\input style
\chapno=4\subchno=2\subsubchno=1\chapnotrue
бОЛЬШИНСТВО ПУБЛИКАЦИЙ О ДЕТАЛЯХ ПРОГРАММ ДЛЯ РАБОТЫ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ РАССЕЯНЫ ПО "ТЕХНИЧЕСКИМ ПАМЯТНЫМ ЗАПИСКАМ", РАСПРОСТРАНЯЕМЫМ 
РАЗЛИЧНЫМИ ПРОИЗВОДИТЕЛЯМИ эвм, НО СЛУЧАЛИСЬ И ПУБЛИКАЦИИ ЭТИХ ПРОГРАММ В 
ОТКРЫТОЙ ЛИТЕРАТУРЕ. пОМИМО ПРИВЕДЕННЫХ ВЫШЕ РАБОТ СМ.~R.~H.~Stark,
D.~в.~McMillan, {\sl Math.~Comp.,\/} {\bf 5} (1951), 86--92, ГДЕ 
ОПИСАНА ПРОГРАММА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ НА ПАНЕЛЬНО-ШТЕКЕРНОМ УСТРОЙСТВЕ;
D.~McCracken, Digital Computer Programming, New York, Wiley, 1957, 121--131;  
J.~W.~Carr~III, {\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15;
W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139; D.~E.~Knuth, {\sl JACM,\/} 
{\bf 8} (1961), 119--128; O.~Kesner, {\sl CACM,\/} {\bf 5} (1962), 269--271; 
F.~р.~Brooks, K.~E.~Iverson, Automatic data processing, New York, Wiley, 1963,
184--199. оБСУЖДЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ 
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ИНЖЕНЕРА-ЭЛЕКТРОНЩИКА МОЖНО НАЙТИ В СТАТЬЕ 
с.~г.~кЭМПБЕЛЛА "Floating-point operation" В СБОРНИКЕ "Planning a Computer 
System", [ed.~by~W.~Buchholz, New York, McGrow-Hill, 1962,92--121]. 
дОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ В~П.~4.2.2.

\excercises
\ex[10] кАК БУДУТ ВЫГЛЯДЕТЬ ЧИСЛО аВОГАДРО И ПОСТОЯННАЯ пЛАНКА, ЕСЛИ ИХ 
ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ ЧЕТЫРЕХРАЗРЯДНЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПО 
ОСНОВАНИЮ~$100$ С ИЗБЫТКОМ~$50$? (иМЕННО ТАКОВО БЫЛО БЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В 
МАШИНЕ~\MIX{} (КАК В~\eqref[5]), ЕСЛИ БЫ РАЗМЕР БАЙТА РАВНЯЛСЯ~$100$.)

\ex[12] пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ПОКАЗАТЕЛЬ~$e$ ЛЕЖИТ В ИНТЕРВАЛЕ~$0\le e \le E$; 
КАКОВЫ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МОГУТ 
БЫТЬ ЗАПИСАНЫ КАК $p\hbox{-РАЗРЯДНЫЕ}$ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПО 
ОСНОВАНИЮ~$b$ С ИЗБЫТКОМ~$q$? кАКОВЫ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ 
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ВИДЕ 
\emph{НОРМАЛИЗОВАННЫХ} ТАКИХ ЧИСЕЛ?

\ex[20] пОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ МЫ РАБОТАЕМ С НОРМАЛИЗОВАННЫМИ 
ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ТО СУЩЕСТВУЕТ СПОСОБ НЕМНОГО 
УВЕЛИЧИТЬ ТОЧНОСТЬ БЕЗ УВЕЛИЧЕНИЯ ОБЎЕМА ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ПАМЯТИ: 
$p\hbox{-РАЗРЯДНУЮ}$ ДРОБНУЮ ЧАСТЬ МОЖНО ПРЕДСТАВЛЯТЬ ПРИ ПОМОЩИ ВСЕГО 
ЛИШЬ $p-1$~РАЗРЯДОВ МАШИННОГО СЛОВА, ЕСЛИ ЧУТЬ-ЧУТЬ УМЕНЬШИТЬ ИНТЕРВАЛ 
ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЯ. 

\rex[15] пУСТЬ~$b=10$, $p=8$. кАКОЙ РЕЗУЛЬТАТ ДАСТ АЛГОРИТМ~A ДЛЯ 
ОПЕРАЦИИ~$(50, +.98765432) \oplus (49, +.33333333)$? 
дЛЯ ОПЕРАЦИИ~$(53, -.99987654) \oplus (54, +.10000000)$? 
дЛЯ ОПЕРАЦИИ~$(45, -.50000001) \oplus (54, +.10000000)$?

\ex[M23] дОКАЖИТЕ, ЧТО МЕЖДУ ШАГАМИ~A5 И~A6 АЛГОРИТМА~A МОЖНО, НЕ ИЗМЕНЯЯ 
РЕЗУЛЬТАТА, ПОМЕСТИТЬ СЛЕДУЮЩУЮ ОПЕРАЦИЮ: ЕСЛИ~$f_u$ И~$f_v$ ИМЕЮТ ОДИНАКОВЫЙ 
ЗНАК, ТО ЗАМЕНИТЬ~$f_v$ НА~$\sign(f_v)b^{-p-2}\floor{b^{p+2}\abs{f_v}}$; 
ЕСЛИ ЗНАКИ~$f_u$ И~$f_v$ ПРОТИВОПОЛОЖНЫ, ТО ЗАМЕНИТЬ~$f_v$ 
НА~$\sign(f_v)b^{-p-2}\ceil{b^{p+2}\abs{f_v}}$. (эФФЕКТ ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ 
СОСТОИТ В "УРЕЗАНИИ"~$f_v$ ДО $p+2$~РАЗРЯДОВ, ЧТОБЫ МИНИМИЗИРОВАТЬ ДЛИНУ 
РЕГИСТРА, НЕОБХОДИМУЮ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ СЛОЖЕНИЯ В ШАГЕ~A6.)

\ex[22] уДАЧНА ЛИ ИДЕЯ ЗАМЕНИТЬ СТРОКИ~38--40 ПРОГРАММЫ~A 
ОДНОЙ-ЕДИНСТВЕННОЙ КОМАНДОЙ~"|SLC 5|"?

\ex[M21] кАКИЕ ИЗМЕНЕНИЯ НЕОБХОДИМО ПРОИЗВЕСТИ В АЛГОРИТМЕ~A, ЧТОБЫ ОН 
ОБЕСПЕЧИВАЛ ВЫДАЧУ ПРАВИЛЬНО ОКРУГЛЕННОГО НОРМАЛИЗОВАННОГО РЕЗУЛЬТАТА,
ДАЖЕ ЕСЛИ ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ НЕ НОРМАЛИЗОВАНЫ? (сЛОВА "ПРАВИЛЬНО ОКРУГЛЕННЫЙ" 
ОЗНАЧАЮТ, ЧТО РЕЗУЛЬТАТ ИМЕЕТ НАИБОЛЬШУЮ ВОЗМОЖНУЮ ТОЧНОСТЬ В $p$~РАЗРЯДАХ 
В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ~$u$ И~$v$ В ТОЧНОСТИ 
РАВНЫ~$f_u\times b^{e_u-q}$
%% 242
И~$f_v\times b^{e_v-q}$ СООТВЕТСТВЕННО, ХОТЯ, БЫТЬ МОЖЕТ, И НЕ 
НОРМАЛИЗОВАНЫ. в ЧАСТНОСТИ, $u$ ИЛИ~$v$ МОГУТ ИМЕТЬ НУЛЕВУЮ ДРОБНУЮ ЧАСТЬ 
С ОЧЕНЬ БОЛЬШИМ ПОКАЗАТЕЛЕМ, И ТАКОЙ ОПЕРАНД В КОНТЕКСТЕ ДАННОГО 
УПРАЖНЕНИЯ ВОСПРИНИМАЛСЯ БЫ КАК РАВНЫЙ НУЛЮ.)

\ex[25] пРИВЕДИТЕ ПРИМЕРЫ ВХОДНЫХ ЗНАЧЕНИЙ, ДЛЯ КОТОРЫХ 
ПОДПРОГРАММА~|FADD|  В ПРОГРАММЕ~A НЕ ОБЕСПЕЧИВАЕТ ПОЛУЧЕНИЯ "ПРАВИЛЬНО 
ОКРУГЛЕННОГО НОРМАЛИЗОВАННОГО ОТВЕТА" В СМЫСЛЕ УПР.~7.

\ex[м24] (у.~кАХАН.) пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРИВОДИТ К 
ПРИСВОЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТУ ЗНАЧЕНИЯ НУЛЬ БЕЗ КАКОГО-ЛИБО УКАЗАНИЯ ОБ ОШИБКЕ. 
иСПОЛЬЗУЯ ВОСЬМИРАЗРЯДНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ С ИЗБЫТКОМ 
НУЛЬ И ПОКАЗАТЕЛЕМ~$e$  В ИНТЕРВАЛЕ~$-50\le e < 50$, НАЙДИТЕ ТАКИЕ 
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ~$a$, $b$, $c$, $d$ И~$y$, ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЯЮТСЯ 
СООТНОШЕНИЯ~\eqref[11].

\ex[M15] пРИВЕДИТЕ ПРИМЕР НОРМАЛИЗОВАННЫХ ВОСЬМИРАЗРЯДНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ 
С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u$ И~$v$, В ПРОЦЕССЕ СЛОЖЕНИЯ КОТОРЫХ ПРОИСХОДИТ 
ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ПРИ ОКРУГЛЕНИИ.

\rex[M20] дАЙТЕ ПРИМЕР НОРМАЛИЗОВАННЫХ ВОСЬМИРАЗРЯДНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ  ЧИСЕЛ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u$ И~$v$, В ПРОЦЕССЕ УМНОЖЕНИЯ КОТОРЫХ ПРОИСХОДИТ 
ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ПРИ ОКРУГЛЕНИИ.

\ex[M25] дОКАЖИТЕ, ЧТО ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ПРИ ОКРУГЛЕНИИ НЕ МОЖЕТ ПРОИСХОДИТЬ В 
ХОДЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ФАЗЫ НОРМАЛИЗАЦИИ ПРИ ДЕЛЕНИИ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.

\rex[м23] мИСТЕР сМЫШЛИНЫЙ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ МОДИФИЦИРОВАЛ ПРИЕМ, 
ПРИВОДЯЩИЙ К~\eqref[13] С ТЕМ, ЧТОБЫ ПРОИЗВОДИТЬ \emph{УРЕЗАНИЕ} 
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ~$u$ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ДО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$\floor{u}$ С 
ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО~$0<u<b^3$:
\EQ{
  |FSUB~ONEHALF;|\quad |FADD~FUDGE|;\quad |SUB~FUDGE.|
}
(зДЕСЬ |ONEHALF|---ПРЕДСТАВЛЕНИЕ~$1/2$ В ВИДЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ.) еГО ИДЕЯ ОСНОВЫВАЛАСЬ НА ТОМ НАБЛЮДЕНИИ, ЧТО $u-1/2$ ОКРУГЛЯЕТСЯ 
ДО~$\floor{u}$. оДНАКО ПОЗЖЕ ОН ОБНАРУЖИЛ, ЧТО ЭТА ИДЕЯ РАБОТАЕТ НЕ ВСЕГДА.
в ЧЕМ БЫЛА ОШИБКА? нЕТ ЛИ ДРУГОГО МЕТОДА, КОТОРЫМ БЫ ОН МОГ ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ?

\ex[23] нАПИШИТЕ \MIX-ПОДПРОГРАММУ, КОТОРАЯ, БУДУЧИ ПРИМЕНЕНА К 
ПРОИЗВОЛЬНОМУ ЧИСЛУ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, РАСПОЛОЖЕННОМУ В РЕГИСТРЕ~|A| И НЕ 
ОБЯЗАТЕЛЬНО НОРМАЛИЗОВАННОМУ, ПЕРЕРАБАТЫВАЕТ ЕГО В БЛИЖАЙШЕЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, 
ПРЕДСТАВЛЕННОЕ В ФОРМЕ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ (ИЛИ УСТАНАВЛИВАЕТ, ЧТО ЭТО 
ЧИСЛО СЛИШКОМ ВЕЛИКО ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ, ЧТОБЫ ТАКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 
БЫЛО ВОЗМОЖНО).

\rex[28] нАПИШИТЕ \MIX-ПОДПРОГРАММУ, КОТОРУЮ МОЖНО БЫЛО БЫ ИСПОЛЬЗОВАТЬ В 
СОЧЕТАНИИ С ДРУГИМИ ПОДПРОГРАММАМИ ЭТОГО ПАРАГРАФА ДЛЯ 
ВЫЧИСЛЕНИЯ~$u\fmod{1}$, Т.~Е.~ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$u-\floor{u}$,  В СЛУЧАЕ 
КОГДА ЧИСЛО~$u$ ЗАДАНО В ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. нУЖНО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИЛСЯ 
ПРАВИЛЬНО ОКРУГЛЕННЫЙ РЕЗУЛЬТАТ (В СМЫСЛЕ УПР.~7); СЛЕДОВАТЕЛЬНО, 
ЕСЛИ~$u$---ОЧЕНЬ МАЛОЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, ТО $u\fmod{1}$~БУДЕТ ОКРУГЛЕНО 
ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТО РЕЗУЛЬТАТ ОКАЖЕТСЯ РАВНЫМ~$1$ (ХОТЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ~$u\fmod{1}$ 
ЕСТЬ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, ВСЕГДА \emph{МЕНЬШЕЕ} ЕДИНИЦЫ).

\ex[вм21] (рОБЕРТ л.~сМИТ.) рАЗРАБОТАЙТЕ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННОЙ 
И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА~$(a+bi)/(c+di)$ ПО ЗАДАННЫМ В ФОРМЕ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ВЕЩЕСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ~$a$, $b$, $c$ И~$d$. оБОЙДИТЕСЬ 
БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ~$c^2+d^2$, ТАК КАК ПРИ ЭТОМ МОЖЕТ ВОЗНИКНУТЬ ПЕРЕПОЛНЕНИЕ, 
ЕСЛИ~$\abs{c}$ ИЛИ~$\abs{d}$ ПРИМЕРНО РАВНО КВАДРАТНОМУ КОРНЮ ИЗ 
МАКСИМАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО В ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ЗНАЧЕНИЯ.

\ex[40] (дЖОН кОКИ.) рАССМОТРИТЕ СЛЕДУЮЩУЮ ИДЕЮ РАСШИРЕНИЯ ИНТЕРВАЛА 
ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ: ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ОДНОСЛОВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ,
ПРИ КОТОРОМ ТОЧНОСТЬ ДРОБНОЙ ЧАСТИ УМЕНЬШАЕТСЯ, КОГДА ВЕЛИЧИНА ПОКАЗАТЕЛЯ 
ВОЗРАСТАЕТ.

%% 243

\subsubchap{тОЧНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ} % 4.2.2
вЫЧИСЛЕНИЯ НАД ЧИСЛАМИ В ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ НЕТОЧНЫ ПО САМОЙ СВОЕЙ 
ПРИРОДЕ, И НЕТРУДНО СТОЛЬ НЕУДАЧНО ПРОВОДИТЬ ИХ, ЧТОБЫ ВЫЧИСЛЕННЫЕ 
ОТВЕТЫ ПОЧТИ ЦЕЛИКОМ СОСТОЯЛИ ИЗ "ШУМА". оДНА ИЗ ГЛАВНЫХ ПРОБЛЕМ 
ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА СОСТОИТ В ОПРЕДЕЛЕНИИ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕХ 
ИЛИ ИНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ; СЮДА ВКЛЮЧАЕТСЯ И ПРОБЛЕМА "СТЕПЕНИ ДОВЕРИЯ": 
МЫ НЕ ЗНАЕМ, ДО КАКОЙ СТЕПЕНИ МОЖНО ВЕРИТЬ РЕЗУЛЬТАТАМ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА эвм. 
пОЛЬЗОВАТЕЛИ-НОВИЧКИ РЕШАЮТ ЭТУ ПРОБЛЕМУ, ДОВЕРЯЯ КОМПЬЮТЕРУ КАК 
НЕПОГРЕШИМОМУ АВТОРИТЕТУ; ОНИ СКЛОННЫ СЧИТАТЬ, ЧТО ВСЕ ЦИФРЫ 
НАПЕЧАТАННОГО ОТВЕТА ЯВЛЯЮТСЯ ЗНАЧАЩИМИ. у ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ эвм, ЛИШЕННЫХ 
ИЛЛЮЗИЙ, ПОДХОД ПРЯМО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ: ОНИ НЕИЗМЕННО ОПАСАЮТСЯ, ЧТО ИХ 
ОТВЕТЫ ПОЧТИ БЕССМЫСЛЕННЫ. мНОГИЕ ИЗ СЕРЬЕЗНЫХ МАТЕМАТИКОВ ПЫТАЛИСЬ 
СТРОГО ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОПЕРАЦИЙ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, НО,
ОБНАРУЖИВ, ЧТО ЗАДАЧА СЛИШКОМ ТРУДНА, КОНЧАЛИ ТЕМ, ЧТО УДОВЛЕТВОРЯЛИСЬ 
ПРАВДОПОДОБНЫМИ РАССУЖДЕНИЯМИ.

пОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ОШИБОК ВЫХОДИТ, РАЗУМЕЕТСЯ, ЗА РАМКИ 
НАСТОЯЩЕЙ КНИГИ, ОДНАКО НЕКОТОРЫЕ ИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ 
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, МЫ В ЭТОМ ПУНКТЕ РАССМОТРИМ. 
нАША ЦЕЛЬ---ВЫЯСНИТЬ, КАК ВЫПОЛНЯТЬ ОПЕРАЦИИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ТАКИМ 
ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ ОБЛЕГЧИТЬ, НАСКОЛЬКО ЭТО ВОЗМОЖНО, РАЗУМНЫЙ АНАЛИЗ 
ВЕЛИЧИНЫ ОШИБКИ.

пРОСТОЙ (НО ДОСТАТОЧНО ПОЛЕЗНЫЙ) СПОСОБ ОХАРАКТЕРИЗОВАТЬ ПОВЕДЕНИЕ 
ОПЕРАЦИЙ ПЛАВАЮЩЕЙ АРИФМЕТИКИ ОСНОВАН НА ПОНЯТИИ "ЗНАЧАЩИХ ЦИФР" ИЛИ 
\dfn{ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКИ.} еСЛИ МЫ ПРЕДСТАВЛЯЕМ ТОЧНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ 
ЧИСЛО~$x$ В эвм ПОСРЕДСТВОМ, ПРИБЛИЖЕНИЯ~$\widehat x=x(1+\varepsilon)$, ТО 
ВЕЛИЧИНА~$\varepsilon=(\widehat x-x)/x$ НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ОШИБКОЙ 
ПРИБЛИЖЕНИЯ. гРУБО ГОВОРЯ, В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ 
И ДЕЛЕНИЯ НЕ СЛИШКОМ УВЕЛИЧИВАЮТ ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ОШИБКУ, НО ВЫЧИТАНИЕ 
ПОЧТИ РАВНЫХ ВЕЛИЧИН (И СЛОЖЕНИЕ~$u\oplus v$, ГДЕ~$u$ ПОЧТИ РАВНО~$-v$) 
МОЖЕТ УВЕЛИЧИТЬ ЕЕ ЗНАЧИТЕЛЬНО. иТАК, У НАС ЕСТЬ ОБЩЕЕ 
"ЭМПИРИЧЕСКОЕ" ПРАВИЛО: СУЩЕСТВЕННОЙ ПОТЕРИ ТОЧНОСТИ МОЖНО ОЖИДАТЬ ОТ 
СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ УКАЗАННОГО ВИДА, НО НЕ ОТ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

оДНИМ ИЗ СЛЕДСТВИЙ О ВОЗМОЖНОЙ НЕНАДЕЖНОСТИ СЛОЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ ЯВЛЯЕТСЯ НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА АССОЦИАТИВНОСТИ:
\EQ[1]{
 (u\oplus v)\oplus w \ne u \oplus (v \oplus w) \rem{ДЛЯ НЕКОТОРЫХ~$u$, $v$, $w$.}
}
%% 244
нАПРИМЕР:
\EQ{
 \eqalign{
   (11111113.\oplus -11111111.)\oplus 7.5111111  & = 2.0000000 \oplus 7.5111111\cr
                                                 & = 9.5111111;\cr
  11111113. \oplus (-11111111. \oplus 7.5111111) & = 11111113. \oplus -11111103.\cr
                                                 & = 10.000000.\cr
 }
}
(вСЕ ПРИМЕРЫ ЭТОГО ПУНКТА ПРИВОДЯТСЯ В ВОСЬМИРАЗРЯДНОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ 
ПЛАВАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ПРЯМОГО 
УКАЗАНИЯ МЕСТА РАСПОЛОЖЕНИЯ ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКИ. нАПОМНИМ, ЧТО, КАК И В 
П.~4.2.1, СИМВОЛЫ~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$, $\oslash$ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ 
ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ 
ТОЧНЫМ ОПЕРАЦИЯМ~$+$, $-$, $\times$, $/$.)

в СВЕТЕ ВОЗМОЖНОЙ УТРАТЫ ЗАКОНА АССОЦИАТИВНОСТИ ПРИВЕДЕННОЕ В НАЧАЛЕ 
ЭТОЙ ГЛАВЫ ЗАМЕЧАНИЕ ГОСПОЖИ лА тУШ [ВЗЯТОЕ ИЗ~{\sl Math.~Gazette,\/} {\bf 12} 
(1924), 95], ЕСЛИ ЕГО ОТНЕСТИ К АРИФМЕТИКЕ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ, НЕСЕТ В СЕБЕ БОЛЬШУЮ ДОЛЮ ЗДРАВОГО СМЫСЛА. мАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
ОБОЗНАЧЕНИЯ ТИПА~"$a_1+a_2+a_3$" ИЛИ~"$\sum_{1\le k \le n} a_k$" ПО САМОМУ 
СВОЕМУ СУЩЕСТВУ ОСНОВАНЫ НА ПРЕДПОЛОЖЕНИИ ОБ АССОЦИАТИВНОСТИ, ТАК ЧТО 
ПРОГРАММИСТ ДОЛЖЕН БЫТЬ ОСОБЕННО БДИТЕЛЕН НА ТОТ СЧЕТ, НЕ ПРЕДПОЛАГАЕТ ЛИ 
ОН НЕЯВНО СПРАВЕДЛИВОСТЬ ЗАКОНА АССОЦИАТИВНОСТИ.

\section{а.~аКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД}. хОТЯ ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ И НЕ ВЕРЕН,
ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ
\EQ[2]{
 u \oplus v = v \oplus u
}
ДОЛЖЕН ВЫПОЛНЯТЬСЯ, И ЭТОТ ЗАКОН МОЖЕТ СЛУЖИТЬ СЕРЬЕЗНЫМ КОНЦЕПТУАЛЬНЫМ 
ПОДСПОРЬЕМ ПРИ ПРОГРАММИРОВАНИИ И ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОГРАММ. эТО СООБРАЖЕНИЕ 
ПОДСКАЗЫВАЕТ НАМ, ЧТО СЛЕДУЕТ ИСКАТЬ НАИБОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННЫЕ ЗАКОНЫ, КОТОРЫМ 
УДОВЛЕТВОРЯЮТ ОПЕРАЦИИ~$\oplus$, $\ominus$, $\otimes$ И~$\oslash$; ДАЛЕЕ, 
НЕ БУДЕТ БЕЗРАССУДНЫМ ТАКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ: \emph{ПРОГРАММЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ 
ОПЕРАЦИЙ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ СЛЕДУЕТ СОСТАВЛЯТЬ ТАКИМ ОБРАЗОМ, 
ЧТОБЫ СОХРАНЯЛОСЬ МАКСИМАЛЬНО ВОЗМОЖНОЕ ЧИСЛО СТАНДАРТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАКОНОВ.}

рАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ НЕКОТОРЫЕ ИЗ ДРУГИХ ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ, КОТОРЫЕ 
СОХРАНЯЮТСЯ ДЛЯ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ОПЕРАЦИЙ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ОПИСАННЫХ В 
ПРЕДЫДУЩЕМ ПУНКТЕ. пРЕЖДЕ ВСЕГО МЫ ИМЕЕМ
\EQ{
 \displaylinesno{
    u \ominus v = u \oplus - v ; & (3) \cr
  -(u \oplus v) = - u \oplus -v; & (4) \cr
     u \oplus v = 0 \hbox{~ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$v=-u$;}&(5)\cr
     u \oplus 0 = u. & (6) \cr
 }
}
%% 245
иЗ ЭТИХ ЗАКОНОВ МОЖНО ПОЛУЧАТЬ И ДАЛЬНЕЙШИЕ ТОЖДЕСТВА; НАПРИМЕР,
\EQ[7]{
 u \ominus v = - (v \ominus u)
}
(СМ.~УПР.~1). эТИ ЗАКОНЫ \emph{НЕ} ВЫПОЛНЯЛИСЬ БЫ, ЕСЛИ БЫ В СИСТЕМЕ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ ОПЕРАНДОВ ВМЕСТО ПРЯМОГО КОДА 
ИСПОЛЬЗОВАЛСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД; СМ.~УПР.~11. с ЭТОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРЯМОЙ 
КОД ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ИМЕЕТ НЕКОТОРОЕ 
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПРЕИМУЩЕСТВО.

тОЖДЕСТВА~\eqref[2]--\eqref[6] СЛЕДУЮТ НЕПОСРЕДСТВЕННО ИЗ 
АЛГОРИТМОВ П.~4.2.1. сЛЕДУЮЩЕЕ ПРАВИЛО ЧУТЬ МЕНЕЕ ОЧЕВИДНО:
\EQ[8]{
 \hbox{ЕСЛИ~$u \le v$, ТО~$u \oplus w \le v \oplus w$.}
}
чТОБЫ ДОКАЗАТЬ ЕГО, ПОЛОЖИМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ~$\round(x, p)={}$"$x$,  
ОКРУГЛЕННОЕ ДО $p$~РАЗРЯДОВ"${}={}$
\EQ[9]{
 \cases{
  b^{e-p}\floor{b^{p-e}x+{1\over2}}, & ЕСЛИ~$b^{e-1}\le x < b^e$,\cr
                                  0, & ЕСЛИ~$x=0$, \cr
   b^{e-p}\ceil{b^{p-e}x-{1\over2}}, & ЕСЛИ~$b^{e-1}\le -x < b^e$, \cr
 }
}
ГДЕ~$x$---ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, А~$p$---ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. 
(сР.~С~АЛГОРИТМОМ~4.2.1N, ШАГ~N5.) зАМЕТИМ, ЧТО СПРАВЕДЛИВЫ РАВЕНСТВА
\EQ[10]{
 \round (-x, p) = - \round (x, p);\qquad \round(bx, p)=b \round (x, p);
}
И, ДАЛЕЕ, В СИЛУ ОПРЕДЕЛЕНИЙ~П.~4.2.1, ИМЕЮТ МЕСТО ВАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
\EQ{
 \eqalignno{
   u \oplus  v &= \round(u+v, p),       & (11)\cr
   u \ominus v &= \round(u-v, p),       & (12)\cr
   u \otimes v &= \round(u\times v, p), & (13)\cr
   u \oslash v &= \round(u/v, p)        & (14)\cr
 }
}
\emph{ПРИ УСЛОВИИ,} ЧТО НЕ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ ИЛИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ 
ПОКАЗАТЕЛЕЙ, Т.~Е.~ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ЧИСЛА~$u+v$, $u-v$, $u \times v$ 
И~$u/v$ ЛЕЖАТ В ДОПУСТИМЫХ ИНТЕРВАЛАХ. пОЛЬЗУЯСЬ ЭТИМ НАБЛЮДЕНИЕМ, 
МОЖНО ДАТЬ ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСЕХ ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ ВЫШЕ ТОЖДЕСТВ,
ВКЛЮЧАЯ И ТОЖДЕСТВО~\eqref[8], ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ СЛЕДСТВИЕМ ТОГО ФАКТА, 
ЧТО ФУНКЦИЯ~$\round(x, p)$ НЕ УБЫВАЕТ ПРИ ВОЗРАСТАНИИ~$x$.

мЫ МОЖЕМ ТЕПЕРЬ ВЫПИСАТЬ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ТОЖДЕСТВ, ВЫТЕКАЮЩИХ ИЗ УКАЗАННЫХ 
ВЫШЕ СООТНОШЕНИЙ:
\EQ{
 \displaylines{
   u \otimes v = v \otimes u, (-u)\otimes v  = -(u\otimes v), 1\otimes v = v;\cr
   u \otimes v = 0 \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$u=0$ ИЛИ~$v=0$;}\cr
 (-u)\oslash v = u \oslash (-v) = -(u \oslash v),  0 \oslash v =0,\cr
   u \oslash 1 = u, u \oslash u =1;\cr
 \hbox{ЕСЛИ~$u\le v$, $w>0$, ТО~$u \otimes w \le v \otimes w$, $u \oslash w  \le v \oslash w$, $w \oslash u \ge w \oslash v$.}\cr
 }
}
%% 246
иТАК, ЕСЛИ ОПЕРАЦИИ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ УСТАНОВЛЕНЫ В 
СООТВЕТСТВИИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ, ТО, НЕСМОТРЯ НА НЕТОЧНОСТЬ САМИХ 
ОПЕРАЦИЙ, СОХРАНЯЕТСЯ НЕМАЛАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ.

в ПРИВЕДЕННОЙ ВЫШЕ КОЛЛЕКЦИИ ТОЖДЕСТВ, РАЗУМЕЕТСЯ, ВСЕ ЖЕ БРОСАЕТСЯ В 
ГЛАЗА ОТСУТСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ ИЗВЕСТНЫХ ЗАКОНОВ АЛГЕБРЫ; ЗАКОН 
АССОЦИАТИВНОСТИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕ 
ВПОЛНЕ ТОЧНО, КАК ЭТО БУДЕТ ВИДНО ИЗ УПР.~3, ЧТО ЖЕ КАСАЕТСЯ ЗАКОНА 
ДИСТРИБУТИВНОСТИ, СВЯЗЫВАЮЩЕГО ОПЕРАЦИИ~$\otimes$ И~$\oplus$), ТО ОН МОЖЕТ 
НАРУШАТЬСЯ, И ПРИ ЭТОМ ДОВОЛЬНО ЗНАЧИТЕЛЬНО. пУСТЬ, НАПРИМЕР, 
$u=20000.000$, $v=-6.0000000$ И~$w=6.0000003$, ТОГДА
\EQ{
 \eqalign{
  (u\otimes v) \oplus (u\otimes w) &= 120000.00 \oplus 120000.01 =.010000000,\cr
             u \otimes (v\oplus w) &= 20000.000 \otimes .00000030000000 = .0060000000,\cr
 }
}
ТАК ЧТО
\EQ[15]{
 u\otimes (v\oplus w) \ne (u\otimes v) \oplus (u \otimes w).
}

аНАЛОГИЧНО, НЕТРУДНО УКАЗАТЬ ПРИМЕРЫ, КОГДА~$2(u^2\oplus v^2)<(u\oplus v)^2$; 
ЗАПРОГРАММИРОВАННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 
ДЛЯ РЯДА НАБЛЮДЕНИЙ ПО ФОРМУЛЕ
\EQ{
 \sigma =  {1\over n}\sqrt{n \sum_{1\le k \le n} x_k^2-\left(\sum_{1\le k \le n} x_k\right)^2}
}
МОЖЕТ ПРИВЕСТИ К ИЗВЛЕЧЕНИЮ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА!

дАЖЕ ЕСЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕ ВПОЛНЕ СТРОГО, МЫ МОЖЕМ 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ НАШИ МЕТОДЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОГО, С КАКОЙ СТЕПЕНЬЮ ТОЧНОСТИ 
ВЫПОЛНЯЕТСЯ ЗАКОН. иЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~$\round(x, p)$ СЛЕДУЕТ, ЧТО
\EQ[16]{
 \round(x, p)=x(1+\sigma_p(x)),
}
ГДЕ
\EQ[17]{
 \abs{\sigma_p(x)}\le {1\over 2}b^{1-p}.
}
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, МЫ ВСЕГДА МОЖЕМ ЗАПИСАТЬ
\EQ{
 \eqalignno{
   a\oplus b &= (a+b)(1+\delta_p(a+b)),              & (18)\cr
  a\ominus b &=(a-b)(1+\delta_p(a-b)),               & (19)\cr
  a\otimes b &= (a\times a) (1+\delta_p(a\times b)), & (20)\cr
  a\oslash b &=(a/b)(1+\delta_p(a/b)).               & (21)\cr
 }
}
зДЕСЬ ДОВОЛЬНО ПРОСТЫМ СПОСОБОМ МОЖНО ОЦЕНИТЬ ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ОШИБКУ 
НОРМАЛИЗОВАННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. 
фОРМУЛЫ~\eqref[18]--\eqref[21] СЛУЖАТ ГЛАВНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ ДЛЯ ОЦЕНКИ 
ОШИБОК В АРИФМЕТИКЕ НОРМАЛИЗОВАННЫХ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.

%% 247

в КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА ТИПИЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНКИ ОШИБКИ РАССМОТРИМ ЗАКОН 
АССОЦИАТИВНОСТИ УМНОЖЕНИЯ. кАК ПОКАЗЫВАЕТ УПР.~3, $(u\times v)\otimes w$, 
ВООБЩЕ ГОВОРЯ, НЕ РАВНО~$u\otimes (v\otimes w)$; НО СИТУАЦИЯ В ДАННОМ 
СЛУЧАЕ НАМНОГО ЛУЧШЕ, ЧЕМ В СЛУЧАЕ ЗАКОНА АССОЦИАТИВНОСТИ 
СЛОЖЕНИЯ~\eqref[1] И ЗАКОНА ДИСТРИБУТИВНОСТИ~\eqref[15]. в САМОМ ДЕЛЕ, 
ВВИДУ~\eqref[17] И~\eqref[20] ИМЕЕМ
\EQ{
 \eqalignter{
   (u\otimes v)\otimes w &= ((uv)(1+\delta_1))\otimes w &= uvw(1+\delta_1)(1+\delta_2),\cr
    u\otimes(v\otimes w) &= u\otimes((vw)(1+\delta_3))  &= uvw(1+\delta_3)(1+\delta_4)\cr
 }
}
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ~$\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ ПРИ УСЛОВИИ, 
ЧТО НЕ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ ИЛИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ, 
ПРИЧЕМ~$\abs{\delta_j}\le {1\over2}b^{1-p}$ ДЛЯ КАЖДОГО~$j$.

сЛЕДОВАТЕЛЬНО,
\EQ{
  {(u\otimes v)\otimes w \over u\otimes (v\otimes w)}
  ={(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}
  =1+\delta,
}
ГДЕ
\EQ[22]{
  \abs{\delta}\le 2b^{1-p}/\left(1-{1\over2}b^{1-p}\right)^2.
}

тЕМ САМЫМ МЫ УСТАНОВИЛИ, ЧТО $(u\otimes v)\otimes w$ \emph{ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО 
РАВНО}~$u\otimes (v\otimes w)$, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТЕХ СЛУЧАЕВ, КОГДА 
ПРОИСХОДИТ ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ИЛИ ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ. эТА ИНТУИТИВНАЯ 
ИДЕЯ "ПРИБЛИЗИТЕЛЬНОГО РАВЕНСТВА" ЗАСЛУЖИВАЕТ БОЛЕЕ ПОДРОБНОГО ИЗУЧЕНИЯ; 
МОЖНО ЛИ РАЗУМНЫМ ОБРАЗОМ ДАТЬ БОЛЕЕ ТОЧНУЮ ФОРМУЛИРОВКУ ЭТОГО УТВЕРЖДЕНИЯ?

пРОГРАММИСТ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ, ПОЧТИ НИКОГДА НЕ ИСПЫТЫВАЕТ ЖЕЛАНИЯ ПРОВЕРИТЬ, НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ЛИ 
РАВЕНСТВО~$u=v$ (ИЛИ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОН ЕДВА ЛИ КОГДА-НИБУДЬ ПЫТАЕТСЯ 
ЭТО СДЕЛАТЬ), ТАК КАК РАВЕНСТВО ЯВЛЯЕТСЯ ПРЕДЕЛЬНО МАЛОВЕРОЯТНЫМ 
СОБЫТИЕМ. нАПРИМЕР, ЕСЛИ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ РЕКУРРЕНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ
\EQ{
  x_{n+1}=f(x_n),
}
О КОТОРОМ ТЕОРИЯ, ВЗЯТАЯ ИЗ КАКОЙ-ТО КНИЖКИ, УТВЕРЖДАЕТ, 
ЧТО $x_n$~СТРЕМИТСЯ К НЕКОТОРОМУ ПРЕДЕЛУ ПРИ~$n\to\infty$, ТО, КАК ПРАВИЛО,
БЫЛО БЫ ОШИБКОЙ ПРОДОЛЖАТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ПОКА ДЛЯ НЕКОТОРОГО~$n$ НЕ 
ОСУЩЕСТВИТСЯ РАВЕНСТВО~$x_{n+1}=x_n$, ТАК КАК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$x_n$ 
МОЖЕТ ВВИДУ ОКРУГЛЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ОКАЗАТЬСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ С 
БОЛЬШИМ ПЕРИОДОМ. рАЗУМНО ПРОДОЛЖАТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИШЬ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА 
ДЛЯ НЕКОТОРОГО ПОДХОДЯЩИМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННОГО~$\delta$ НЕ СТАНЕТ 
СПРАВЕДЛИВО НЕРАВЕНСТВО~$\abs{x_{n+1}-x_n}<\delta$; НО ТАК КАК МЫ НЕ 
ЗНАЕМ ЗАРАНЕЕ ПОРЯДКА ВЕЛИЧИНЫ~$x_n$, ЕЩЕ БОЛЕЕ ПРАВИЛЬНО ДОЖИДАТЬСЯ 
ПОЯВЛЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА
%%248
\EQ[23]{
  \abs{x_{n+1}-x_n}\le \varepsilon\abs{x_n};
}
ЧИСЛО~$\varepsilon$ ГОРАЗДО ЛЕГЧЕ ВЫБРАТЬ ЗАРАНЕЕ. 
сООТНОШЕНИЕ~\eqref[23]---ЭТО ДРУГОЙ СПОСОБ ВЫРАЖЕНИЯ ТОГО ФАКТА, ЧТО 
ЧИСЛА~$x_{n+1}$ И~$x_n$ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО РАВНЫ; И НАШЕ ОБСУЖДЕНИЕ ПОКАЗЫВАЕТ,
ЧТО ПРИ РАССМОТРЕНИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НАД ЧИСЛАМИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ 
СООТНОШЕНИЕ "ПРИБЛИЗИТЕЛЬНОГО РАВЕНСТВА" БЫЛО БЫ БОЛЕЕ ПОЛЕЗНО, ЧЕМ 
ТРАДИЦИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ РАВЕНСТВА, ЕСЛИ ТОЛЬКО НАМ УДАСТСЯ ОПРЕДЕЛИТЬ 
ПЕРВОЕ СООТНОШЕНИЕ НАДЛЕЖАЩИМ ОБРАЗОМ.

дРУГИМИ СЛОВАМИ, ТОТ ФАКТ, ЧТО СТРОГОЕ РАВЕНСТВО ВЕЛИЧИН В СИСТЕМЕ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ИГРАЕТ ОЧЕНЬ НЕБОЛЬШУЮ РОЛЬ, ПРИВОДИТ К НЕОБХОДИМОСТИ 
ВВЕСТИ НОВУЮ ОПЕРАЦИЮ \emph{СРАВНЕНИЯ ВЕЛИЧИН С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ,} 
ПРЕДНАЗНАЧЕННУЮ ДЛЯ ОБЛЕГЧЕНИЯ ОЦЕНОК ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ ТАКИХ 
ВЕЛИЧИН. пРЕДСТАВЛЯЮТСЯ ПРИГОДНЫМИ СЛЕДУЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЕЛ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ~$u=(e_n, f_n)$ И~$v=(e_v, f_v)$ ПО ОСНОВАНИЮ~$b$ С 
ИЗБЫТКОМ~$q$:
\EQ{
 \eqalignno{
  u &\prec v(\varepsilon) \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$v-u>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(24)\cr
  u &\sim v(\varepsilon) \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$\abs{v-u}\le \varepsilon \max (b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(25)\cr
  u &\succ v(\varepsilon) \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$u-v>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;}           &(26)\cr
  u &\approx v(\varepsilon) \hbox{ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$\abs{v-u}\le\varepsilon\min(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$.} &(27)\cr
 }
}
сОГЛАСНО ЭТИМ ОПРЕДЕЛЕНИЯМ, ДЛЯ ЛЮБОЙ ДАННОЙ ПАРЫ ЗНАЧЕНИЙ~$u$,~$v$ МОЖЕТ 
ВЫПОЛНЯТЬСЯ В ТОЧНОСТИ ОДНО ИЗ СООТНОШЕНИЙ~$u\prec v$ ("ОПРЕДЕЛЕННО МЕНЬШЕ"), 
$u\sim v$ ("ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО РАВНО") ИЛИ~$u\succ v$  ("ОПРЕДЕЛЕННО БОЛЬШЕ"). 
сООТНОШЕНИЕ~$u\approx v$---НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ СИЛЬНОЕ, НЕЖЕЛИ~$u\sim v$, И ЕГО 
МОЖНО ЧИТАТЬ ТАК: "$u$ ПО СУЩЕСТВУ РАВНО~$v$". вСЕ ЭТИ СООТНОШЕНИЯ ЗАДАЮТСЯ 
ПОСРЕДСТВОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА~$\varepsilon$, ИЗМЕРЯЮЩЕГО СТЕПЕНЬ 
РАССМАТРИВАЕМОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.

оДНИМ ИЗ СПОСОБОВ ИСТОЛКОВАНИЯ ПРИВЕДЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СОСТОИТ В ТОМ, 
ЧТОБЫ ЛЮБОМУ ЧИСЛУ~$u$ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПОСТАВИТЬ В СООТВЕТСТВИЕ 
МНОЖЕСТВО~$S(u)\set{x \mid \abs{x-u}\le \varepsilon b^{e_u-q}}$;
МНОЖЕСТВО~$S(u)$ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ СОВОКУПНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, 
РАСПОЛОЖЕННЫХ ВБЛИЗИ~$u$, И ОПРЕДЕЛЕНО ПРИ ПОМОЩИ ПОКАЗАТЕЛЯ~$u$. в 
ТЕРМИНАХ ЭТИХ МНОЖЕСТВ СООТНОШЕНИЕ~$u\prec v$ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОГДА И ТОЛЬКО 
ТОГДА, КОГДА~$S(u)<v$ И~$u<S(v)$; $u\sim v$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, 
КОГДА~$u\in S(v)$ ИЛИ~$v\in S(u)$; $u\succ v$ 
%% 249
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$u>S(v)$ И~$S(u)>v$; $u\approx v$ ТОГДА 
И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА~$u\in S(v)$ И~$v\in S(u)$. (зДЕСЬ МЫ ПРЕДПОЛАГАЕМ,
ЧТО ПАРАМЕТР~$\varepsilon$, ИЗМЕРЯЮЩИЙ СТЕПЕНЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ, ФИКСИРОВАН;
В БОЛЕЕ ПОДРОБНОЙ ЗАПИСИ МОЖНО БЫЛО ОТРАЗИТЬ И ЗАВИСИМОСТЬ~$S(u)$ ОТ~$\varepsilon$.)

вОТ НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРИВЕДЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ:
\EQ{
 \displaylinesno{
  \hbox{ЕСЛИ~$u\prec v(\varepsilon)$, ТО~$v\succ u(\varepsilon)$;}                                                  & (28)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\approx v(\varepsilon)$, ТО~$u\sim v(\varepsilon)$;}                                                 & (29)\cr
  u\approx u(\varepsilon);                                                                                          & (30)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\prec v(\varepsilon)$, ТО~$u<v$;}                                                                    & (31)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\prec v(\varepsilon_1)$  И~$\varepsilon_1\ge \varepsilon_2$, ТО~$u\prec v(\varepsilon_2)$;}          & (32)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\sim v(\varepsilon_1)$ И~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ТО~$u\sim v(\varepsilon_2)$;}             & (33)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\approx v(\varepsilon_1)$  И~$\varepsilon_1\le \varepsilon_2$, ТО~$u\approx v(\varepsilon_2)$;}      & (34)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\prec v(\varepsilon_1)$ И~$v\prec w(\varepsilon_2)$, ТО~$u\prec w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$;}    & (35)\cr
  \hbox{ЕСЛИ~$u\approx v(\varepsilon_1)$ И~$v\approx w(\varepsilon_2)$, ТО~$u\sim w(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.} & (36)\cr
 }
}
дАЛЕЕ, МОЖНО БЕЗ ТРУДА ДОКАЗАТЬ, ЧТО
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{u}$ И~$\abs{u-v}\le \varepsilon\abs{v}$ ВЛЕКУТ~$u\approx v(\varepsilon)$,} & (37)\cr
   \hbox{$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{u}$ ИЛИ~$\abs{u-v}\le\varepsilon\abs{v}$  ВЛЕКУТ~$u\sim v(\varepsilon)$}    & (38)\cr
 }
}
И, ОБРАТНО, ДЛЯ \emph{НОРМАЛИЗОВАННЫХ} ЧИСЕЛ~$u$ И~$v$ ПРИ~$\varepsilon<1$ 
\EQ{
 \displaylinesno{
   \hbox{$u\approx v(\varepsilon)$ ВЛЕЧЕТ~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ И~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$;} & (39)\cr
   \hbox{$u\sim v(\varepsilon)$  ВЛЕЧЕТ~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{u}$ ИЛИ~$\abs{u-v}\le b\varepsilon\abs{v}$.} & (40)\cr
 }
}

в КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА ВСЕХ ЭТИХ СООТНОШЕНИЙ ИМЕЕМ [КАК И В~\eqref[22]]
\EQ{
  \eqalign{
%% ПРОВЕРИТЬ, ПРАВИЛЬНО ЛИ ПОСТАВЛЕН ПЕРВЫЙ \abs
    \abs{(u\otimes v) \otimes w - u\otimes (v\otimes w)}&=\abs{u\otimes (v\otimes w)}\cdot \abs{{(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)}-1}\le \cr
                                                        &\le {2b^{1-p}\over \left(1-{1\over 2}b^{1-p}\right)^2}\abs{u\otimes(v\otimes w)},\cr
  }
}
И ТО ЖЕ САМОЕ НЕРАВЕНСТВО ВЫПОЛНЯЕТСЯ, ЕСЛИ ПОМЕНЯТЬ 
МЕСТАМИ~$(u\otimes v) \otimes w$ И~$u\otimes (v\otimes w)$. сЛЕДОВАТЕЛЬНО, 
ВВИДУ~\eqref[27], СПРАВЕДЛИВО СООТНОШЕНИЕ
\EQ[41]{
%% ЧТО ТАКОЕ ЭТОТ (\varepsilon)? зНАК ПРОПУЩЕН.
  (u\otimes v) \otimes w \approx u \otimes (v\otimes w) (\varepsilon)
}
ДЛЯ~$\varepsilon\ge 2b^{1-p}/(1-b^{1-p})^2$. нАПРИМЕР, ПРИ~$b=10$ И~$p=8$ 
МОЖНО ВЗЯТЬ~$\varepsilon=0.00000021$. тАКИМ ОБРАЗОМ, У НАС ИМЕЕТСЯ 
ДОВОЛЬНО ХОРОШИЙ "ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ".

%% $\sim$ => $\sim$,
сООТНОШЕНИЯ~$\prec$, $\sim$, $\succ$ И~$\approx$ ПОЛЕЗНЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННЫХ 
АЛГОРИТМОВ, И ПОЭТОМУ РАЗУМНА ИДЕЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ эвм ПРОГРАММАМИ СРАВНЕНИЯ 
ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ НАРЯДУ С ПРОГРАММАМИ ВЫПОЛНЕНИЯ НАД НИМИ 
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.

%% 250

тЕПЕРЬ ВНОВЬ ПЕРЕКЛЮЧИМ НАШЕ ВНИМАНИЕ НА ВОПРОС О НАХОЖДЕНИИ 
\emph{ТОЧНЫХ} СООТНОШЕНИЙ, КОТОРЫМ УДОВЛЕТВОРЯЮТ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕЛИЧИНАМИ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. иНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ТАКИХ 
ВЕЛИЧИН НЕ ПОЛНОСТЬЮ ВЫПАДАЮТ ИЗ ПОЛЯ ЗРЕНИЯ АКСИОМАТИКИ, ТАК КАК ОНИ 
УДОВЛЕТВОРЯЮТ НЕТРИВИАЛЬНЫМ ТОЖДЕСТВАМ, ФОРМУЛИРУЕМЫМ В ТЕОРЕМАХ~A И~B.

\proclaim тЕОРЕМА~A. пУСТЬ~$u$ И~$v$---НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. 
тОГДА
\EQ[42]{
  ((u\oplus v)\ominus u)+((u\oplus v)\ominus ((u\oplus v)\ominus u))=u\oplus v,
}
%% ПРИ УСЛОВИИ ЧТО => ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО
ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО НЕ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ ИЛИ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ.

\emph{зАМЕЧАНИЕ.} эТО ДОВОЛЬНО ГРОМОЗДКОЕ ТОЖДЕСТВО МОЖНО ПЕРЕПИСАТЬ В 
СЛЕДУЮЩЕМ БОЛЕЕ ПРОСТОМ ВИДЕ. пОЛОЖИМ
\EQ[43]{
  \twocoleqalign{
     u'&=(u\oplus v)\ominus v,  & v' &=(u\oplus v)\ominus u ;\cr
    u''&=(u\oplus v)\ominus v', & v''&=(u\oplus v)\ominus u'.\cr
  }
}
иНТУИТИВНО ЯСНО, ЧТО $u'$ И~$u''$ ДОЛЖНЫ БЫТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ К~$u$, А~$v'$ 
И~$v''$---ПРИБЛИЖЕНИЯМИ К~$v$. тЕОРЕМА~A УТВЕРЖДАЕТ, ЧТО
\EQ[44]{
  u\oplus v = u'+v'' = u''+v'.
}
эТО БОЛЕЕ СИЛЬНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, НЕЖЕЛИ ТОЖДЕСТВО
\EQ[45]{
  u\oplus v = u' \oplus v'' = u'' \oplus v',
}
ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ ЕЩЕ ОДНИМ СЛЕДСТВИЕМ ТЕОРЕМЫ~A (СМ.~УПР.~12).

\proof вВИДУ СИММЕТРИЧНОСТИ НАШИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ДОСТАТОЧНО УСТАНОВИТЬ 
СПРАВЕДЛИВОСТЬ РАВЕНСТВ~\eqref[44] ПРИ УСЛОВИИ~$u\ge\abs{v}$. в ПОСЛЕДУЮЩЕМ 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ УДОБНО БУДЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬ СОКРАЩЕНИЯ
\EQ[46]{
  d=e_u-e_v\ge 0, \qquad w=u\oplus v \ge 0
}
И РАБОТАТЬ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ ВМЕСТО ДРОБЕЙ; ЕСЛИ МАЛАЯ ЛАТИНСКАЯ 
БУКВА~$x$ ОБОЗНАЧАЕТ НОРМАЛИЗОВАННУЮ ВЕЛИЧИНУ~$(e_x, f_x)$ С ПЛАВАЮЩЕЙ 
ТОЧКОЙ, ТО СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА~$X$ БУДЕТ ОБОЗНАЧАТЬ 
ЧИСЛО~$b^{p+e_x-e_v}f_x$. в ЧАСТНОСТИ, $U=b^{p+d}f_u$,  $V=b^p f_v$;  ЭТИ 
ВЕЛИЧИНЫ, РАВНО КАК И~$U'$, $V'$, $U''$, $V''$ И~$W$, ЯВЛЯЮТСЯ ЦЕЛЫМИ 
ЧИСЛАМИ, ДЕСЯТИЧНЫЕ ТОЧКИ КОТОРЫХ ВЫРОВНЕНЫ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТО~\eqref[44] 
ЭКВИВАЛЕНТНО
\EQ[47]{
  W=U'+V''=U''+V'.
}
тЕПЕРЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОДИТСЯ К ДОВОЛЬНО СКУЧНОМУ РАССМОТРЕНИЮ РЯДА 
ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ.

%% 251

\bye