННОЙ С ИСКУССТВЕННЫМ ИНТЕЛЛЕКТОМ.)

мЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ \dfn{ДЬЯВОЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ,}
ПРОИЗВОЛ КОТОРЫХ ЛИМИТИРОВАН ЗАРАНЕЕ ЗАДАННЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ НЕКОТОРЫХ
СРАВНЕНИЙ. в МЕТОДЕ СЛИЯНИЯ, НАХОДЯЩЕМСЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДЬЯВОЛА С
ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ, ОГРАНИЧЕНИЯ СЧИТАЮТСЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ И ПОЭТОМУ
ВЫПОЛНЯЮТСЯ ВСЕ НЕОБХОДИМЫЕ СРАВНЕНИЯ ДАЖЕ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ИХ
РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДОПРЕДЕЛЕНЫ. нАПРИМЕР, В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~M МЫ
ОГРАНИЧИЛИ ВСЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЙ УСЛОВИЕМ~(5), ТЕМ НЕ МЕНЕЕ В АЛГОРИТМЕ
СЛИЯНИЯ НЕЛЬЗЯ ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ЭТИМ ОБСТОЯТЕЛЬСТВОМ, ЧТОБЫ ИЗБЕЖАТЬ ХОТЯ
БЫ ОДНОГО СРАВНЕНИЯ.

оГРАНИЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ В СЛЕДУЮЩЕМ ОБСУЖДЕНИИ,
ОТНОСЯТСЯ К ЛЕВОМУ И ПРАВОМУ КОНЦАМ ФАЙЛОВ. лЕВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБОЗНАЧАЮТСЯ
СИМВОЛАМИ
%%241
{\narrower
\item{$\cdot$}~(НЕТ ОГРАНИЧЕНИЯ СЛЕВА),

\item{$\backslash$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_1< B_1$),

\item{$/$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ УСЛОВИЮ~$A_1>B_1$).
\smallskip
}
\noindent пРАВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ОБОЗНАЧАЮТСЯ СИМВОЛАМИ

{\narrower
\item{$\cdot$}~(НЕТ ОГРАНИЧЕНИЯ СПРАВА),

\item{$\backslash$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_m<B_n$),

\item{$/$}~(РЕЗУЛЬТАТЫ ВСЕХ СРАВНЕНИЙ НЕ ДОЛЖНЫ ПРОТИВОРЕЧИТЬ
УСЛОВИЮ~$A_m>B_n$).
\medskip
}

\noindent сУЩЕСТВУЕТ ДЕВЯТЬ ТИПОВ ДЬЯВОЛОВ, ОБОЗНАЧАЕМЫХ
СИМВОЛАМИ~$\nabla M\phi$, ГДЕ~$\nabla$---ЛЕВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ, А~$\phi$---ПРАВОЕ.
нАПРИМЕР, ДЬЯВОЛ~"$\backslash M \backslash$" ДОЛЖЕН ГОВОРИТЬ,
ЧТО~$A_1<B_j$ И~$A_i<B_n$; ДЬЯВОЛ~"$.M.$" НЕ ПОДЧИНЯЕТСЯ НИКАКИМ
ОГРАНИЧЕНИЯМ. пРИ НЕКОТОРЫХ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ~$m$ И~$n$ ДЬЯВОЛЫ С
ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ МОГУТ НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ;
ПРИ~$m=1$, ОЧЕВИДНО, НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ДЬЯВОЛА~"$\backslash M /$".

зАЙМЕМСЯ ТЕПЕРЬ ПОСТРОЕНИЕМ ВЕСЬМА СЛОЖНОГО, НО ЧРЕЗВЫЧАЙНО КОВАРНОГО
ДЬЯВОЛА ДЛЯ СЛИЯНИЙ. оН НЕ ВСЕГДА ПОРОЖДАЕТ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, НО
ДАЕТ НИЖНИЕ ОЦЕНКИ, КОТОРЫЕ ОХВАТЫВАЮТ МНОЖЕСТВО ИНТЕРЕСНЫХ СЛУЧАЕВ.
пРЕДПОЛОЖИМ, ЗАДАНЫ~$m$ И~$n$, А ТАКЖЕ ЛЕВЫЕ И ПРАВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ~$\nabla$
И~$\phi$, И ПУСТЬ ДЬЯВОЛА СПРАШИВАЮТ, КОТОРЫЙ ИЗ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ~$A_i$
И~$B_j$ БОЛЬШЕ. дЬЯВОЛ МОЖЕТ, ВООБЩЕ ГОВОРЯ, ПРИМЕНИТЬ ШЕСТЬ СТРАТЕГИЙ
СВЕДЕНИЯ ЗАДАЧИ К СЛУЧАЮ МЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ~$m+n$:

{\medskip\narrower
{\sl сТРАТЕГИЯ~$A(k, l)$ ДЛЯ~$i\le k \le m$ И~$1\le l \le j$.\/} оТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
И~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$. тОГДА
ПОСЛЕДУЮЩИЕ СРАВНЕНИЯ~$A_p:B_q$ ДАДУТ РЕЗУЛЬТАТЫ: $A_p<B_q$, ЕСЛИ~$p\le k$
И~$q\ge l$, И~$A_p>B_q$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q<l$; ОНИ БУДУТ УПРАВЛЯТЬСЯ
ДЬЯВОЛОМ~$(k, l-1, \nabla, .)$, ЕСЛИ~$p\le k$ И~$q<l$, И
ДЬЯВОЛОМ~$(m-k, n+1-l,., \phi)$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\ge l$.

{\sl сТРАТЕГИЯ~$B(k, l)$ ДЛЯ~$i\le k \le m$ И~$1\le l < j$\/}. оТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_{k+1},~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$A_k<B_l<A_{k+1}$. (зАМЕТИМ, ЧТО~$B_l$ УЧАСТВУЕТ В ОБОИХ СПИСКАХ,
ПОДЛЕЖАЩИХ СЛИЯНИЮ. уСЛОВИЕ~$A_k<B_l<A_{k+1}$ ОБЕСПЕЧИВАЕТ ТАКОЕ ПОЛОЖЕНИЕ,
 ПРИ КОТОРОМ СЛИЯНИЕ ОДНОЙ ПАРЫ ФАЙЛОВ НЕ МОЖЕТ ДАТЬ НИКАКОЙ ИНФОРМАЦИИ,
КОТОРАЯ БЫ ПОМОГЛА ПРИ СЛИЯНИИ ДРУГОЙ ПАРЫ.) тОГДА ПОСЛЕДУЮЩИЕ
СРАВНЕНИЯ~$A_p:B_q$ ДАДУТ РЕЗУЛЬТАТЫ: $A_p<B_q$,
ЕСЛИ~$p\le k$
%%242
И~$q\ge l$, И~$A_p>B_q$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\le l$; ОНИ БУДУТ
УПРАВЛЯТЬСЯ ДЬЯВОЛОМ~$(k, l, \nabla, \backslash)$, ЕСЛИ~$p\le k$ И~$q\le
l$, И
ДЬЯВОЛОМ~$(m-k, n+1-l, /, \phi)$, ЕСЛИ~$p>k$ И~$q\le l$.

{\sl сТРАТЕГИЯ~$C(k, l)$ ДЛЯ~$i<k\le m$ И~$1\le l \le j$.\/} оТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i<B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_{l-1}}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$B_{l-1}<A_k<B_l$. (аНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~B, НО ФАЙЛЫ~$A$ И~$B$
МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ.)

{\sl сТРАТЕГИЯ~$A'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j\le l \le n$.\/} оТВЕТИТЬ,
 ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$.
(аНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~A.)

{\sl сТРАТЕГИЯ~$B'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j<l\le n$.\/} оТВЕТИТЬ,
ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_{k-1}}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_l,~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$A_{k-1}<B_l<A_k$. (аНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~B.)

{\sl сТРАТЕГИЯ~$C'(k, l)$ ДЛЯ~$1\le k \le i$ И~$j\le l \le n$.\/} оТВЕТИТЬ,
 ЧТО~$A_i>B_j$, И ПОТРЕБОВАТЬ, ЧТОБЫ ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ ОСУЩЕСТВЛЯЛИ
СЛИЯНИЯ~$\set{A_1,~\ldots, A_k}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_l}$
И~$\set{A_k, ~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_{l+1},~\ldots, B_n}$ ПРИ
УСЛОВИИ~$B_l<A_k<B_{l+1}$. (аНАЛОГИЧНО СТРАТЕГИИ~C.)
\medskip}

иЗ-ЗА НАЛАГАЕМЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ СТРАТЕГИИ НЕ МОГУТ
ПРИМЕНЯТЬСЯ В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ, КОТОРЫЕ МЫ ЗДЕСЬ ПРИВОДИМ:
\ctable{
\bskip\hfill$#$\hfill\bskip&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
\hbox{сТРАТЕГИЯ} & \hbox{нЕ ДОЛЖНА ПРИМЕНЯТЬСЯ, ЕСЛИ}\cr
A(k, 1), B(k, 1), C(k, 1) &     \nabla=/ \cr
A'(1,l), B'(1,l), C'(1,l) &  \nabla=\backslash \cr
A(m, l), B(m, l), C(m, l) &\phi=/ \cr
A'(k, n), B'(k, n), C'(k, n) & \phi= \backslash \cr
}

оБОЗНАЧИМ ЧЕРЕЗ~$\nabla M \phi(m, n)$ МАКСИМАЛЬНУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ, КОТОРУЮ
МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ПРИ ПОМОЩИ ДЬЯВОЛА ИЗ ОПИСАННОГО ВЫШЕ КЛАССА. еСЛИ ПЕРВОЕ
СРАВНЕНИЕ ЕСТЬ~$A_i:B_j$, ТО КАЖДАЯ  СТРАТЕГИЯ, ЕСЛИ ОНА ПРИМЕНИМА, ДАЕТ
НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ
%%243
ЭТИ ДЕВЯТЬ ФУНКЦИЙ, А ИМЕННО
$$
\eqalign{
A(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k, l-1) +.M\phi(m-k, n+1-l);\cr
B(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k, l)+/M\phi(m-k, n+1-l);\cr
C(k, l): & \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k,l-1)+\backslash M\phi(m+1-k, n+1-l);\cr
A'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M.(k-1, l)+.M\phi(m+1-k, n-l);\cr
B'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M\backslash(k-1, l)+/M\phi(m+1-k,n+1-l);\cr
C'(k, l):& \;\nabla M\phi(m,n)\ge1+\nabla M/(k, l)+\backslash M\phi(m+1-k, n-l).\cr
}
$$
пРИ ФИКСИРОВАННЫХ~$i$ И~$j$ ДЬЯВОЛ ПРИМЕТ ТУ СТРАТЕГИЮ,
КОТОРАЯ МАКСИМИЗИРУЕТ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ, ЗАДАВАЕМУЮ ПРАВЫМИ
ЧАСТЯМИ НЕРАВЕНСТВ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $\nabla M_\phi(m, n)$~ЕСТЬ МИНИМУМ ЭТИХ
НИЖНИХ ОЦЕНОК ПО ВСЕМ~$1\le i\le m$ И~$1\le j \le n$. еСЛИ~$m$ ИЛИ~$n$
РАВНЫ НУЛЮ, ТО И ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ~$\nabla M_\phi(m, n)$ РАВНО~0.

пУСТЬ, НАПРИМЕР, $m=2$ И~$n=3$, А НАШ ДЬЯВОЛ НЕ ОГРАНИЧЕН. еСЛИ ПЕРВЫМ
ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_1$, ТО ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ПРИНЯТЬ СТРАТЕГИЮ~$A'(1,
1)$, В РЕЗУЛЬТАТЕ ЧЕГО ПОТРЕБУЮТСЯ ЕЩЕ $.M.(0, 1)+.M.(2, 2)=3$~СРАВНЕНИЯ.
еСЛИ ПЕРВЫМ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_3$, ТО ОН МОЖЕТ ВЫБРАТЬ
СТРАТЕГИЮ~$B(1, 2)$, ТОГДА ПОТРЕБУЮТСЯ ЕЩЕ~$.M\backslash(1, 2)+/M.(1,
2)=4$~СРАВНЕНИЯ. нЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, КАКОВО БЫЛО ПЕРВОЕ СРАВНЕНИЕ,
ДЬЯВОЛ ГАРАНТИРУЕТ ВЫПОЛНЕНИЕ ЕЩЕ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ 3~СРАВНЕНИЙ.
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, $.M.(2, 3)=4$.

нЕ ТАК ПРОСТО ВЫПОЛНИТЬ ЭТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВРУЧНУЮ, НО ПРИ ПОМОЩИ эвм МОЖНО
ДОВОЛЬНО БЫСТРО ПОЛУЧИТЬ ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ~$\nabla M\phi$. эТИ ФУНКЦИИ
ОБЛАДАЮТ НЕКОТОРЫМИ ОЧЕВИДНЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ
$$
/M.(m, n)=.M\backslash(m, n)=\backslash M.(n, m)=.M/(n, m),
\eqno (7)
$$
ПОЗВОЛЯЮЩИМИ СВЕСТИ НАШИ ДЕВЯТЬ ФУНКЦИЙ ВСЕГО ЛИШЬ К ЧЕТЫРЕМ:
$$
.M.(m, n), \quad  /M.(m, n), \quad  /M\backslash (m, n)\hbox{ И }/M/(m, n).
$$
в ТАБЛ.~1 ПРИВЕДЕНЫ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ВСЕХ~$m, n \le 10$. нАШ ДЬЯВОЛ ДЛЯ
СЛИЯНИЙ ОПРЕДЕЛЕН ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТО
$$
.M.(m, n)\le M(m, n)\rem{ ПРИ ВСЕХ $m, n\ge 0$.}
\eqno  (8)
$$
эТО СООТНОШЕНИЕ СОДЕРЖИТ В КАЧЕСТВЕ ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ ТЕОРЕМУ~M, ПОСКОЛЬКУ
ПРИ~$\abs{m-n}\le 1$ НАШ ДЬЯВОЛ ИЗБЕРЕТ ПРОСТУЮ СТРАТЕГИЮ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ.

%%244
\htable{тАБЛИЦА 1}%
{нИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛИЯНИЙ, ВЫПОЛНЕННЫХ ПРИ УЧАСТИИ "ДЬЯВОЛА"}
{\strut\hfill$#$&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
  &\multispan{10}\hfill$.M.(m,n)$\hfill     &   & \multispan{10}\hfill$/M.(m,n)$\hfill\cr
  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\cr
\noalign{\hrule}
 1& 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 1\cr
 2& 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 6 & 7 & 7 & & 1 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 2\cr
 3& 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & & 1 & 3 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 3\cr
 4& 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &10 &11 &11 & & 1 & 4 & 5 & 7 & 8 & 9 & 9 &10 &10 &11 & 4\cr
 5& 3 & 5 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & & 1 & 4 & 6 & 8 & 9 &10 &11 &12 &12 &13 & 5\cr
 6& 3 & 6 & 7 & 9 &10 &11 &12 &13 &14 &15 & & 1 & 4 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &14 & 6\cr
 7& 3 & 6 & 8 &10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 & & 1 & 4 & 7 & 9 &10 &12 &13 &14 &15 &16 & 7\cr
 8& 4 & 6 & 8 &10 &12 &13 &14 &15 &16 &17 & & 1 & 5 & 7 & 9 &11 &13 &14 &15 &16 &17 & 8\cr
 9& 4 & 7 & 9 &11 &12 &14 &15 &16 &17 &18 & & 1 & 5 & 8 &10 &11 &13 &15 &16 &17 &18 & 9\cr
10& 4 & 7 & 9 &11 &13 &15 &16 &17 &18 &19 & & 1 & 5 & 8 &10 &12 &14 &15 &17 &18 &19 &10\cr
\noalign{\smallskip}
m &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &m \cr
\noalign{\smallskip}
&\multispan{10}\hfill$/M\backslash(m,n)$\hfill& &\multispan{10}\hfill$/M/(m,n)$\hfill\cr
 1&-\infty& 2& 2& 3& 3& 3& 3& 4& 4& 4& & 1 & 1 & 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\cr
 2&-\infty& 2& 4& 4& 5& 5& 6& 6& 7& 7& & 1 & 3 & 3& 4& 4& 4& 4& 5& 5  5& 2\cr
 3&-\infty& 2& 4& 6& 6& 7& 8& 8& 8& 9& & 1 & 3 & 5& 5& 6& 6& 7& 7& 8& 8& 3\cr
 4&-\infty& 2& 5& 6& 8& 8& 9&10&10&11& & 1 & 4 & 5& 7& 7& 8& 9& 9& 9&10& 4\cr
 5&-\infty& 2& 5& 7& 8&10&10&11&12&13& & 1 & 4 & 6& 7& 9& 9&10&11&11&12& 5\cr
 6&-\infty& 2& 5& 7& 9&10&12&13&14&14& & 1 & 4 & 6& 8& 9&11&11&12&13&14& 6\cr
 7&-\infty& 2& 5& 8&10&11&12&14&15&16& & 1 & 4 & 7& 9&10&11&13&14&15&15& 7\cr
 8&-\infty& 2& 6& 8&10&12&13&15&16&17& & 1 & 5 & 7& 9&11&12&14&15&16&17& 8\cr
 9&-\infty& 2& 6& 9&10&12&14&16&17&18& & 1 & 5 & 8& 9&11&13&15&16&17&18& 9\cr
10&-\infty& 2& 6& 9&11&13&15&16&18&19& & 1 & 5 & 8&10&12&14&15&17&18&19&10\cr
\noalign{\hrule}
  &      1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10&n& 1 & 2 & 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10\cr
}

рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ СООТНОШЕНИЙ, КОТОРЫМ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ФУНКЦИЯ~$M$:
$$
\eqalignno{
M(m, n) &=   M(n,m), &  (9)\cr
M(m, n) &\le M(m, n+1),& (10)\cr
M(k+m,n)&\le M(k,n)+M(m, n), & (11)\cr
M(m, n) &\le \max(M(m,n-1)+1, M(m-1, n)+1),& (12)\cr
M(m, ni)&\le \max(M(m, n-2)+1, M(m-1, n)+2) \rem{ПРИ $m\ge1$, $n\le2$.} & (13)\cr
}
$$
сООТНОШЕНИЕ~(12) СЛЕДУЕТ ИЗ ОБЫЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ СЛИЯНИЯ, ЕСЛИ НАЧАТЬ СО
СРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ~$A_1:B_1$. сООТНОШЕНИЕ~(13) ВЫВОДИТСЯ АНАЛОГИЧНО,
ТОЛЬКО В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ СРАВНИВАЮТСЯ~$A_1:B_2$; ЕСЛИ~$A_1>B_2$, ТО НУЖНО
ЕЩЕ $M(m, n-2)$~СРАВНЕНИЙ, ЕСЛИ ЖЕ~$A_1<B_2$, ТО МОЖНО ВСТАВИТЬ~$A_1$ В
СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО И
СЛИТЬ~$\set{A_2,~\ldots, A_m}$ С~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$. нЕТРУДНО ВИДЕТЬ,
 ЧТО НЕРАВЕНСТВА ~(12) И~(13) МОЖНО ОБОБЩИТЬ:
$$
M(m,n)\le\max(M(m,n-k)+1,\quad M(m-1, n)+1+\ceil{\log_2 k})
\rem{ПРИ $m\ge 1$, $n\ge k$,}
\eqno(14)
$$
%% 245
ВЫПОЛНИВ СНАЧАЛА СРАВНЕНИЕ~$A_1:B_k$, И ПРИМЕНИВ БИНАРНЫЙ ПОИСК В
СЛУЧАЕ~$A_1<B_k$.

оКАЗЫВАЕТСЯ, $M(m, n)=.M.(m, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m, n \le 10$, ТАК ЧТО В ТАБЛ.~1
В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРИВЕДЕНЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СЛИЯНИЙ. эТО МОЖНО
ДОКАЗАТЬ, ПРИМЕНЯЯ СООТНОШЕНИЯ~(9)--(14), А ТАКЖЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
ДЛЯ~$(m, n)= (2, 8)$, $(3, 6)$ И~$(5, 9)$, КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТСЯ В УПР.~8, 9 И~10.

с ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ТАКОЙ ДЬЯВОЛ НЕ ВСЕГДА ДАЕТ НАИЛУЧШУЮ ВОЗМОЖНУЮ НИЖНЮЮ
ОЦЕНКУ; ПРОСТЕЙШИЙ ПРИМЕР: $m=3$, $n=11$, КОГДА~$.M.(3, 11)=9$,
А~$M(3, 11)=10$. чТОБЫ ПОНЯТЬ, ГДЕ ЖЕ В ЭТОМ СЛУЧАЕ НАШ ДЬЯВОЛ "ПРОМАХНУЛСЯ",
НУЖНО ИЗУЧИТЬ МОТИВЫ, НА КОТОРЫХ ОСНОВАНЫ ЕГО РЕШЕНИЯ; ПРИ ДАЛЬНЕЙШЕМ
ТЩАТЕЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ, ЧТО ЕСЛИ~$(i, j)\ne (2, 6)$, ТО
ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ОТЫСКАТЬ СТРАТЕГИИ, ТРЕБУЮЩИЕ 10~СРАВНЕНИЙ;
ЕСЛИ ЖЕ~$(i, j)=(2, 6)$, ТО НИ ОДНА СТРАТЕГИЯ НЕ
ПРЕВОСХОДИТ СТРАТЕГИИ~$A(2, 4)$, КОТОРАЯ  ПРИВОДИТ К НИЖНЕЙ
ОЦЕНКЕ~$1+.M.(2, 3)+.M.(1, 8)=9$. нЕОБХОДИМО, НО НЕ ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ
ПРОЦЕСС ЗАКАНЧИВАЛСЯ СЛИЯНИЕМ~$\set{A_1, A_2}$
С~$\set{B_1, B_2, B_3}$ И~$\set{A_3}$ С~$\set{B_4,~\ldots, B_{11}}$; ТАКИМ
ОБРАЗОМ, НИЖНЯЯ ОЦЕНКА В ЭТОМ СЛУЧАЕ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ ТОЧНОЙ.

аНАЛОГИЧНО МОЖНО ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$.M.(2, 38)=10$, В ТО ВРЕМЯ КАК~$M(2, 38)=11$;
ЗНАЧИТ, НАШ ДЬЯВОЛ НЕ ДОСТАТОЧНО ИСКУСЕН, ЧТОБЫ СПРАВИТЬСЯ СО
СЛУЧАЕМ~$m=2$. оДНАКО СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНЫЙ КЛАСС ЗНАЧЕНИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ
ОН РАБОТАЕТ БЕЗУПРЕЧНО.

\proclaim тЕОРЕМА~K.
$$
\eqalign{
M(m, m+2)&=2m+1  \rem{ПРИ $m\ge2$,}\cr
M(m, m+3)&=2m+2  \rem{ПРИ $m\ge4$,}\cr
M(m, m+4)&=2m+3 \rem{ПРИ $m\ge6$.}\cr
}
$$

\proof нА САМОМ ДЕЛЕ МЫ МОЖЕМ ДОКАЗЫВАТЬ ЭТИ СООТНОШЕНИЯ, ЗАМЕНИВ~$M$
НА~$.M.$; ПРИ МАЛЫХ ОТ ЭТИ РЕЗУЛЬТАТЫ БЫЛИ ПОЛУЧЕНЫ С ПОМОЩЬЮ эвм, ПОЭТОМУ
МОЖНО ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО~$m$ ДОСТАТОЧНО ВЕЛИКО. мОЖНО ТАКЖЕ СЧИТАТЬ, ЧТО
ПЕРВОЕ СРАВНЕНИЕ ЕСТЬ~$A_i:B_j$, ГДЕ~$i\le \ceil{m/2}$. еСЛИ~$j\le i$, ТО
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СТРАТЕГИЕЙ~$A'(i,i)$; ТОГДА ПОЛУЧИМ
$$
.M.(m, m+d)\ge1+.M.(i-1, i)+.M.(m+1-i, m+d-i)=2m+d-1,
$$
ПРИМЕНИВ ИНДУКЦИЮ ПО~$d$, $d\le 4$. еСЛИ~$j>i$, ТО
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СТРАТЕГИЕЙ~$A(i, i+1)$; ПРИМЕНИВ ИНДУКЦИЮ ПО~$m$, ПОЛУЧИМ
$$
.M.(m,m+d)\ge 1+.M.(i, i)+.M.(m-i, m+d-i)=2m+d-1.
$$
\proofend % КОНЦЕВОЙ МАРКЕР НЕ НА МЕСТЕ

пЕРВЫЕ ДВА УТВЕРЖДЕНИЯ ТЕОРЕМЫ~K ПОЛУЧИЛИ ф.~хУАН И~ш.~лИНЬ В~1969~Г. эТО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДАЕТ ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛОЖИТЬ,
%%246
ЧТО $M(m, m+d)=2m+d-1$ ПРИ ВСЕХ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИХ~$m$, ГДЕ~$d$
ФИКСИРОВАНО. (сР.~С~УПР.~6.)

\section вЕРХНИЕ ОЦЕНКИ. рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ \emph{ВЕРХНИЕ} ОЦЕНКИ
ФУНКЦИИ~$M(m, n)$; ХОРОШИЕ ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ СООТВЕТСТВУЮТ
ЭФФЕКТИВНЫМ АЛГОРИТМАМ СЛИЯНИЯ.

пРИ~$m=1$ ЗАДАЧА СЛИЯНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНА ЗАДАЧЕ ВСТАВКИ, КОГДА ИМЕЕТСЯ
$n+1$~МЕСТ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ~$B_1$,~\dots,$B_n$, КУДА МОЖЕТ ПОПАСТЬ
ЭЛЕМЕНТ~$A_1$. в ЭТОМ СЛУЧАЕ НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО \emph{ЛЮБОЕ} РАСШИРЕННОЕ
БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n+1$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ ЕСТЬ ДЕРЕВО ДЛЯ НЕКОТОРОГО МЕТОДА
СЛИЯНИЯ! (сМ.~УПР.~2.) сЛЕДОВАТЕЛЬНО, МОЖНО ВЫБРАТЬ ОПТИМАЛЬНОЕ БИНАРНОЕ
ДЕРЕВО, РЕАЛИЗОВАВ ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ
$$
1+\floor{\log_2 n}=M(1, n)=\ceil{\log_2(n+1)}.
\eqno(15)
$$
рАЗУМЕЕТСЯ, БИНАРНЫЙ ПОИСК~(П.~6.2.1)---ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ. ПОЗВОЛЯЮЩИЙ
ДОСТИЧЬ ЭТОГО ЗНАЧЕНИЯ.

сЛУЧАЙ~$m=2$ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ИНТЕРЕСЕН, НО ОН ГОРАЗДО СЛОЖНЕЕ. еГО ПОЛНОСТЬЮ
ИССЛЕДОВАЛИ р.~л.~гРЭХЕМ, ф.~к.~хУАН И~ш.~лИНЬ (СМ.~УПР.~11, 12, 13); ИМЕЕМ
$$
M(2, n)=\ceil{\log_2{7\over12}(n+1)}+\ceil{\log_2{14\over17}(n+1)}.
\eqno(16)
$$

мЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ПРИ~$m=n$ ОПТИМАЛЬНА ОБЫЧНАЯ ПРОЦЕДУРА СЛИЯНИЯ, А ПРИ~$m=1$
ОПТИМАЛЬНА ДОВОЛЬНО СИЛЬНО ОТЛИЧАЮЩАЯСЯ ОТ НЕЕ ПРОЦЕДУРА БИНАРНОГО ПОИСКА.
нАМ ЖЕ НУЖЕН НЕКОТОРЫЙ ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ МЕТОД, ОБЎЕДИНЯЮЩИЙ В СЕБЕ ЛУЧШИЕ
ЧЕРТЫ АЛГОРИТМОВ ОБЫЧНОГО СЛИЯНИЯ И БИНАРНОГО ПОИСКА. фОРМУЛА~(14) НАВОДИТ
НА МЫСЛЬ О СЛЕДУЮЩЕМ АЛГОРИТМЕ, КОТОРЫМ МЫ ОБЯЗАНЫ ф.~к.~хУАНУ И~ш.~лИНЮ
[{\sl SIAM J.~Computing,\/} {\bf 1} (1972), 31--39].

\alg н.(бИНАРНОЕ СЛИЯНИЕ.)
\st еСЛИ~$m$ ИЛИ~$n$ РАВНО~0, ТО ОСТАНОВИТЬСЯ.

еСЛИ~$m\le n$, ТО УСТАНОВИТЬ~$t\asg\floor{\log_2 (n/m)}$.

еСЛИ~$m>n$, УСТАНОВИТЬ~$t\asg\floor{\log_2 (m/n)}$ И ПЕРЕЙТИ К~\stp{4}.

\st сРАВНИТЬ~$A_m:B_{n+1-2^t}$. еСЛИ $A_m$~МЕНЬШЕ, ТО УСТАНОВИТЬ~$n\asg
n-2^t$ И ВОЗВРАТИТЬСЯ К ШАГУ~\stp{1}.

\st вОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ МЕТОДОМ БИНАРНОГО ПОИСКА (КОТОРЫЙ ТРЕБУЕТ ЕЩЕ РОВНО
$t$~СРАВНЕНИЙ), ВСТАВИТЬ~$A_m$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО
СРЕДИ~$\set{B_{n+1-2^t},~\ldots, B_n}$.  еСЛИ~$k$---МАКСИМАЛЬНЫЙ ИНДЕКС,
ТАКОЙ, ЧТО~$B_k<A_m$, ТО УСТАНОВИТЬ~$m\asg m-1$ И~$n\asg k$. вОЗВРАТИТЬСЯ
К~\stp{1}.

\st (шАГИ~\stp{4} И~\stp{5} ПОДОБНЫ ШАГАМ~\stp{2} И~\stp{3}, НО
ПЕРЕМЕННЫЕ~$m$, $n$, $A$, $B$ МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ.).
еСЛИ~$B_n<A_{m+1-2^t}$, ТО УСТАНОВИТЬ~$m\asg m-2^t$ И ВОЗВРАТИТЬСЯ К
ШАГУ~\stp{1}.

%%247
\st вСТАВИТЬ~$B_n$ В СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МЕСТО СРЕДИ
ЭЛЕМЕНТОВ~$A$. еСЛИ~$k$---МАКСИМАЛЬНЫЙ ИНДЕКС, ТАКОЙ, ЧТО~$A_k<B_n$, ТО
УСТАНОВИТЬ~$m\asg k$ И~$n\asg n-1$. вОЗВРАТИТЬСЯ К ШАГУ~\stp{1}.
\algend

в КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА РАБОТЫ ЭТОГО АЛГОРИТМА В ТАБЛ.~2 ПОКАЗАН ПРОЦЕСС,
СЛИЯНИЯ ТРЕХ КЛЮЧЕЙ~$\set{087, 503, 512}$ С ТРИНАДЦАТЬЮ КЛЮЧАМИ~$\set{061,
154,~\ldots, 908}$; В ЭТОМ ПРИМЕРЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ВОСЕМЬ СРАВНЕНИЙ.

{\catcode`\[=\active\def[{\hbox to 0pt{\hss$\{$}}
\catcode`\]=\active\def]{\hbox to 0pt{$\}$\hss}}
\catcode`\!=\active\def!#1 {\bf#1}
\htable{тАБЛИЦА~2}%
{пРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ}%
{$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip&&$\scriptstyle\phantom{\{}#\phantom{\}}$\bskip\cr
\multispan{9}\hbox{а (СРАВНИВАЮТСЯ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ)} &\omit\span\hfill\hbox{в}\hfill &\multispan{8}\hfill\hbox{вЫВОД}\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 &  653 & 677 &!703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 603   & !512 ]&[061 & 151 & 170 & 275 & 426 & 509 & 612 & !653 & 677]&     &     &     & [703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 &!509 & 612]&    &     &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & 503   & !512 ]&[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & 509 &!612 ]&    &     &[653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & !426 & 509]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[087   & !503]&       &[061 & 154 & 170 & 275 & 426 & !509 ]&     &    &[512 & 612 & 653 & 677 & 793 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[061 & !154 & 170 & 275 & 426]&     &[503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
[!087 ]&       &       &[!061 ]&     &[154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
       &       &       &[061 & 087 & 154 & 170 & 275 & 426 & 503 & 509 & 512 & 612 & 653 & 677 & 703 & 765 & 897 & 908]\cr
}
}

пУСТЬ~$H(m,n)$---МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ хУАНА
И~лИНЯ. чТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ~$H(m, n)$, МОЖНО ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО~$k=n$ В ШАГЕ~H3
И~$k=m$ В ШАГЕ~H5, ПОСКОЛЬКУ ПРИ ПОМОЩИ ИНДУКЦИИ ПО~$n$ НЕТРУДНО
ДОКАЗАТЬ,
ЧТО~$H(m, n)\le H(m, n+1)$ ПРИ ВСЕХ~$n\ge m$. тАКИМ ОБРАЗОМ, ПРИ~$m\le n$ ИМЕЕМ
$$
H(m, n)=\max(H(m,n-2^t)+1,  H(m-1, n)+t+1) \rem{ПРИ~$2^t m \le n < 2^{t+1}m$.}
\eqno  (17)
$$
зАМЕНИМ~$n$ НА~$2n+\varepsilon$ ($\varepsilon=0$ ИЛИ~1) И ПОЛУЧИМ
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=
 \max(H(m, 2n+\varepsilon-2^{t+1})+1, H(m-1, 2n+\varepsilon)+t+2)
\rem{ПРИ~$2^t m \le n < 2^{t+1} m$.}
$$
оТСЮДА ВЫТЕКАЕТ, ЕСЛИ ПРИМЕНИТЬ ИНДУКЦИЮ ПО~$n$, ЧТО
$$
H(m, 2n+\varepsilon)=H(m, n)+m \rem{ПРИ~$m\le n$,  $\varepsilon=0$ ИЛИ~1.}
\eqno (18)
$$
лЕГКО ВИДЕТЬ ТАКЖЕ, ЧТО~$H(m, n)=m+n-1$, ЕСЛИ~$m\le n < 2m$. сЛЕДОВАТЕЛЬНО,
 МНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ~(18) ДАСТ НАМ ОБЩУЮ ФОРМУЛУ
$$
H(m, n)=m+\ceil{n/2^t}-1+tm \rem{ПРИ~$m\le n$, $t=\ceil{\log_2(n/m)}$.}
\eqno (19)
$$
%%248

пОЛАГАЯ~$m=\alpha n$ И~$\theta=\log_2 (n/m)-t$, НАЙДЕМ
$$
H(\alpha n, n)=\alpha n(1+2^\theta-\theta-\log_2 \alpha)+O(1)
\eqno (20)
$$
ПРИ~$n\to\infty$. иЗ ФОРМУЛ~(5.3.1-35) ИЗВЕСТНО,
ЧТО~$1.9139<1+2^\theta-\theta\le2$. сЛЕДОВАТЕЛЬНО, (20)~МОЖНО СРАВНИТЬ С
ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКОЙ~(3). хУАН И лИНЬ
ДОКАЗАЛИ (СМ.~УПР.~17), ЧТО
$$
H(m, n) < \ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}+\min(m, n).
\eqno(21)
$$
аЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ хУАНА---лИНЯ, КОТОРЫЙ МОЖНО БЫЛО БЫ НАЗВАТЬ АЛГОРИТМОМ
"БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ", НЕ ВСЕГДА ОПТИМАЛЕН, НО ОБЛАДАЕТ ТЕМ НЕОЦЕНИМЫМ
ДОСТОИНСТВОМ, ЧТО ЕГО ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ЗАПРОГРАММИРОВАТЬ. оН СВОДИТСЯ К
"ДЕЦЕНТРИРОВАННОМУ БИНАРНОМУ ПОИСКУ" ПРИ~$m=1$ И К ОБЫЧНОЙ ПРОЦЕДУРЕ
СЛИЯНИЯ ПРИ~$m\approx n$, ТАК ЧТО ЭТО ЗОЛОТАЯ СЕРЕДИНА МЕЖДУ ДВУМЯ
УКАЗАННЫМИ МЕТОДАМИ. кРОМЕ ТОГО, ВО МНОГИХ СЛУЧАЯХ ОН \emph{ЯВЛЯЕТСЯ}
ОПТИМАЛЬНЫМ (СМ.~УПР.~16).

фОРМУЛА~(18) НАВОДИТ НА МЫСЛЬ О ТОМ, ЧТО И САМА ФУНКЦИЯ~$M$, БЫТЬ МОЖЕТ,
УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ
$$
M(m, n)\le M(m, \floor{n/2})+m.
\eqno (22)
$$
эТО И В САМОМ ДЕЛЕ ТАК (СМ.~УПР.~19). тАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ~$M(m, n)$
ПОЗВОЛЯЮТ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО, ВОЗМОЖНО, ИМЕЮТ МЕСТО И ДРУГИЕ СООТНОШЕНИЯ,
ТАКИЕ, КАК
$$
\displaylines{
\hfill M(m+1, n)\ge 1+M(m, n)\ge M(m, n+1) \rem{ПРИ $m\le n$;} \hfill\llap{(23)}\cr
\hfill M(m+1, n+1)\ge 2+M(m, n).            \hfill\llap{(24)}\cr
}
$$
НО В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ НЕ ИЗВЕСТНО НИКАКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ЭТИХ НЕРАВЕНСТВ.

\excercises
\ex[15] нАЙДИТЕ ОДНО ЛЮБОПЫТНОЕ СООТНОШЕНИЕ, КОТОРОЕ СВЯЗЫВАЕТ
ФУНКЦИЮ~$M(m, n)$ И ФУНКЦИЮ~$S$, ОПРЕДЕЛЕННУЮ В П.~5.3.1.
[\emph{уКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ~$S(m+n)$.]

\rex[22] пРИ~$m=l$ ЛЮБОЙ АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ, НЕ СОДЕРЖАЩИЙ ИЗБЫТОЧНЫХ
СРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕТ РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С
$\perm{m+n}{m}=n+1$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ. дОКАЖИТЕ, ЧТО ВЕРНО И ОБРАТНОЕ,
Т.~Е.~КАЖДОМУ РАСШИРЕННОМУ  БИНАРНОМУ ДЕРЕВУ СООТВЕТСТВУЕТ НЕКОТОРЫЙ
АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ С~$m=1$.

\ex[м24] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$.M.(1, n)=M(1, n)$ ПРИ ВСЕХ~$n$.

\ex[м44] сПРАВЕДЛИВО ЛИ НЕРАВЕНСТВО~$.M.(m, n)\ge
\ceil{\log_2\perm{m+n}{m}}$ ПРИ
ВСЕХ~$m$ И~$n$?

\ex[м30] дОКАЖИТЕ, ЧТО $.M.(m, n)\le .M\backslash (m, n+1)$.

\ex[м26] сФОРМУЛИРОВАННОЕ ВЫШЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~K ТРЕБУЕТ ПРОВЕРКИ
БОЛЬШОГО ЧИСЛА СЛУЧАЕВ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ эвм. кАКИМ ОБРАЗОМ МОЖНО РЕЗКО
СОКРАТИТЬ ЧИСЛО ТАКИХ СЛУЧАЕВ?

%%249
\ex[21] дОКАЖИТЕ НЕРАВЕНСТВО~(11).

\rex[24] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$M(2,8)\le 6$. дЛЯ ЭТОГО ПРИДУМАЙТЕ ТАКОЙ
АЛГОРИТМ СЛИЯНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ С ВОСЕМЬЮ ДРУГИМИ, КОТОРЫЙ БЫ ВЫПОЛНЯЛ
НЕ БОЛЕЕ ШЕСТИ СРАВНЕНИЙ.

\ex[27] дОКАЖИТЕ, ЧТО ТРИ ЭЛЕМЕНТА МОЖНО СЛИТЬ С ШЕСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАМИ НЕ
БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА СЕМЬ ШАГОВ.

\ex[33] дОКАЖИТЕ, ЧТО ПЯТЬ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖНО СЛИТЬ С ДЕВЯТЬЮ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
ДВЕНАДЦАТЬ ШАГОВ. [\emph{уКАЗАНИЕ:} ОПЫТ ВВЕДЕНИЯ ДЬЯВОЛА ПОДСКАЗЫВАЕТ,
ЧТО НАЧАТЬ НУЖНО СО СРАВНЕНИЯ~$A_1:B_2$, ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$A_1<B_2$, ПОПЫТАТЬСЯ
СРАВНИТЬ~$A_5:B_8$.]

\ex[м40] (ф.~хУАН, ш.~лИНЬ.) пУСТЬ~$g_{2k}=\floor{2^k\cdot{17\over14}}$,
$g_{2k+1}=\floor{2^k\cdot{12\over 7}}$ ПРИ~$k\ge 0$, ТАК
ЧТО~$(g_0, g_1, g_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, 77,~\ldots)$.
дОКАЖИТЕ, ЧТО ДЛЯ СЛИЯНИЯ ДВУХ ЭЛЕМЕНТОВ С~$g_t$~ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕБУЕТСЯ В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ БОЛЕЕ ЧЕМ $t$~СРАВНЕНИЙ, ОДНАКО СЛИТЬ ДВА
ЭЛЕМЕНТА С~$g_t-1$ МОЖНО НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА $t$~ШАГОВ. [\emph{уКАЗАНИЕ:}
ПОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$n\ge g_{t-1}$, И НУЖНО СЛИТЬ~$\set{A_1, A_2}$
С~$\set{B_1, B_2,~\ldots, B_n}$ ЗА $t$~СРАВНЕНИЙ, ТО НАИЛУЧШЕЕ ПЕРВОЕ
СРАВНЕНИЕ---ЭТО~$A_2:B_{g_{t-1}}$.]

\ex[м21] пУСТЬ~$R_n(i,j)$---НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМОЕ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ РАЗЛИЧНЫХ ОБЎЕКТОВ~$\set{\alpha, \beta, X_1, X_2,~\ldots, X_n}$,
ЕСЛИ ЗАДАНЫ СООТНОШЕНИЯ
$$
\alpha<\beta, \quad X_1<X_2<\ldots<X_n, \quad \alpha<X_{i+1}, \quad \beta > X_{n-j}.
$$
[уСЛОВИЕ~$\alpha< X_{i+1}$ ИЛИ~$\beta>X_{n-j}$ ТЕРЯЕТ СМЫСЛ, ЕСЛИ~$i\ge n$
ИЛИ~$j\ge n$. пОЭТОМУ~$R_n(n,n)=M(2, n)$.]

яСНО, ЧТО~$R_n(0, 0) = 0$. дОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
R_n(i,j)=1+\min\left(\min_{1\le k \le i} \max(R_n(k-1, j), R_{n-k}(i-k, j)),
\min_{1\le k \le j} \max(R_n(i, k-1), R_{n-k}(i, j-k))\right)
$$
ПРИ $0\le i \le n$, $0\le j \le n$, $i+j>0$.

\ex[M42] (P.~л.~гРЭХЕМ). пОКАЖИТЕ, ЧТО РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
ИЗ УПР.~12 МОЖНО ВЫРАЗИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. оПРЕДЕЛИМ ФУНКЦИЮ~$G(x)$
ПРИ~$0<x<\infty$ ТАКИМИ ПРАВИЛАМИ:
$$
G(x)=\cases{
\mathstrut 1,  & $0<x\le {5\over 7}$;\cr
\mathstrut {1\over2}+{1\over8}G(8x-5), & ${5\over 7} < x \le {3\over 4}$;\cr
\mathstrut {1\over2}G(2x-1), & ${3\over4}<x\le 1$;\cr
\mathstrut 0, & $1\le x \le \infty$.
}
$$
(сМ.~РИС.~38.) пОСКОЛЬКУ~$R_n(i,j)=R_n(j,i)$ И ТАК КАК~$R_n(0, j)=M(1, j)$,
 ТО МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО~$1\le i \le j \le n$. пУСТЬ~$p=\floor{\log_2 i}$,
$q=\floor{\log_2 j}$, $r=\floor{\log_2 n}$ И~$t=n-2^r+1$. тОГДА
$$
R_n(i,j)=p+q+S_n(i,j)+T_n(i,j),
$$
ГДЕ ФУНКЦИИ~$S_n$ И~$T_n$ ПРИНИМАЮТ ЗНАЧЕНИЯ~0 ИЛИ~1:
$$
\eqalign{
S_n(i,j)&=1 \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $q<r$ ИЛИ~$(i-2^p\ge u$ И~$j-2^r\ge u$);}\cr
T_n(i,j)&=1 \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $p<r$ ИЛИ~$\left(t>{6\over7}2^{r-2}\hbox{ И } i-2^r\ge v \right)$,} \cr
}
$$
ГДЕ~$u=2^pG(t/2^p)$ И~$v=2^{r-2}G(t/2^{r-2})$.
%%250

(эТО, БЫТЬ МОЖЕТ, САМОЕ СЛОЖНОЕ РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ ИЗ ВСЕХ, КОТОРЫЕ
КОГДА-ЛИБО БУДУТ РЕШЕНЫ!)

\ex[46] (хУАН И~лИНЬ.) пУСТЬ~$h_{3k}=2^k+2^{k-1}-1$,
$h_{3k+1}=g_{2k}+g_{2k-3}+2^{k-2}$, $h_{3k+2}=2g_{2k}$ ПРИ~$k\ge 2$, ЗА
ИСКЛЮЧЕНИЕМ~$h_8=9$, И НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОДОБРАНЫ ТАК, ЧТО~$(h_0, h_1,
h_2,~\ldots)=(1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 23, 29, 38, 47, 59,
76,~\ldots)$.
зДЕСЬ~$g_k$---ФУНКЦИЯ, КОТОРАЯ БЫЛА ОПРЕДЕЛЕНА В УПР.~11. дОКАЖИТЕ (ИЛИ
ОПРОВЕРГНИТЕ), ЧТО~$M(3, h_t)>t$, $M(3, h_t-1)\le t$ ПРИ ВСЕХ~$t$.

\ex[12] в ШАГЕ~H1 АЛГОРИТМА БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ МОЖЕТ
ПОТРЕБОВАТЬСЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\floor{\log_2 (n/m)}$. кАК МОЖНО ЛЕГКО
ВЫЧИСЛИТЬ ЭТО ЗНАЧЕНИЕ, НЕ ПРИМЕНЯЯ ОПЕРАЦИЙ ДЕЛЕНИЯ И ВЗЯТИЯ ЛОГАРИФМА?

\picture{рИС.~38. фУНКЦИЯ гРЭХЕМА (СМ.~УПР.~13).}

\ex[18] пРИ КАКИХ~$m$ И~$n$, $1\le m \le n \le 10$, ОПТИМАЛЕН АЛГОРИТМ
БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ хУАНА И лИНЯ?

\ex[м25] дОКАЖИТЕ НЕРАВЕНСТВО~(21). [\emph{уКАЗАНИЕ:} ЭТО НЕРАВЕНСТВО НЕ
ОЧЕНЬ ЖЕСТКОЕ.]

\ex[м40] иССЛЕДУЙТЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ
АЛГОРИТМОМ БИНАРНОГО СЛИЯНИЯ.

\rex[23] дОКАЖИТЕ, ЧТО ФУНКЦИЯ~$M$ УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ~(22).

\ex[20] пОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$M(m, n+1) \le M(m+1, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m\le n$,
 ТО~$M(m, n+1)\le 1+M(m, n)$ ПРИ ВСЕХ~$m\le n$.

\ex[м47] дОКАЖИТЕ ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ СООТНОШЕНИЯ~(23), (24).

\ex[м50] иССЛЕДУЙТЕ МИНИМАЛЬНОЕ \emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СЛИЯНИЯ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ С $n$~ЭЛЕМЕНТАМИ.

\ex[вм30] (э.~рЕЙНГОЛЬД.)
пУСТЬ~$\set{A_1,~\ldots, A_n}$ И~$\set{B_1,~\ldots, B_n}$---МНОЖЕСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ ПО $n$~ЭЛЕМЕНТОВ КАЖДОЕ. рАССМОТРИТЕ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ПЫТАЕТСЯ
ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ РАВЕНСТВА МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ПУТЕМ
СРАВНЕНИЙ НА РАВЕНСТВО ЭЛЕМЕНТОВ ЭТИХ МНОЖЕСТВ. тАКИМ ОБРАЗОМ, АЛГОРИТМ
ЗАДАЕТ ВОПРОСЫ ТИПА~"$A_i=B_j$?" ПРИ НЕКОТОРЫХ~$i$ И~$j$ И ВЫБИРАЕТ
ДАЛЬНЕЙШИЙ ПУТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, БЫЛ ЛИ ОТВЕТ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ИЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ.

оПРЕДЕЛИВ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА, ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБОЙ ТАКОЙ АЛГОРИТМ
В НАИХУДШЕМ ДЛЯ СЕБЯ СЛУЧАЕ ВЫНУЖДЕН ВЫПОЛНИТЬ НЕ МЕНЕЕ
${1\over2}n (n+1)$~СРАВНЕНИЙ.

%%250
\subsubchap{* вЫБОР С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ} % 5.3.3
пРИ ПОИСКЕ НАИЛУЧШИХ ВОЗМОЖНЫХ ПРОЦЕДУР ДЛЯ ВЫБОРА $t\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА
В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ МЫ ВСТРЕЧАЕМСЯ С КЛАССОМ ЗАДАЧ,
ПОДОБНЫХ РАССМОТРЕННЫМ В ПРЕДЫДУЩЕМ ПУНКТЕ. иСТОРИЯ ЭТОГО ВОПРОСА
ВОСХОДИТ К ЗАНИМАТЕЛЬНОМУ (ХОТЯ И СЕРЬЕЗНОМУ) ОЧЕРКУ ПРЕПОДОБНОГО
ч.~л.~дОДЖСОНА О ТУРНИРАХ ПО ТЕННИСУ, ПОЯВИВШЕМУСЯ В St.~James's Gazette
1~АВГУСТА 1883~Г. (СТР.~5--6). дОДЖСОН, КОТОРЫЙ, РАЗУМЕЕТСЯ, БОЛЕЕ
ИЗВЕСТЕН КАК лЬЮИС кЭРРОЛ, РАССМАТРИВАЛ НЕСПРАВЕДЛИВЫЕ ПРАВИЛА, ПО
КОТОРЫМ ПРИСУЖДАЛИСЬ (И ДО СИХ ПОР ПРИСУЖДАЮТСЯ) ПРИЗЫ В ТУРНИРАХ ПО
ТЕННИСУ. рАССМОТРИМ, НАПРИМЕР, РИС.~39, ГДЕ ПОКАЗАН ТИПИЧНЫЙ ТУРНИР
"С ВЫБЫВАНИЕМ" МЕЖДУ 32~ИГРОКАМИ, ПОМЕЧЕННЫМИ $01$, $02$,~\dots, $32$. в
ФИНАЛЕ ИГРОК~$01$ ОДЕРЖИВАЕТ ПОБЕДУ НАД ИГРОКОМ~$05$, ПОЭТОМУ ЯСНО, ЧТО
ИГРОК~$01$---ЧЕМПИОН И ЗАСЛУЖИЛ ПЕРВЫЙ ПРИЗ. нЕСПРАВЕДЛИВОСТЬ ПРОЯВЛЯЕТСЯ В
ТОМ, ЧТО ИГРОК~$05$ ОБЫЧНО ПОЛУЧАЕТ ВТОРОЙ ПРИЗ, ХОТЯ ОН МОЖЕТ И НЕ БЫТЬ
ВТОРЫМ ИГРОКОМ. вЫИГРАТЬ ВТОРОЙ ПРИЗ МОЖНО, ДАЖЕ ЕСЛИ ИГРАЕШЬ ХУЖЕ
ПОЛОВИНЫ ИГРОКОВ ТУРНИРА. в САМОМ ДЕЛЕ, КАК ЗАМЕТИЛ дОДЖСОН, ВТОРОЙ ИГРОК
ВЫИГРЫВАЕТ ВТОРОЙ ПРИЗ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ОН И
ЧЕМПИОН НАХОДИЛИСЬ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПОЛОВИНАХ ТУРНИРА; ДЛЯ
$2^n$~ИГРОКОВ ЭТО ПРОИСХОДИТ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ~$2^{n-1}/(2^n-1)$, ТАК
ЧТО ПОЧТИ В ПОЛОВИНЕ СЛУЧАЕВ ВТОРОЙ ПРИЗ ПОЛУЧАЕТ НЕ ТОТ ИГРОК! еСЛИ
ПРОИГРАВШИЕ В ПОЛУФИНАЛЕ (ИГРОКИ~$25$ И~$17$ НА РИС.~39) СОРЕВНУЮТСЯ ЗА
ТРЕТИЙ ПРИЗ, ТО ВЕСЬМА МАЛОВЕРОЯТНО, ЧТО ТРЕТИЙ ИГРОК ПОЛУЧИТ ТРЕТИЙ ПРИЗ.

пОЭТОМУ дОДЖСОН РЕШИЛ НАЙТИ ТАКОЙ ТУРНИР, КОТОРЫЙ ПРАВИЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЕТ
ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ИГРОКОВ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ТРАНЗИТИВНОСТИ. (иНАЧЕ ГОВОРЯ,
 ЕСЛИ ИГРОК~$A$ ПОБЕЖДАЕТ ИГРОКА~$B$, А~$B$ ПОБЕЖДАЕТ~$C$, ТО МОЖНО
СЧИТАТЬ, ЧТО ИГРОК~$A$ ПОБЕДИТ~$C$). оН ПРИДУМАЛ ПРОЦЕДУРУ, В КОТОРОЙ
ПРОИГРАВШИМ ДАЮТ СЫГРАТЬ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ИГР, ПОКА НЕ СТАНЕТ
ОПРЕДЕЛЕННО ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ ХУЖЕ ДРУГИХ ТРЕХ ИГРОКОВ. пРИМЕР
СХЕМЫ дОДЖСОНА ПРИВОДИТСЯ НА РИС.~40, ИЗОБРАЖАЮЩЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ТУРНИР,
 КОТОРЫЙ СЛЕДУЕТ ПРОВЕСТИ ВМЕСТЕ С ТУРНИРОМ, ПОКАЗАННЫМ НА РИС.~39.
дЕЛАЕТСЯ ПОПЫТКА ОРГАНИЗОВАТЬ ВСТРЕЧИ ИГРОКОВ, У КОТОРЫХ ДО СИХ ПОР БЫЛИ
РАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, И ИСКЛЮЧИТЬ МАТЧИ МЕЖДУ ИГРОКАМИ, ПОБЕЖДЕННЫМИ ОДНИМ И
ТЕМ ЖЕ ЧЕЛОВЕКОМ. нАПРИМЕР, ИГРОК~$16$ ПРОИГРЫВАЕТ~$11$, А
ИГРОК~$13$ ПРОИГРЫВАЕТ~$12$ В ПЕРВОМ ТУРЕ; ПОСЛЕ ТОГО КАК ИГРОК~$16$
ПРОИГРЫВАЕТ~$13$ ВО ВТОРОМ ТУРЕ, $16$~ИСКЛЮЧАЕТСЯ, ТАК КАК
ТЕПЕРЬ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОН ХУЖЕ, ЧЕМ~$11$, $12$ И~$13$. в ТРЕТЬЕМ ТУРЕ МЫ
НЕ ПОЗВОЛЯЕМ НОМЕРУ~$19$ ИГРАТЬ С~$21$, ТАК КАК ОНИ ОБА БЫЛИ ПОБЕЖДЕНЫ
%%252
\picture{рИС. 39. тУРНИР 32~ИГРОКОВ С ВЫБЫВАНИЕМ.}
%%253
\picture{рИС. 40. тЕННИСНЫЙ ТУРНИР лЬЮИСА кЭРРОЛА (В ДОПОЛНЕНИЕ К ТУРНИРУ
РИС.~39).}
%% 254
ИГРОКОМ~$18$ И МЫ НЕ МОГЛИ БЫ АВТОМАТИЧЕСКИ ИСКЛЮЧИТЬ ПРОИГРАВШЕГО
ВО ВСТРЕЧЕ~$19$ С~$21$.

бЫЛО БЫ ПРИЯТНО СООБЩИТЬ, ЧТО ТУРНИР лЬЮИСА кЭРРОЛА ОКАЗАЛСЯ ОПТИМАЛЬНЫМ,
НО, К СОЖАЛЕНИЮ, ЭТО НЕ ТАК. иЗ ЗАПИСИ В ЕГО ДНЕВНИКЕ ОТ 23~ИЮЛЯ 1883~Г.
ЯВСТВУЕТ, ЧТО ОН СОСТАВИЛ ЭТОТ ОЧЕРК ПРИМЕРНО ЗА ШЕСТЬ ЧАСОВ, И
ЧУВСТВОВАЛ, ЧТО, "ПОСКОЛЬКУ ТЕННИСНЫЙ СЕЗОН ПРИБЛИЖАЕТСЯ К КОНЦУ, ОЧЕРК
СЛЕДУЕТ НАПИСАТЬ ПОБЫСТРЕЕ, НЕ СЛИШКОМ УВЛЕКАЯСЬ КАЧЕСТВОМ". в ЕГО
ПРОЦЕДУРЕ ДЕЛАЕТСЯ БОЛЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ НЕОБХОДИМО, И ОНА НЕ
СФОРМУЛИРОВАНА ДОСТАТОЧНО ЧЕТКО, ЧТОБЫ КВАЛИФИЦИРОВАТЬ ЕЕ КАК АЛГОРИТМ.
с ДРУГОЙ СТОРОНЫ, В НЕЙ ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНЫЕ АСПЕКТЫ, ЕСЛИ
СУДИТЬ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. оНА ТАКЖЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ
ОТЛИЧНЫМ РАСПИСАНИЕМ ТЕННИСНОГО ТУРНИРА, ПОСКОЛЬКУ кЭРРОЛ ВКЛЮЧИЛ В НЕЕ
НЕСКОЛЬКО ДРАМАТИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ; НАПРИМЕР, ОН ОПРЕДЕЛИЛ, ЧТО ДВА
ФИНАЛИСТА ДОЛЖНЫ ПРОПУСТИТЬ ПЯТЫЙ ТУР И СЫГРАТЬ "ДЛИННЫЙ" МАТЧ В ТУРАХ~6
И~7. оДНАКО ОРГАНИЗАТОРЫ ТУРНИРОВ, ПО-ВИДИМОМУ, СОЧЛИ ЭТО ПРЕДЛОЖЕНИЕ
ИЗЛИШНЕ ЛОГИЧНЫМ, И ПОТОМУ СИСТЕМА кЭРРОЛА, СКОРЕЕ ВСЕГО, НИКОГДА НЕ
ИСПЫТЫВАЛАСЬ. вМЕСТО ЭТОГО ПРАКТИКУЕТСЯ МЕТОД "РАССЕИВАНИЯ" БОЛЕЕ
СИЛЬНЫХ ИГРОКОВ, ЧТОБЫ ОНИ ПОПАЛИ В РАЗНЫЕ ЧАСТИ ДЕРЕВА.

нА МАТЕМАТИЧЕСКОМ СЕМИНАРЕ В~1929--1930~Г. гУГО шТЕЙНГАУЗ ПОСТАВИЛ ЗАДАЧУ
НАХОЖДЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ТЕННИСНЫХ МАТЧЕЙ, ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ИГРОКОВ В ТУРНИРЕ, ЕСЛИ ИМЕЕТСЯ
$n >2$~ИГРОКОВ. ю.~шРЕЙЕР [{\sl Mathesis Polska,\/} {\bf 7} (1932),
154--160] ПРИВЕЛ ПРОЦЕДУРУ, ТРЕБУЮЩУЮ САМОЕ БОЛЬШЕЕ
$n-2+\ceil{\log_2 n}$~МАТЧЕЙ, ИСПОЛЬЗОВАВ, ПО СУЩЕСТВУ, ТОТ ЖЕ МЕТОД, ЧТО
И ПЕРВЫЕ ДВЕ СТАДИИ ПРОЦЕССА, КОТОРЫЙ МЫ НАЗВАЛИ СОРТИРОВКОЙ ПОСРЕДСТВОМ
ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА (СМ.~П.~5.2.3, РИС.~23), ОДНАКО НЕ ВЫПОЛНЯЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ~$-\infty$. шРЕЙЕР ТАКЖЕ УТВЕРЖДАЛ,
ЧТО $n-2+\ceil{\log_2 n}$---НАИЛУЧШЕЕ ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ; НО ЕГО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БЫЛО ОШИБОЧНЫМ, КАК И ЕЩЕ ОДНА ПОПЫТКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА,
ПРЕДПРИНЯТАЯ е.~сЛУПЕЦКИ
[{\sl Colloquium Mathematician,\/} {\bf 2} (1951), 286--290].
пРОШЛО 32~ГОДА, ПРЕЖДЕ ЧЕМ с.~с.~кИСЛИЦЫНЫМ БЫЛО ОПУБЛИКОВАНО ПРАВИЛЬНОЕ,
 ХОТЯ И ОЧЕНЬ СЛОЖНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
[{\sl сИБИРСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,\/} {\bf 5} (1964), 557--564].
пУСТЬ~$V_t(n)$ ДЛЯ~$1\le t \le n$ ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $t\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, И ПУСТЬ $W_t(n)$~РАВНО НАИМЕНЬШЕМУ ЧИСЛУ СРАВНЕНИЙ,
 НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО, ВТОРОГО,~\dots,
$t\hbox{-ГО}$ ЭЛЕМЕНТОВ ВСЕХ СРАЗУ. иЗ СООБРАЖЕНИЙ СИММЕТРИИ ИМЕЕМ
$$
V_t(n)=V_{n+1-t}(n);
\eqno(1)
$$
%%255
ОЧЕВИДНО ТАКЖЕ, ЧТО
$$
\eqalignno{
V_1(n)&=W_1(n), & (2) \cr
V_t(n)&\le W_t(n), & (3) \cr
W_n(n)&=W_{n-1}(n)=S(n). & (4) \cr
}
$$

в П.~5.2.3 МЫ ВИДЕЛИ, ЧТО
$$
V_1(n)=n-1.
\eqno(5)
$$
еСТЬ УДИВИТЕЛЬНО ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОГО ФАКТА, ПОСКОЛЬКУ КАЖДЫЙ
УЧАСТНИК ТУРНИРА, КРОМЕ ЧЕМПИОНА, ДОЛЖЕН ПРОИГРАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДНУ
ИГРУ! оБОБЩАЯ ЭТУ ИДЕЮ И ИСПОЛЬЗУЯ "ДЬЯВОЛА", МЫ МОЖЕМ БЕЗ ОСОБОГО ТРУДА
ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ шРЕЙЕРА---кИСЛИЦЫНА.

\proclaim тЕОРЕМА~S. пРИ~$n\ge 2$ СПРАВЕДЛИВО
РАВЕНСТВО~$V_2(n)=W_2(n)=n-2+\ceil{\log_2 n}$.

\proof пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО В ТУРНИРЕ, ГДЕ С ПОМОЩЬЮ НЕКОТОРОЙ ДАННОЙ
ПРОЦЕДУРЫ ДОЛЖЕН ОПРЕДЕЛИТЬСЯ ВТОРОЙ ИГРОК, УЧАСТВУЮТ $n$~ИГРОКОВ, И
ПУСТЬ~$a_j$---ЧИСЛО ИГРОКОВ, ПРОИГРАВШИХ~$j$ ИЛИ БОЛЬШЕ МАТЧЕЙ. оБЩЕЕ
ЧИСЛО СЫГРАННЫХ МАТЧЕЙ БУДЕТ ТОГДА РАВНО~$a_1+a_2+a_3+\ldots\,$. мЫ НЕ
МОЖЕМ ОПРЕДЕЛИТЬ ВТОРОГО ИГРОКА, НЕ ВЫЯВИВ ЗАОДНО И ЧЕМПИОНА (СМ.~УПР.~2),
 ПОЭТОМУ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ РАССУЖДЕНИЙ~$a_1=n-1$. дЛЯ ЗАВЕРШЕНИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПОКАЖЕМ, ЧТО ВСЕГДА СУЩЕСТВУЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЧЕЙ, КОТОРАЯ ПРИВОДИТ К~$a_2\ge \ceil{\log_2 n}-1$.

пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО К КОНЦУ ТУРНИРА ЧЕМПИОН СЫГРАЛ $p$~ИГР И ПОБЕДИЛ
$p$~ИГРОКОВ; ОДНИМ ИЗ НИХ БЫЛ ВТОРОЙ ИГРОК, А ОСТАЛЬНЫЕ ДОЛЖНЫ ПРОИГРАТЬ
ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ЕЩЕ ПО ОДНОМУ РАЗУ, ПОЭТОМУ~$a_2\ge p-1$. иТАК, МЫ МОЖЕМ
ЗАКОНЧИТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПОСТРОИВ ДЬЯВОЛА, ПРЕДОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
ИГР ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ ЧЕМПИОНУ ПРИШЛОСЬ СЫГРАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ЕЩЕ
С~$\ceil{\log_2 n}$~ДРУГИМИ УЧАСТНИКАМИ ТУРНИРА.

пУСТЬ ДЬЯВОЛ СЧИТАЕТ, ЧТО ИГРОК~$A$ ЛУЧШЕ, ЧЕМ~$B$, ЕСЛИ~$A$ РАНЕЕ НЕ
ПРОИГРЫВАЛ, А~$B$ ХОТЯ БЫ ОДНАЖДЫ ПРОИГРАЛ, ИЛИ ЕСЛИ ОБА НЕ ПРОИГРЫВАЛИ,
НО $B$~ВЫИГРАЛ К ЭТОМУ МОМЕНТУ МЕНЬШЕ МАТЧЕЙ, ЧЕМ~$A$. пРИ ДРУГИХ
ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ ДЬЯВОЛ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ПРОИЗВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ, НЕ
ПРОТИВОРЕЧАЩЕЕ НЕКОТОРОМУ ЧАСТИЧНОМУ УПОРЯДОЧЕНИЮ.

рАССМОТРИМ РЕЗУЛЬТАТЫ ЗАВЕРШЕННОГО ТУРНИРА, МАТЧИ
КОТОРОГО ПРЕДОПРЕДЕЛЯЛИСЬ ТАКИМ ДЬЯВОЛОМ. мЫ СКАЖЕМ, ЧТО "$A$
ПРЕВОСХОДИТ $B$" ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$A=B$ ИЛИ
$A$~ПРЕВОСХОДИТ ИГРОКА, КОТОРЫЙ ПЕРВЫМ ПОБЕДИЛ~$B$. (тОЛЬКО ПЕРВОЕ
ПОРАЖЕНИЕ ИГРОКА СУЩЕСТВЕННО В ЭТОМ ОТНОШЕНИИ, ПОСЛЕДУЮЩИЕ ЕГО
ИГРЫ ИГНОРИРУЮТСЯ. в СООТВЕТСТВИИ С УСТРОЙСТВОМ ДЬЯВОЛА ЛЮБОЙ ИГРОК,
\emph{ПЕРВЫМ} ПОБЕДИВШИЙ КАКОГО-ТО, НИ В ОДНОЙ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ ВСТРЕЧ НЕ
ДОЛЖЕН ИМЕТЬ ПОРАЖЕНИЙ. оТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО
%%256
ИГРОК, КОТОРЫЙ ВЫИГРАЛ СВОИ ПЕРВЫЕ $p$~МАТЧЕЙ, ПРЕВОСХОДИТ НА ОСНОВАНИИ
ЭТИХ $p$~ИГР НЕ БОЛЕЕ $2^p$~ИГРОКОВ. (еСЛИ~$p=0$, ЭТО ОЧЕВИДНО, ЕСЛИ ЖЕ
$p>0$, ТО $p\hbox{-Й}$~МАТЧ БЫЛ СЫГРАН ПРОТИВ ИГРОКА, КОТОРЫЙ ЛИБО РАНЕЕ
ПОТЕРПЕЛ ПОРАЖЕНИЕ, ЛИБО ПРЕВОСХОДИТ НЕ БОЛЕЕ~$2^{p-1}$~ИГРОКОВ.) чЕМПИОН
ПРЕВОСХОДИТ ВСЕХ, ПОЭТОМУ ОН ДОЛЖЕН БЫЛ СЫГРАТЬ НЕ МЕНЕЕ
$\ceil{\log_2 n}$~МАТЧЕЙ.
\proofend

тАКИМ ОБРАЗОМ, ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ ВТОРОГО В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА
ПОЛНОСТЬЮ РЕШЕНА В МИНИМАКСНОМ СМЫСЛЕ. в УПР.~6 ПОКАЗАНО, ЧТО МОЖНО ДАТЬ
ПРОСТУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ
ВЫЯВЛЕНИЯ ВТОРОГО ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНО ПРОИЗВОЛЬНОЕ
ЧАСТИЧНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ.

\qsection а ЕСЛИ $t>2$? в УПОМЯНУТОЙ СТАТЬЕ кИСЛИЦЫН ПОШЕЛ ДАЛЬШЕ. оН
РАССМОТРЕЛ БОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ~$t$, ДОКАЗАВ, ЧТО
$$
W_t(n)\le n-t+\sum_{n+1-t<j\le n} \ceil{\log_2 j} \rem{ПРИ~$n\ge t$.}
\eqno  (6)
$$

мЫ ВИДЕЛИ, ЧТО ПРИ~$t=1$ И~$t=2$ ЭТА ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ РАВЕНСТВО;
ПРИ~$t=3$ ОНА МОЖЕТ БЫТЬ СЛЕГКА УЛУЧШЕНА (СМ.~УПР.~21).

мЫ ДОКАЖЕМ ТЕОРЕМУ кИСЛИЦЫНА, ПОКАЗАВ, ЧТО ПЕРВЫЕ $t$~СТАДИЙ \emph{ВЫБОРА
ИЗ ДЕРЕВА} ТРЕБУЮТ НЕ БОЛЕЕ~$n-t+\sum_{n+1-t<j\le n}\ceil{\log_2 j}$
СРАВНЕНИЙ (ИСКЛЮЧАЯ ВСЕ СРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ~$-\infty$). иНТЕРЕСНО, ЧТО
ПРАВАЯ ЧАСТЬ~(6) РАВНА~$B(n)$, КОГДА~$t=n-1$
И~$t=n$ [СМ.~ФОРМУЛУ~(5.3.1-3)]; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА И
БИНАРНЫЕ ВСТАВКИ ПРИВОДЯТ К ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ
СОРТИРОВКИ, ХОТЯ ЭТО СОВЕРШЕННО РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ.

пУСТЬ~$\alpha$---РАСШИРЕННОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ
И~$\pi$---ПЕРЕСТАНОВКА МНОЖЕСТВА~$\set{1,2,~\ldots, n}$. пОМЕСТИМ ЭЛЕМЕНТЫ
ПЕРЕСТАНОВКИ~$\pi$ ВО ВНЕШНИЕ УЗЛЫ СЛЕВА НАПРАВО В СИММЕТРИЧНОМ ПОРЯДКЕ И
ЗАПОЛНИМ ВНУТРЕННИЕ УЗЛЫ В СООТВЕТСТВИИ С ПРАВИЛАМИ ТУРНИРА С ВЫБЫВАНИЕМ
КАК ПРИ ВЫБОРЕ ИЗ ДЕРЕВА. пОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ ВЫБОРА К
РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕМУ ДЕРЕВУ ОПРЕДЕЛЯЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$c_{n-1}
c_{n-2}~\ldots c_1$, ГДЕ $c_j$~ЕСТЬ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЕМЫХ, ЧТОБЫ.
ПЕРЕНЕСТИ ЭЛЕМЕНТ~$j$ В КОРЕНЬ ДЕРЕВА, ПОСЛЕ ТОГО КАК ЭЛЕМЕНТ~$j+1$ БЫЛ
ЗАМЕНЕН НА~$-\infty$. нАПРИМЕР, ЕСЛИ $\alpha$---ДЕРЕВО
\picture{p.256}
%%257
А~$\pi=5\ 3\ 1\ 4\ 2$,ТО МЫ ПОЛУЧАЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ
\picture{p. 257.1}
еСЛИ ЖЕ $\pi=3\ 1\ 5\ 4\ 2$, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$c_4c_3c_2c_1$
БУДЕТ ИНОЙ, ИМЕННО~$2\ 1\ 1\ 0$. лЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО $c_1$~ВСЕГДА ЕСТЬ~0.

пУСТЬ~$\mu(\alpha, \pi)$---МУЛЬТИМНОЖЕСТВО~$\set{c_{n-1}, c_{n-2},~\ldots,
c_1}$, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ~$\alpha$ И~$\pi$. еСЛИ
\picture{p.257.2}
И ЕСЛИ ЭЛЕМЕНТЫ~1 И~2 НЕ СОДЕРЖАТСЯ ОБА ЛИБО В~$\alpha'$, ЛИБО
В~$\alpha''$, ТО ЛЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+1)\uplus (\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0}
\eqno(8)
$$
ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ ПЕРЕСТАНОВОК~$\pi'$ И~$\pi''$, ГДЕ
$(\mu+1)$~ОБОЗНАЧАЕТ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО, ПОЛУЧАЕМОЕ ПРИБАВЛЕНИЕМ~1 К КАЖДОМУ
ЭЛЕМЕНТУ~$\mu$. с ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ЕСЛИ И ЭЛЕМЕНТ~1, И ЭЛЕМЕНТ~2
НАХОДЯТСЯ В~$\alpha'$, ИМЕЕМ
$$
\mu(\alpha, \pi)=(\mu(\alpha', \pi')+\varepsilon)\uplus(\mu(\alpha'', \pi'')+1)\uplus\set{0},
$$
ГДЕ $(\mu+\varepsilon)$~ОБОЗНАЧАЕТ КАКОЕ-НИБУДЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО,
ПОЛУЧАЕМОЕ ПРИБАВЛЕНИЕМ~1 К НЕКОТОРЫМ ЭЛЕМЕНТАМ~$\mu$ И~0 К ОСТАЛЬНЫМ.
аНАЛОГИЧНАЯ ФОРМУЛА СПРАВЕДЛИВА, ЕСЛИ ЭЛЕМЕНТЫ~1 И~2 НАХОДЯТСЯ
В~$\alpha''$. бУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО МУЛЬТИМНОЖЕСТВО~$\mu_1$
МАЖОРИРУЕТ~$\mu_2$, ЕСЛИ~$\mu_1$ И~$\mu_2$ СОДЕРЖАТ РАВНОЕ ЧИСЛО
ЭЛЕМЕНТОВ И $k\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ~$\mu_1$ БОЛЬШЕ ИЛИ
РАВЕН~$k\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА~$\mu_2$ ДЛЯ ВСЕХ~$k$.
оПРЕДЕЛИМ~$\mu(\alpha)$ КАК МАЖОРАНТУ~$\mu(\alpha, \pi)$ ПО ВСЕМ
ПЕРЕСТАНОВКАМ~$\pi$ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО~$\mu(\alpha)$
МАЖОРИРУЕТ~$\mu(\alpha,\pi)$ ПРИ ВСЕХ~$\pi$ И~$\mu(\alpha)=\mu(\alpha, \pi)$
ПРИ НЕКОТОРОМ~$\pi$. пРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ ФОРМУЛЫ ПОКАЗЫВАЮТ, ЧТО
\picture{p.257.3}
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, \dfn{$\mu(\alpha)$ ЕСТЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ВСЕХ РАССТОЯНИЙ
ОТ КОРНЯ ДО ВНУТРЕННИХ УЗЛОВ~$\alpha$.}

%% 258

еСЛИ ЧИТАТЕЛЬ УСЛЕДИЛ ЗА ХОДОМ НАШИХ РАССУЖДЕНИИ, ЕМУ ДОЛЖНО БЫТЬ ЯСНО,
ЧТО ТЕПЕРЬ МЫ ГОТОВЫ ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ кИСЛИЦЫНА~(6), ПОСКОЛЬКУ
$W_t(n)$~МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО $n-1$~ПЛЮС~$t-1$ НАИБОЛЬШИХ
ЭЛЕМЕНТОВ~$\mu(\alpha)$, ГДЕ $\alpha$---ЛЮБОЕ ДЕРЕВО, ИСПОЛЬЗУЕМОЕ ПРИ
СОРТИРОВКЕ ПОСРЕДСТВОМ ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА. мОЖНО ВЫБРАТЬ В КАЧЕСТВЕ~$\alpha$
ПОЛНОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ (СМ.~П.~2.3.4.5); В ЭТОМ СЛУЧАЕ
$$
\eqalignno{
\mu(\alpha) &=\set{\floor{\log_2 1}, \floor{\log_2 2}, \ldots, \floor{\log_2(n-1)}}=\cr
&=\set{\ceil{\log_2 2}-1, \ceil{\log_2 3}-1, \ldots, \ceil{\log_2 n}-1}.
&(10) \cr
}
$$
мЫ ПОЛУЧИМ ФОРМУЛУ~(6), ЕСЛИ РАССМОТРИМ $t-1$~НАИБОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭТОГО
МУЛЬТИМНОЖЕСТВА.

тЕОРЕМА кИСЛИЦЫНА ДАЕТ ХОРОШУЮ ВЕРХНЮЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ~$W_t(n)$; кИСЛИЦЫН
ОТМЕТИЛ, ЧТО~$V_3(5)=6 < W_3(5)=7$, НО НЕ СМОГ НАЙТИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЛУЧШУЮ
ОЦЕНКУ ДЛЯ~$V_t(n)$. эТО БЫЛО СДЕЛАНО а.~аДЬЯНОМ И~м.~сОБЕЛЕМ, КОТОРЫЕ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ \emph{ВЫБОР С ЗАМЕЩЕНИЕМ} ВМЕСТО ВЫБОРА ИЗ ДЕРЕВА
(СМ.~П.~5.4.1). вЫВЕДЕННАЯ ИМИ ФОРМУЛА [Univ.\ of~Minnesota,
Dept.~of~statistics, report~121 (May, 1969)]
$$
V_t(n)\le n-t+(t-1)\ceil{\log_2 (n+2-t)}, \rem{$n\ge t$,}
\eqno(11)
$$
ОТЛИЧАЕТСЯ ОТ~(6) ТЕМ, ЧТО КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ СУММЫ В~(6) ЗАМЕНЕН НА
НАИМЕНЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ.

тЕОРЕМУ аДЬЯНА И~сОБЕЛЯ МОЖНО ДОКАЗАТЬ, ВОСПОЛЬЗОВАВШИСЬ СЛЕДУЮЩИМ
ПОСТРОЕНИЕМ. сНАЧАЛА ОБРАЗУЕМ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО ДЛЯ ТУРНИРА С ВЫБЫВАНИЕМ
$n-t+2$~ЭЛЕМЕНТОВ. (эТО ТРЕБУЕТ $n-t+1$~СРАВНЕНИЙ.) нАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ
ПРЕВОСХОДИТ $n-t+1$~ДРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ПОЭТОМУ ОН НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ~$t\hbox{-М}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ. зАМЕНИМ ЕГО ВО ВНЕШНЕМ УЗЛЕ ДЕРЕВА
НА ОДИН ИЗ $t-2$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОСТАВШИХСЯ В РЕЗЕРВЕ, И НАЙДЕМ НАИБОЛЬШИЙ ИЗ
ПОЛУЧИВШИХСЯ $n-t+2$~ЭЛЕМЕНТОВ; ЭТО ТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $\ceil{\log_2
(n+2-t)}$~СРАВНЕНИЙ, ПОСКОЛЬКУ ПРИДЕТСЯ ЗАНОВО ВЫЧИСЛИТЬ ТОЛЬКО ОДИН
ПУТЬ В ДЕРЕВЕ. пОВТОРИМ ЭТУ ОПЕРАЦИЮ ВСЕГО $t-2$~РАЗ, ПО ОДНОМУ РАЗУ ДЛЯ
КАЖДОГО ЭЛЕМЕНТА ИЗ РЕЗЕРВА. нАКОНЕЦ, ЗАМЕНИМ ТЕКУЩИЙ НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ
НА~$-\infty$ И ОПРЕДЕЛИМ НАИБОЛЬШИЙ ИЗ ОСТАВШИХСЯ $n+1-t$~ЭЛЕМЕНТОВ;
ДЛЯ ЭТОГО ПОТРЕБУЕТСЯ НЕ БОЛЕЕ $\ceil{\log_2 (n+2-t)}-1$~СРАВНЕНИЙ,
И~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИСХОДНОГО МНОЖЕСТВА ПОПАДЕТ В
КОРЕНЬ ДЕРЕВА. сУММИРОВАНИЕ СРАВНЕНИЙ ДАЕТ~(11).

рАЗУМЕЕТСЯ, МЫ ДОЛЖНЫ ЗАМЕНИТЬ~$t$ НА~$n+1-t$ В ПРАВОЙ ЧАСТИ
СООТНОШЕНИЯ~(11), ЕСЛИ $n+1-t$~ДАЕТ ЛУЧШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (КАК ПРИ~$n=6$, $t=3$).
 кАК НИ СТРАННО, НО ЭТА ФОРМУЛА ДАЕТ ДЛЯ~$V_7(13)$ МЕНЬШУЮ ОЦЕНКУ, ЧЕМ
ДЛЯ~$V_6(13)$. вЕРХНЯЯ ОЦЕНКА В~(11) ТОЧНА ДЛЯ~$n\le 6$, НО КОГДА~$n$
И~$t$ СТАНОВЯТСЯ БОЛЬШИМИ, МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЗНАЧИТЕЛЬНО ЛУЧШИЕ ОЦЕНКИ
ДЛЯ~$V_t(n)$.

%%259

нАПРИМЕР, МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ИЗЯЩНЫЙ МЕТОД (ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ дЭВИДУ
дОРЕНУ), ЧТОБЫ ПОКАЗАТЬ, ЧТО~$V_4(8)\le12$. оБОЗНАЧИМ ЭЛЕМЕНТЫ ЧЕРЕЗ~$X_1,
~\ldots, X_8$; СНАЧАЛА СРАВНИМ~$X_1:X_2$, $X_3:X_4$ И ДВУХ ПОБЕДИТЕЛЕЙ,
ПРОДЕЛАЕМ ТО ЖЕ ДЛЯ~$X_5:X_6$, $X_7:X_8$, И ИХ ПОБЕДИТЕЛЕЙ. пЕРЕИМЕНУЕМ
ЭЛЕМЕНТЫ ТАК, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ~$X_1<X_2<X_4>X_3$, $X_5<X_6<X_8>X_7$, ЗАТЕМ
СРАВНИМ~$X_2:X_6$;
В СИЛУ СИММЕТРИИ ПОЛОЖИМ~$X<2<X_6$, ПОЭТОМУ ИМЕЕМ КОНФИГУРАЦИЮ
\picture{p.259.1}
(тЕПЕРЬ~$X_1$ И~$X_8$ ВЫШЛИ ИЗ ИГРЫ, И МЫ ДОЛЖНЫ НАЙТИ ТРЕТИЙ В ПОРЯДКЕ
УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ~$\set{X_2,~\ldots, X_7}$.) сРАВНИМ~$X_2:X_7$, И
ОТБРОСИМ МЕНЬШИЙ; В ХУДШЕМ СЛУЧАЕ ПОЛУЧИМ~$X_2<X_7$, И НАМ НАДО НАЙТИ
ТРЕТИЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ
\picture{p.259.2}
эТО МОЖНО СДЕЛАТЬ ЕЩЕ ЗА $V_3(5)-2=4$~ШАГА, ТАК КАК ПРОЦЕДУРА ДЛЯ~$t=3$
И~$n=5$ В~(11) НАЧИНАЕТСЯ СО СРАВНЕНИЯ ДВУХ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПАР ЭЛЕМЕНТОВ.

мОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДРУГИЕ ТРЮКИ ПОДОБНОГО ВИДА, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ,
ПОКАЗАННЫЕ В ТАБЛ.~1; ДО СИХ ПОР НЕ ВИДНО НИКАКОГО ОБЩЕГО МЕТОДА, И
ЗНАЧЕНИЯ В ТАБЛИЦЕ ДЛЯ~$n\ge8$ МОГУТ ПРЕТЕРПЕТЬ ИЗМЕНЕНИЯ. зАМЕТИМ,
ЧТО~$V_3(10)\le 14$, ПОЭТОМУ (11)~НЕ ВСЕГДА ДАЕТ РАВЕНСТВО ДЛЯ~$t=3$. тОТ
ФАКТ, ЧТО~$V_4(7)=10$, ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО СООТНОШЕНИЕ~(11) ПРИВОДИТ К ОШИБКЕ
НА~2 УЖЕ ПРИ~$n=7$.

нЕПЛОХУЮ НИЖНЮЮ ОЦЕНКУ В ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ПОЛУЧИЛ дЭВИД кИРКПАТРИК
(Ph.~D.~thesis, Univ.\ of~Toronto, 1974]. пОСТРОЕННЫЙ ИМ ДЬЯВОЛ
ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
$$
V_t(n)>n+t-3+\sum_{0\le j\le t-2}\ceil{\log_2((n+2-t)/(t+j))},
\rem{$n\ge 2t-1$.}
\eqno(12)
$$
кИРКПАТРИК ТОЧНО УСТАНОВИЛ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$V_t(n)$ ПРИ~$t=3$, ДОКАЗАВ,
ЧТО~$V_3(n)=n+\ceil{\log_2 ((n-1)/2.5)}+\ceil{\log_2((n-1)/4)}$ ПРИ
ВСЕХ~$n\ge 50$ (СР.~С~УПР.~22).

\section лИНЕЙНЫЙ МЕТОД. еСЛИ $n$~НЕЧЕТНО И~$t=\ceil{n/2}$,
ТО~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ (И~$t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ)
ЭЛЕМЕНТ НАЗЫВАЕТСЯ МЕДИАНОЙ. в СООТВЕТСТВИИ С~(11) МЫ МОЖЕМ НАЙТИ МЕДИАНУ~$n$
%%260
{\catcode`\!=\active\def!{\hbox to 0 pt{${}^*$\hss}}
\htable{тАБЛИЦА 1}%
{нАИЛУЧШИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ ВЕРХНИХ ОЦЕНОК ДЛЯ $V_t(n)$}%
{\strut\bskip\hfill$#$\bskip&&\bskip\hfill$#$\bskip\cr
n  & V_1(n) & V_2(n) & V_3(n) & V_4(n) &  V_5(n) & V_6(n) & V_7(n) & V_8(n) & V_9(n) & V_{10}(n)\cr
\noalign{\hrule}
 1 & 0 \cr
 2 & 1 &  1 \cr
 3 & 2 &  3 & 2  \cr
 4 & 3 &  4 & 4  &  3 \cr
 5 & 4 &  6 & 6  &  6 &  4 \cr
 6 & 5 &  7 & 8  &  8 &  7 &  5 \cr
 7 & 6 &  8 & 10 & 10!& 10 &  8 &  6\cr
 8 & 7 &  9 & 11 & 12 & 12 & 11 &  9 & 7\cr
 9 & 8 & 11 & 12 & 14 & 15!& 14 & 12 & 11  &  8\cr
10 & 9 & 12 & 14!& 15 & 17 & 17 & 15 & 14! & 12 & 9 \cr
\noalign{\hrule}
\multispan{11}\hbox{$*$)~в ЭТИХ СЛУЧАЯХ УПР.~10--12 ДАЮТ ПОСТРОЕНИЯ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УЛУЧШИТЬ~(11).}\cr
}}%
ЭЛЕМЕНТОВ ЗА $\approx {1\over2}n\log_2 n$~СРАВНЕНИЙ, НО ЭТО ЛИШЬ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО
ВДВОЕ БЫСТРЕЕ СОРТИРОВКИ, ХОТЯ НАМ НУЖНА ЗНАЧИТЕЛЬНО МЕНЬШАЯ ИНФОРМАЦИЯ.
в ТЕЧЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ЛЕТ ОБЎЕДИНЕННЫЕ УСИЛИЯ РЯДА ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ БЫЛИ
НАПРАВЛЕНЫ НА УЛУЧШЕНИЕ ФОРМУЛЫ~(11) ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ~$t$ И~$n$;
НАКОНЕЦ, В 1971~Г. мАНУЭЛЬ бЛУМ ОТКРЫЛ МЕТОД, ТРЕБУЮЩИЙ ТОЛЬКО
$O(n \log \log n)$~ШАГОВ. пОДХОД бЛУМА К ЭТОЙ ЗАДАЧЕ ДАЛ ТОЛЧОК К РАЗВИТИЮ
НОВОГО КЛАССА МЕТОДОВ, КОТОРЫЙ ПРИВЕЛ К СЛЕДУЮЩЕМУ ПОСТРОЕНИЮ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕМУ
р.~рАЙВЕСТУ И~р.~тАРЬЯНУ.

\proclaim тЕОРЕМА~L. еСЛИ~$n>32$, ТО~$V_t(n)\le 15n-163$ ПРИ~$1\le t\le n$.

\proof кОГДА $n$~МАЛО, ТЕОРЕМА ТРИВИАЛЬНА, ТАК
КАК~$V_t(n)\le S(n)\le 10n\le 15n-163$  ДЛЯ~$32<n\le 2^{10}$. дОБАВИВ
САМОЕ БОЛЬШЕЕ 13~ФИКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ~"$-\infty$", МОЖНО СЧИТАТЬ,
ЧТО~$n=7(2q+1)$ ПРИ НЕКОТОРОМ ЦЕЛОМ~$q\ge 73$. тЕПЕРЬ ДЛЯ
ВЫБОРА $t\hbox{-ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СЛЕДУЮЩИМ
МЕТОДОМ.
\medskip
{\sl шАГ~1.\/}~рАЗОБЬЕМ ЭЛЕМЕНТЫ НА $2q+1$~ГРУПП ПО 7~ЭЛЕМЕНТОВ В КАЖДОЙ И
ОТСОРТИРУЕМ КАЖДУЮ ГРУППУ. эТО ПОТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $13(2q+ 1)$~СРАВНЕНИЙ.

\smallskip
{\sl шАГ~2.\/}~нАЙДЕМ МЕДИАНУ ИЗ $2q+1$~МЕДИАН, ПОЛУЧЕННЫХ НА ШАГЕ~1, И
ОБОЗНАЧИМ ЕЕ~$x$. пРОВЕДЯ ИНДУКЦИЮ ПО~$q$, ЗАМЕЧАЕМ, ЧТО ЭТО ТРЕБУЕТ НЕ
БОЛЕЕ $V_{q+1}(2q+1)\le 30q-148$~СРАВНЕНИЙ.

\smallskip
{\sl шАГ~3.\/}~тЕПЕРЬ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОТЛИЧНЫХ ОТ~$x$, РАЗБИВАЮТСЯ НА ТРИ
МНОЖЕСТВА (РИС.~41):
%%261
\medskip
$4q+3$~ЭЛЕМЕНТОВ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ БОЛЬШЕ~$x$ (ОБЛАСТЬ в);

$4q+3$~ЭЛЕМЕНТОВ, О КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНИ МЕНЬШЕ~$x$ (ОБЛАСТЬ с);

$6q$~ЭЛЕМЕНТОВ, ОТНОШЕНИЕ КОТОРЫХ К~$x$ НЕИЗВЕСТНО (ОБЛАСТИ A, D).
\medskip

\noindent вЫПОЛНИВ ДОПОЛНИТЕЛЬНО $4q$~СРАВНЕНИЙ, МЫ МОЖЕМ В
ТОЧНОСТИ СКАЗАТЬ, КАКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ ОБЛАСТЕЙ~а И~D МЕНЬШЕ~$x$. (сНАЧАЛА МЫ
СРАВНИВАЕМ~$x$ СО СРЕДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ КАЖДОЙ ТРОЙКИ.)
\picture{рИС. 41.           аЛГОРИТМ ВЫБОРА рАЙВЕСТА И тАРЬЯНА ($q=4$).}
\smallskip
{\sl шАГ~4.\/}~тЕПЕРЬ ПРИ НЕКОТОРОМ~$r$ МЫ НАШЛИ $r$~ЭЛЕМЕНТОВ,
БОЛЬШИХ~$x$, И~$n-1-r$~ЭЛЕМЕНТОВ, МЕНЬШИХ~$x$. еСЛИ~$t=r+1$, ТО~$x$ И
БУДЕТ ОТВЕТОМ; ЕСЛИ~$t<r+1$, ТО НАМ НУЖНО НАЙТИ $t\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ В
ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $r$~Б\'ОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ; И ЕСЛИ~$t>r+1$, ТО НАМ НУЖНО
НАЙТИ $(t-1-r)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n-1-r$~МЕНЬШИХ
ЭЛЕМЕНТОВ. сУТЬ ДЕЛА В ТОМ, ЧТО~$r$ И~$n-1-r$ ОБА МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНЫ~$10q+3$
(РАЗМЕР ОБЛАСТЕЙ~а И~D ПЛЮС~в ИЛИ~с). иНДУКЦИЕЙ ПО~$q$ ВЫВОДИМ, ЧТО ЭТОТ
ШАГ ТРЕБУЕТ НЕ БОЛЕЕ $15(10q+3)-163$~СРАВНЕНИЙ.
\medskip

оБЩЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ ОКАЗЫВАЕТСЯ НЕ БОЛЬШЕ
$$
13(2q+1)+30q-148+4q+15(10q+3)-163=15(14q-6)-163.
$$
тАК КАК МЫ НАЧАЛИ С НЕ МЕНЕЕ $14q-6$~ЭЛЕМЕНТОВ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО.
\proofend

мЕТОД, ИСПОЛЬЗОВАННЫЙ В ЭТОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ, НЕ ВПОЛНЕ СОВЕРШЕННЫЙ,
ПОСКОЛЬКУ НА ШАГЕ~4 ТЕРЯЕТСЯ ЗНАЧИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ. тЩАТЕЛЬНЫЕ
УЛУЧШЕНИЯ, ПРОДЕЛАННЫЕ в.~пРАТТОМ,
%%262
р.~рАЙВЕСТОМ И~р.~тАРЬЯНОМ, ПОКАЗЫВАЮТ, ЧТО КОНСТАНТУ~15 МОЖНО УМЕНЬШИТЬ
ДО~$5.43$.

\section сРЕДНЕЕ ЧИСЛО. вМЕСТО МИНИМИЗАЦИИ \emph{МАКСИМАЛЬНОГО} ЧИСЛА
СРАВНЕНИЙ МОЖНО ИСКАТЬ АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ МИНИМИЗИРУЕТ
\emph{СРЕДНЕЕ} ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО ПОРЯДОК СЛУЧАЕН. кАК
ОБЫЧНО, ЭТА ЗАДАЧА ЗНАЧИТЕЛЬНО ТРУДНЕЕ, И ОНА ВСЕ ЕЩЕ НЕ РЕШЕНА ДАЖЕ В
СЛУЧАЕ~$t=2$. кЛОД пИКАР УПОМЯНУЛ ЭТУ ЗАДАЧУ В СВОЕЙ
\picture{
  рИС.~42. пРОЦЕДУРА, КОТОРАЯ ВЫБИРАЕТ ВТОРОЙ ЭЛЕМЕНТ
  ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6}$, ИСПОЛЬЗУЯ В СРЕДНЕМ
  $6{1\over2}$~СРАВНЕНИЙ.
кАЖДАЯ "СИММЕТРИЧНАЯ" ВЕТВЬ ИДЕНТИЧНА СВОЕМУ БРАТУ, ОДНАКО ИМЕНА
ПЕРЕСТАВЛЕНЫ СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ. вО ВНЕШНИХ УЗЛАХ ЗАПИСАНО~$j\ k$,
ЕСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО $X_j$---ВТОРОЙ, a $X_k$---НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ; ЧИСЛО
ПЕРЕСТАНОВОК, ПРИВОДЯЩИХ К ЭТОМУ УЗЛУ, ЗАПИСАНО НЕПОСРЕДСТВЕННО ПОД НИМ.
}
КНИГЕ Th\'eorie des Questionnaires (1965), ШИРОКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БЫЛО
ПРЕДПРИНЯТО мИЛТОНОМ сОБЕЛЕМ [Univ.~of Minnesota, Dept.~of Statistics,
report~113 (November, 1968)].

сОБЕЛЬ ПОСТРОИЛ ПРОЦЕДУРУ, ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~42, КОТОРАЯ НАХОДИТ
ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ ИЗ ШЕСТИ  ЭЛЕМЕНТОВ, В СРЕДНЕМ ИСПОЛЬЗУЯ
ТОЛЬКО $6{1\over2}$~СРАВНЕНИЙ. в ХУДШЕМ
%%263
СЛУЧАЕ ТРЕБУЕТСЯ 8~СРАВНЕНИЙ, И ЭТО ХУЖЕ, ЧЕМ~$V_2(6)=7$;
НО ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ЭТОЙ ЗАДАЧИ, ТРЕБУЮЩИЕ НЕ
БОЛЕЕ 7~СРАВНЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЮТ В СРЕДНЕМ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$6{2\over3}$~СРАВНЕНИЙ. тАКИМ ОБРАЗОМ, ВЕРОЯТНО, НИКАКАЯ ПРОЦЕДУРА
НАХОЖДЕНИЯ ВТОРОГО ИЗ ШЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ НЕ БУДЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ОДНОВРЕМЕННО
И КАК МИНИМАКСНАЯ, И КАК МИНИМИЗИРУЮЩАЯ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ.

пУСТЬ $\bar V(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ $t\hbox{-ГО}$~ЭЛЕМЕНТА В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ. в СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПОКАЗАНЫ НАИЛУЧШИЕ ИЗВЕСТНЫЕ ВЕРХНИЕ
ОЦЕНКИ ДЛЯ~$\bar V_2(n)$, ВЫЧИСЛЕННЫЕ сОБЕЛЕМ:
{\catcode`\!=\active\def!#1,#2/#3.{#1{#2\over#2}}
$$
\vbox{
\halign{
\hfill$#$\bskip&&\bskip$#$\hfill\bskip\cr
n=2& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \cr
\bar V_2(n)\le 1& !2,2/3. & 4 & !5,4/15. & !6,1/2. & !7,17/21. & 9 & !10,
1/15. & !11,4/135.\cr
}}
\eqno(13)
$$
}
сОБЕЛЬ ПРЕДПОЛОЖИЛ, ЧТО
$$
\bar V_2(n)\ge n-2+\floor{2\log_2 n}/2.
\eqno(14)
$$

р.~у.~фЛОЙД В 1970~Г.\ ОБНАРУЖИЛ, ЧТО МЕДИАНА $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
В СРЕДНЕМ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА ВСЕГО ЗА ${3\over2}n+O\left(n^{2\over3}\log
n\right)$~СРАВНЕНИЙ. (сМ.~УПР.~13.) фАКТИЧЕСКИ ОН ДОКАЗАЛ, ЧТО
$$
\bar V_t(n)\le n+t+f(n), \rem{ГДЕ $\lim_{n\to\infty} f(n)/n=0$.}
\eqno(15)
$$

пРЕДПОЛАГАЕТСЯ, ЧТО ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ ЯВЛЯЕТСЯ НАИЛУЧШЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ФОРМУЛОЙ, ОДНАКО НИКАКОЙ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЙ НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ ВСЕ ЕЩЕ НЕ НАЙДЕНО.

\excercises
\ex[15] пОЧЕМУ В ТУРНИРЕ лЬЮИСА кЭРРОЛА (РИС.~39 И~40) ИГРОК~$13$
ВЫБЫВАЕТ, НЕСМОТРЯ НА ТО ЧТО ОН ВЫИГРАЛ СВОЙ МАТЧ В ТРЕТЬЕМ ТУРЕ?

\rex[м25] дОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ НАШЛИ С ПОМОЩЬЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СРАВНЕНИЙ $t\hbox{-Й}$ ЭЛЕМЕНТ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ, МЫ ТАКЖЕ ЗНАЕМ, КАКИЕ $t-1$~ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШЕ НЕГО И КАКИЕ
$n-t$~ЭЛЕМЕНТОВ МЕНЬШЕ.

\ex[M21] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$V_t(n)\ge V_t(n-1)+1$ ПРИ~$1\le t \le n$.

\ex[м20] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_t(n)\ge\ceil{\log_2 n^{t\atop -}}$,
ГДЕ~$n^{t\atop -}=n(n-1) \ldots (n+1-t)$.

\ex[10] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_3(n)\le V_3(n)+1$.

\rex[м26] (р.~у.~фЛОЙД.) дАНО $n$~РАЗЛИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ~$\set{X_1,~\ldots,
X_n}$ И ОТНОШЕНИЯ~$X_i<X_j$ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПАР~$(i, j)$. мЫ ХОТИМ НАЙТИ
ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ. еСЛИ ИЗВЕСТНО, ЧТО~$X_i<X_j$
И~$X_i<X_k$ ПРИ~$j\ne k$, ТО~$X_i$ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВТОРЫМ ЭЛЕМЕНТОМ, ПОЭТОМУ
ЕГО МОЖНО ИСКЛЮЧИТЬ. в РЕЗУЛЬТАТЕ
%%264
ОТНОШЕНИЯ БУДУТ ИМЕТЬ ВИД
\picture{p.264}
А ИМЕННО ОБРАЗУЕТСЯ $m$~ГРУПП ЭЛЕМЕНТОВ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ
ВЕКТОРОМ~$(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$; $j\hbox{-Я}$~ГРУППА СОДЕРЖИТ
$l_j+1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ПРО ОДИН ИЗ КОТОРЫХ ИЗВЕСТНО, ЧТО ОН БОЛЬШЕ ОСТАЛЬНЫХ.
 нАПРИМЕР, ИЗОБРАЖЕННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ОПИСАНА ВЕКТОРОМ~$(3, 2,
4, 0, 1)$; ЕСЛИ НИ ОДНОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИЗВЕСТНО, ТО ИМЕЕМ ВЕКТОР ИЗ $n$~НУЛЕЙ.

пУСТЬ~$f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, НУЖНЫХ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВТОРОГО ЭЛЕМЕНТА ТАКОГО ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОГО
МНОЖЕСТВА. дОКАЖИТЕ, ЧТО
$$
f(l_1, l_2,~\ldots, l_m)=m-2+\ceil{\log_2(2^{l_1}+2^{l_2}+\cdots+2^{l_m})}.
$$
[\emph{уКАЗАНИЕ.} пОКАЖИТЕ, ЧТО НАИЛУЧШАЯ СТРАТЕГИЙ ВСЕГДА СОСТОИТ В ТОМ,
ЧТОБЫ  СРАВНИВАТЬ НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДВУХ САМЫХ МАЛЕНЬКИХ ГРУПП, ПОКА НЕ
СВЕДЕМ ОТ К ЕДИНИЦЕ; ИСПОЛЬЗУЙТЕ ИНДУКЦИЮ Пo~$l_1+l_2+\cdots+l_m+2m$.]

\ex[м20] дОКАЖИТЕ~(8).

\ex[м21] фОРМУЛА кИСЛИЦЫНА~(6) ОСНОВАНА НА СОРТИРОВКЕ ПОСРЕДСТВОМ ВЫБОРА
ИЗ ДЕРЕВА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ ПОЛНОЕ БИНАРНОЕ ДЕРЕВО С $n$~ВНЕШНИМИ УЗЛАМИ.
мОЖЕТ ЛИ ВЫБОР ИЗ ДЕРЕВА, ОСНОВАННЫЙ НА НЕКОТОРОМ \emph{ДРУГОМ} ДЕРЕВЕ,
 ДАТЬ ЛУЧШУЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ КАКИХ-НИБУДЬ $t$ u~$n$?

\rex[20] нАРИСУЙТЕ ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ МЕДИАНЫ ПЯТИ
ЭЛЕМЕНТОВ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА ШЕСТЬ ШАГОВ, ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОД ВЫБОРА С
ЗАМЕЩЕНИЕМ аДЬЯНА И~сОБЕЛЯ [СМ.~(11)].

\ex[35] пОКАЖИТЕ, ЧТО МЕДИАНА СЕМИ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА НЕ БОЛЕЕ
ЧЕМ ЗА 10~ШАГОВ.

\ex[28] (аДЬЯН И~сОБЕЛЬ.) рАСШИРИВ МЕТОД дОРЕНА, СФОРМУЛИРОВАННЫЙ В ТЕКСТЕ,
ПОКАЖИТЕ, ЧТО МЕДИАНА ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ЗА
15~ШАГОВ.

\ex[21] (аДЬЯН И~сОБЕЛЬ.) дОКАЖИТЕ, ЧТО~$V_3(n)\le V_3(n-1)+2$.
[\emph{уКАЗАНИЕ:} НАЧНИТЕ С УДАЛЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4}$.]

\rex[вм28] (р.~у.~фЛОЙД.) пОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ НАЧАТЬ С НАХОЖДЕНИЯ
МЕДИАНЫ~$\set{X_1,~\ldots, X_{n^{2/3}}}$, ИСПОЛЬЗУЯ РЕКУРСИВНО
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ МЕТОД, ТО МОЖНО
НАЙТИ МЕДИАНУ~$\set{X_1,~\ldots, X_n}$, ВЫПОЛНИВ В СРЕДНЕМ
${3\over2}n+O(n^{2/3}\log n)$~СРАВНЕНИЙ.

\rex[20] (м.~сОБЕЛЬ.) пОКАЖИТЕ, ЧТО, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ ПЯТИ СРАВНЕНИЙ,
 МОЖНО НАЙТИ ДВА НАИБОЛЬШИЕ ЭЛЕМЕНТА ИЗ~$\set{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}$,
ЕСЛИ НЕ ВАЖЕН ИХ ВЗАИМНЫЙ ПОРЯДОК.

\ex[22] (и.~пОЛ.) пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО НАС ИНТЕРЕСУЕТ МИНИМИЗАЦИЯ
ПРОСТРАНСТВА, А НЕ ВРЕМЕНИ. кАКОЕ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СЛОВ ПАМЯТИ
ТРЕБУЕТСЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ~$t\hbox{-ГО}$ ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ КАЖДЫЙ
ЭЛЕМЕНТ ЗАНИМАЕТ ОДНО СЛОВО И ЭЛЕМЕНТЫ ВВОДЯТСЯ В ОСОБЫЙ РЕГИСТР ПО ОДНОМУ?

\rex[25] (и.~пОЛ.) пОКАЖИТЕ, ЧТО МЫ МОЖЕМ НАЙТИ ОДНОВРЕМЕННО МАКСИМУМ И
МИНИМУМ МНОЖЕСТВА ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ
$\ceil{{3\over2}n}-2$~СРАВНЕНИЙ, И ЭТО ЧИСЛО НЕ МОЖЕТ БЫТЬ УМЕНЬШЕНО.
[\emph{уКАЗАНИЕ.} лЮБАЯ СТАДИЯ ТАКОГО АЛГОРИТМА МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА
ЧЕТВЕРКОЙ~$(a, b, c, d)$, ГДЕ $a$~ЭЛЕМЕНТОВ ВООБЩЕ НЕ СРАВНИВАЛИСЬ,
$b$~ЭЛЕМЕНТОВ ВЫИГРЫВАЛИ, НО НИКОГДА НЕ ПРОИГРЫВАЛИ,
%%265
$c$~ПРОИГРЫВАЛИ, НО НИКОГДА НЕ ВЫИГРЫВАЛИ, $d$~КАК ВЫИГРЫВАЛИ,
ТАК И ПРОИГРЫВАЛИ. пОСТРОЙТЕ ПОДХОДЯЩЕГО ДЬЯВОЛА.]

\ex[20] (р.~у.~фЛОЙД.) пОКАЖИТЕ, ЧТО МОЖНО ВЫБРАТЬ $k$~НАИБОЛЬШИХ
И~$l$~НАИМЕНЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА ИЗ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ НЕ БОЛЕЕ
$\ceil{{3\over2}n}-k-l+\sum_{n+1-k<j\le n}\ceil{\log_2 j}+\sum_{n+1-l<j\le n}\ceil{\log_2j}$~СРАВНЕНИЙ.

\ex[м20] еСЛИ БЫ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~L БЫЛИ ИСПОЛЬЗОВАНЫ
ГРУППЫ РАЗМЕРА~5, А НЕ~7, ТО КАКАЯ БЫ ПОЛУЧИЛАСЬ ТЕОРЕМА?

\ex[м44] нАЙДИТЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\bar V_2(6)$. мОЖЕТ ЛИ ОНО ДОСТИГАТЬСЯ В
ПРОЦЕДУРЕ, НИКОГДА НЕ ВЫПОЛНЯЮЩЕЙ БОЛЕЕ СЕМИ СРАВНЕНИЙ?

\ex[м47] дОКАЖИТЕ (ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ) ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ сОБЕЛЯ~(13).

\ex[25] (с.~лИН.) дОКАЖИТЕ, ЧТО~$W_3(2^k+2)\le 2^k+2k$, ЕСЛИ~$k\ge3$.

\ex[24] (дЭВИД г.~кИРКПАТРИК.) пОКАЖИТЕ, ЧТО В
СЛУЧАЕ~$4\cdot2^k<n-1<5\cdot2^k$ ВЕРХНЯЯ ОЦЕНКА~(11) ДЛЯ~$V_3(n)$ МОЖЕТ
БЫТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ УМЕНЬШЕНА НА~1: (i)~оБРАЗУЙТЕ ЧЕТЫРЕ "ДЕРЕВА С
ВЫБЫВАНИЕМ" РАЗМЕРА~$2^k$. (ii)~нАЙДИТЕ МИНИМАЛЬНЫЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХ МАКСИМУМОВ
И УДАЛИТЕ ВСЕ $2^k$~ЭЛЕМЕНТОВ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ДЕРЕВА. (iii)~иСПОЛЬЗУЯ
НАКОПЛЕННУЮ ИНФОРМАЦИЮ, ПОСТРОЙТЕ ОДНО ДЕРЕВО С ВЫБЫВАНИЕМ
РАЗМЕРА~$n-1-2^k$. (iv)~пРОДОЛЖАЙТЕ, КАК ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ~(11).

\ex[м49] кАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$V_{\ceil{n/2}}(n)$ ПРИ~$n\to\infty$?

\ex[м48] кАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\bar V_{\ceil{n/2}}(n)$
ПРИ~$n\to\infty$?

\subsubchap{сЕТИ СОРТИРОВКИ} %5.3.4
в НАСТОЯЩЕМ ПУНКТЕ МЫ БУДЕМ ИЗУЧАТЬ КЛАСС МЕТОДОВ СОРТИРОВКИ,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕКОТОРОМУ ОГРАНИЧЕНИЮ. иНТЕРЕС К ТАКИМ МЕТОДАМ
ОБЎЯСНЯЕТСЯ В ОСНОВНОМ ПРИЛОЖЕНИЯМИ И СОЛИДНОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ОСНОВОЙ.
эТО НОВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ ТРЕБУЕТ, ЧТОБЫ \emph{ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СРАВНЕНИЙ НЕ
ЗАВИСЕЛА ОТ ПРЕДЫСТОРИИ}%
\note{1}%
{в ПЕРВОЙ РЕДАКЦИИ КНИГИ АВТОР НАЗЫВАЛ ТАКУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ОДНОРОДНОЙ.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}}
В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ЕСЛИ МЫ СРАВНИВАЕМ~$K_i$ И~$K_j$, ТО ПОСЛЕДУЮЩИЕ
СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i<K_j$ В ТОЧНОСТИ ТЕ ЖЕ, ЧТО И
ДЛЯ СЛУЧАЯ~$K_i>K_j$, ОДНАКО~$i$ И~$j$ МЕНЯЮТСЯ РОЛЯМИ. нА
РИС.~43(А) ИЗОБРАЖЕНО ДЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, В КОТОРОМ ЭТО УСЛОВИЕ
ВЫПОЛНЕНО. (зАМЕТИМ, ЧТО НА КАЖДОМ УРОВНЕ ПРОИЗВОДИТСЯ ОДИНАКОВОЕ
ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПОЭТОМУ ПОСЛЕ $m$~СРАВНЕНИЙ ИМЕЕТСЯ $2^m$~РЕЗУЛЬТАТОВ;
ТАК КАК~$n!$ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2, ТО НЕКОТОРЫЕ СРАВНЕНИЯ БУДУТ
ИЗЛИШНИМИ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ОДНО ИЗ ИХ ПОДДЕРЕВЬЕВ НИКОГДА НЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ
НА ПРАКТИКЕ. иНЫМИ СЛОВАМИ, НА НЕКОТОРЫХ ВЕТВЯХ ДЕРЕВА ПРИХОДИТСЯ
ВЫПОЛНЯТЬ БОЛЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ НЕОБХОДИМО, ЧТОБЫ СОРТИРОВКА БЫЛА
ПРАВИЛЬНОЙ НА ВСЕХ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ВЕТВЯХ.)

тАК КАК КАЖДЫЙ ПУТЬ ТАКОГО ДЕРЕВА СВЕРХУ ДОНИЗУ ОПРЕДЕЛЯЕТ ВСЕ ДЕРЕВО,
ТО ПОДОБНУЮ СХЕМУ СОРТИРОВКИ ПРОЩЕ ИЗОБРАЖАТЬ В ВИДЕ \dfn{СЕТИ,} КАК НА
РИС.~43(b). пРЯМОУГОЛЬНИКИ В ТАКОЙ СЕТИ ПРЕДСТАВЛЯЮТ "КОМПАРАТОРНЫЕ
МОДУЛИ", ИМЕЮЩИЕ ДВА ВХОДА (ИЗОБРАЖЕННЫЕ ЛИНИЯМИ, ВХОДЯЩИМИ В МОДУЛЬ СВЕРХУ)
%%266
\picture{рИС. 43. дЕРЕВО СРАВНЕНИЙ, В КОТОРОМ НЕ УЧИТЫВАЕТСЯ ПРЕДЫСТОРИЯ,
(a) И СООТВЕТСТВУЮЩАЯ СЕТЬ~(b).}
%%267
И ДВА ВЫХОДА (ИЗОБРАЖЕННЫЕ ЛИНИЯМИ, ВЫХОДЯЩИМИ ВНИЗ); ЛЕВЫЙ ВЫХОД ЕСТЬ
МЕНЬШИЙ ИЗ ДВУХ ВХОДОВ, А ПРАВЫЙ ВЫХОД---БОЛЬШИЙ ИЗ НИХ. эЛЕМЕНТ~$K'_1$ В
НИЖНЕЙ ЧАСТИ СЕТИ ЕСТЬ НАИМЕНЬШИЙ ИЗ~$\set{K_1, K_2, K_3, K_4}$,
$K'_2$---ВТОРОЙ В ПОРЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ И~Т.~Д. нЕТРУДНО ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЛЮБАЯ
СЕТЬ СОРТИРОВКИ СООТВЕТСТВУЕТ ДЕРЕВУ СРАВНЕНИЙ, ОБЛАДАЮЩЕМУ СВОЙСТВОМ
НЕЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРЕДЫСТОРИИ (В УКАЗАННОМ ВЫШЕ СМЫСЛЕ), И ЧТО ЛЮБОЕ
ТАКОЕ ДЕРЕВО СООТВЕТСТВУЕТ СЕТИ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

мЕЖДУ ПРОЧИМ ЗАМЕТИМ, ЧТО С ИНЖЕНЕРНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ
ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ИЗГОТОВИТЬ. пРЕДПОЛОЖИМ, НАПРИМЕР, ЧТО ПО ЛИНИЯМ СВЯЗИ В
МОДУЛЬ ПОСТУПАЮТ ДВОИЧНЫЕ ЧИСЛА ПО ОДНОМУ БИТУ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ, НАЧИНАЯ
СО СТАРШЕГО. кАЖДЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ ИМЕЕТ ТРИ СОСТОЯНИЯ И
ФУНКЦИОНИРУЕТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
$$
\matrix{
\multispan{3}\hfill\hbox{мОМЕНТ $t$}\hfill &\multispan{3}\hfill \hbox{мОМЕНТ $(t+1)$}\hfill\cr
\hbox{сОСТОЯНИЕ} & \hbox{вХОДЫ}\hfill\span & \hbox{сОСТОЯНИЕ} &\hbox{вЫХОДЫ}\hfill\span\cr
0                & 0 & 0                   & 0                & 0 & 0\cr
0                & 0 & 1                   & 1                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 0                   & 2                & 0 & 1\cr
0                & 1 & 1                   & 0                & 1 & 1\cr
1                & x & y                   & 1                & x & y\cr
2                & x & y                   & 2                & y & x\cr
}
$$
пЕРВОНАЧАЛЬНО ВСЕ МОДУЛИ НАХОДЯТСЯ В СОСТОЯНИИ~0 И ВЫДАЮТ~$00$. мОДУЛЬ
ПЕРЕХОДИТ В СОСТОЯНИЕ~1 ИЛИ~2, КАК ТОЛЬКО ЕГО ВХОДЫ СТАНУТ РАЗЛИЧНЫМИ.
чИСЛА, КОТОРЫЕ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ~$t$ НАЧАЛИ ПОСТУПАТЬ СВЕРХУ В СЕТЬ,
СООТВЕТСТВУЮЩУЮ РИС.~43(b), НАЧНУТ В МОМЕНТ~$t+3$ ВЫВОДИТЬСЯ СНИЗУ В
ОТСОРТИРОВАННОМ
\picture{рИС.~44. еЩЕ ОДИН СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОРТИРОВКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $\langle 4, 1, 3, 2\rangle$ ПОСРЕДСТВОМ СЕТИ,
ИЗОБРАЖЕННОЙ НА РИС.~43.}
ПОРЯДКЕ, ЕСЛИ ВКЛЮЧИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЗАДЕРЖИВАЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ В
ЛИНИЯХ~$K'_1$ И~$K'_4$.

дЛЯ РАЗРАБОТКИ ТЕОРИИ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ УДОБНО ИЗОБРАЖАТЬ ИХ НЕСКОЛЬКО
ИНЫМ СПОСОБОМ (РИС.~44). нА ЭТОМ РИСУНКЕ ЧИСЛА ПОСТУПАЮТ СЛЕВА, А
КОМПАРАТОРНЫЕ МОДУЛИ ИЗОБРАЖЕНЫ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СОЕДИНЕНИЯМИ МЕЖДУ ДВУМЯ
ПРЯМЫМИ; КАЖДЫЙ
%%268
КОМПАРАТОР ВЫЗЫВАЕТ, ЕСЛИ НЕОБХОДИМО, ПЕРЕСТАНОВКУ СВОИХ ВХОДОВ ТАКИМ
ОБРАЗОМ, ЧТО ПОСЛЕ ПРОХОЖДЕНИЯ КОМПАРАТОРА БОЛЬШЕЕ ЧИСЛО ОКАЗЫВАЕТСЯ НА
НИЖНЕЙ ЛИНИИ. в ПРАВОЙ ЧАСТИ ДИАГРАММЫ ВСЕ ЧИСЛА УПОРЯДОЧЕНЫ СВЕРХУ ВНИЗ.

рАНЕЕ, ИЗУЧАЯ ОПТИМАЛЬНУЮ СОРТИРОВКУ, МЫ УДЕЛЯЛИ ОСНОВНОЕ ВНИМАНИЕ
МИНИМИЗАЦИИ ЧИСЛА СРАВНЕНИЙ, ПОЧТИ (ИЛИ СОВСЕМ)
\picture{рИС.~45. пОЛУЧЕНИЕ $(n+1)$-ЭЛЕМЕНТНОГО СОРТИРОВЩИКА ИЗ
$n$-ЭЛЕМЕНТНОГО: (a)---ВСТАВКА; (b)---ВЫБОР.}
НЕ УЧИТЫВАЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ДАННЫХ ИЛИ СЛОЖНОСТЬ СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЙ МЕТОДА
СОРТИРОВКИ. в ЭТОМ ОТНОШЕНИИ СЕТИ СОРТИРОВКИ ИМЕЮТ НЕКОТОРОЕ ПРЕИМУЩЕСТВО,
ТАК КАК ДАННЫЕ МОГУТ ХРАНИТЬСЯ В $n$~ЯЧЕЙКАХ, А СТРУКТУРА РЕШЕНИЙ
"ПРЯМОЛИНЕЙНА"; НЕТ НЕОБХОДИМОСТИ ЗАПОМИНАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ ПРЕДЫДУЩИХ
СРАВНЕНИЙ---ПЛАН НЕИЗМЕНЕН И ФИКСИРОВАН ЗАРАНЕЕ. еЩЕ ОДНИМ ВАЖНЫМ
\picture{рИС.~46. сЕТЕВЫЕ АНАЛОГИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СХЕМ
ВНУТРЕННЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОЛУЧЕННЫЕ МНОГОКРАТНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ ОПЕРАЦИИ,
ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА РИС.~45: (a)---ПРОСТАЯ ВСТАВКА; (b)---МЕТОД ПУЗЫРЬКА.}
ПРЕИМУЩЕСТВОМ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО ЧАСТЬ ОПЕРАЦИЙ МОЖНО
СОВМЕСТИТЬ, ЕСЛИ ВЫПОЛНЯТЬ ИХ ОДНОВРЕМЕННО (НА ПОДХОДЯЩЕЙ МАШИНЕ).
нАПРИМЕР, ПЯТЬ ШАГОВ НА РИС.~43 И~44 СОКРАЩАЮТСЯ ДО ТРЕХ, ЕСЛИ ДОПУСТИТЬ
ОДНОВРЕМЕННЫЕ НЕПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СРАВНЕНИЯ, ТАК КАК МОЖНО ОБЎЕДИНИТЬ
ПЕРВЫЕ ДВА И СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ШАГА; ПОЗДНЕЕ В ДАННОМ ПУНКТЕ МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ
%%269
ЭТО СВОЙСТВО СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ. тАКИМ ОБРАЗОМ, СЕТИ СОРТИРОВКИ МОГУТ БЫТЬ
ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНЫ, ХОТЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ
$n$~ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ БОЛЬШИХ~$n$ ВОВСЕ НЕ ОЧЕВИДНА; ВОЗМОЖНО, МЫ ОБНАРУЖИМ,
ЧТО ДЛЯ ПОДДЕРЖАНИЯ ОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ РЕШЕНИЙ ТРЕБУЕТСЯ МНОГО
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ.

иМЕЕТСЯ ДВА ПРОСТЫХ СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ. ДЛЯ
$n+1$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ДАНА СЕТЬ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ: С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИБО
ПРИНЦИПА \emph{ВСТАВКИ,} ЛИБО ПРИНЦИПА \emph{ВЫБОРА.} нА
\picture{рИС.~47. пРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ВЫПОЛНЕНИИ ОПЕРАЦИЙ ПРОСТАЯ ВСТАВКА
СОВПАДАЕТ С МЕТОДОМ ПУЗЫРЬКА!}
РИС.~45(a) ПОКАЗАНО, КАК $(n+1)\hbox{-Й}$~ЭЛЕМЕНТ МОЖЕТ БЫТЬ ВСТАВЛЕН НА
НУЖНОЕ МЕСТО ПОСЛЕ ТОГО, КАК ПЕРВЫЕ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ОТСОРТИРОВАНЫ, А НА
РИС.~45(b) ПОКАЗАНО, КАК МОЖНО ВЫБРАТЬ НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ
ПЕРЕЙТИ К СОРТИРОВКЕ ОСТАЛЬНЫХ. мНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ РИС.~45(a) ДАЕТ
СЕТЕВОЙ АНАЛОГ ПРОСТЫХ ВСТАВОК (АЛГОРИТМ~5.2.1S), А МНОГОКРАТНОЕ
ПРИМЕНЕНИЕ РИС.~45(b) ПРИВОДИТ К СЕТЕВОМУ АНАЛОГУ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА
(АЛГОРИТМ~5.2.2B). нА РИС.~46 ИЗОБРАЖЕНЫ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЕТИ ДЛЯ ШЕСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ. иНТЕРЕСНО ЗАМЕТИТЬ, ЧТО ЕСЛИ СЖАТЬ КАЖДУЮ СЕТЬ, ЧТОБЫ
ОБЕСПЕЧИТЬ ОДНОВРЕМЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ, ТО ОБА МЕТОДА СВЕДУТСЯ К ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ
"ТРЕУГОЛЬНОЙ" ПРОЦЕДУРЕ С $(2n-3)$~СТАДИЯМИ (РИС.~47).

лЕГКО ДОКАЗАТЬ, ЧТО СЕТИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ НА РИС.~43 И~44, БУДУТ
СОРТИРОВАТЬ ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ИЗ ЧЕТЫРЕХ ЧИСЕЛ, ПОСКОЛЬКУ ПЕРВЫЕ ЧЕТЫРЕ
КОМПАРАТОРА НАПРАВЛЯЮТ НАИМЕНЬШИЙ И НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТЫ НА ПОЛОЖЕННЫЕ ИМ
МЕСТА, А ПОСЛЕДНИЙ КОМПАРАТОР РАСПОЛАГАЕТ В ТРЕБУЕМОМ ПОРЯДКЕ ОСТАЛЬНЫЕ
ДВА ЭЛЕМЕНТА. оДНАКО НЕ ВСЕГДА ТАК ЛЕГКО СКАЗАТЬ, БУДЕТ ЛИ ДАННАЯ СЕТЬ
СОРТИРОВАТЬ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ВХОДНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ; НАПРИМЕР, СЕТИ
\picture{p.269}
ЯВЛЯЮТСЯ ПРАВИЛЬНЫМИ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТИЫМИ СЕТЯМИ СОРТИРОВКИ, НО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИХ ПРАВИЛЬНОСТИ НЕТРИВИАЛЬНО. бЫЛО БЫ
%%270
ДОСТАТОЧНО ПРОВЕРИТЬ КАЖДУЮ $n$-ЭЛЕМЕНТНУЮ СЕТЬ НА ВСЕХ $n!$~ПЕРЕСТАНОВКАХ
$n$~РАЗЛИЧНЫХ ЧИСЕЛ, НО ФАКТИЧЕСКИ МЫ МОЖЕМ ОБОЙТИСЬ ЗНАЧИТЕЛЬНО МЕНЬШИМ
КОЛИЧЕСТВОМ ПРОВЕРОК.

\proclaim тЕОРЕМА~Z. (пРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ.) еСЛИ СЕТЬ С $n$~ВХОДАМИ
СОРТИРУЕТ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ВСЕ $2^n$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ИЗ~0 И~1, ТО
ОНА БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $n$~ЧИСЕЛ.

\proof (эТО ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ бУРИСИУСА, УПР.~5.3.1-12.)
еСЛИ~$f(x)$---ЛЮБАЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, ДЛЯ КОТОРОЙ~$f(x)\le f(y)$
ПРИ~$x\le y$, И ЕСЛИ ДАННАЯ СЕТЬ ПРЕОБРАЗУЕТ~$\< x_1,~\ldots, x_n>$
В~$\<y_1,~\ldots, y_n>$, ТО, КАК НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЭТА СЕТЬ
ПРЕОБРАЗУЕТ~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$ В~$\<f(y_1),~\ldots, f(y_n)>$.
еСЛИ~$y_i>y_{i+1}$ ПРИ НЕКОТОРОМ~$i$, ТО РАССМОТРИМ МОНОТОННУЮ ФУНКЦИЮ~$f$,
 КОТОРАЯ ДЛЯ ВСЕХ ЧИСЕЛ $<y_i$ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ~0, А ДЛЯ ВСЕХ
ЧИСЕЛ~$\le y_1$---ЗНАЧЕНИЕ~1. эТА ФУНКЦИЯ ОПРЕДЕЛЯЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ
И ЕДИНИЦ~$\<f(x_1),~\ldots, f(x_n)>$, КОТОРАЯ НЕ СОРТИРУЕТСЯ ДАННОЙ СЕТЬЮ.
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕСЛИ ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~0 И~1 ПОДДАЮТСЯ СОРТИРОВКЕ,
ТО БУДЕМ ИМЕТЬ~$y_i\le y_{i+1}$ ДЛЯ ВСЕХ~$1\le i < n$.
\proofend

пРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ ДОВОЛЬНО ПОЛЕЗЕН ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ. в
КАЧЕСТВЕ НЕТРИВИАЛЬНОГО ПРИМЕРА ПОЛУЧИМ ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАНТ "ОБМЕННОЙ
СОРТИРОВКИ СО СЛИЯНИЕМ" бЭТЧЕРА (АЛГОРИТМ~5.2.2м). иДЕЯ СОСТОИТ В ТОМ,
ЧТОБЫ СОРТИРОВАТЬ $m+n$~ЭЛЕМЕНТОВ, "СОРТИРУЯ ПЕРВЫЕ~$m$ И ПОСЛЕДНИЕ~$n$
ЭЛЕМЕНТОВ НЕЗАВИСИМО И ЗАТЕМ ПРИМЕНЯЯ К РЕЗУЛЬТАТУ \dfn{$(m, n)$-СЕТЬ
СЛИЯНИЯ.} пОСТРОИТЬ $(m, n)$-СЕТЬ СЛИЯНИЯ МОЖНО ПО ИНДУКЦИИ:
{\medskip\narrower
\item{a)}~еСЛИ~$m=0$ ИЛИ~$n=0$, ТО СЕТЬ ПУСТАЯ. еСЛИ~$m=n=1$, ТО СЕТЬ
СОСТОИТ ИЗ ЕДИНСТВЕННОГО КОМПАРАТОРНОГО МОДУЛЯ.

\item{b)}~еСЛИ~$mn>1$, ТО ОБОЗНАЧИМ СЛИВАЕМЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $\<x_1,
~\ldots, x_m>$ И~$\<y_1,~\ldots, y_n>$. сОЛЬЕМ "НЕЧЕТНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ"~$\<x_1, x_3,~\ldots, x_{2\ceil{m/2}-1}>$
И~$\<y_1, y_3,~\ldots, y_{2\ceil{n/2}-1}>$ И ПОЛУЧИМ ОТСОРТИРОВАННЫЙ
РЕЗУЛЬТАТ~$\<v_1, v_2,~\ldots, v_{\ceil{m/2}+\ceil{n/2}}>$;
СОЛЬЕМ "ЧЕТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ"~$\<x_2, x_4,~\ldots, x_{2\floor{m/2}}>$
И~$\<y_2, y_4,~\ldots, y_{2\floor{n/2}}>$ И ПОЛУЧИМ ОТСОРТИРОВАННЫЙ
РЕЗУЛЬТАТ~$\<w_1, w_2,~\ldots, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}>$. и НАКОНЕЦ,
ПРИМЕНИМ ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА
$$
w_1:v_2, w_2:v_3, w_3:v_4, w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}:v^*
\eqno(1)
$$
К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
$$
\<v_1, w_1, v_2, w_2, v_3, w_3,~\ldots, v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}},
w_{\floor{m/2}+\floor{n/2}}, v^*, v^{**}>;
\eqno(2)
$$
РЕЗУЛЬТАТ БУДЕТ ОТСОРТИРОВАН. (!)
(зДЕСЬ~$v^*=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+1}$ НЕ СУЩЕСТВУЕТ, ЕСЛИ~$m$ И~$n$
ОБА ЧЕТНЫЕ, И~$v^{**}=v_{\floor{m/2}+\floor{n/2}+2}$
%% 271
СУЩЕСТВУЕТ, ЛИШЬ ЕСЛИ~$m$ И~$n$ ОБА НЕЧЕТНЫЕ; ОБЩЕЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ
МОДУЛЕЙ,   УКАЗАННЫХ   В~(1),   РАВНО~$\floor{(m+n)-1)/2}$.)
\medskip}
\noindent нАЗОВЕМ $(m, n)$-СЕТЬ СЛИЯНИЯ бЭТЧЕРА \dfn{ЧЕТНО-НЕЧЕТНЫМ
СЛИЯНИЕМ.} пОСТРОЕННОЕ В СООТВЕТСТВИИ С ЭТИМИ ПРИНЦИПАМИ $(4,
7)$-СЛИЯНИЕ ПОКАЗАНО НА РИС.~48.

\picture{рИС. 48.         чЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ ДЛЯ~$m=4$ И~$n=7$.}

чТОБЫ ДОКАЗАТЬ, ЧТО ЭТА ОЧЕНЬ СТРАННАЯ ПРОЦЕДУРА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАБОТАЕТ
ПРИ~$mn>1$, ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ПРИНЦИПОМ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ И ПРОВЕРИМ ЕЕ НА ВСЕХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ~0 И~1. пОСЛЕ НАЧАЛЬНЫХ $m$-СОРТИРОВКИ И $n$-СОРТИРОВКИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<x_1,~\ldots, x_m>$ БУДЕТ СОСТОЯТЬ ИЗ $k$~НУЛЕЙ, ЗА
КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $m-k$~ЕДИНИЦ, А
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<y_1,~\ldots, y_n>$---ИЗ $l$~НУЛЕЙ С
ПОСЛЕДУЮЩИМИ $n-l$~ЕДИНИЦАМИ ПРИ НЕКОТОРЫХ~$k$ И~$l$.
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<v_1, v_2,~\ldots>$ БУДЕТ
СОСТОЯТЬ ИЗ~$\ceil{k/2}+\ceil{l/2}$~НУЛЕЙ С ПОСЛЕДУЮЩИМИ ЕДИНИЦАМИ,
А $\<w_1, w_2,~\ldots>$---ИЗ $\floor{k/2}+\floor{l/2}$~НУЛЕЙ С ПОСЛЕДУЮЩИМИ
ЕДИНИЦАМИ. рЕШАЮЩИМ МОМЕНТОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЯВЛЯЕТСЯ ТО, ЧТО
$$
(\ceil{k/2}+\ceil{l/2})-(\floor{k/2}+\floor{l/2})=0, 1 \hbox{ ИЛИ } 2.
\eqno(3)
$$
еСЛИ ЭТА РАЗНОСТЬ РАВНА~0 ИЛИ~1, ТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~(2) УЖЕ УПОРЯДОЧЕНА,
 А ЕСЛИ ОНА РАВНА~2, ТО ОДНА ИЗ ОПЕРАЦИЙ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА В~(1) СТАВИТ ВСЕ
НА СВОИ МЕСТА. дОКАЗАТЕЛЬСТВО ЗАВЕРШЕНО. (зАМЕТИМ, ЧТО ПРИНЦИП НУЛЕЙ И
ЕДИНИЦ СВОДИТ
$\perm{m+n}{m}$~СЛУЧАЕВ В ЗАДАЧЕ СЛИЯНИЯ ВСЕГО ЛИШЬ К~$(m+1)(n+1)$,
КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ ИЗОБРАЖАЕТСЯ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ~$k$ И~$l$.)
пУСТЬ~$C(m, n)$---ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ
ЧЕТНО-НЕЧЕТНОМ СЛИЯНИИ $m$ И $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, НЕ СЧИТАЯ
%%272
НАЧАЛЬНЫХ $m$- И~$n$-СОРТИРОВОК; ИМЕЕМ
$$
C(m,n)=\cases{
mn, & ЕСЛИ $mn\le 1$;\cr
C(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})+C(\floor{m/2}, \floor{n/2})+ \floor{(m+n-1)/2},
& ЕСЛИ $mn>1$.\cr
}
\eqno(4)
$$

в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЭТО НЕ СЛИШКОМ ПРОСТАЯ ФУНКЦИЯ ОТ~$m$ И~$n$, ОДНАКО,
ЗАМЕТИВ, ЧТО~$C(1, n)=n$ И ЧТО
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=
=1+C(\floor{m/2}+1, \floor{n/2}+1)-C(\floor{m/2}, \floor{n/2}),
\rem{ЕСЛИ $mn\ge 1$},
$$
МЫ МОЖЕМ ВЫВЕСТИ СООТНОШЕНИЕ
$$
C(m+1, n+1)-C(m,n)=t+2+\floor{n/2^{t+1}},
\rem{ЕСЛИ~$n\ge m \ge 1$ И~$t=\floor{\log_2 m}$.}
\eqno(5)
$$
сЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
C(m, m+r)=B(m)+m+R_m(r) \rem{ПРИ $m\ge0$, $r\ge0$,}
\eqno (6)
$$
ГДЕ $B(m)$~ЕСТЬ ФУНКЦИЯ
"БИНАРНОЙ ВСТАВКИ"~$\sum_{1\le k\le m}\ceil{\log_2 k}$  ИЗ
СООТНОШЕНИЯ~(5.3.1-3), А $R_m(r)$~ОБОЗНАЧАЕТ СУММУ ПЕРВЫХ ОТ ЧЛЕНОВ РЯДА
$$
\floor{{r+0\over1}}+\floor{{r+1\over2}}+\floor{{r+2\over4}}+
\floor{{r+3\over4}}+\floor{{r+4\over8}}+\cdots+
\floor{{r+j\over2^{\floor{\log_2 j}+1}}}+\ldots\,.
\eqno(7)
$$
еСЛИ ЖЕ~$r=0$, ПОЛУЧАЕМ ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
$$
C(m,m)=B(m)+m.
\eqno(8)
$$
кРОМЕ ТОГО, ЕСЛИ~$t=\ceil{\log_2 m}$, ТО
$$
\eqalign{
R_m(r+2^t) &= R_m(r)+1\cdot 2^{t-1}+2\cdot 2^{t-2}+\cdots+2^{t-1}\cdot2^0+m=\cr
&= R_m(r)+m+t\cdot 2^{t-1}.
}
$$
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, $C(m, n+2^t)-C(m, n)$~ИМЕЕТ ПРОСТОЙ ВИД
И
$$
C(m, n)=\left({t\over2}+{m\over 2^t}\right) n+O(1)\rem{ ПРИ
ФИКСИРОВАННОМ~$m$, $n\to\infty$,  $t=\ceil{\log_2 m}$;}
\eqno (9)
$$
ЧЛЕН~$O(1)$ СТАНОВИТСЯ В КОНЦЕ КОНЦОВ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ~$n$ С
ДЛИНОЙ ПЕРИОДА~$2^t$. аСИМПТОТИЧЕСКИ ПРИ~$n\to\infty$ ВЕЛИЧИНА~$C(n, n)$
РАВНА~$n \log_2 n$ ИЗ~(8) И УПР.~5.3.1-15.

\section сЕТИ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СРАВНЕНИЙ.
пУСТЬ~$\hat S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЕМЫХ В СЕТИ СОРТИРОВКИ
ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ; ЯСНО, ЧТО~$\hat S(n)\ge S(n)$, ГДЕ~$S(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ,
%%273
НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ СОРТИРОВКИ БЕЗ ВСЯКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ (СМ.~П.~5.3.1).
мЫ ВИДЕЛИ, ЧТО~$\hat S(4)=5=S(4)$, ПОЭТОМУ НОВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ НЕ ВЫЗЫВАЕТ
ПОТЕРИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИ~$n=4$;
НО УЖЕ ПРИ~$n=5$ ОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО~$\hat S(5)=9$, В ТО ВРЕМЯ КАК~$S(5)=7$.
зАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$\hat S(n)$ КАЖЕТСЯ ЕЩЕ БОЛЕЕ ТРУДНОЙ, ЧЕМ ЗАДАЧА
ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$S(n)$; ДО СИХ ПОР НЕИЗВЕСТНО ДАЖЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ
ПОВЕДЕНИЕ~$\hat S(n)$.

иНТЕРЕСНО ПРОСЛЕДИТЬ ИСТОРИЮ ЭТОЙ ЗАДАЧИ, ТАК КАК НА КАЖДЫЙ НОВЫЙ ШАГ
ПРИХОДИЛОСЬ ЗАТРАЧИВАТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ УСИЛИЯ. сЕТИ СОРТИРОВКИ БЫЛИ ВПЕРВЫЕ
ИССЛЕДОВАНЫ п.~н.~аРМСТРОНГОМ, р.~дЖ.~нЕЛЬСОНОМ И д.~дЖ.~о'кОННОРОМ ОКОЛО
1954~Г. [СМ.~U.~S.~Patent 3029413]; ОНИ ПОКАЗАЛИ, ЧТО~$\hat S(n+1)\le \hat
S(n)+n$. кАК СКАЗАНО В ИХ ПАТЕНТНОЙ ЗАЯВКЕ, "ПРИЛОЖИВ СТАРАНИЯ, МОЖНО
СКОНСТРУИРОВАТЬ ЭКОНОМИЧНЫЕ $n$-ВХОДНЫЕ СОРТИРУЮЩИЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛИ,
ИСПОЛЬЗУЯ УМЕНЬШЕННОЕ ЧИСЛО ДВУХВХОДНЫХ СОРТИРУЮЩИХ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЕЙ"; ОНИ
ПРИВЕЛИ ПРИМЕРЫ КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ~$4\le n \le 8$, ИСПОЛЬЗОВАВ
СООТВЕТСТВЕННО 5, 9, 12, 18 И 19~КОМПАРАТОРОВ. рАБОТАЯ ДАЛЕЕ НАД ЭТОЙ
ЗАДАЧЕЙ, нЕЛЬСОН СОВМЕСТНО С р.~ч.~бОЗЕ ЕЩЕ ДО~1960~Г. РАЗРАБОТАЛИ ОБЩУЮ
ПРОЦЕДУРУ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОКАЗЫВАЮЩУЮ,
ЧТО~$\hat S(2^n)\le3^n-2^n$ ПРИ ВСЕХ~$n$,
ПОЭТОМУ~$\hat S(n)=O(n^{\log_2 3})=O(n^{1.585})$. бОЗЕ И~нЕЛЬСОН ОПУБЛИКОВАЛИ
СВОЙ ИНТЕРЕСНЫЙ МЕТОД В
{\sl JACM,\/} {\bf 9} (1962), 282--296, ВЫСКАЗАВ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ, ЧТО ЭТО
НАИЛУЧШИЙ ВОЗМОЖНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ; т.~н.~хИББАРД [{\sl JACM,\/} {\bf 10}
(1963), 142--150] НАШЕЛ АНАЛОГИЧНЫЙ, НО НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ ПРОСТОЙ МЕТОД, В
КОТОРОМ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТАКОЕ ЖЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ПОДКРЕПИВ ТЕМ САМЫМ ЭТО
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ.

в 1964~Г.\ р.~у.~фЛОЙД И~д.~э.~кНУТ ИСПОЛЬЗОВАЛИ НОВЫЙ ПОДХОД К ЭТОЙ
ЗАДАЧЕ, ПРИВЕДШИЙ ИХ К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКЕ
ВИДА~$\hat S(n)=O(n^{1+c/\sqrt{\log n}})$. рАБОТАЯ НЕЗАВИСИМО, к.~э.~бЭТЧЕР
ОТКРЫЛ ОПИСАННУЮ ВЫШЕ ОБЩУЮ СТРАТЕГИЮ СЛИЯНИЯ; ИСПОЛЬЗУЯ ЧИСЛО
КОМПАРАТОРОВ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ КАК
$$
c(1)=0, c(n)=c(\ceil{n/2})+c(\floor{n/2})+C(\ceil{n/2}, \floor{n/2})
\rem{ПРИ $n\ge2$,}
\eqno (10)
$$
ОН ДОКАЗАЛ, ЧТО (СМ.~УПР.~5.2.2-14)
$$
c(2^t)=(t^2-t+4)2^{t-2}-1,
$$
И ОТСЮДА ВЫВЕЛ, ЧТО~$\hat S(n)=O(n(\log n)^2)$. кАК бЭТЧЕР, ТАК И фЛОЙД С
кНУТОМ ОПУБЛИКОВАЛИ СВОИ КОНСТРУКЦИИ ЛИШЬ ЧЕРЕЗ НЕКОТОРОЕ ВРЕМЯ [{\sl
Notices of the Amer.\ Math.\ Soc.,\/} {\bf 14} (1967), 283; Proc.\ AFIPS
Spring Joint Computer Conference, {\bf 32} (1968), 307--314].

%%274

кОЕ-КОМУ УДАЛОСЬ СОКРАТИТЬ ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В
КОНСТРУКЦИИ СЛИЯНИЯ С ОБМЕНАМИ, ПРЕДЛОЖЕННОЙ бЭТЧЕРОМ; В СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ
ПОКАЗАНЫ ДАИЛУЧШИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ВЕРХНИХ ОЦЕНОК
ДЛЯ~$\hat S(n)$:
$$
\matrix{
\hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 &
16 \cr
\hfill c(n)=0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 26 & 31 & 37 & 41 & 48 & 53
& 59 & 63 \cr
\hfill \hat S(n)\le 0 & 1 & 3 & 5 & 9 & 12 & 16 & 19 & 25 & 29 & 35 & 39 &
46 & 51 & 56 & 60\cr
}
\eqno(11)
$$
тАК КАК~$\hat S(n)<c(n)$ ПРИ~$8<n\le 16$, ТО ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА СО
СЛИЯНИЕМ НЕОПТИМАЛЬНА ПРИ ВСЕХ~$n>8$. еСЛИ~$n\le 8$, ТО ТАКАЯ СОРТИРОВКА
ЭКВИВАЛЕНТНА ПО КОЛИЧЕСТВУ КОМПАРАТОРОВ КОНСТРУКЦИИ бОЗЕ И~нЕЛЬСОНА.
фЛОЙД И~кНУТ ДОКАЗАЛИ В 1964--1966~ГГ., ЧТО УКАЗАННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat S(n)$
\emph{ТОЧНЫ} ПРИ~$n<8$ [СМ.\ A Survey of Combinatorial Theory
(North-Holland, 1973), 163--172]; ЗНАЧЕНИЯ~$\hat S(n)$ ПРИ~$n>8$ ДО СИХ
ПОР НЕИЗВЕСТНЫ.

кОНСТРУКЦИИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УКАЗАННЫМ ВЫШЕ ЗНАЧЕНИЯМ ДЛЯ~$\hat S(n)$,
ИЗОБРАЖЕНЫ НА РИС.~49. сЕТЬ ПРИ~$n=9$, ОСНОВАННАЯ НА ИНТЕРЕСНОМ
ТРЕХПУТЕВОМ СЛИЯНИИ, БЫЛА НАЙДЕНА р.~у.~фЛОЙДОМ В 1964~Г.; УСТАНОВИТЬ ЕЕ
СПРАВЕДЛИВОСТЬ МОЖНО ПРИ ПОМОЩИ ОБЩЕГО ПРИНЦИПА, ОПИСАННОГО В УПР.~27.
сЕТЬ ПРИ~$n=10$ В~1969~Г.\ ПОСТРОИЛ а.~вАКСМАН; ОН РАССМАТРИВАЛ ВХОДЫ
КАК ПЕРЕСТАНОВКИ МНОЖЕСТВА~$\set{1, 2,~\ldots, 10}$ И ПЫТАЛСЯ,
СОХРАНЯЯ НЕКОТОРУЮ СИММЕТРИЮ, НАСКОЛЬКО ВОЗМОЖНО УМЕНЬШИТЬ ЧИСЛО ЗНАЧЕНИЙ,
КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВЛЯТЬСЯ В КАЖДОЙ СТРОКЕ НА ДАННОЙ СТАДИИ.

в 1969~Г. г.~шАПИРО НАШЕЛ СЕТЬ СОРТИРОВКИ 16~ЭЛЕМЕНТОВ С 62~КОМПАРАТОРАМИ,
И ЭТО БЫЛО ВЕСЬМА НЕОЖИДАННО, ПОСКОЛЬКУ МЕТОД бЭТЧЕРА (63~СРАВНЕНИЯ),
КАЗАЛОСЬ, ИСПОЛЬЗУЕТ ВСЕ ВОЗМОЖНОСТИ, ЕСЛИ $n$~ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2.
м.~у.~гРИН ВСКОРЕ ПОСЛЕ ТОГО, КАК ОН ОЗНАКОМИЛСЯ С КОНСТРУКЦИЕЙ шАПИРО,
ПОВЕРГ ВСЕХ В ЕЩЕ БОЛЬШЕЕ ИЗУМЛЕНИЕ, НАЙДЯ СОРТИРОВКУ С 60~СРАВНЕНИЯМИ,
ПОКАЗАННУЮ НА РИС.~49. пЕРВАЯ ЧАСТЬ КОНСТРУКЦИИ гРИНА ДОВОЛЬНО ПРОСТА ДЛЯ
ПОНИМАНИЯ; ПОСЛЕ ТОГО КАК ВЫПОЛНЕНЫ 32~ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА СЛЕВА
ОТ ПУНКТИРНОЙ ЛИНИИ, ВСЕ ПРЯМЫЕ МОЖНО ТАК ПОМЕТИТЬ
16~ПОДМНОЖЕСТВАМИ~$\set{a, b, c, d}$, ЧТОБЫ ПРО ПРЯМУЮ, ПОМЕЧЕННУЮ~$s$,
БЫЛО ИЗВЕСТНО, ЧТО ОНА СОДЕРЖИТ ЧИСЛА, МЕНЬШИЕ ИЛИ РАВНЫЕ СОДЕРЖИМОМУ
ПРЯМОЙ, ПОМЕЧЕННОЙ~$t$, ВСЯКИЙ РАЗ, КОГДА $s$~ЕСТЬ ПОДМНОЖЕСТВО~$t$.
сОСТОЯНИЕ СОРТИРОВКИ В ЭТОТ МОМЕНТ ОБСУЖДАЕТСЯ БОЛЕЕ ПОДРОБНО В
УПР.~32. оДНАКО СРАВНЕНИЯ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ НА ПОСЛЕДУЮЩИХ УРОВНЯХ, СТАНОВЯТСЯ
СОВЕРШЕННО ЗАГАДОЧНЫМИ, И ДО СИХ ПОР НИКТО НЕ ЗНАЕТ, КАК ОБОБЩИТЬ ЭТУ
КОНСТРУКЦИЮ, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ СТОЛЬ ЖЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕТИ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ~$n$.

%%275

шАПИРО И гРИН ОТКРЫЛИ ТАКЖЕ ИЗОБРАЖЕННУЮ НА РИС.~49 СЕТЬ ДЛЯ~$n=12$.
хОРОШИЕ СЕТИ ДЛЯ~$n=11$, 13, 14 И~15 МОЖНО ПОЛУЧИТЬ, УДАЛИВ НИЖНЮЮ ПРЯМУЮ
СЕТИ ДЛЯ~$n+1$ ВМЕСТЕ СО ВСЕМИ КОМПАРАТОРАМИ, ПОДСОЕДИНЕННЫМИ К ЭТОЙ ЛИНИИ.
\picture{рИС. 49.   эФФЕКТИВНЫЕ СЕТИ СОРТИРОВКИ.}

нАИЛУЧШИЕ ИЗВЕСТНЫЕ К НАСТОЯЩЕМУ МОМЕНТУ СЕТИ ДЛЯ~$n\to\infty$ СМ.~В
ДОКТОРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ д.~вАН~вОРИСА (Stanford University, 1971); ЕГО
СЕТИ ТРЕБУЮТ АСИМПТОТИЧЕСКИ
%% 276
${1\over 4}n(\log_2 n)^2-\alpha n \log_2 n$~КОМПАРАТОРОВ,
ГДЕ~$\alpha={1\over4}+{1\over6}\sum_{k\ge0}2^{-2^k-k}\approx0.356~852$.

\section сЕТИ С МИНИМАЛЬНЫМ ВРЕМЕНЕМ. в ФИЗИЧЕСКИХ РЕАЛИЗАЦИЯХ
СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ И НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ эвм МОЖНО ВЫПОЛНЯТЬ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ
ОПЕРАЦИИ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА ОДНОВРЕМЕННО, ПОЭТОМУ КАЖЕТСЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ
ПОПЫТАТЬСЯ МИНИМИЗИРОВАТЬ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ. пО НЕКОТОРОМ РАЗМЫШЛЕНИИ
ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ СЕТИ СОРТИРОВКИ РАВНО МАКСИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ
КОМПАРАТОРОВ, ПРИЛЕГАЮЩИХ К КАКОМУ-ЛИБО "ПУТИ" ЧЕРЕЗ СЕТЬ,
ЕСЛИ ОПРЕДЕЛИТЬ ПУТЬ КАК ТРАЕКТОРИЮ ЛЮБОГО ДВИЖЕНИЯ СЛЕВА НАПРАВО,
\picture{рИС.~50.  вЫПОЛНЕНИЕ КАЖДОГО СРАВНЕНИЯ В НАИБОЛЕЕ РАННИЙ ИЗ
ВОЗМОЖНЫХ МОМЕНТОВ.}
ВОЗМОЖНО, С ПЕРЕХОДОМ С ОДНОЙ ПРЯМОЙ НА ДРУГУЮ ЧЕРЕЗ КОМПАРАТОРЫ. у
КАЖДОГО КОМПАРАТОРА МЫ МОЖЕМ ПОСТАВИТЬ ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР, УКАЗЫВАЮЩИЙ
САМЫЙ РАННИЙ МОМЕНТ, КОГДА МОЖЕТ БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО СРАВНЕНИЕ; ЭТОТ НОМЕР НА
ЕДИНИЦУ БОЛЬШЕ, ЧЕМ МАКСИМАЛЬНЫЙ НОМЕР У КОМПАРАТОРОВ, ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ
ДАННОМУ. (сМ.~РИС.~50(a); В ЧАСТИ~(b) ЭТОГО РИСУНКА ПОКАЗАНА ТА ЖЕ СЕТЬ,
 ПЕРЕРИСОВАННАЯ ТАК, ЧТОБЫ КАЖДОЕ СРАВНЕНИЕ ВЫПОЛНЯЛОСЬ В НАИБОЛЕЕ РАННИЙ
ВОЗМОЖНЫЙ МОМЕНТ.)

в ОПИСАННОЙ ВЫШЕ СЕТИ бЭТЧЕРА ДЛЯ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ ЗАТРАЧИВАЕТСЯ
$T_b(m,n)$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ, ГДЕ~$T_b(m,0)=T_b(0, n)=0$, $T_B(1,1)=1$ И
$$
T_B(m, n)=1+\max(T_B(\floor{m/2}, \floor{n/2}),  T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2}))
\rem{ДЛЯ~$mn\ge 2$.}
$$
иСПОЛЬЗУЯ ЭТИ СООТНОШЕНИЯ, МОЖНО ДОКАЗАТЬ ПО ИНДУКЦИИ,
ЧТО~$T_B(m, n+1)\ge T_B(m,n)$;    СЛЕДОВАТЕЛЬНО,    $T_B(m,
n)=1+T_B(\ceil{m/2}, \ceil{n/2})$ ДЛЯ~$mn\ge2$, А ОТСЮДА ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО
$$
T_B(m,n)=1+\ceil{\log_2 \max (m,n)} \rem{ДЛЯ $mn\ge1$.}
\eqno  (12)
$$
тАКИМ ОБРАЗОМ, КАК ПОКАЗАНО В УПР.~5, МЕТОД СОРТИРОВКИ бЭТЧЕРА ИМЕЕТ ВРЕМЯ
ЗАДЕРЖКИ
$$
\perm{1+\ceil{\log_2 n}}{2}.
\eqno(13)
$$
%%277

пУСТЬ $\hat T(n)$---МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ДОСТИЖИМОЕ В ЛЮБОЙ СЕТИ
СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ. нЕКОТОРЫЕ ИЗ ОПИСАННЫХ ВЫШЕ СЕТЕЙ МОЖНО УЛУЧШИТЬ,
 НЕ ИСПОЛЬЗОВАВ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ КОМПАРАТОРОВ, ТАК, ЧТОБЫ ОНИ ИМЕЛИ
МЕНЬШЕЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, КАК
\picture{рИС.~51. сЕТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ НЕОБЫКНОВЕННО БЫСТРЫ,  ЕСЛИ
СРАВНЕНИЯ ВЫПОЛНЯЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО.}
ПОКАЗАНО НА РИС.~51 ДЛЯ~$n=6$ И~$n=9$, А В УПР.~7---ДЛЯ~$n=10$. мОЖНО
ПОЛУЧИТЬ ЕЩЕ МЕНЬШЕЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ЕСЛИ ДОБАВИТЬ ОДИН ИЛИ ДВА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ МОДУЛЯ, КАК ПОКАЗЫВАЮТ СЕТИ ДЛЯ~$n=10$, 12 И~16 НА РИС.~51.
эТИ ПОСТРОЕНИЯ ПРИВОДЯТ К СЛЕДУЮ-
%%378
ЩИМ ВЕРХНИМ ОЦЕНКАМ ДЛЯ~$T(n)$ ПРИ УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ~$n$:
$$
\matrix{
           \hfill n=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\cr
\hfill \hat T(n)\le 0 & 1 & 3 & 3 & 5 & 5 & 6 & 6 & 7 &  7 &  8 &  8 &  9 &  9 &  9 &  9\cr
}
\eqno(14)
$$

иЗВЕСТНО, ЧТО ПРИВЕДЕННЫЕ ЗДЕСЬ ЗНАЧЕНИЯ ТОЧНЫ ПРИ~$n\le 8$ (СМ.~УПР.~4).
сЕТИ НА РИС.~51 ЗАСЛУЖИВАЮТ ТЩАТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ, ПОСКОЛЬКУ ВОВСЕ НЕ
ОЧЕВИДНО, ЧТО ОНИ ГОДЯТСЯ ДЛЯ СОРТИРОВКИ; ЭТИ СЕТИ БЫЛИ ОТКРЫТЫ
В~1969--1971~ГГ. г.~шАПИРО  ($n=6$, 9, 12) И~д.~вАН~вОРИСОМ ($n=10$, 16).

\section сЕТИ СЛИЯНИЯ. пУСТЬ $\hat M(m, n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ СЕТИ, КОТОРАЯ СЛИВАЕТ
$m$~ЭЛЕМЕНТОВ~$x_1~\le~\ldots \le x_m$ С~$n$~ЭЛЕМЕНТАМИ~$y_1\le\ldots \le y_n$,
ОБРАЗУЯ ОТСОРТИРОВАННУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$z_1\le \ldots \le z_{m+n}$.
к НАСТОЯЩЕМУ ВРЕМЕНИ НЕ ОТКРЫТО НИ ОДНОЙ СЕТИ СЛИЯНИЯ,
КОТОРАЯ БЫЛА БЫ ЛУЧШЕ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ, ОПИСАННОГО ВЫШЕ;
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ФУНКЦИЯ~$C(m, n)$ В~(6) ПРЕДСТАВЛЯЕТ НАИЛУЧШУЮ ИЗВЕСТНУЮ
ВЕРХНЮЮ ОЦЕНКУ ДЛЯ~$\hat M(m, n)$.

р.~у.~фЛОЙД ОБНАРУЖИЛ ИНТЕРЕСНЫЙ СПОСОБ, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ ОПРЕДЕЛИТЬ
\emph{НИЖНИЕ} ОЦЕНКИ В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ СЛИЯНИЯ.

\proclaim тЕОРЕМА~F. пРИ ВСЕХ~$n\ge 1$ СПРАВЕДЛИВО
НЕРАВЕНСТВО~$\hat M (2n, 2n)\ge 2\hat M(n, n)+n$.

\proof рАССМОТРИМ СЕТЬ С~$\hat M(2n, 2n)$~КОМПАРАТОРНЫМИ МОДУЛЯМИ,
СПОСОБНУЮ СОРТИРОВАТЬ ВСЕ ВХОДНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_1,~\ldots, z_{4n}>$, ТАКИЕ,
ЧТО~$z_1\le z_3\le\ldots \le z_{4n-1}$  И~$z_2\le z_4\le\ldots\le z_{4n}$.
мЫ МОЖЕМ СЧИТАТЬ, ЧТО КАЖДЫЙ МОДУЛЬ
ЗАМЕНЯЕТ~$(z_i, z_j)$ НА~$(\min(z_i, z_j, \max(z_i, z_j))$ ПРИ
НЕКОТОРЫХ~$i<j$ (УПР.~16). иТАК, КОМПАРАТОРЫ МОЖНО РАЗДЕЛИТЬ НА ТРИ КЛАССА:
{\medskip\narrower
\item{a)}~$i\le 2n$  И~$j\le 2n$;
\item{b)}~$i>2n$ И~$j>2n$;
\item{c)}~$i\le 2n$  И~$j>2n$.
\medskip}
кЛАСС~(a) ДОЛЖЕН СОДЕРЖАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $\hat M(n, n)$~КОМПАРАТОРОВ,
ТАК КАК $z_{2n+1}$, $z_{2n+2}$,~\dots, $z_{4n}$ МОГУТ УЖЕ НАХОДИТЬСЯ
НА СВОИХ МЕСТАХ, КОГДА СЛИЯНИЕ НАЧИНАЕТСЯ; АНАЛОГИЧНО В КЛАССЕ~(b) ДОЛЖНО
БЫТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ $\hat M(n, n)$~КОМПАРАТОРОВ. кРОМЕ ТОГО, КАК
ПОКАЗЫВАЕТ ВХОДНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<0, 1, 0, 1,~\ldots, 0, 1>$,
КЛАСС~(c) СОДЕРЖИТ НЕ МЕНЕЕ $n$~КОМПАРАТОРОВ, ТАК КАК $n$~НУЛЕЙ ДОЛЖНЫ
ПЕРЕМЕСТИТЬСЯ ИЗ~$\set{z_{2n+1},~\ldots, z_{4n}}$ В~$\set{z_1,~\ldots, z_{2n}}$.
\proofend

мНОГОКРАТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ~F ДОКАЗЫВАЕТ,
ЧТО~$\hat M(2^m, 2^m)\ge{1\over2}(m+2) 2^m$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$\hat M(n, n) \ge {1\over2}n \log_2 n+O(n)$.
%%279
сЛИЯНИЕ \emph{БЕЗ} СЕТЕВОГО ОГРАНИЧЕНИЯ ТРЕБУЕТ ЛИШЬ $M(n,n)=2n-1$~СРАВНЕНИЙ;
ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ДОКАЗАЛИ, ЧТО СЕТЕВОЕ СЛИЯНИЕ
СЛОЖНЕЕ ПО СУЩЕСТВУ, ЧЕМ СЛИЯНИЕ ВООБЩЕ. чЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ
ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО~$\hat M(n,n)\le C(n, n)= n\log_2 n+O(n)$, ПОЭТОМУ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ~$\hat M(n, n)$ ИЗВЕСТНО С ТОЧНОСТЬЮ ДО
МНОЖИТЕЛЯ~2. (тОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat M(n, n)$ ИЗВЕСТНЫ ДЛЯ~$n\le 5$;
СМ.~УПР.~9.) а.~к.~яО И~ф.~ф.~яО ДОКАЗАЛИ,
ЧТО~$\hat M(2,n)=C(2, n)=\ceil{{3\over2}n}$
И~$\hat M(m, n)\ge{1\over2}n\log_2(m+1)$ ПРИ~$m<n$
[{\sl JACM,\/} БУДЕТ ОПУБЛИКОВАНО].

\section бИТОННАЯ СОРТИРОВКА. еСЛИ ДОПУСТИМЫ ОДНОВРЕМЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ, ТО,
 КАК ВИДНО ИЗ ФОРМУЛЫ~12, ПРИ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОМ СЛИЯНИИ ДЛЯ~$1\le m \le n$
ВОЗНИКАЕТ ЗАДЕРЖКА НА~$\ceil{\log_2 (2n)}$~ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ. бЭТЧЕР НАШЕЛ
ДРУГОЙ ТИП СЕТИ СЛИЯНИЯ, НАЗЫВАЕМОЙ
\dfn{БИТОННЫМ СОРТИРОВЩИКАМ,} ДЛЯ КОТОРОГО ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ СНИЖАЕТСЯ
ДО~$\ceil{\log_2(m+n)}$, НО ОН ТРЕБУЕТ БОЛЬШЕ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

пОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ ИЗ $p$~ЧИСЕЛ БУДЕМ
НАЗЫВАТЬ \dfn{БИТОННОЙ,} ЕСЛИ~$z_1\ge\ldots\ge z_k\le\ldots\le z_p$ ДЛЯ
НЕКОТОРОГО~$k$, $1\le k \le p$ (СРАВНИТЕ ЭТО С ОБЫЧНЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ
"МОНОТОННЫХ" ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ). бИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$p$---ЭТО
КОМПАРАТОРНАЯ СЕТЬ, СПОСОБНАЯ СОРТИРОВАТЬ В НЕУБЫВАЮЩЕМ ПОРЯДКЕ ЛЮБУЮ
БИТОННУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДЛИНЫ~$p$. зАДАЧА СЛИЯНИЯ~$x_1\le\ldots\le
x_m$ С~$y_1\le\ldots\le y_n$ ЯВЛЯЕТСЯ ЧАСТНЫМ СЛУЧАЕМ ЗАДАЧИ БИТОННОЙ
СОРТИРОВКИ, ТАК КАК СЛИЯНИЕ МОЖНО ОСУЩЕСТВИТЬ, ПРИМЕНИВ К
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<x_m,~\ldots, x_1, y_1,~\ldots,~y_n>$ БИТОННЫЙ
СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$m+n$.

зАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<z_1,~\ldots, z_p>$ БИТОННАЯ, ТО
ТАКОВЫМИ ЖЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ВСЕ ЕЕ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. вСКОРЕ ПОСЛЕ ТОГО,
КАК бЭТЧЕР ОТКРЫЛ СЕТИ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ, ОН ОБНАРУЖИЛ, ЧТО
АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ МОЖНО ПОСТРОИТЬ БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~$p$,
СНАЧАЛА НЕЗАВИСИМО СОРТИРУЯ БИТОННЫЕ
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_1, z_3, z_5,~\ldots>$
И~$\<z_2, z_4, z_6,~\ldots>$, А ЗАТЕМ ВЫПОЛНЯЯ
СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНЫ~$z_1:z_2$, $z_3:z_4$,~$\ldots\,$.
(дОКАЗАТЕЛЬСТВО СМ.~В~УПР.~10.) еСЛИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРНЫХ
МОДУЛЕЙ ОБОЗНАЧИТЬ ЧЕРЕЗ~$C'(p)$, ТО БУДЕМ ИМЕТЬ
$$
C'(p)=C'(\ceil{p/2})+C'(\floor{p/2})+\floor{p/2} \rem{ПРИ $p\ge2$.}
\eqno (15)
$$
А ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ, ОЧЕВИДНО, РАВНО~$\ceil{\log_2 p}$. нА~РИС.~52 ПОКАЗАН
БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК ПОРЯДКА~7, ПОСТРОЕННЫЙ ЭТИМ СПОСОБОМ; ОН МОЖЕТ БЫТЬ
ИСПОЛЬЗОВАН И КАК~$(3, 4)$, И КАК $(2, 5)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ С ЗАДЕРЖКОЙ
В ТРИ ЕДИНИЦЫ; ЧЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ ДЛЯ~$m=2$ И~$n=5$ ИМЕЕТ НА ОДИН
КОМПАРАТОР МЕНЬШЕ, НО НА ОДИН УРОВЕНЬ ЗАДЕРЖКИ БОЛЬШЕ.

%%280

бИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК бЭТЧЕРА ПОРЯДКА~$2^k$ ОСОБЕННО ИНТЕРЕСЕН; ОН
СОСТОИТ ИЗ $k$~УРОВНЕЙ ПО $2^{k-1}$~КОМПАРАТОРОВ В КАЖДОМ. зАНУМЕРУЕМ
ВХОДНЫЕ ПРЯМЫЕ~$z_0$, $z_1$,~\dots, $z_{2^k-1}$; ПРИ ЭТОМ ЭЛЕМЕНТ~2,
СРАВНИВАЕТСЯ С~$z_j$ НА УРОВНЕ~$l$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДВОИЧНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ~$i$ И~$j$ РАЗЛИЧАЮТСЯ ТОЛЬКО В $l\hbox{-М}$~БИТЕ СЛЕВА. эТА
ПРОСТАЯ СТРУКТУРА ПРИВОДИТ К ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ, КОТОРАЯ ТАК ЖЕ
БЫСТРА, КАК ОБМЕННАЯ СОРТИРОВКА
\picture{рИС.~52.   бИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК бЭТЧЕРА ПОРЯДКА~7.}
СО СЛИЯНИЕМ (АЛГОРИТМ~5.2.2M), НО ЗНАЧИТЕЛЬНО ПРОЩЕ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ.
(сМ.~УПР.~11 И~13.)

еСЛИ~$m=n$, ТО НЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО И ЧЕТНО-НЕЧЕТНОЕ СЛИЯНИЕ, И БИТОННЫЙ
СОРТИРОВЩИК бЭТЧЕРА ОБЕСПЕЧИВАЮТ АБСОЛЮТНЫЙ МИНИМУМ ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ,
ДОСТИЖИМОГО В ЛЮБОЙ СЕТИ СЛИЯНИЯ.
\picture{рИС.~53. оДИН ЭЛЕМЕНТ СЛИВАЕТСЯ С ШЕСТЬЮ ДРУГИМИ С
РАЗВЕТВЛЕНИЕМ, ЧТОБЫ ДОСТИЧЬ МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОГО ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖКИ.}
в $(n, n)$-СЕТИ СЛИЯНИЯ $n\hbox{-Й}$ ПО ВЕЛИЧИНЕ ВЫХОД (СЧИТАЯ ОТ
НАИМЕНЬШЕГО) ДОЛЖЕН ЗАВИСЕТЬ ОТ ВСЕХ $2n$~ВХОДОВ, И ЕСЛИ ЕГО
МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ЗА $l$~ШАГОВ, ТО ОН БУДЕТ ЗАВИСЕТЬ НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ОТ
$2^l$~ВХОДОВ; ПОЭТОМУ~$2^l\ge 2n$, $l\ge \ceil{\log_2 (2n)}$.

еСЛИ~$m<n$, ТО $n\hbox{-Й}$~ВЫХОД $(m, n)$-СЕТИ СЛИЯНИЯ ЗАВИСИТ
ОТ $2m+1$~ВХОДОВ (СР.~С~УПР.~29), ПОЭТОМУ ТЕ ЖЕ РАССУЖДЕНИЯ ДАЮТ
%%281
В ЭТОМ СЛУЧАЕ МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДЛЯ СЛИЯНИЯ~$\ceil{\log_2(2m+l)}$.
 бЭТЧЕР ПОКАЗАЛ [Report GER-14122 (Akron, Ohio: Goodyear Aerospace
Corporation, 1968)], ЧТО ЭТО МИНИМАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДОСТИГАЕТСЯ,
ЕСЛИ В СЕТИ ДОПУСКАЕТСЯ РАЗВЕТВЛЕНИЕ, Т.~Е.~ТАКОЕ РАЗБИЕНИЕ ЛИНИЙ, ЧТО
ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО В ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ НЕСКОЛЬКИМИ
МОДУЛЯМИ. в КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА НА РИС.~53 ИЗОБРАЖЕНА (ДЛЯ~$n=6$) СЕТЬ,
 КОТОРАЯ СЛИВАЕТ ОДИН ЭЛЕМЕНТ С $n$~ДРУГИМИ ВСЕГО С ДВУМЯ УРОВНЯМИ
ЗАДЕРЖКИ. кОНЕЧНО, СЕТИ С РАЗВЕТВЛЕНИЕМ НЕ СООТВЕТСТВУЮТ НАШИМ
СОГЛАШЕНИЯМ; ДОВОЛЬНО ЛЕГКО ПОНЯТЬ, ЧТО ЛЮБАЯ $(1, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ
БЕЗ РАЗВЕТВЛЕНИЯ ДОЛЖНА ИМЕТЬ ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ~$\log_2(n+1)$ ИЛИ БОЛЕЕ.
(сМ.~УПР.~14.)

\section сЕТИ ВЫБОРА. сЕТИ МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ТАКЖЕ И К ЗАДАЧЕ
П.~5.3.3. пУСТЬ $\hat U_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ,
НЕОБХОДИМЫХ В СЕТИ, КОТОРАЯ ПЕРЕМЕЩАЕТ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ $n$~РАЗЛИЧНЫХ
ВХОДОВ НА $t$~ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ, ОНИ МОГУТ РАСПОЛАГАТЬСЯ НА
ЭТИХ ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОРЯДКЕ. пУСТЬ $\hat
V_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОМПАРАТОРОВ, НУЖНОЕ ДЛЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ $t-\hbox{ГО}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ИЗ $n$~РАЗЛИЧНЫХ ВХОДОВ НА
ОПРЕДЕЛЕННУЮ ВЫХОДНУЮ ПРЯМУЮ, И ПУСТЬ $\hat W_t(n)$~ОБОЗНАЧАЕТ МИНИМАЛЬНОЕ
ЧИСЛО КОМПАРАТОРОВ, ТРЕБУЕМЫХ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ
$n$~РАЗЛИЧНЫХ ВХОДОВ НА ОПРЕДЕЛЕННЫЕ $t$~ВЫХОДНЫХ ПРЯМЫХ В НЕУБЫВАЮЩЕМ
ПОРЯДКЕ. нЕТРУДНО ВИДЕТЬ (СМ.~УПР.~17), ЧТО
$$
\hat U_t(n)\le \hat V_t(n) \le \hat W_t(n).
\eqno(16)
$$

сНАЧАЛА ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИМЕЕТСЯ $2t$~ЭЛЕМЕНТОВ
$\<x_1,~\ldots, x_{2t}>$ И МЫ ХОТИМ ВЫБРАТЬ $t$~НАИБОЛЬШИХ; в.~е.~аЛЕКСЕЕВ
[{\sl кИБЕРНЕТИКА,\/} {\bf 5}, 5 (1969), 99--103] ЗАМЕТИЛ, ЧТО ЭТО МОЖЕТ
БЫТЬ ВЫПОЛНЕНО, ЕСЛИ СНАЧАЛА ОТСОРТИРОВАТЬ~$\<x_1,~\ldots, x_t>$
И~$\<x_{t+1},~\ldots, x_{2t}>$, А ЗАТЕМ СРАВНИТЬ И ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ
$$
x_1:x_{2t}, x_2:x_{2t-1},~\ldots, x_t:x_{t+1}.
\eqno(17)
$$
тАК КАК НИ В ОДНОЙ ИЗ ЭТИХ ПАР НЕ МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬСЯ БОЛЕЕ ОДНОГО ИЗ
НАИБОЛЬШИХ $t$~ЭЛЕМЕНТОВ (ПОЧЕМУ?), ТО ПРОЦЕДУРА аЛЕКСЕЕВА ДОЛЖНА ВЫБРАТЬ
$t$~НАИБОЛЬШИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

еСЛИ НАМ НУЖНО ВЫБРАТЬ $t$~НАИБОЛЬШИХ ИЗ $nt$~ЭЛЕМЕНТОВ, ТО МЫ МОЖЕМ
ПРИМЕНИТЬ ЭТУ ПРОЦЕДУРУ $n-1$~РАЗ (ИСКЛЮЧАЯ КАЖДЫЙ РАЗ $t$~ЭЛЕМЕНТОВ);
СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
$$
\hat U_t(nt)\le (n-1)(2\hat S(t)+t).
\eqno(18)
$$

аЛЕКСЕЕВ ТАКЖЕ ПОЛУЧИЛ ИНТЕРЕСНУЮ \emph{НИЖНЮЮ} ОЦЕНКУ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВЫБОРА.

%%282
\proclaim тЕОРЕМА~A. $\hat U_t (n) \ge (n-t)\ceil{\log_2 (t+1)}$.

\proof уДОБНЕЕ РАССМАТРИВАТЬ ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗАДАЧУ ВЫБОРА
\emph{НАИМЕНЬШИХ} $t$~ЭЛЕМЕНТОВ. оКОЛО КАЖДОЙ ПРЯМОЙ КОМПАРАТОРНОЙ СЕТИ
МОЖНО ВЫПИСАТЬ ЧИСЛА~$(l, u)$, КАК ПОКАЗАНО НА РИС.~54, ГДЕ~$l$ И~$u$
ОБОЗНАЧАЮТ СООТВЕТСТВЕННО МИНИМАЛЬНОЕ И
\picture{рИС.~54. оТДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ НАИБОЛЬШИХ ОТ ЧЕТЫРЕХ
НАИМЕНЬШИХ. (чИСЛА НАД ПРЯМЫМИ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ~A.)}
МАКСИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВИТЬСЯ В ЭТОМ МЕСТЕ, ЕСЛИ ВХОДОМ
СЛУЖИТ ПЕРЕСТАНОВКА~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. пУСТЬ~$l_i$ И~$l_j$---НИЖНИЕ
ОЦЕНКИ НА ПРЯМЫХ~$i$ И~$j$ ПЕРЕД СРАВНЕНИЕМ~$x_i:x_j$, И ПУСТЬ~$l'_i$
И~$l'_j$---СООТВЕТСТВУЮЩИЕ НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ПОСЛЕ ЭТОГО
\picture{рИС.~55. иНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕТИ, ИЗОБРАЖЕННОЙ НА РИС.~54.}
СРАВНЕНИЯ. оЧЕВИДНО, ЧТО~$l'_i=\min(l_i, l_j)$, А В УПР.~24 ДОКАЗЫВАЕТСЯ
(НЕОЧЕВИДНОЕ) СООТНОШЕНИЕ
$$
l'_j\le l_i+l_j.
\eqno  (19)
$$

тЕПЕРЬ ДАДИМ ДРУГУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ ДЕЙСТВИЯ СЕТИ (РИС.~55);
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО НА ВСЕХ ВХОДНЫХ ПРЯМЫХ СОДЕРЖИТСЯ НУЛЬ,
%%283
А КАЖДЫЙ "КОМПАРАТОР" ПОМЕЩАЕТ ТЕПЕРЬ НА ВЕРХНЮЮ ПРЯМУЮ МЕНЬШИЙ ИЗ ЕГО
ВХОДОВ, А НА НИЖНЮЮ ПРЯМУЮ---БОЛЬШИЙ ВХОД \emph{ПЛЮС ОДИН.} пОЛУЧАЮЩИЕСЯ
ЧИСЛА~$\<m_1, m_2,~\ldots, m_n>$ ОБЛАДАЮТ СВОЙСТВОМ
$$
2^{m_i}\ge l_i
\eqno(20)
$$
В ЛЮБОМ МЕСТЕ СЕТИ, ТАК КАК ЭТО СВОЙСТВО ПЕРВОНАЧАЛЬНО СПРАВЕДЛИВО И
СОХРАНЯЕТСЯ КАЖДЫМ КОМПАРАТОРОМ В СИЛУ~(19). кРОМЕ ТОГО, ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ
ЗНАЧЕНИЕ
$$
m_1+m_2+\cdots+m_n
$$
РАВНО ОБЩЕМУ ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ В СЕТИ, ТАК КАК КАЖДЫЙ КОМПАРАТОР
ДОБАВЛЯЕТ К ЭТОЙ СУММЕ ЕДИНИЦУ.

еСЛИ СЕТЬ ВЫБИРАЕТ НАИМЕНЬШИЕ $t$~ЧИСЕЛ, ТО~$n-t$ ИЗ ЧИСЕЛ~$l_i$ БОЛЬШЕ
ИЛИ РАВНЫ~$t+1$; СЛЕДОВАТЕЛЬНО, $n-t$ ИЗ ЧИСЕЛ~$m_i$ ДОЛЖНЫ БЫТЬ~$\ge
\ceil{\log_2 (t+1)}$.
\proofend

нИЖНЯЯ ОЦЕНКА В ТЕОРЕМЕ~A ОКАЗЫВАЕТСЯ ТОЧНОЙ, ЕСЛИ~$t=1$ ИЛИ~$t=2$
(СМ.~УПР.~19). в ТАБЛ.~1 ДАНЫ ЗНАЧЕНИЯ~$\hat U_t(n)$, $\hat
V_t(n)$ И~$\hat W_t(n)$ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ~$t$ И~$n$.

\htable{тАБЛИЦА~1}%
{сРАВНЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ СЕТЕЙ ВЫБОРА ($\hat U_t(n)$, $\hat V_t(n)$, $\hat W_t(n)$)}%
{\strut\hfill$#$\hfill&&\bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
 & t=1 & t=2 &  t=3 & t=4 & t=5 & t=6 \cr
\noalign{\hrule}
n=1 & (0,0,0)\cr
n=2 & (1,1,1)& (0,1,1)\cr
n=3 & (2,2,2)& (2,3,3)& (0,2,3)  \cr
n=4 & (3,3,3)& (4,5,5)& (3,5,5)  & (0,3,5)   \cr
n=5 & (4,4,4)& (6,7,7)& (6,7,8)  & (4,7,9)   & (0,4,9) \cr
n=6 & (5,5,5)& (8,9,9)& (8,10,10)& (8,10,12) & (5,9,12) & (0,5,12) \cr
\noalign{\hrule}
}

\excercises  (первая часть)
дАЛЕЕ В НЕСКОЛЬКИХ УПРАЖНЕНИЯХ ДАНО БОЛЕЕ ГЛУБОКОЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ СЕТЕЙ
СОРТИРОВКИ, ПОЭТОМУ БУДЕТ УДОБНО ВВЕСТИ НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. вМЕСТО
МОДУЛЯ СРАВНЕНИЯ-ОБМЕНА БУДЕМ ПИСАТЬ~$[i:j]$. сЕТЬ С $n$~ВХОДАМИ И
$r$~КОМПАРАТОРНЫМИ МОДУЛЯМИ ЗАПИШЕМ КАК~$[i_1:j_1]\,[i_2:j_2]\ldots[i_r:j_r]$,
ГДЕ ВСЕ~$i$ И~$j$ МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНЫ~$n$; ДЛЯ КРАТКОСТИ БУДЕМ
НАЗЫВАТЬ ЕЕ $n\hbox{-СЕТЬЮ}$. сЕТЬ НАЗЫВАЕТСЯ \dfn{СТАНДАРТНОЙ,}
ЕСЛИ~$i_q<j_q$ ДЛЯ~$1\le q \le r$. тАК, НАПРИМЕР, РИС.~44 ОПИСЫВАЕТ
СТАНДАРТНУЮ 4-СЕТЬ, ОБОЗНАЧАЕМУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
КОМПАРАТОРОВ~$[1:2]\, [3:4]\, [1:3]\, [2:4]\, [2:3]$.

нАШИ СОГЛАШЕНИЯ В ТЕКСТЕ ОБ ИЗОБРАЖЕНИИ ДИАГРАММ СЕТЕЙ ПОЗВОЛЯЮТ РИСОВАТЬ
ТОЛЬКО СТАНДАРТНЫЕ СЕТИ; ВСЕ КОМПАРАТОРЫ~$[i:j]$ ИЗОБРАЖАЮТСЯ ПРЯМОЙ
ОТ~$i$ К~$j$, ГДЕ~$i<j$. еСЛИ НУЖНО НАРИСОВАТЬ НЕСТАНДАРТНУЮ СЕТЬ, ТО
МОЖНО ИСПОЛЬЗОВАТЬ \emph{СТРЕЛКУ} ОТ~$i$ К~$j$, УКАЗЫВАЮЩУЮ, ЧТО БОЛЬШЕЕ
ЧИСЛО НАПРАВЛЯЕТСЯ К ОСТРИЮ СТРЕЛКИ. нАПРИМЕР, НА РИС.~56 ИЗОБРАЖЕНА
НЕСТАНДАРТНАЯ СЕТЬ ДЛЯ 16~ЭЛЕМЕНТОВ С КОМПАРАТОРАМИ~$[1:2]\,[4:3]\,[5:6]\,
[8:7]$ И~Т.~Д. в УПР.~11 ДОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО ЭТО СЕТЬ СОРТИРОВКИ.
еСЛИ~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$ ЕСТЬ $n\hbox{-ВЕКТОР}$, А $\alpha$~ЕСТЬ
$n\hbox{-СЕТЬ}$, ТО ИСПОЛЬЗУЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ~$x\alpha$ ДЛЯ ВЕКТОРА
ЧИСЕЛ~$\<(x\alpha)_1,~\ldots,  (x\alpha)_n>$, ПОРОЖДЕННЫХ СЕТЬЮ. пОЛОЖИМ
ТАКЖЕ ДЛЯ КРАТКОСТИ~$a\lor b=\max(a, b)$,
%%284
$a\land b=\min(a, b)$, $\bar a=1-a$;
ТОГДА~$(x[i:j])_i=x_i\land x_j$,
$(x[i:j])_j=x_i\lor x_j$ И~$(x[i:j])_k=x_k$ ДЛЯ~$i\ne k \ne j$. бУДЕМ
ГОВОРИТЬ, ЧТО $\alpha$~ЯВЛЯЕТСЯ \emph{СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ,} ТОГДА И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА~$(x\alpha)_i\le(x\alpha)_{i+1}$ ДЛЯ~$1\le i < n$ И ВСЕХ~$x$.

сИМВОЛ~$e^{(i)}$ ОБОЗНАЧАЕТ ВЕКТОР, У КОТОРОГО В ПОЗИЦИИ~$i$ НАХОДИТСЯ~1,
А В ОСТАЛЬНЫХ МЕСТАХ~0; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $(e^{(i)})_j=\delta_{ij}$.
сИМВОЛ~$D_n$ ОБОЗНАЧАЕТ МНОЖЕСТВО ВСЕХ $2^n$~$n\hbox{-МЕСТНЫХ}$ ВЕКТОРОВ
ИЗ~0 И~1, А $P_n$~ОБОЗНАЧАЕТ МНОЖЕСТВО ВСЕХ $n!$~ВЕКТОРОВ, ЯВЛЯЮЩИХСЯ
ПЕРЕСТАНОВКАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, n}$. мЫ БУДЕМ ИСПОЛЬЗОВАТЬ
ОБОЗНАЧЕНИЯ~$x\land y$ И~$x\lor y$ ДЛЯ
ВЕКТОРОВ~$\<x_1\land y_1,~\ldots, x_n\land y_n>$
И~$\<x_1\lor y_1,~\ldots, x_n\lor y_n>$  И БУДЕМ ПИСАТЬ~$x\le y$,
ЕСЛИ~$x_i\le y_i$ ПРИ ВСЕХ~$i$.
тАКИМ ОБРАЗОМ, $x\le y$~ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$x\lor y= y$, И ТОГДА
И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
\picture{рИС.~56. нЕСТАНДАРТНАЯ СЕТЬ, ОСНОВАННАЯ НА БИТОННОЙ СОРТИРОВКЕ.}
$x\land y=x$. еСЛИ~$x$ И~$y$ ЛЕЖАТ В~$D_n$, ТО БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО
\dfn{$x$~ПОКРЫВАЕТ~$y$,} ЕСЛИ~$x=y\lor e^{(i)}\ne y$ ПРИ НЕКОТОРОМ~$i$.
нАКОНЕЦ, ДЛЯ ВСЕХ~$x$ В~$D_n$ ПУСТЬ~$\nu(x)$ БУДЕТ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ В $x$,
a~$\zeta(x)$---ЧИСЛОМ НУЛЕЙ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, $\nu(x)+\zeta(x)=n$.

\ex[20] нАРИСУЙТЕ СЕТЬ ЧЕТНО-НЕЧЕТНОГО СЛИЯНИЯ ДЛЯ~$m=3$ И~$n=5$.

\ex[22] пОКАЖИТЕ, ЧТО АЛГОРИТМУ СОРТИРОВКИ в.~пРАТТА
(СМ.~УПР.~5.2.1-30) СООТВЕТСТВУЕТ СЕТЬ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩАЯ
ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО
$(\log_2 n) \times (\log_3 n)$~УРОВНЕЙ ЗАДЕРЖКИ. нАРИСУЙТЕ ТАКУЮ СЕТЬ
ДЛЯ~$n=12$.

\ex[M20] (к.~э.~бЭТЧЕР.) нАЙДИТЕ ПРОСТОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ~$C(m,
m-1)$ И~$C(m,m)$.

\rex[м23] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat T(6) =5$.

\ex[м21] дОКАЖИТЕ, ЧТО ВЫРАЖЕНИЕ~(13) ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЕТ
ВРЕМЯ ЗАДЕРЖКИ ДЛЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ, ОПИСАННОЙ СООТНОШЕНИЯМИ~(10).

\ex[28] пУСТЬ~$T(n)$ БУДЕТ МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СТАДИЙ, ТРЕБУЕМЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ С \emph{ОДНОВРЕМЕННЫМ ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ
СРАВНЕНИЙ} (БЕЗ СЕТЕВОГО ОГРАНИЧЕНИЯ); КАЖДОЕ ТАКОЕ МНОЖЕСТВО СРАВНЕНИЙ
МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО УЗЛОМ, СОДЕРЖАЩИМ МНОЖЕСТВО ПАР~$i_1:j_1$,
$i_2:j_2$,~\dots, $i_r:j_r$, ГДЕ ВСЕ~$i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$,~\dots,
$i_r$, $j_r$ РАЗЛИЧНЫ; ОТ ЭТОГО УЗЛА ОТХОДИТ ВНИЗ $2^r$~ВЕТВЕЙ,
%%285
СООТВЕТСТВУЮЩИХ СЛУЧАЯМ
$$
\eqalign{
&\<{K_{i_1}<K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}>;\cr
&\<{K_{i_1}>K_{j_1}, K_{i_2}<K_{j_2},\ldots, K_{i_r}<K_{j_r}}> \hbox{И~Т.~Д.}\cr
}
$$
дОКАЖИТЕ, ЧТО~$T(5) =T (6) = 5$.

\ex[25] пОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ПОСЛЕДНИЙ КОМПАРАТОР СЕТИ ДЛЯ~$n=10$ НА~РИС.~49
ПОМЕСТИТЬ НЕПОСРЕДСТВЕННО ПЕРЕД ВТОРЫМ И ТРЕТЬИМ С КОНЦА КОМПАРАТОРАМИ, ТО
СЕТЬ ПО-ПРЕЖНЕМУ БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ.

\ex[м20] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat M(m_1+m_2, n_1+n_2)\ge \hat M(m_1, n_1)+
\hat M(m_2, n_2)+\min(m_1, n_2)$ ПРИ~$m_1, m_2, n_1, n2\ge 0$.

\ex[м25] (р.~у.~фЛОЙД.) дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat M(3,3)=6$, $\hat M(4,4)=9$,
$\hat M(5,5)=13$.

\ex[м22] дОКАЖИТЕ, ЧТО БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК бЭТЧЕРА, КАК ОН ОПРЕДЕЛЕН В
ТЕКСТЕ ПЕРЕД~(15), ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАБОТАЕТ. [\emph{уКАЗАНИЕ.} дОСТАТОЧНО
ДОКАЗАТЬ, ЧТО БУДУТ СОРТИРОВАТЬСЯ ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ
$k$~ЕДИНИЦ, ЗА КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $l$~НУЛЕЙ, ЗА КОТОРЫМИ СЛЕДУЮТ $n-k-l$~ЕДИНИЦ.]

\ex[м23] дОКАЖИТЕ, ЧТО БИТОННЫЙ СОРТИРОВЩИК бЭТЧЕРА ПОРЯДКА~$2^p$
БУДЕТ СОРТИРОВАТЬ НЕ ТОЛЬКО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<z_0, z_1,~\ldots,
z_{2^p-1}>$, ДЛЯ КОТОРЫХ $z_0 \ge \ldots\ge z_k \le \ldots\le z_{2^p-1}$,
НО ТАКЖЕ И ВСЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ДЛЯ КОТОРЫХ $z_0\le \ldots \le z_k \ge
\ldots \ge z_{2^p-1}$. [кАК СЛЕДСТВИЕ ЭТОГО, СЕТЬ НА РИС.~56 БУДЕТ
СОРТИРОВАТЬ 16~ЭЛЕМЕНТОВ, ТАК КАК КАЖДАЯ СТАДИЯ СОСТОИТ ИЗ БИТОННЫХ
СОРТИРОВЩИКОВ ИЛИ ОБРАЩЕННЫХ БИТОННЫХ СОРТИРОВЩИКОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ К
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ, КОТОРЫЕ БЫЛИ ОТСОРТИРОВАНЫ В ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ.]

\ex[м20] дОКАЖИТЕ ИЛИ ОПРОВЕРГНИТЕ СЛЕДУЮЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:
ЕСЛИ~$x$ И~$y$---БИТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАВНОЙ ДЛИНЫ, ТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$x\lor y$ И~$x\land y$ ТАКЖЕ БИТОННЫЕ.

\rex[24] (X.~с.~сТОУН). пОКАЖИТЕ, ЧТО СЕТЬ СОРТИРОВКИ ДЛЯ
$2^t$~ЭЛЕМЕНТОВ МОЖНО ПОСТРОИТЬ ПО СХЕМЕ, ПРОИЛЛЮСТРИРОВАННОЙ ДЛЯ~$t=4$ НА
РИС.~57. кАЖДЫЙ ИЗ $t^2$~ШАГОВ ЭТОЙ СХЕМЫ СОСТОИТ ИЗ "ИДЕАЛЬНОГО
ТАСОВАНИЯ" ПЕРВЫХ $2^{t-1}$~ЭЛЕМЕНТОВ С ПОСЛЕДНИМИ~$2^{t-1}$, ЗА КОТОРЫМ
СЛЕДУЮТ ОПЕРАЦИИ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ ОДНОВРЕМЕННО НАД $2^{t-1}$~ПАРАМИ СОСЕДНИХ
ЭЛЕМЕНТОВ. кАЖДАЯ ИЗ ЭТИХ ОПЕРАЦИЙ ОБОЗНАЧЕНА ЛИБО~"$0$" (НЕТ ОПЕРАЦИИ),
ЛИБО~"$+$" (СТАНДАРТНЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ), ЛИБО~"$-$" (ОБРАЩЕННЫЙ
КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ). сОРТИРОВКА ПРОТЕКАЕТ В $t$~СТАДИЙ ПО $t$~ШАГОВ
КАЖДАЯ; НА ПОСЛЕДНЕЙ СТАДИИ ВСЕ ОПЕРАЦИИ СУТЬ~"$+$". в ТЕЧЕНИЕ
СТАДИИ~$s$ ПРИ~$s<t$ МЫ ВЫПОЛНЯЕМ $t-s$~ШАГОВ, ГДЕ ВСЕ ОПЕРАЦИИ СУТЬ~"$0$",
 А ЗАТЕМ ВЫПОЛНЯЕМ $s$~ШАГОВ, ГДЕ НА КАЖДОМ $q-\hbox{М}$~ШАГЕ ПООЧЕРЕДНО
ВЫПОЛНЯЮТСЯ $2^{q-1}$~ОПЕРАЦИЙ~"$+$" И ЗАТЕМ $2^{q-1}$~ОПЕРАЦИЙ~"$-$"
ПРИ~$q=1$, 2,~\dots, $s$.

[зАМЕТИМ, ЧТО ЭТА СХЕМА СОРТИРОВКИ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫПОЛНЕНА ВЕСЬМА
ПРОСТЫМ УСТРОЙСТВОМ, РЕАЛИЗУЮЩИМ ОДИН ШАГ "ТАСОВАНИЯ И ОПЕРАЦИЙ" И
ПЕРЕДАЮЩИМ ВЫХОД ОБРАТНО НА ВХОД. пЕРВЫЕ ТРИ ШАГА НА РИС.~57 МОЖНО,
КОНЕЧНО, УСТРАНИТЬ, ОНИ ОСТАВЛЕНЫ, ЛИШЬ ЧТОБЫ СДЕЛАТЬ СХЕМУ ПОНЯТНЕЕ.
сТОУН ЗАМЕЧАЕТ, ЧТО ТОТ ЖЕ ПРИНЦИП "ТАСОВАНИЯ/ОПЕРАЦИИ" ВСТРЕЧАЕТСЯ В
НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ АЛГОРИТМАХ, ТАКИХ, КАК БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ фУРЬЕ
(СМ.~П.~4.6.4).]

\ex[м20] дОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБАЯ $(1, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ БЕЗ
РАЗВЕТВЛЕНИЯ ДОЛЖНА ИМЕТЬ НЕ МЕНЕЕ $\ceil{\log_2(n+1)}$~УРОВНЕЙ ЗАДЕРЖКИ.

\ex[20] нАЙДИТЕ НЕСТАНДАРТНУЮ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ,
СОДЕРЖАЩУЮ ТОЛЬКО ПЯТЬ КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ.

\ex[M22] дОКАЖИТЕ, ЧТО СЛЕДУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗУЕТ ЛЮБУЮ
СЕТЬ СОРТИРОВКИ~$[i_1:j_1]\cdots[i_r:j_r]$ В СТАНДАРТНУЮ СЕТЬ СОРТИРОВКИ:
%% !!! ОПРЕДЕЛИТЬ СТИЛЬ, СВЯЗАННЫЙ С АЛГОРИТМОМ
{\medskip\narrower
 \item{T1.}~пУСТЬ~$q$--- НАИМЕНЬШИЙ ИНДЕКС, ТАКОЙ, ЧТО~$i_q>j_q$. еСЛИ ТАКИХ
ИНДЕКСОВ НЕТ, ТО ОСТАНОВИТЬСЯ.
\item{T2.}~зАМЕНИТЬ ВСЕ ВХОЖДЕНИЯ~$i_q$ НА~$j_q$ И ВСЕ ВХОЖДЕНИЯ~$j_q$
НА~$i_q$ ВО ВСЕХ КОМПАРАТОРАХ~$[i_s:j_s]$ ДЛЯ~$q\le s \le r$. вЕРНУТЬСЯ К
ШАГУ~T1.\endmark
\medskip}

\noindent нАПРИМЕР, СЕТЬ~$[4:1]\,[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[1:2]\,[3:4]$
ПРЕОБРАЗУЕТСЯ СНАЧАЛА В~$[1:4]\,[3:2]\,[4:3]\,[2:1]\,[4:2]\,[3:1]$, ЗАТЕМ
В~$[1:4]\,[2:3]\,[4:2]\,[3:1]\,[4:3]\,[2:1]$, ЗАТЕМ
%%286
\picture{рИС.~57.~сОРТИРОВКА 16 ЭЛЕМЕНТОВ С "ИДЕАЛЬНЫМ ТАСОВАНИЕМ".}
%%287
В~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[3:1]\,[2:3]\,[4:1]$ И~Т.~Д., ПОКА НЕ ПОЛУЧИТСЯ
СТАНДАРТНАЯ СЕТЬ~$[1:4]\,[2:3]\,[2:4]\,[1:3]\,[1:2]\,[3:4]$.

\ex[м25] пУСТЬ~$D_{tn}$ БУДЕТ МНОЖЕСТВОМ ВСЕХ
$\perm{n}{t}$~ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ $\<x_1,~\ldots, x_n>$ ИЗ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ,
ИМЕЮЩИХ РОВНО $t$~ЕДИНИЦ. дОКАЖИТЕ, ЧТО $\hat U_t(n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ
ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫ В СЕТИ, СОРТИРУЮЩЕЙ ВСЕ
ЭЛЕМЕНТЫ~$D_{tn}$; ЧТО $\hat V_t (n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ
КОМПАРАТОРОВ, НУЖНЫХ ДЛЯ СОРТИРОВКИ~$D_{tn}\cup D_{(t-1)n}$; И ЧТО $\hat
W_t(n)$~РАВНО МИНИМАЛЬНОМУ ЧИСЛУ КОМПАРАТОРОВ, НУЖНЫХ ДЛЯ
СОРТИРОВКИ~$\bigcup_{0\le k \le t} D_{kn}$.

\rex[м20] дОКАЖИТЕ, ЧТО СЕТЬ, КОТОРАЯ ОПРЕДЕЛЯЕТ МЕДИАНУ $2t-1$~ЭЛЕМЕНТОВ,
ТРЕБУЕТ НЕ МЕНЕЕ~$(t-1)\ceil{\log_2(t+1)}+\ceil{\log_2 t}$
КОМПАРАТОРНЫХ МОДУЛЕЙ. [\emph{уКАЗАНИЕ:} СМ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ~A.]

\ex[м22] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat U_2(n)=2n-4$ И~$\hat V_2(n)=2n-3$ ДЛЯ ВСЕХ~$n\ge2$.

\ex[24] дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat V_3(5)=7$.

\ex[M15] пУСТЬ~$\alpha$---ЛЮБАЯ $n\hbox{-СЕТЬ}$, А~$x$ И~$y$---ДВА
$n\hbox{-ВЕКТОРА}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО ИЗ~$x\le y$ СЛЕДУЕТ~$x\alpha \le y\alpha$.

\ex[м15] дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$x$ И~$y$ СУТЬ $n\hbox{-ВЕКТОРЫ}$
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ТО~$x\cdots y \le (x\alpha)\cdot(y\alpha)$.
(зДЕСЬ~$x\cdot y$---СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ $x_1y_1+\cdots+x_ny_n$.)

\ex[м17]. пУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ
ПЕРЕСТАНОВКА~$p\in P_n$, ТАКАЯ, ЧТО $(p\alpha)_i=j$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
КОГДА В~$D_n$~НАЙДУТСЯ ВЕКТОРЫ~$x$, $y$, ТАКИЕ, ЧТО~$x$ ПОКРЫВАЕТ~$y$,
$(x\alpha)_i=1$,
$(y\alpha)_i=0$ И~$\zeta(y)=j$.

\rex[M21] (в.~е.~аЛЕКСЕЕВ.) пУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$; ВВЕДЕМ
ОБОЗНАЧЕНИЯ $l_k=\min\set{ (p\alpha)_k \mid p\in P_n}$,
$u_k=\max\set{(p\alpha)_k\mid p\in P_n}$ ПРИ~$1\le k \le n$ ДЛЯ НИЖНЕЙ И
ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦ ДИАПАЗОНА ЗНАЧЕНИЙ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПОЯВЛЯТЬСЯ НА ПРЯМОЙ~$k$
ВЫХОДА. пУСТЬ~$l'_k$ И~$u'_k$---АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ
СЕТИ~$\alpha'=\alpha[i:j]$. дОКАЖИТЕ, ЧТО~$l'_i=l_i\land l_j$,
$l'_j\le l_i+l_j$,
$u'_i\ge u_+u_j-(n+1)$, $u'_j=u_i\lor u_j$.  [\emph{уКАЗАНИЕ:} ДЛЯ ДАННЫХ
ВЕКТОРОВ~$x$ И~$y$ ИЗ~$D_n$, ТАКИХ,
ЧТО~$(x\alpha)_i=(y\alpha)_j=0$, $\zeta(x)=l_i$, $\zeta(y)=l_j$, НАЙДИТЕ
ВЕКТОР~$z$ ИЗ~$D_n$, ТАКОЙ, ЧТО~$(z\alpha')_j=0$, $\zeta(z)\le l_i+l_j$.]

\ex[M30] пУСТЬ~$l_k$ И~$u_k$ ОПРЕДЕЛЕНЫ, КАК В УПР.~24. дОКАЖИТЕ, ЧТО
МНОЖЕСТВО~$\set{(p\alpha)_k \mid  p\in P_n}$ СОДЕРЖИТ ВСЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
МЕЖДУ~$l_k$ И~$u_k$ ВКЛЮЧИТЕЛЬНО.

\ex[M24] (р.~у.~фЛОЙД.) пУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ $n\hbox{-СЕТЬ}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО
МНОЖЕСТВО~$D_n\alpha=\set{x\alpha \mid x\in D_n}$ МОЖЕТ БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНО,
ИЗ МНОЖЕСТВА~$P_n\alpha=\set{p\alpha \mid p\in P_n}$ И, ОБРАТНО,
$P_n\alpha$~МОЖЕТ БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНО ИЗ~$D_n\alpha$.

\rex[M20] пУСТЬ~$x$ И~$y$---ВЕКТОРЫ, И ПУСТЬ~$x\alpha$
И~$y\alpha$---ОТСОРТИРОВАННЫЕ ВЕКТОРЫ. дОКАЖИТЕ, ЧТО~$(x\alpha)_i\le
(y\alpha)_j$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ЛЮБОЙ СОВОКУПНОСТИ
$j$~ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ~$y$ МОЖНО НАЙТИ СОВОКУПНОСТЬ $i$~ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ~$x$, ТАКУЮ,
ЧТО ЛЮБОЙ ЭЛЕМЕНТ, ВЗЯТЫЙ ИЗ~$x$, МЕНЬШЕ НЕКОТОРОГО ЭЛЕМЕНТА,
ВЗЯТОГО ИЗ~$y$, ИЛИ РАВЕН ЕМУ. иСПОЛЬЗУЙТЕ ЭТОТ ПРИНЦИП ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТОГО, ЧТО \emph{ЕСЛИ ОТСОРТИРОВАТЬ СТРОКИ ЛЮБОЙ МАТРИЦЫ, А ЗАТЕМ
ОТСОРТИРОВАТЬ СТОЛБЦЫ, ТО СТРОКИ ОСТАНУТСЯ УПОРЯДОЧЕННЫМИ.}

\rex[м20] сЛЕДУЮЩАЯ ДИАГРАММА ПОКАЗЫВАЕТ, КАК ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ ДЛЯ
СОДЕРЖИМОГО ВСЕХ ЛИНИЙ СЕТИ СОРТИРОВКИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ВХОДЫ:
\picture{p.287}
иСПОЛЬЗУЯ ЗАКОНЫ КОММУТАТИВНОСТИ~$x\land y =y \land x$, $x\lor y = y \lor x$,
ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ~$x\land (y\land z)=(x\land y) \land z$,
$x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z$, ЗАКОНЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ
$x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)$,
$x\lor(y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)$, ЗАКОНЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
$x\land (x\lor y)=x\lor(x\land y)=x$ И ЗАКОНЫ ИДЕМПОТЕНТНОСТИ
$x\land x=x\lor x = x$, МЫ МОЖЕМ СВЕСТИ ФОРМУЛЫ В ПРАВОЙ ЧАСТИ ЭТОЙ СЕТИ
СООТВЕТСТВЕННО К~$(a \land b \land c \land d)$,
$(a\land b \land c) \lor (a\land b \land d) \lor (a\land c\land d) \lor (b \land c \land d)$,
$(a\land b) \lor (a \land c) \lor (a \land d) \lor (b \land c) \lor (b \land d) \lor (c \land d)$,
$a \lor b \lor c \lor d$. дОКАЖИТЕ,
%%288
ЧТО В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ $t\hbox{-Й}$ В ПОРЯДКЕ УБЫВАНИЯ ЭЛЕМЕНТ
ИЗ~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$ ДАЕТСЯ "ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ"
$$
\sigma_t(x_1,~\ldots, x_n)=
\bigvee \set{x_{i_1}\land x_{i_2}\land\ldots\land x_{i_t} \mid
1\le i_1 < i_2 < \ldots < i_t \le n}.
$$
[зДЕСЬ $\perm{n}{t}$~ЧЛЕНОВ ОБЎЕДИНЯЮТСЯ ОПЕРАЦИЕЙ~$\vee$ ВМЕСТЕ. тАКИМ
ОБРАЗОМ, ЗАДАЧА
НАХОЖДЕНИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ ЭКВИВАЛЕНТНА ЗАДАЧЕ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МИНИМАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ
СХЕМ "И/ИЛИ", ГДЕ НА КАЖДОМ ШАГЕ ДВЕ ВЕЛИЧИНЫ~$\phi$ И~$\psi$ ЗАМЕНЯЮТСЯ
НА~$\phi\land\psi$ И~$\phi\lor\psi$.]

\ex[M20] дАНО, ЧТО~$x_1\le x_2 \le x_3$ И~$y_1\le y_2 \le y_3 \le y_4 \le
y_5$ И ЧТО~$z_1\le z_2 \le \ldots \le z_8$---РЕЗУЛЬТАТ СЛИЯНИЯ~$x$ С~$y$.
нАЙДИТЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КАЖДОГО~$z$ ЧЕРЕЗ~$x$ И~$y$, ИСПОЛЬЗУЯ
ОПЕРАТОРЫ~$\land$ И~$\lor$.

\ex[вм24] дОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБАЯ ФОРМУЛА, СОДЕРЖАЩАЯ~$\land$, $\lor$ И
НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ~$\set{x_1,~\ldots, x_n}$, МОЖЕТ БЫТЬ ПРИВЕДЕНА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОЖДЕСТВ ИЗ УПР.~28 К "КАНОНИЧЕСКОЙ"
ФОРМЕ~$\tau_1\lor\tau_2\lor\ldots\lor\tau_k$, ЗДЕСЬ~$k\ge1$ И
КАЖДЫЙ~$\tau_i$ ИМЕЕТ ВИД~$\land \set{x_j \mid j \in S_i}$,
ГДЕ~$S_i$---ПОДМНОЖЕСТВО~$\set{1,2,~\ldots, n}$ И НИКАКОЕ МНОЖЕСТВО~$S_i$ НЕ
ВКЛЮЧАЕТСЯ В~$S_j$, ЕСЛИ~$i\ne j$. дОКАЖИТЕ ТАКЖЕ, ЧТО ДВЕ ТАКИЕ
КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ РАВНЫ ДЛЯ ВСЕХ~$x_1$,~\dots, $x_n$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА,
 КОГДА ОНИ ИДЕНТИЧНЫ (С ТОЧНОСТЬЮ ДО ПОРЯДКА).

\ex[м24] (р.~дЕДЕКИНД, 1897.) пУСТЬ~$\delta_n$---ЧИСЛО РАЗЛИЧНЫХ
КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ ОТ~$x_1$,~\dots, $x_n$ В СМЫСЛЕ УПР.~30 тАК,
$\delta_1=l$, $\delta_2=4$ И~$\delta_3=18$. чЕМУ РАВНО~$\delta_4$?

\ex[м28] (м.~у.~гРИН.) пУСТЬ~$G_1=\set{00, 01, 11}$; ОПРЕДЕЛИМ~$G_{n+1}$
КАК МНОЖЕСТВО ВСЕХ ЦЕПОЧЕК~$\theta\phi\psi\omega$, ТАКИХ, ЧТО~$\theta$,
$\phi$, $\psi$, $\omega$ ИМЕЮТ ДЛИНУ~$2^{n+1}$ И~$\theta\phi$,
$\psi\omega$, $\theta\psi$ И~$\phi\omega$ ПРИНАДЛЕЖАТ~$G_n$.
пУСТЬ~$\alpha$---СЕТЬ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ПЕРВЫХ УРОВНЕЙ 16-СОРТИРОВЩИКА,
ИЗОБРАЖЕННОГО НА РИС.~48. пОКАЖИТЕ, ЧТО~$D_{16}\alpha=G_4$, И ДОКАЖИТЕ,
ЧТО ЭТО МНОЖЕСТВО ИМЕЕТ В ТОЧНОСТИ $\delta_4+2$~ЭЛЕМЕНТОВ. (сМ.~УПР.~31.)

\rex[м22] нЕ ВСЕ $\delta_n$~ФУНКЦИЙ ОТ~$\<x_1,~\ldots, x_n>$ ИЗ УПР.~31
МОГУТ ВСТРЕТИТЬСЯ В КОМПАРАТОРНЫХ СЕТЯХ. а ИМЕННО ДОКАЖИТЕ, ЧТО
ФУНКЦИЯ~$(x_1\land x_2) \lor (x_2\land x_3) \lor (x_3\land x_4)$ НЕ МОЖЕТ
БЫТЬ РЕЗУЛЬТАТОМ НИКАКОЙ КОМПАРАТОРНОЙ СЕТИ ОТ~$\<x_1,~\ldots, x_n>$.

\ex[23] яВЛЯЕТСЯ ЛИ СЛЕДУЮЩАЯ СЕТЬ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ?
\picture{p.288}
\ex[20] дОКАЖИТЕ, ЧТО В ЛЮБОЙ \emph{СТАНДАРТНОЙ СЕТИ} СОРТИРОВКИ ДОЛЖЕН ПО
КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДИН РАЗ ВСТРЕТИТЬСЯ КАЖДЫЙ ИЗ КОМПАРАТОРОВ~$[i:i+1]$
ПРИ~$1\le i < n$.

\rex[22] сЕТЬ НА РИС.~47 СОДЕРЖИТ ТОЛЬКО \emph{КРАТЧАЙШИЕ}
СРАВНЕНИЯ~$[i:i+1]$; БУДЕМ НАЗЫВАТЬ ТАКИЕ СЕТИ \dfn{ПРИМИТИВНЫМИ,}
(a)~дОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИМИТИВААЯ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ ДОЛЖНА
ИМЕТЬ НЕ МЕНЕЕ $\perm{n}{2}$~КОМПАРАТОРОВ. [\emph{уКАЗАНИЕ:} РАССМОТРИТЕ
ИНВЕРСИИ ПЕРЕСТАНОВКИ.] (b)~(р.~у.~фЛОЙД, 1964.)
пУСТЬ~$\alpha$---ПРИМИТИВНАЯ СЕТЬ ДЛЯ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ, А~$x$---ВЕКТОР, ТАКОЙ,
ЧТО~$(x\alpha)_i >(x\alpha)_j$ ПРИ НЕКОТОРЫХ~$i<j$. дОКАЖИТЕ,
ЧТО~$(y\alpha)_i>(y\alpha)_j$,
ГДЕ~$y$---ВЕКТОР~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$. (С)~в КАЧЕСТВЕ СЛЕДСТВИЯ~(b)
ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИМИТИВНАЯ
%%288
СЕТЬ ЯВЛЯЕТСЯ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОНА
СОРТИРУЕТ ЕДИНСТВЕННЫЙ ВЕКТОР~$\<n, n-1,~\ldots, 1>$!

\ex[м22] \dfn{чЕТНО-НЕЧЕТНАЯ СОРТИРОВКА С ТРАНСПОЗИЦИЯМИ} ДЛЯ $n$~ЧИСЕЛ,
$n\ge 3$, ЭТО $n\hbox{-УРОВНЕВАЯ}$ СЕТЬ С ${1\over2}n(n-1)$~КОМПАРАТОРАМИ,
НАПОМИНАЮЩАЯ КИРПИЧНУЮ КЛАДКУ (РИС.~58). (еСЛИ $n$~ЧЕТНО, ИМЕЮТСЯ ДВЕ
ВОЗМОЖНОСТИ.) тАКУЮ СОРТИРОВКУ ОСОБЕННО ЛЕГКО РЕАЛИЗОВАТЬ АППАРАТУРНО, ТАК
КАК ПОПЕРЕМЕННО ВЫПОЛНЯЮТСЯ ТОЛЬКО ДВА ВИДА ДЕЙСТВИЙ. дОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКАЯ
СЕТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО БУДЕТ ПРАВИЛЬНОЙ СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ. [\emph{уКАЗАНИЕ:} СМ.~УПР.~36.]
\picture{рИС.~58.  чЕТНО-НЕЧЕТНАЯ СОРТИРОВКА С ТРАНСПОЗИЦИЯМИ.}

\ex[29] мОЖНО ДАТЬ ДРУГУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ СЕТЯМ СОРТИРОВКИ, СЧИТАЯ, ЧТО НА
КАЖДОЙ ЛИНИИ НАХОДИТСЯ МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ИЗ $m$~ЧИСЕЛ, А НЕ ОДНО ЧИСЛО; ПРИ
ЭТОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ОПЕРАЦИЯ~$[i:j]$ ЗАМЕНЯЕТ~$x_i$ И~$x_j$
СООТВЕТСТВЕННО НА~$x_i \upup x_j$ И~$x_i\dndn x_j$---НАИМЕНЬШИЕ~$m$ И
НАИБОЛЬШИЕ~$m$ ИЗ~$2m$ ЧИСЕЛ~$x_i\uplus x_j$. (рИС.~59 ИЛЛЮСТРИРУЕТ ЭТО
ПРИ~$m=2$.) еСЛИ~$a$ И~$b$ СУТЬ МУЛЬТИМНОЖЕСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ $m$~ЧИСЕЛ
КАЖДОЕ, ТО БУДЕМ ГОВОРИТЕ, ЧТО~$a \lflf b$ ТОГДА
\picture{рИС.~59.  дРУГАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СЕТИ СОРТИРОВКИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА
РИС.~44: КАЖДЫЙ КОМПАРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ ВЫПОЛНЯЕТ ОПЕРАЦИЮ СЛИЯНИЯ.}
И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$a \upup b=a$ (ИЛИ, ЭКВИВАЛЕНТНО, $a \dndn b=b$;
НАИБОЛЬШИЙ ЭЛЕМЕНТ~$a$ МЕНЬШЕ ИЛИ РАВЕН НАИМЕНЬШЕМУ ЭЛЕМЕНТУ~$b$). тАКИМ
ОБРАЗОМ,
$a \upup b \lflf a \dndn b$.

пУСТЬ~$\alpha$ ЕСТЬ $n\hbox{-СЕТЬ}$, a~$x=\<x_1,~\ldots, x_n>$---ВЕКТОР, В
КОТОРОМ КАЖДАЯ КОМПОНЕНТА~$x_i$---МУЛЬТИМНОЖЕСТВО ИЗ $m$~ЭЛЕМЕНТОВ. дОКАЖИТЕ,
ЧТО ЕСЛИ~$(x\alpha)_i$ НЕ $\lflf (x\alpha)_j$ В ОПИСАННОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ,
ТО В~$D_n$ НАЙДЕТСЯ ВЕКТОР~$y$, ТАКОЙ, ЧТО $(y\alpha)_i=1$
И~$(y\alpha)_j=0$. [сЛЕДОВАТЕЛЬНО, СЕТЬ СОРТИРОВКИ $n$~ЭЛЕМЕНТОВ
ПРЕВРАЩАЕТСЯ В СЕТЬ СОРТИРОВКИ $mn$~ЭЛЕМЕНТОВ, ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ СРАВНЕНИЯ
$m$-ПУТЕВЫМИ СЛИЯНИЯМИ. нА РИС.~60 ИЗОБРАЖЕН ВОСЬМИЭЛЕМЕНТНЫЙ
СОРТИРОВЩИК, ПОСТРОЕННЫЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОГО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭТОГО
НАБЛЮДЕНИЯ.]

\rex[м23] пОКАЖИТЕ, ЧТО В ОБОЗНАЧЕНИЯХ УПР.~38
$(x\upup y)\upup z=x\upup (y\upup z)$ И~$(x\dndn y)\dndn z=x\dndn(y\dndn
z)$, ОДНАКО $(x\dndn y)\upup z)$ \emph{НЕ}  ВСЕГДА РАВНО~$(x\upup z)\dndn
(y\upup z)$ И~$(x\upup y)\dndn (x\upup z)\dndn (y\upup z)$ \emph{НЕ}
ВСЕГДА РАВНО СРЕДНИМ $m$~ЭЛЕМЕНТАМ~$x\uplus y \uplus z$. нАЙДИТЕ
ПРАВИЛЬНУЮ ФОРМУЛУ ДЛЯ ЭТИХ СРЕДНИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ В НЕЙ $x$, $y$,
$z$, А ТАКЖЕ ОПЕРАЦИИ~$\upup$ И~$\dndn$.
%%290

\ex[M25] (р.~л.~гРЭХЕМ.) кОМПАРАТОР~$[i:j]$ НАЗЫВАЕТСЯ ИЗБЫТОЧНЫМ В
СЕТИ~$\alpha_1[i:j]\alpha_2$, ЕСЛИ ЛИБО~$(x\alpha_1)_i \le (x\alpha_1)_j$
ДЛЯ ВСЕХ ВЕКТОРОВ~$x$, ЛИБО~$(x\alpha_1)_i\ge (x\alpha_1)_j$ ДЛЯ ВСЕХ
ВЕКТОРОВ~$x$. дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ $\alpha$~ЯВЛЯЕТСЯ СЕТЬЮ С
$r$~НЕИЗБЫТОЧНЫМИ КОМПАРАТОРАМИ, ТО НАЙДУТСЯ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ
$r$~РАЗЛИЧНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ
\picture{рИС.~60.   8-СОРТИРОВЩИК, ПОСТРОЕННЫЙ ИЗ 4-СОРТИРОВЩИКА С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛИЯНИЯ.}
ПАР~$(i, j)$ РАЗЛИЧНЫХ ИНДЕКСОВ, ТАКИХ, ЧТО~$(x\alpha)_i\le (x\alpha)_j$
ДЛЯ ВСЕХ ВЕКТОРОВ~$x$. (сЛЕДОВАТЕЛЬНО, СЕТЬ БЕЗ ИЗБЫТОЧНЫХ КОМПАРАТОРОВ
СОДЕРЖИТ НЕ БОЛЕЕ $\perm{n}{2}$~МОДУЛЕЙ.)

\rex[M27] (в.~е.~аЛЕКСЕЕВ.) пУСТЬ~$\alpha=[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$ ЕСТЬ~$n\hbox{-СЕТЬ}$;
ДЛЯ~$1\le s \le r$
ОПРЕДЕЛИМ~$\alpha^s=[i'_1:j'_1]\ldots[i'_{s-1}:j'_{s-1}]\,
[i_s:j_s]\ldots[i_r:j_r]$, ГДЕ~$i'_k$ И~$j'_k$ ПОЛУЧЕНЫ ИЗ~$i_k$ И~$j_k$
ЗАМЕНОЙ~$i_s$ НА~$j_s$ И~$j_s$ НА~$i_s$ ВЕЗДЕ, ГДЕ ОНИ ВСТРЕЧАЮТСЯ.
нАПРИМЕР,
ЕСЛИ~$\alpha=[1:2]\,[3:4]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$, ТО~$\alpha^4=[1:4]\,
[3:2]\,[1:3]\,[2:4]\,[2:3]$.
{\medskip\narrower
\item{a)}~дОКАЖИТЕ, ЧТО~$D_n\alpha=D_n(\alpha^s)$.
\item{b)}~дОКАЖИТЕ, ЧТО~$(\alpha^s)^t=(\alpha^t)^s$.
\item{c)}~\dfn{сОПРЯЖЕНИЕМ~$\alpha$} ЯВЛЯЕТСЯ ЛЮБАЯ СЕТЬ
ВИДА~$(\ldots((\alpha^{s_1})^{s_2})\ldots)^{s_k}$. дОКАЖИТЕ, ЧТО
$\alpha$~ИМЕЕТ НЕ БОЛЕЕ $2^{r-1}$~СОПРЯЖЕНИЙ.
\item{d)}~пУСТЬ~$g_\alpha(x)=1$, ЕСЛИ~$x\in D_n\alpha$, И~$g_\alpha(x)=0$,
ЕСЛИ~$x\notin D_n\alpha$, И ПУСТЬ
$$
f_\alpha(x)=(\bar x_{i_1}\lor x_{j_1})\land\ldots\land(\bar x_{i_r}\lor x_{j_r}).
$$
дОКАЖИТЕ,
ЧТО~$g_\alpha(x)=\bigvee\set{f_{\alpha'}(x)\mid \hbox{$\alpha'$ ЕСТЬ СОПРЯЖЕНИЕ~$\alpha$}}$.
\item{e)}~пУСТЬ~$G_\alpha$---НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ С ВЕРШИНАМИ~$\set{1,~\ldots,
n}$ И ДУГАМИ~$i_s\to j_s$ ДЛЯ~$1\le s \le r$. дОКАЖИТЕ, ЧТО А ЯВЛЯЕТСЯ
СЕТЬЮ СОРТИРОВКИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДЛЯ ВСЕХ ЕЕ
СОПРЯЖЕНИЙ~$\alpha'$ В~$G_{\alpha'}$ ИМЕЕТСЯ ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПУТЬ ОТ~$i$
ДО~$i+1$ ДЛЯ~$1\le i < n$. [эТО ДОВОЛЬНО ИНТЕРЕСНОЕ УСЛОВИЕ,
ПОСКОЛЬКУ~$G_\alpha$ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ПОРЯДКА КОМПАРАТОРОВ В~$\alpha$.]
\medskip}

\rex[25] (д.~вАН вОРИС.) дОКАЖИТЕ, ЧТО~$\hat S(n)\ge \hat
S(n-1)+\ceil{\log_2 n}$.

\ex[23] \dfn{пЕРЕСТАНОВОЧНОЙ СЕТЬЮ} НАЗЫВАЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
МОДУЛЕЙ~$[i_1:j_1]\ldots[i_r:j_r]$, ГДЕ КАЖДЫЙ МОДУЛЬ~$[i:j]$ МОЖЕТ
УСТАНАВЛИВАТЬСЯ ИЗВНЕ В ОДНО ИЗ ДВУХ СОСТОЯНИЙ: ЛИБО ОН ПЕРЕДАЕТ СВОИ
ВХОДЫ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ, ЛИБО МЕНЯЕТ МЕСТАМИ~$x_i$ И~$x_j$ (НЕЗАВИСИМО ОТ
ЗНАЧЕНИЙ~$x_i$ И~$x_j$), И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МОДУЛЕЙ ДОЛЖНА БЫТЬ ТАКОЙ,
ЧТО НА ВЫХОДЕ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ЛЮБУЮ ПЕРЕСТАНОВКУ ВХОДОВ ПРИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ
УСТАНОВКЕ МОДУЛЕЙ. лЮБАЯ СЕТЬ СОРТИРОВКИ ЯВЛЯЕТСЯ, ОЧЕВИДНО,
ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ СЕТЬЮ, НО ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО. нАЙДИТЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНУЮ СЕТЬ
ДЛЯ ПЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ, ИМЕЮЩУЮ ТОЛЬКО ВОСЕМЬ МОДУЛЕЙ.
%%291

\ex[46] иЗУЧИТЕ СВОЙСТВА СЕТЕЙ СОРТИРОВКИ, ПОСТРОЕННЫХ ИЗ
$m$-СОРТИРОВЩИКОВ ВМЕСТО 2-СОРТИРОВЩИКОВ. (нАПРИМЕР, г.~шАПИРО ПОСТРОИЛ СЕТЬ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ 16~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗОВАВ ЧЕТЫРНАДЦАТЬ
4-СОРТИРОВЩИКОВ. нАИЛУЧШЕЕ ЛИ ЭТО РЕШЕНИЕ? сУЩЕСТВУЕТ ЛИ ДЛЯ ВСЕХ
$m$~ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ СОРТИРОВКИ  $m^2$~ЭЛЕМЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ МОДУЛЕЙ,
ВЫПОЛНЯЮЩИХ $m$-СОРТИРОВКУ?)

\ex[48] нАЙДИТЕ, $(m, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ С ЧИСЛОМ КОМПАРАТОРОВ,
МЕНЬШИМ~$C(m,n)$, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТАКОЙ СЕТИ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

\ex[48] нАЙДИТЕ $(m, n)\hbox{-СЕТЬ}$ СЛИЯНИЯ МЕНЬШЕ, ЧЕМ С
$\ceil{\log_2 (m+n)}$~УРОВНЯМИ ЗАДЕРЖКИ, ИЛИ ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕЕ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

\ex[48] иЗУЧИТЕ КЛАСС СХЕМ СОРТИРОВКИ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ РЕАЛИЗОВАНЫ В
ВИДЕ СХЕМ С ИДЕАЛЬНЫМ ТАСОВАНИЕМ, КАК НА РИС.~57, НО С
ДРУГИМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ ОПЕРАЦИЙ~"$0$", "$+$" И~"$-$".

\ex[вм49] иССЛЕДУЙТЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ~$\upup$ И~$\dndn$, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В
УПР.~38. мОЖНО ЛИ ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ ВСЕ ТОЖДЕСТВА В ЭТОЙ АЛГЕБРЕ КАКИМ-ЛИБО
ИЗЯЩНЫМ СПОСОБОМ ИЛИ ВЫВЕСТИ ВСЕ ИХ ИЗ КОНЕЧНОГО НАБОРА ТОЖДЕСТВ? в
ЭТОМ ОТНОШЕНИИ ТАКИЕ ТОЖДЕСТВА, КАК
$$
x\upup x \upup x = x \upup x \hbox{ ИЛИ } x\upup (x\dndn (x\upup (x\dndn
y)))=x\upup(x\dndn y),
$$
КОТОРЫЕ ИМЕЮТ МЕСТО ТОЛЬКО ДЛЯ~$m\le 2$, ПРЕДСТАВЛЯЮТ ОТНОСИТЕЛЬНО
НЕБОЛЬШОЙ ИНТЕРЕС; РАССМАТРИВАЙТЕ ЛИШЬ ТОЖДЕСТВА, СПРАВЕДЛИВЫЕ ПРИ \emph{ВСЕХ}~$m$.

\ex[M49] кАКОВО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ~$T(n)$, ОПРЕДЕЛЕННОЙ В
УПР.~Б? мОЖЕТ ЛИ БЫТЬ $T(n)<\hat T(n)$ ПРИ КАКОМ-НИБУДЬ~$n$?

\ex[50] нАЙДИТЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\hat S(n)$ ДЛЯ КАКОГО-ЛИБО~$n>8$.

\ex[м50] дОКАЖИТЕ, ЧТО АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$\hat S(n)$ НЕ
ЕСТЬ~$O(n\log n)$.

\centerline{{\bf  упражнения, (вторая часть)}}

сЛЕДУЮЩИЕ УПРАЖНЕНИЯ ИМЕЮТ ДЕЛО С РАЗЛИЧНЫМИ ТИПАМИ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ,
КАСАЮЩИХСЯ СОРТИРОВКИ. пЕРВЫЕ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ОСНОВАНЫ НА "ИНТЕРЕСНОМ
"МНОГОГОЛОВОЧНОМ" ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА,
ПРЕДЛОЖЕННОМ ф.~н.~аРМСТРОНГОМ И~р.~дЖ.~нЕЛЬСОНОМ ЕЩЕ В~1954~Г.
[сМ.~U.~S.~Patents 3029413, 3034102.]
пУСТЬ~$1=h_1<h_2<\ldots<h_m=n$---ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ
ЧИСЕЛ; БУДЕМ НАЗЫВАТЬ ЕЕ "ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ГОЛОВОК" ДЛИНЫ~$m$ С
ДИАПАЗОНОМ~$n$. оНА БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕТОДОВ
СОРТИРОВКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА. сОРТИРОВКА ЗАПИСЕЙ~$R_1$~\dots{}$R_N$
ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ЗА НЕСКОЛЬКО ПРОХОДОВ, А КАЖДЫЙ ПРОХОД СОСТОИТ ИЗ
$N+n-1$~ШАГОВ. нА ШАГЕ~$j$ ПРИ~$j=1-n$, $2-n$,~\dots,.$N-1$
РАССМАТРИВАЮТСЯ ЗАПИСИ~$R_{j+h[1]}$, $R_{j+h[2]}$,~\dots, $R_{j+h[m]}$,
КОТОРЫЕ В СЛУЧАЕ НЕОБХОДИМОСТИ ПЕРЕСТАВЛЯЮТСЯ ТАК, ЧТОБЫ ИХ КЛЮЧИ
ОКАЗАЛИСЬ УПОРЯДОЧЕННЫМИ. (мЫ ГОВОРИМ, ЧТО~$R_{j+h[1]}\ldots{}R_{j+h[m]}$
НАХОДЯТСЯ "ПОД ГОЛОВКАМИ ЧТЕНИЯ-ЗАПИСИ". еСЛИ~$j+h[k]$ ЛИБО~$<1$,
ЛИБО~$>N$, ТО ЗАПИСЬ~$R_{j+h[k]}$ НЕ РАССМАТРИВАЕТСЯ, ИНАЧЕ ГОВОРЯ,
%%292
КЛЮЧИ~$K_0$, $K_{-1}$, $K_{-2}$,~\dots{} СЧИТАЮТСЯ РАВНЫМИ~$-\infty$,
a~$K_{N+1}$, $K_{N+2}$,~\dots{}---РАВНЫМИ~$+\infty$. пОЭТОМУ ПРИ~$j\le
-h[m-1]$ ИЛИ~$j>N-h[2]$ ШАГ~$j$ ТРИВИАЛЕН.)

нАПРИМЕР, В СЛЕДУЮЩЕЙ ТАБЛИЦЕ ПОКАЗАН ОДИН ПРОХОД СОРТИРОВКИ ПРИ~$m=3$,
$N=9$ И~$h_1=1$, $h_2=2$, $h_3=4$:
{\def\ul#1{\underline{#1}}\def\emp{\phantom{0}}
\ctable{
$#$\hfill && \bskip\hfill$#$\hfill\bskip\cr
& K_{-2} & K_{-1} & K_0 & K_1 & K_2 & K_3 & K_4 & K_5 & K_6 & K_7 & K_8 &
K_9 & K_{10} & K_{11} & K_{12}\cr
j=-3 &  \ul{\emp} & \ul{\emp} &               & \ul{3} & 1 & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-2 &                  & \ul{\emp}& \ul{\emp}& 3 & \ul{1} & 4 & 5 & 9 & 2
& 6 & 8 & 7 \cr
j=-1 &                  &               & \ul{\emp}&\ul{3} & 1 & \ul{4} &
5 & 9 & 2 & 6 & 8 & 7\cr
j=0  &                  &               &                &\ul{1} & \ul{3}
& 4 & \ul{5} &  9 & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=1  &                  &                &                & 1 & \ul{3} &
\ul{4} & 5 & \ul{9} & 2 & 6 & 8 & 7 \cr
j=2  &                  &                 &                & 1  & 3 &
\ul{2} & \ul{4} & 9 & \ul{5} & 6 & 8 & 7 \cr
j=3  &                  &                  &                & 1  & 3 & 2 &
\ul{4} & \ul{6} & 5 &\ul{9} & 8 & 7 \cr
j=4  &                  &                  &                 & 1 & 3 & 2 &
4 & \ul{5} & \ul{6} & 9 & \ul{8} & 7 \cr
j=5  &                  &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & \ul{6} & \ul{7} & 8 & \ul{9}\cr
j=6  &                   &                 &                   & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & \ul{7} & \ul{8} & 9 & \ul{\emp} \cr
j=7  &                   &                  &                  & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & \ul{8} & \ul{9} & & \ul{\emp}\cr
j=8  &                   &                   &                 & 1 & 3 & 2
& 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \ul{9} & \ul{\emp}&  & \ul{\emp} \cr
}
}


зАМЕТИМ, ЧТО, ЕСЛИ~$m=2$, $h_1=1$ И~$h_2=2$, ЭТОТ "МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ"
МЕТОД СВОДИТСЯ К МЕТОДУ ПУЗЫРЬКА (АЛГОРИТМ~5.2.2B).

\ex[21] (дЖЕЙМС дУГУНДИ.) дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ~$h[k+1]=h[k]+1$
ПРИ НЕКОТОРОМ~$k$, $1\le k < m$, ТО МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ СОРТИРОВЩИК,
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ВЫШЕ, ОТСОРТИРУЕТ ЛЮБОЙ ВХОДНОЙ ФАЙЛ ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО
ПРОХОДОВ. нО
ЕСЛИ~$h[k+1]\ge h[k]+2$ ПРИ~$1\le k < m$, ТО МОЖЕТ СЛУЧИТЬСЯ, ЧТО ВХОДНАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ \emph{НИКОГДА} НЕ СТАНЕТ УПОРЯДОЧЕННОЙ.

\edef\exref{\the\excerno}
\rex[50] (аРМСТРОНГ И~нЕЛЬСОН.) пУСТЬ~$h[k+1]\le h[k]+k$ ПРИ~$1\le k\le m$
И~$N\ge n-1$. дОКАЖИТЕ, ЧТО В ТЕЧЕНИЕ ПЕРВОГО ПРОХОДА
НАИБОЛЬШИЕ $n-1$~ЭЛЕМЕНТОВ ВСЕГДА ЗАЙМУТ СВОИ ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ МЕСТА.
[\emph{уКАЗАНИЕ:} ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПРИНЦИП НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ; ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ
СОРТИРУЕТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИЗ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ, ПРИЧЕМ ЕДИНИЦ
МЕНЬШЕ~$n$, ТО ВСЕ ГОЛОВКИ МОГУТ ЧИТАТЬ~1 ЛИШЬ В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ
НУЛИ ЛЕЖАТ СЛЕВА ОТ ГОЛОВОК.]

дОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ГОЛОВКИ УДОВЛЕТВОРЯЮТ СФОРМУЛИРОВАННЫМ УСЛОВИЯМ, ТО
СОРТИРОВКА БУДЕТ ЗАКОНЧЕНА НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ЗА
$\ceil{(N-1)/(n-1)}$~ПРОХОДОВ. сУЩЕСТВУЕТ ЛИ ВХОДНОЙ ФАЙЛ, ДЛЯ КОТОРОГО
НЕОБХОДИМО РОВНО СТОЛЬКО ПРОХОДОВ?

\ex[26] дОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ~$n=N$ ПЕРВЫЙ ПРОХОД ПОМЕСТИТ НАИМЕНЬШИЙ  КЛЮЧ В
ПОЗИЦИЮ~$R_1$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$h[k+1]\le 2h[k]$, $1\le k<m$.

\ex[34] (дЖ.~хОПКРОФТ.) "сОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ"
$N$~ЭЛЕМЕНТОВ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГОЛОВОЧНЫЙ СОРТИРОВЩИК, КОТОРЫЙ ВСЕГДА
ЗАКАНЧИВАЕТ РАБОТУ ЗА ОДИН ПРОХОД. уПРАЖНЕНИЕ~\exref{} ДОКАЗЫВАЕТ, ЧТО
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$$
\<h_1, h_2, h_3, h_4,~\ldots, h_m>=\<1, 2, 4, 7,~\ldots, 1+\perm{m}{2}>.
$$
ОБРАЗУЕТ СОВЕРШЕННЫЙ СОРТИРОВЩИК ДЛЯ $N=\perm{m}{2}$~ЭЛЕМЕНТОВ, ИСПОЛЬЗУЯ
$m=(\sqrt{8N-7}+l)/2$~ГОЛОВОК. нАПРИМЕР, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ГОЛОВОК~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 22>$ ЯВЛЯЕТСЯ СОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ ДЛЯ
22~ЭЛЕМЕНТОВ.

дОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГОЛОВОК~$\<1, 2, 4, 7, 11, 16, 23>$
НА САМОМ ДЕЛЕ БУДЕТ СОВЕРШЕННЫМ СОРТИРОВЩИКОМ ДЛЯ 23~ЭЛЕМЕНТОВ.

\ex[49] оПРЕДЕЛИТЕ ПРИ ЗАДАННОМ~$m$ НАИБОЛЬШЕЕ~$N$, ДЛЯ КОТОРОГО
СУЩЕСТВУЕТ СОВЕРШЕННЫЙ СОРТИРОВЩИК С $m$~ГОЛОВКАМИ. вЕРНО ЛИ, ЧТО~$N=O(m^2)$?
%%293

\ex[23] (в.~пРАТТ.) еСЛИ КАЖДАЯ ГОЛОВКА~$h_k$ НАХОДИТСЯ В
ПОЛОЖЕНИИ~$2^{k-1}$  ДЛЯ~$1\le k \le m$, ТО СКОЛЬКО ПРОХОДОВ ПОТРЕБУЕТСЯ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ И
ЕДИНИЦ~$z_1$ $z_2$~\dots{} $z_{2^{m-1}}$,
ГДЕ $z_j=0$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА $j$~ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ~2?

\ex[24] (оДНОРОДНАЯ СОРТИРОВКА.) в ДЕРЕВЕ НА РИС.~34 В П.~5.3.1
СРАВНЕНИЕ~$2:3$ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В ОБОИХ ВЕТВЯХ УРОВНЯ~1; А В КАЖДОЙ ВЕТВИ
УРОВНЯ~2 ВЫПОЛНЯЕТСЯ СРАВНЕНИЕ~$1:3$, ЕСЛИ ТОЛЬКО ОНО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ
ИЗБЫТОЧНЫМ. в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ МЫ МОЖЕМ РАССМОТРЕТЬ КЛАСС АЛГОРИТМОВ
СОРТИРОВКИ, ОДНОРОДНЫХ
ИМЕННО В ЭТОМ СМЫСЛЕ, ПРЕДПОЛАГАЯ, ЧТО~$M=\perm{N}{2}$
ПАР~$\set{(a,b) \mid 1\le a<b\le N}$ ВЫСТРОЕНЫ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
$$
(a_1, b_2)\, (a_2, b_2)\ldots(a_M, b_M);
$$
МЫ МОЖЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО ВЫПОЛНЯТЬ ТЕ ИЗ СРАВНЕНИЙ~$K_{a_1}:K_{b_1}$,
$K_{a_2}:K_{b_2}$,~\dots, РЕЗУЛЬТАТ КОТОРЫХ ЕЩЕ НЕ ИЗВЕСТЕН. кАЖДАЯ ИЗ
$M!$~РАССТАНОВОК ПАР~$(a,b)$ ОПРЕДЕЛЯЕТ АЛГОРИТМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ.
иДЕЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ ПРИНАДЛЕЖИТ X.~л.~бЬЮСУ [{\sl JACM,\/}{\bf 17}
(1970), 482--495], В РАБОТЕ КОТОРОГО БЫЛИ ПРЕДЛОЖЕНЫ БЛИЖАЙШИЕ НЕСКОЛЬКО
УПРАЖНЕНИЙ.

дЛЯ ФОРМАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ УДОБНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ
ТЕОРИЕЙ ГРАФОВ. пУСТЬ~$G$---НАПРАВЛЕННЫЙ ГРАФ С ВЕРШИНАМИ~$\set{1, 2,~\ldots, N}$
И БЕЗ ДУГ. дЛЯ~$i=1$, 2,~\dots, $M$ МЫ ДОБАВЛЯЕМ ДУГИ К~$G$ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\medskip
{\sl сЛУЧАЙ~1.\/}~в~$G$ ИМЕЕТСЯ ПУТЬ ОТ~$a_i$ К~$b_i$.
дОБАВИТЬ К~$G$ ДУГУ~$a_i\to b_i$.

{\sl сЛУЧАЙ~2.\/}~в~$G$ ИМЕЕТСЯ ПУТЬ ОТ~$b_i$ К~$a_i$.
дОБАВИТЬ К~$G$ ДУГУ~$b_i\to a_i$.

{\sl сЛУЧАЙ~3.\/}~в~$G$ НЕТ ПУТИ НИ ОТ~$a_i$ К~$b_i$, НИ ОТ~$b_i$ К~$a_i$.
сРАВНИТЬ~$K_{a_i}:K_{b_i}$; ЗАТЕМ, ЕСЛИ~$K_{a_i}\le K_{b_i}$, ДОБАВИТЬ
К~$G$ ДУГУ~$a_i\to b_i$, ЕСЛИ ЖЕ~$K_{a_i}>K_{b_i}$, ТО ДОБАВИТЬ
ДУГУ~$b_i\to a_i$.
\medskip

нАС ИНТЕРЕСУЕТ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ КЛЮЧЕЙ,
ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, А НЕ МЕХАНИЗМ, С ПОМОЩЬЮ
КОТОРОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНО УСТРАНЯЮТСЯ ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ; ГРАФ~$G$ НЕ
ОБЯЗАТЕЛЬНО СТРОИТЬ В ЯВНОМ ВИДЕ---ЗДЕСЬ ОН ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ.

бУДЕМ ТАКЖЕ РАССМАТРИВАТЬ \dfn{ОГРАНИЧЕННУЮ ОДНОРОДНУЮ СОРТИРОВКУ,}
ПРИ КОТОРОЙ В УКАЗАННЫХ ВЫШЕ СЛУЧАЯХ 1--3 УЧИТЫВАЮТСЯ ТОЛЬКО ПУТИ
ДЛИНЫ~2. (аЛГОРИТМ ОГРАНИЧЕННОЙ СОРТИРОВКИ МОЖЕТ ВЫПОЛНЯТЬ НЕКОТОРЫЕ
ИЗБЫТОЧНЫЕ СРАВНЕНИЯ, НО, КАК ПОКАЗЫВАЕТ УПР.~59, АНАЛИЗ ОГРАНИЧЕННОГО
СЛУЧАЯ НЕСКОЛЬКО ПРОЩЕ.)

дОКАЖИТЕ, ЧТО АЛГОРИТМ ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ СОВПАДАЕТ С
АЛГОРИТМОМ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, КОГДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАР
ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕНА:
$$
(1, 2)\, (1, 3)\, (1, 4)\ldots(1, N)\, (2, 3)\, (2, 4)\ldots(2, N)\ldots
(N-1, N).
$$
пОКАЖИТЕ, ЧТО НА САМОМ ДЕЛЕ ОБА АЛГОРИТМА ЭКВИВАЛЕНТНЫ "БЫСТРОЙ
СОРТИРОВКЕ" (АЛГОРИТМ~5.2.2Q), ЕСЛИ ВСЕ КЛЮЧИ РАЗЛИЧНЫ И ИЗБЫТОЧНЫЕ
СРАВНЕНИЯ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКИ УСТРАНЕНЫ, КАК В УПР.~5.2.2-24. (нЕ ОБРАЩАЙТЕ
ВНИМАНИЯ НА ПОРЯДОК, В КОТОРОМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ВЫПОЛНЯЮТСЯ СРАВНЕНИЯ В
БЫСТРОЙ СОРТИРОВКЕ; УЧИТЫВАЙТЕ ТОЛЬКО, КАКИЕ ПАРЫ КЛЮЧЕЙ СРАВНИВАЮТСЯ.)

\ex[м38] дЛЯ ЗАДАННОЙ, КАК В УПР.~58, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПАР~$(a_1,
b_1)$~\dots{}$(a_M, b_M)$ ПУСТЬ~$c_i$ БУДЕТ ЧИСЛОМ ПАР~$(j, k)$, ТАКИХ,
ЧТО~$j<k<i$
И~$(a_i,  b_i)$, $(a_j, b_j)$, $(a_k, b_k)$ ОБРАЗУЮТ ТРЕУГОЛЬНИК.
(a)~дОКАЖИТЕ, ЧТО СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ АЛГОРИТМОМ
ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ, РАВНО~$\sum_{1\le i\le M} 2/(c_i+2)$.
(b)~иСПОЛЬЗУЙТЕ РЕЗУЛЬТАТ~(a) И УПР.~58, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО
НЕИЗБЫТОЧНЫХ СРАВНЕНИЙ, ВЫПОЛНЯЕМЫХ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКОЙ.
%%294
(c)~сЛЕДУЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПАР НАВЕЯНА СОРТИРОВКОЙ СЛИЯНИЕМ (НО
НЕ ЭКВИВАЛЕНТНА ЕЙ):
$$
(1, 2)\,(3, 4)\,(5, 6)\ldots (1, 3)\,(1, 4)\,(2, 3)\,(2, 4)\,(5, 7)\ldots
(1, 5)\,(1,6)\,(1, 7)\,(1, 8)\, (2, 5)~\ldots
$$
пРИ ОДНОРОДНОМ МЕТОДЕ, ОСНОВАННОМ НА ЭТОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, БУДЕТ
ВЫПОЛНЯТЬСЯ В СРЕДНЕМ БОЛЬШЕ ИЛИ МЕНЬШЕ СРАВНЕНИЙ, ЧЕМ ПРИ БЫСТРОЙ СОРТИРОВКЕ?

\ex[м29] бЫСТРАЯ СОРТИРОВКА ПРОИЗВОДИТ В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ
$\perm{N}{2}$~СРАВНЕНИЙ. вЕРНО ЛИ, ЧТО ВСЕ АЛГОРИТМЫ ОГРАНИЧЕННОЙ
ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ (В СМЫСЛЕ УПР.~57) ВЫПОЛНЯЮТ $\perm{N}{2}$~СРАВНЕНИЙ
В НАИХУДШЕМ СЛУЧАЕ?
\picture{рИС.~61. уСТРОЙСТВО, ДЛЯ КОТОРОГО СТРАТЕГИЯ МЕТОДА ПУЗЫРЬКА
ЯВЛЯЕТСЯ ОПТИМАЛЬНОЙ.}

\ex[м48] (X.~л.~бЬЮС.) вЕРНО ЛИ, ЧТО БЫСТРАЯ СОРТИРОВКА ИМЕЕТ
МИНИМАЛЬНОЕ СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СРАВНЕНИЙ СРЕДИ ВСЕХ АЛГОРИТМОВ (ОГРАНИЧЕННОЙ)
ОДНОРОДНОЙ СОРТИРОВКИ?

\ex[25] дОКТОРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ гОВАРДА б.~дЕМУТА "Electronic Data Sorting"
(Stanford University: October 1956) БЫЛА, ВЕРОЯТНО, ПЕРВОЙ РАБОТОЙ, В
КОТОРОЙ СКОЛЬКО-НИБУДЬ ДЕТАЛЬНО РАССМАТРИВАЛИСЬ ВОПРОСЫ СЛОЖНОСТИ
ВЫЧИСЛЕНИЙ. дЕМУТ РАССМОТРЕЛ НЕСКОЛЬКО АБСТРАКТНЫХ МОДЕЛЕЙ УСТРОЙСТВ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ И НАШЕЛ НИЖНИЕ И ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО И МАКСИМАЛЬНОГО
ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ, ДОСТИЖИМОГО В КАЖДОЙ МОДЕЛИ. пРОСТЕЙШАЯ ЕГО
МОДЕЛЬ---"ЦИКЛИЧЕСКАЯ НЕРЕВЕРСИВНАЯ ПАМЯТЬ" (РИС.~61)---СТАНЕТ ТЕМОЙ ЭТОГО УПРАЖНЕНИЯ.

рАССМОТРИМ МАШИНУ, КОТОРАЯ СОРТИРУЕТ~$R_1$ $R_2$~\dots{} $R_N$  ЗА РЯД
ПРОХОДОВ, ГДЕ КАЖДЫЙ ПРОХОД СОСТОИТ ИЗ СЛЕДУЮЩИХ $N +1$~ШАГОВ:
\medskip
{\sl шАГ~1.\/}~уСТАНОВИТЬ $R\asg R_1$i. ($R$---ЭТО ВНУТРЕННИЙ РЕГИСТР МАШИНЫ.)

{\sl шАГ~$i$.\/}~($1<i\le N$):
ЛИБО (a)~УСТАНОВИТЬ~$R_{i-1}\asg R$, $R\asg R_i$;

ЛИБО (b)~УСТАНОВИТЬ $R_{i-1}\asg R_i$, ОСТАВЛЯЯ~$R$ НЕИЗМЕННЫМ.

{\sl шАГ~$N+1$.\/} уСТАНОВИТЬ~$R_N\asg R$.
\medskip

зАДАЧА СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАЙТИ ТАКОЙ МЕТОД ВЫБОРА МЕЖДУ
АЛЬТЕРНАТИВАМИ~(a) И~(b), ЧТОБЫ МИНИМИЗИРОВАТЬ ЧИСЛО ПРОХОДОВ, НУЖНЫХ
ДЛЯ СОРТИРОВКИ.

дОКАЖИТЕ, ЧТО МЕТОД "ПУЗЫРЬКА" ОПТИМАЛЕН ДЛЯ ЭТОЙ МОДЕЛИ. дРУГИМИ СЛОВАМИ,
ПОКАЖИТЕ, ЧТО ПРИ СТРАТЕГИИ, КОТОРАЯ ВЫБИРАЕТ АЛЬТЕРНАТИВУ~(a), ЕСЛИ~$R\le
R_i$, И АЛЬТЕРНАТИВУ~(b), ЕСЛИ~$R>R_i$, ДОСТИГАЕТСЯ МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ПРОХОДОВ.

%% 295
\bye