\input style

ЭТО ЯВЛЕНИЕ БЫЛО ОТМЕЧЕНО АМЕРИКАНСКИМ АСТРОНОМОМ сАЙМОНОМ нЬЮКОМБОМ 
[{\sl Amer.~J.~Math.,\/} {\bf 4} (1881), 39--40], КОТОРЫЙ ПРИВЕЛ РАЗУМНЫЕ 
ОСНОВАНИЯ В ПОЛЬЗУ ТОГО, ЧТО ГОЛОВНАЯ ЦИФРА~$d$ ВСТРЕЧАЕТСЯ С 
ВЕРОЯТНОСТЬЮ~$\log_{10}(1+1/d)$. тОТ ЖЕ САМЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГО 
ЛЕТ СПУСТЯ БЫЛ ЭМПИРИЧЕСКИ НАЙДЕН ф.~бЕНФОРДОМ 
[{\sl Proc.\ Amer.\ Philosophical Soc.,\/} {\bf 78} (1938), 551], 
КОТОРЫЙ НЕ ЗНАЛ О ЗАМЕТКЕ нЬЮКОМБА. 
бЕНФОРД РЕШИЛ, ЧТО ЭТО ВАЖНЫЙ ЗАКОН ПРИРОДЫ, И НАЗВАЛ ЕГО 
"ЗАКОНОМ АНОМАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ". мЫ УВИДИМ, ЧТО ЭТОТ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 
ГОЛОВНЫХ ЦИФР ЯВЛЯЕТСЯ ЕСТЕСТВЕННЫМ СЛЕДСТВИЕМ ТОГО СПОСОБА, ПРИ ПОМОЩИ 
КОТОРОГО МЫ ЗАПИСЫВАЕМ ЧИСЛА В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.

еСЛИ МЫ ВОЗЬМЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО~$u$, ТО ЕГО ГОЛОВНАЯ 
ЦИФРА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЗНАЧЕНИЕМ~$(\log_{10} u) \bmod 1$. а ИМЕННО, ГОЛОВНАЯ 
ЦИФРА МЕНЬШЕ~$d$ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
\EQ[1]
{
 (\log_{10} u) \bmod 1 < \log_{10} d,
}
ТАК КАК~$10 f_u = 10^{(\log_{10} u)\bmod 1}$.

дАЛЕЕ, ЕСЛИ У НАС ЕСТЬ КАКОЕ-ЛИБО "СЛУЧАЙНОЕ" ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО~$U$, 
ВЫБИРАЕМОЕ В СООТВЕТСТВИИ С НЕКОТОРЫМ РАЗУМНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ, ТИПА ТЕХ, 
ЧТО ВСТРЕЧАЮТСЯ В ПРИРОДЕ, ТО МОЖНО ОЖИДАТЬ, ЧТО 
ЧИСЛА~$(\log_{10} U) \bmod 1$ БУДУТ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ МЕЖДУ НУЛЕМ 
И ЕДИНИЦЕЙ ИЛИ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ЧТО ЭТО БУДЕТ ОЧЕНЬ ХОРОШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ. 
(аНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ МЫ ОЖИДАЕМ, ЧТО ВЕЛИЧИНЫ~$U \bmod 1$, $U^2 \bmod 1$, 
$\sqrt{U+\pi}\bmod 1$ И~Т.~Д.\ ТАКЖЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ. мЫ УВЕРЕНЫ, 
ЧТО КОЛЕСО РУЛЕТКИ БЕСПРИСТРАСТНО ПО СУЩЕСТВУ ПО ЭТОЙ ЖЕ САМОЙ ПРИЧИНЕ.) 
сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ВВИДУ НЕРАВЕНСТВА~\eqref[1], ГОЛОВНОЙ ЦИФРОЙ БУДЕТ 
ЕДИНИЦА С ВЕРОЯТНОСТЬЮ, РАВНОЙ~$\log_{10} 2 \approx 30.103\%$, ДВОЙКА С 
ВЕРОЯТНОСТЬЮ, РАВНОЙ~$\log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 17.609\%$, 
И ВООБЩЕ ЕСЛИ~$r$---ПРОИЗВОЛЬНОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, ЗАКЛЮЧЕННОЕ МЕЖДУ~$1$ 
И~$10$, ТО ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО В~$\log_{10} r$ ВСЕХ СЛУЧАЕВ МЫ ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ 
НЕРАВЕНСТВО~$10 f_U \le r$.

дРУГОЙ СПОСОБ ОБЎЯСНИТЬ ЭТОТ ЗАКОН---ЭТО СКАЗАТЬ, ЧТО СЛУЧАЙНАЯ 
ВЕЛИЧИНА~$U$ ДОЛЖНА ПОЯВЛЯТЬСЯ В СЛУЧАЙНОЙ ТОЧКЕ НА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ 
ЛИНЕЙКЕ (Т.~Е.\ ЧТО ВСЕ ПОЗИЦИИ НА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКЕ 
РАВНОВЕРОЯТНЫ). дЕЙСТВИТЕЛЬНО, РАССТОЯНИЕ ОТ ЛЕВОГО КОНЦА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ 
ЛИНЕЙКИ ДО ПОЗИЦИИ, ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ЧИСЛО~$U$, 
ПРОПОРЦИОНАЛЬНО~$(\log_{10} U) \bmod 1$. в СЛУЧАЕ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ИМЕЕТСЯ 
ТЕСНАЯ АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ВЫЧИСЛЕНИЯМИ, ПРОВОДИМЫМИ ПРИ ПОМОЩИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ 
ЛИНЕЙКИ, И ВЫЧИСЛЕНИЯМИ В СИСТЕМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ.

тОТ ФАКТ, ЧТО ГОЛОВНЫЕ ЦИФРЫ ИМЕЮТ ТЕНДЕНЦИЮ БЫТЬ НЕБОЛЬШИМИ, СЛЕДУЕТ 
ПОСТОЯННО ИМЕТЬ В ВИДУ; ИМЕННО БЛАГОДАРЯ ЭТОМУ ФАКТУ ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ 
ОЦЕНКИ "СРЕДНЕЙ ОШИБКИ" ГОДЯТСЯ
%% 272
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. оТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКА ОБЫЧНО ОКАЗЫВАЕТСЯ 
НЕСКОЛЬКО БОЛЬШЕЙ, ЧЕМ ОЖИДАЕТСЯ.

рАЗУМЕЕТСЯ, МОЖНО СПРАВЕДЛИВО УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО ПРИВЕДЕННЫЕ ВЫШЕ 
ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ДОВОДЫ НЕ ДОКАЗЫВАЮТ СФОРМУЛИРОВАННОГО ЗАКОНА. оНИ ТОЛЬКО 
УКАЗЫВАЮТ ПРАВДОПОДОБНЫЕ ПРИЧИНЫ ТОГО, ЧТО ПОВЕДЕНИЕ ГОЛОВНЫХ ЦИФР ИМЕННО 
ТАКОВО, КАКОВО ОНО ЕСТЬ НА САМОМ ДЕЛЕ. дРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ГОЛОВНЫХ 
ЦИФР БЫЛ ПРЕДЛОЖЕН р.~с.~пИНКЭМОМ И~р.~хЭММИНГОМ 
[{\sl Ann Math. Stat.,\/} {\bf 32} (1961), 1223--1230]. 
пУСТЬ~$p(r)$---ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО~$10 f_U \le r$,  ГДЕ~$1\le r \le 10$, 
И~$f_U$---НОРМАЛИЗОВАННАЯ ДРОБНАЯ ЧАСТЬ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННОГО 
НОРМАЛИЗОВАННОГО ЧИСЛА~$U$ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ. еСЛИ ГОВОРИТЬ О СЛУЧАЙНЫХ 
ВЕЛИЧИНАХ В РЕАЛЬНОМ МИРЕ, ТО МЫ 
ЗАМЕЧАЕМ, ЧТО ОНИ ИЗМЕРЯЮТСЯ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ, И ЕСЛИ БЫ МЫ 
ИЗМЕНИЛИ, СКАЖЕМ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРА ИЛИ ГРАММА, ТО МНОГИЕ БЫ ИЗ 
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ИМЕЛИ БЫ ДРУГОЕ ЗНАЧЕНИЕ. 
пРЕДПОЛОЖИМ ПОЭТОМУ, ЧТО ВСЕ-ВСЕ ЧИСЛА ВО ВСЕЛЕННОЙ ВНЕЗАПНО 
ОКАЗАЛИСЬ УМНОЖЕННЫМИ НА НЕКОТОРЫЙ ПОСТОЯННЫЙ МНОЖИТЕЛЬ~$c$; НАША 
ВСЕЛЕННАЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ДОЛЖНА ПОСЛЕ ЭТОГО 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСТАТЬСЯ ПО СУЩЕСТВУ НЕИЗМЕННОЙ, ТАК ЧТО 
ВЕРОЯТНОСТИ~$p(r)$ НЕ ДОЛЖНЫ ИЗМЕНИТЬСЯ.

уМНОЖЕНИЕ ВСЕХ ЧИСЕЛ НА~$c$ ПРЕВРАЩАЕТ~$(\log_{10} U) \bmod 1$ 
В~$(\log_{10} U + \log_{10} c) \bmod 1$. нАСТАЛ МОМЕНТ ВЫВЕСТИ ФОРМУЛЫ, 
ОПИСЫВАЮЩИЕ ИСКОМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ; МЫ МОЖЕМ СЧИТАТЬ, ЧТО~$1 \le c \le 10$. 
пО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
\EQ
{
 p(r) = \hbox{ВЕРОЯТНОСТЬ} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r).
}
сОГЛАСНО НАШЕМУ ПРЕДПОЛОЖЕНИЮ, ИМЕЕМ ТАКЖЕ
\EQ{
\eqalignno{
 p(r) &= \hbox{ВЕРОЯТНОСТЬ} ((\log_{10} U + \log_{10} c ) \bmod 1  \le \log_{10} r) = \cr
      &= \cases
       {
        \hbox{ВЕРОЯТНОСТЬ} ((\log_{10} U) \bmod 1 \le \log_{10} r - \log_{10} c \cr
        \hbox{ИЛИ } (\log_{10} U) \bmod 1 \ge 1 - \log_{10} c) , & ЕСЛИ~$c \le r$, \cr
        \hbox{ВЕРОЯТНОСТЬ} (1-\log_{10} c \le (\log_{10} U) \bmod 1 \le  1 + \log_{10} r - \log_{10} c),  & ЕСЛИ~$c \ge r$, \cr
       }\cr
      &= \cases 
       {
         p (r/c) + 1 - p(10/c), & ЕСЛИ~$c \le r$,\cr
         p(10r/c) - p(10/c),    & ЕСЛИ~$c \ge r$.\cr
       } & (2) \cr
 }
}
пРОДОЛЖИМ ТЕПЕРЬ ФУНКЦИЮ~$p(r)$ ВОВНЕ ИНТЕРВАЛА~$1 \le r \le 10$, 
ПОЛОЖИВ~$p(10^n r) = p(r)+n$; ТОГДА ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ~$10/c$ НА~$d$ МЫ МОЖЕМ 
ЗАПИСАТЬ СООТНОШЕНИЕ~\eqref[2] В ВИДЕ
\EQ[3]
{
 p(rd) = p(r) + p(d).
}
еСЛИ НАШЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО 
УМНОЖЕНИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ПОСТОЯННЫЙ МНОЖИТЕЛЬ ВЕРНО, ТО 
СООТНОШЕНИЕ~\eqref[3] ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ ДЛЯ ВСЕХ~$r > 0$
%% 273
И~$1 \le d \le 10$. иЗ ТОГО ЧТО~$p(1)=0$, $p(10)=1$, СЛЕДУЕТ, ЧТО
\EQ{
 \displaylines{
  1 = p(10) = p((\root n \of {10})^n) = p(\root n \of {10}) + p((\root n \of {10})^{n-1})= \cr
    = \ldots = np(\root n \of {10}); \cr 
 }
}
ОТСЮДА МЫ ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО ДЛЯ ВСЕХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ~$m$ И~$n$ 
СПРАВЕДЛИВО РАВЕНСТВО~$p(10^{m/n})=m/n$. еСЛИ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПОТРЕБОВАТЬ,
ЧТОБЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ~$p$ БЫЛО НЕПРЕРЫВНЫМ, ТО МЫ ПРИХОДИМ К 
РАВЕНСТВУ~$p(r)=\log_{10} r$, А ЭТО И ЕСТЬ НУЖНЫЙ НАМ ЗАКОН.

хОТЯ ЭТО РАССУЖДЕНИЕ, ВОЗМОЖНО, И УБЕДИТЕЛЬНЕЕ ПРЕДЫДУЩИХ, ОНО ТОЖЕ В 
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ НЕ ВЫДЕРЖИВАЕТ СТРОГОЙ ПРОВЕРКИ. мЫ ПРЕДПОЛАГАЕМ, ЧТО 
СУЩЕСТВУЕТ НЕКОЕ ЛЕЖАЩЕЕ В ОСНОВЕ РАССМАТРИВАЕМОГО ЯВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 
ЧИСЕЛ~$F(u)$, ТАКОЕ, ЧТО ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ДАННОЕ ПРОИЗВОЛЬНОЕ 
ЧИСЛО~$U$ НЕ ПРЕВОСХОДИТ~$u$, РАВНА~$F(u)$ И ЧТО
\EQ[4]
{
 p(r) = \sum_m (F(10^m r) - F(10^m)),
}
ГДЕ СУММИРОВАНИЕ ПРОВОДИТСЯ ПО ВСЕМ ЗНАЧЕНИЯМ~$-\infty < m < \infty$.  иЗ 
НАШЕГО РАССУЖДЕНИЯ ВЫТЕКАЕТ, ЧТО ТОГДА
\EQ{
 p(r) = \log_{10} r.
}
иСПОЛЬЗУЯ ТЕ ЖЕ ДОВОДЫ, МЫ МОЖЕМ "ДОКАЗАТЬ", ЧТО
\EQ[5]
{
 \sum_m (F(b^m r) - F(b^m)) = \log_b r
}
ПРИ~$1 \le r \le b$ ДЛЯ ВСЯКОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА~$b \ge 2$. нО ФУНКЦИИ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ~$F$, КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЛА БЫ ЭТОМУ РАВЕНСТВУ ДЛЯ 
ВСЕХ ТАКИХ~$b$ И~$r$, НЕ СУЩЕСТВУЕТ! "кАКАЯ-ТО В ДЕРЖАВЕ ДАТСКОЙ ГНИЛЬ!"

оДИН ИЗ СПОСОБОВ ВЫЙТИ ИЗ ЭТОГО ЗАТРУДНЕНИЯ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ 
РАССМАТРИВАТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ЗАКОН~$p(r) = \log_{10} r$ ЛИШЬ КАК ОЧЕНЬ 
ХОРОШЕЕ \emph{ПРИБЛИЖЕНИЕ} К ИСТИННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ. вОЗМОЖНО, ЧТО ЭТО 
ИСТИННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ РАСШИРЕНИИ вСЕЛЕННОЙ ИЗМЕНЯЕТСЯ, СТАНОВЯСЬ С 
ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ВСЕ ЛУЧШИМ И ЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ; И ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ 
ОСНОВАНИЕ~$10$ ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ~$b$, НАШЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТЕМ МЕНЕЕ 
ТОЧНО (В ЛЮБОЙ ДАННЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ), ЧЕМ БОЛЬШЕ~$b$. дРУГОЙ, ДОВОЛЬНО 
ПРИВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЙ С ОТКАЗОМ ОТ 
ТРАДИЦИОННОГО ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРЕДЛОЖЕН р.~а.~рЭЙМИ 
[{\sl AMM,\/}  {\bf 76} (1969), 342--348].

вИТИЕВАТЫЕ РАССУЖДЕНИЯ ПОСЛЕДНЕГО АБЗАЦА, ПО-ВИДИМОМУ, НИ В КОЕЙ МЕРЕ 
НЕЛЬЗЯ ПРИЗНАТЬ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫМ ОБЎЯСНЕНИЕМ, ТАК ЧТО СЛЕДУЕТ ВЕСЬМА 
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОТНЕСТИСЬ К ПРОВОДИМЫМ НИЖЕ ВЫЧИСЛЕНИЯМ (ГДЕ МЫ 
ПРИДЕРЖИВАЕМСЯ СТРОГОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО КАНОНА И ИЗБЕГАЕМ ИНТУИТИВНЫХ, 
НО ПАРАДОКСАЛЬНЫХ ПОНЯТИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ). рАССМОТРИМ ВМЕСТО 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕКОЕГО ВООБРАЖАЕМОГО МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
%% 274
СТАРШИХ ЗНАЧАЩИХ ЦИФР \emph{ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ} ЧИСЕЛ. иССЛЕДОВАНИЕ 
ЭТОЙ ТЕМЫ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ИНТЕРЕСНО, И НЕ ТОЛЬКО ПОТОМУ,  ЧТО ОНО ПРОЛИВАЕТ 
НЕКОТОРЫЙ СВЕТ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ДАННЫХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В 
ФОРМЕ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, НО  ТАКЖЕ И ПОТОМУ, ЧТО ОНО СЛУЖИТ ВЕСЬМА 
ПОУЧИТЕЛЬНЫМ ПРИМЕРОМ  ТОГО, КАК СОЧЕТАТЬ МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ С 
МЕТОДАМИ АНАЛИЗА.

вО ВСЕХ ПОСЛЕДУЮЩИХ РАССУЖДЕНИЯХ~$r$ БУДЕТ ОБОЗНАЧАТЬ ФИКСИРОВАННОЕ 
ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, $1 \le r \le 10$; МЫ ПОПЫТАЕМСЯ ДАТЬ РАЗУМНОЕ 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ~$p(r)$ КАК "ВЕРОЯТНОСТИ" ТОГО, ЧТО 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ~$10^{e_N} \cdot f_N$ "СЛУЧАЙНОГО" ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОГО 
ЧИСЛА~$N$ УДОВЛЕТВОРЯЕТ НЕРАВЕНСТВУ~$10 f_N < r$.

дЛЯ НАЧАЛА ПОПРОБУЕМ НАЙТИ ЭТУ ВЕРОЯТНОСТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД, 
АНАЛОГИЧНО ТОМУ КАК МЫ ОПРЕДЕЛЯЛИ~"Pr" В~\S~3.5. уДОБНЫЙ СПОСОБ 
ПЕРЕФРАЗИРОВАТЬ ЭТО ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ:
\EQ[6]{
 P_0(n)=\cases{
  1, & ЕСЛИ~$n=10^e \cdot f$, ГДЕ~$10 f < r$, Т.~Е.\ ЕСЛИ~$(\log_{10} n) \bmod 1 < \log_{10} r$;\cr
  0  & В ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ.\cr
 }
}

иТАК, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $P_0(1)$, $P_0(2)$,~\dots{} ЕСТЬ БЕСКОНЕЧНАЯ  
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ, ПРИЧЕМ ЕДИНИЦЫ СООТВЕТСТВУЮТ СЛУЧАЯМ, 
ВНОСЯЩИМ ВКЛАД В ЗНАЧЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. мЫ МОЖЕМ ПОПЫТАТЬСЯ "УСРЕДНИТЬ" ЭТУ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПОЛОЖИВ
\EQ[7]
{
 P_1(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_0(k).
}
еСТЕСТВЕННО ПРИНЯТЬ~$\lim_{n\to\infty} P_1(n)$ В КАЧЕСТВЕ ИСКОМОЙ 
"ВЕРОЯТНОСТИ"~$p(r)$; ИМЕННО ТАК МЫ И СДЕЛАЛИ В~\S~3.5.

нО В ДАННОМ СЛУЧАЕ ЭТОТ ПРЕДЕЛ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. рАССМОТРИМ,  НАПРИМЕР, ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
\EQ{
 P_1(s),\; P_1(10s),\; P_1(100s),\; \ldots,\; P_1(10^n s),\; \ldots,
}
ГДЕ~$s$---НЕКОТОРОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, $1 \le s \le 10$. еСЛИ~$s \le r$, ТО 
МЫ ИМЕЕМ
\EQ
{
 \eqalignno{
  P_1(10^n s) &= {1 \over 10^n s} ( \ceil{r} -1 + \ceil{10 r} - 10 + \cdots 
                 + \ceil{10^{n-1} r} - 10^{n-1} + \floor{10^n s} + 1 - 10^n) = \cr
              &= {1 \over 10^n s} (r(1+10+\cdots+10^{n-1})+O(n)+\floor{10^n s} 
                 - 1 - 10 - \cdots - 10^n) = \cr
%% ДОБАВЛЕНА ПРАВАЯ СКОБКА:  "\right)", МЕСТО ВСТАВКИ СКОБКИ ВЫБРАНО БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
              &= {1 \over 10^n s} \left({1\over 9} (10^n r - 10^{n+1}) 
                 + \floor{10^n s}\right)+O(n), & (8) \cr
 }
}
%% 275
ГДЕ В ДЕСЯТИЧНОЙ ЗАПИСИ~$r=r_0.r_1r_2\ldots\,$. пРИ~$n\to\infty$ 
ФУНКЦИЯ~$P_1(10^n s)$ СТРЕМИТСЯ, ТАКИМ ОБРАЗОМ, К ПРЕДЕЛЬНОМУ 
ЗНАЧЕНИЮ~$1+(r-10)/9s$. вЫЧИСЛЕНИЕ, ПРОВЕДЕННОЕ ВЫШЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ~$s \le r$,
МОЖНО МОДИФИЦИРОВАТЬ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ ОНО СОХРАНИЛО СМЫСЛ И ПРИ~$s > r$; 
ПРИ ЭТОМ $\floor{10^n s}+1$~ЗАМЕНИТСЯ НА~$\ceil{10^n r}$, ТАК ЧТО 
ДЛЯ~$s \ge r$ МЫ ПОЛУЧИМ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ, РАВНОЕ~$10(r-1)/9s$. 
[сМ.\ J.\ Franel Naturforschende Gesellschaft, Vierteljahrsschrift, {\bf 62} 
(Z\"urich, 1917), 286--295.]

иТАК, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$P_1(n)$ СОДЕРЖИТ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПРЕДЕЛ 
КОТОРОЙ ПРИ ВОЗРАСТАНИИ~$s$ ОТ~$1$ ДО~$r$, А ЗАТЕМ ОТ~$r$ ДО~$10$ СНАЧАЛА 
ВОЗРАСТАЕТ ОТ~$(r-1)/9$ ДО~$10(r-1)/9r$, А ЗАТЕМ УБЫВАЕТ СНОВА 
ДО~$(r-1)/9$. оТСЮДА ВИДНО, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$P_1(n)$ НЕ ИМЕЕТ 
ПРЕДЕЛА И ЧТО~$P_1(n)$ НЕ СЛИШКОМ ХОРОШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К НАШЕМУ 
ПРЕДПОЛАГАЕМОМУ ОТВЕТУ~$\log_{10} r$!

тАК КАК~$P_1(n)$ НИ К ЧЕМУ НЕ СТРЕМИТСЯ, МОЖНО ПОПЫТАТЬСЯ ЕЩЕ РАЗ 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ ТУ ЖЕ ИДЕЮ, ЧТО И В~\eqref[7], ЧТОБЫ "УСРЕДНЕНИЕМ" УСТРАНИТЬ 
ЭТУ АНОМАЛЬ В ПОВЕДЕНИИ НАШЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. вООБЩЕ ПОЛОЖИМ
\EQ[9]
{
 P_{m+1}(n) = {1\over n} \sum_{1\le k \le n} P_m(k).
}
тОГДА $P_{m+1}(n)$~БУДЕТ ПРОЯВЛЯТЬ ТЕНДЕНЦИЮ К БОЛЕЕ ПРАВИЛЬНОМУ ПОВЕДЕНИЮ,
НЕЖЕЛИ~$P_m(n)$. пОПЫТАЕМСЯ ИЗУЧИТЬ ПОВЕДЕНИЕ~$P_{m+1}(n)$ ДЛЯ 
БОЛЬШИХ~$n$. оПЫТ, ПРИОБРЕТЕННЫЙ НАМИ ПРИ РАССМОТРЕНИИ ЧАСТНОГО 
СЛУЧАЯ~$m=0$, ПОДСКАЗЫВАЕТ, ЧТО СТОИТ ПРИВЛЕЧЬ К 
ДЕЛУ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$P_{m+1}(10^n s)$. иМЕННО НА ЭТОМ ПУТИ МЫ 
И ДОКАЖЕМ СЛЕДУЮЩИЙ РЕЗУЛЬТАТ.

\proclaim лЕММА~Q. дЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА~$m \ge 1$ И 
ПРОИЗВОЛЬНОГО ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА~$\varepsilon > 0$ НАЙДУТСЯ ТАКИЕ 
ФУНКЦИИ~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ И ТАКОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО~$N_m(\varepsilon)$, ЧТО 
ПРИ~$n > N_m(\varepsilon)$ И~$1 \le s \le 10$ ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА
\EQ[10]
{
 \displaynarrow{
  \abs{P_m(10^n s) - Q_m(s)} < \varepsilon, \hbox{ ЕСЛИ~$s \le r$,}\cr
  \abs{P^m(10^n s) - (Q_m(s)+R_m(s))} < \varepsilon, \hbox{ ЕСЛИ~$s>r$.}\cr
 }
}
дАЛЕЕ, ФУНКЦИИ~$Q_m(s)$, $R_m(s)$ УДОВЛЕТВОРЯЮТ СООТНОШЕНИЯМ
\EQ[11]
{
 \eqalign{
  Q_m(s) &= {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt
            +\int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt + {1\over 9}\int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt\right);\cr
  R_m(s) &= {1\over s} \int_r^s R_{m-1}(t)\,dt;\cr
  Q_0(s) &= 1, \quad R_0(s)= -1.\cr
 }
}
%% 276

\proof рАССМОТРИМ ФУНКЦИИ~$Q_m(s)$, $R_m(s)$, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ 
ФОРМУЛАМИ~\eqref[11], И ПОЛОЖИМ 
\EQ[12]{
 S_m(t)=\cases{
         Q_m(t), & $t \le r$, \cr
  Q_m(t)+R_m(t), & $t > r$.   \cr
 }
}
дОКАЖЕМ ЛЕММУ ИНДУКЦИЕЙ ПО~$m$.

пУСТЬ СНАЧАЛА~$m=1$; ТОГДА~$Q_1(s)=(1/s)(1+(s-1)+(r-10)/9)= 1+(r-10)/9s$ 
И~$R_1(s)=(r-s)/s$. иЗ~\eqref[8] НАХОДИМ, ЧТО
\EQ{
 \abs{P_1(10^n s) - S_1(s)} = O(n)/10^n;
}
ЭТО ДОКАЗЫВАЕТ ЛЕММУ ПРИ~$m=1$.

пРИ~$m > 1$ ИМЕЕМ
\EQ{
P_m(10^n s) = 
 {1\over s} \left( 
   \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
   \sum_{10^j \le k < 10^{j+1}} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
   + \sum_{10^n \le k \le 10^n s} {1\over 10^n} P_{m-1}(k) 
 \right).
}
мЫ ХОТИМ ОЦЕНИТЬ ЭТУ ВЕЛИЧИНУ. рАЗНОСТЬ
\EQ[13]{
 \abs{
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} P_{m-1}(k) 
  - \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1\over 10^j} S_{m-1} 
      \left({k \over 10^j}\right)
 }
}
МЕНЬШЕ~$(q-1)\varepsilon$, КОГДА~$1 \le q \le 10$ 
И~$j > N_{m-1}(\varepsilon)$,  А ПОСКОЛЬКУ ФУНКЦИЯ~$S_{m-1}(t)$ НЕПРЕРЫВНА И 
ПОТОМУ ИНТЕГРИРУЕМА ПО рИМАНУ, ТО РАЗНОСТЬ
\EQ[14]
{
 \abs{ 
  \sum_{10^j \le k \le 10^j q} {1 \over 10^j} S_{m-1} 
    \left({k\over 10^j}\right) -\int_1^q S_{m-1}(t)\,dt
 }
}
МЕНЬШЕ~$\varepsilon$ ДЛЯ ВСЕХ~$j$, БОЛЬШИХ НЕКОТОРОГО ЧИСЛА~$N$, НЕ 
ЗАВИСЯЩЕГО ОТ~$q$. мЫ МОЖЕМ ВЫБРАТЬ~$N$ БОЛЬШИМ, 
ЧЕМ~$N_{m-1}(\varepsilon)$. сЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПРИ~$n > N$ РАЗНОСТЬ
\EQ[15]{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( \sum_{0 \le j < n} {1 \over 10^{n-j}} 
 \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt+\int_1^s S_{m-1}(t)\,dt\right)}
}
ОГРАНИЧЕНА ВЕЛИЧИНОЙ
\EQ{
 \sum_{0 \le j \le N} {M \over 10^{n-j}}+\sum_{N<j<n} {10 \varepsilon \over 10^{n-j}} + 10 \varepsilon,
}
ЕСЛИ~$M$ ПРИ ВСЕХ~$j$ СЛУЖИТ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ СУММЫ~$\hbox{\eqref[13]}+\hbox{\eqref[14]}$.
нАКОНЕЦ, СУММА~$\sum_{0\le j < n} (1/10^{n-j})$, ФИГУРИРУЮЩАЯ В~\eqref[15],
РАВНА~%
%% 277
$(1-1/10^n)/9$. пОЭТОМУ РАЗНОСТЬ
\EQ{
 \abs{ P_m(10^n s) - {1\over s} \left( {1\over 9} \int_1^{10} S_{m-1}(t)\,dt + \int_1^s S_{m-1}(t)\,dt \right) }
}
СТАНОВИТСЯ МЕНЬШЕ~$(10/9) (10\varepsilon)$ ПРИ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИХ~$n$. 
сОПОСТАВЛЯЯ ЭТО С~\eqref[10] И~\eqref[11], ВИДИМ, ЧТО ВСЕ ДОКАЗАНО.
\proofend

сУТЬ ЛЕММЫ~Q---УТВЕРЖДЕНИЕ О СУЩЕСТВОВАНИИ ПРЕДЕЛА
\EQ[16]
{
 \lim_{n\to\infty} P_m(10^n s) = S_m(s).
}
оДНАКО ВВИДУ ТОГО ЧТО ФУНКЦИЯ~$S_m(s)$ НЕ ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННОЙ ПРИ 
ИЗМЕНЕНИИ~$s$, ПРЕДЕЛ
\EQ{
 \lim_{n\to\infty} P_m(n),
}
КОТОРЫЙ МОГ БЫ БЫТЬ НАШЕЙ ЖЕЛАННОЙ "ВЕРОЯТНОСТЬЮ", НЕ СУЩЕСТВУЕТ НИ ДЛЯ 
КАКОГО~$m$. о СОЗДАВШЕЙСЯ СИТУАЦИИ ДАЕТ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
\picture{рИС.~5.   вЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО СТАРШАЯ ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА РАВНА 1.}
РИС.~5, ИЗОБРАЖАЮЩИЙ ЗНАЧЕНИЯ~$S_m(s)$ ДЛЯ МАЛЫХ~$m$ И~$r=2$.

хОТЯ ФУНКЦИИ~$S_m(s)$ И НЕ ПОСТОЯННЫ, ТАК ЧТО У~$P_m(n)$ НЕ СУЩЕСТВУЕТ 
ПРЕДЕЛА, МЫ ВИДИМ ИЗ РИС.~5, ЧТО УЖЕ ДЛЯ~$m=3$  ЗНАЧЕНИЕ~$S_m(s)$ ОСТАЕТСЯ 
ВСЕ ВРЕМЯ ОЧЕНЬ БЛИЗКИМ К~$\log_{10} 2 = 0.30103\ldots\,$. сЛЕДОВАТЕЛЬНО, 
У НАС ЕСТЬ СЕРЬЕЗНЫЕ ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ФУНКЦИЯ~$S_m(s)$ ОЧЕНЬ 
БЛИЗКА К~$\log_{10} r$ ДЛЯ БОЛЬШИХ~$m$ И ДАЖЕ ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
ФУНКЦИЙ~$\<S_m(s)>$  РАВНОМЕРНО СХОДИТСЯ К ПОСТОЯННОЙ ФУНКЦИИ~$\log_{10} r$.

иНТЕРЕСНО ДОКАЗАТЬ ЭТУ ГИПОТЕЗУ ЯВНЫМ ВЫЧИСЛЕНИЕМ~$Q_m(s)$  И~$R_m(s)$ ДЛЯ 
ВСЕХ~$m$, ЧТО И ДЕЛАЕТСЯ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЫ.

%% 278

\proclaim тЕОРЕМА~F. дЛЯ ВСЯКОГО~$\varepsilon>0$ НАЙДЕТСЯ ТАКОЕ ЧИСЛО~$N$, ЧТО
\EQ[17]{
 \abs{P_m(n) - \log_{10} r} < \varepsilon
}
ПРИ~$m$,~$n>N$.

\proof вВИДУ ЛЕММЫ~Q, ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ БУДЕТ ДОКАЗАН, ЕСЛИ МЫ СМОЖЕМ 
ПОКАЗАТЬ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЕ ЧИСЛО~$M$, ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ~$\varepsilon$, 
ЧТО ДЛЯ ВСЕХ~$s$ ИЗ ИНТЕРВАЛА~$1 \le s \le 10$ И ВСЕХ~$m > M$ СПРАВЕДЛИВЫ 
НЕРАВЕНСТВА
\EQ[18]
{
 \abs{Q_m(s) - \log_{10} r} < \varepsilon \hbox{ И } \abs{R_m(s)} < \varepsilon.
}

зНАЧЕНИЕ~$R_m$ НЕТРУДНО ОПРЕДЕЛИТЬ ИЗ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ~\eqref[11]. в 
САМОМ ДЕЛЕ, ИМЕЕМ~$R_0(s)=-1$, $R_1(s)=-1+r/s$, 
$R_2(s) = -1 + (r/s)(1+\ln (s/r))$ И ВООБЩЕ
\EQ[19]{
 R_m(s) = -1 + {r \over s} \left(1+{1\over 1!}\ln\left({s \over r}\right) + 
 {1\over 2!} \left(\ln \left({s\over r}\right)\right)^2+ \cdots + {1 \over (m-1)!} 
  \left( \ln\left({s\over r}\right)\right)^{m-1}\right).
}
дЛЯ ЗНАЧЕНИЙ~$s$ ИЗ УКАЗАННОГО ИНТЕРВАЛА ЭТА ФУНКЦИЯ РАВНОМЕРНО СХОДИТСЯ К
\EQ{
 -1 + (r/s) \exp (\ln (s/r)) = 0.
}

рЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА~\eqref[11] ДЛЯ~$Q_m$ ПРИНИМАЕТ ВИД
\EQ[20]{
 Q_m(s) = {1\over s} \left( c_m + 1 + \int_1^s Q_{m-1}(t)\,dt\right),
}
ГДЕ
\EQ[21]{
 c_m = {1\over 9} \left( \int_1^{10} Q_{m-1}(t)\,dt + \int_r^{10} R_{m-1}(t)\,dt \right) -1.
}
ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЩЕГО ЧЛЕНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ РЕКУРРЕНТНОЙ 
ФОРМУЛОЙ~\eqref[20], ТАКЖЕ НАХОДИТСЯ БЕЗ ТРУДА; НАДО ВЫПИСАТЬ СНАЧАЛА 
ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ, СООБРАЗИТЬ, КАКОВА ОБЩАЯ ФОРМУЛА, 
И ДОКАЗАТЬ ЕЕ ПО ИНДУКЦИИ;
МЫ ПОЛУЧИМ, ЧТО
\EQ[22]{
 Q_m(s) = 1 + {1\over s} \left( c_m + {1\over 1!}c_{m-1}\ln s 
            + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \cdots + {1\over (m-1)!} (\ln s)^{m-1}\right).
}

нАМ ОСТАЕТСЯ ТОЛЬКО ВЫЧИСЛИТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ~$c_m$, КОТОРЫЕ В СИЛУ 
ФОРМУЛ~\eqref[19], \eqref[21] И~\eqref[22] УДОВЛЕТВОРЯЮТ СООТНОШЕНИЯМ
\EQ[23]{
 \displaynarrow{
      c_1 = (r-10)/9,\cr
  c_{m+1} = {1\over 9} 
            \left( 
                c_m \ln 10 + {1\over 2!}c_{m-1}(\ln 10)^2
                + \cdots + {1\over m!}c_1(\ln 10)^m 
                + r \left( 
                        1+ {1\over 1!} \ln {10\over r} 
                        + \cdots + {1\over m!} 
                           \left( \ln {10 \over r} \right)^m 
                    \right) 
                - 10 
            \right).\cr
 }
}
%% 279
эТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КАЖЕТСЯ ОЧЕНЬ СЛОЖНОЙ, ОДНАКО В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ 
ЕЕ МОЖНО БЕЗ ТРУДА ИССЛЕДОВАТЬ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ. пОЛОЖИМ
\EQ{
 C(z) = c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + \ldots \, .
}
вВИДУ РАВЕНСТВА~$10^z = 1 + z\ln 10 + z^2 (1/2!) (\ln 10)^2 + \ldots\,$, 
МЫ ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО
\EQ{
c_{m+1} = {1\over 10}c_{m+1} + {9\over 10}c_{m+1} 
        = {1\over 10} \left(c_{m+1} + c_m \ln 10 + \cdots 
          + {1\over m!} c_1 (\ln 10)^m\right) + {r\over 10} 
            \left(1+\cdots+{1\over m!}\left(\ln {10\over r}\right)^m\right) - 1
}
ЕСТЬ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ~$z^{m+1}$ В РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ
\EQ[24]{
 {1\over 10} C(z) 10^z + {rz \over 10} \left({10\over r}\right)^z 
  \left({1\over 1-z}\right) - {1\over 1-z}.
}
эТО УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ДЛЯ ВСЕХ ЗНАЧЕНИЙ~$m$, ТАК ЧТО~\eqref[24]  ДОЛЖНО 
РАВНЯТЬСЯ~$C(z)$, И МЫ ПОЛУЧАЕМ ЯВНУЮ ФОРМУЛУ
\EQ[25]{
 C(z) = { -z \over 1-z} \left( {(10/r)^{z-1} -1 \over 10^{z-1}-1}\right).
}

чТОБЫ ЗАВЕРШИТЬ НАШ АНАЛИЗ, НАМ НАДО ИЗУЧИТЬ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
КОЭФФИЦИЕНТОВ~$C(z)$. дРОБЬ В СКОБКАХ В РАВЕНСТВЕ~\eqref[25] СТРЕМИТСЯ 
ПРИ~$z \to 1$ К~$\ln (10/r) / \ln 10 = 1 - \log_{10} r$,  ОТКУДА СЛЕДУЕТ, ЧТО
\EQ[26]{
 C(z) + {1 - \log_{10} r \over 1 - r} = R(z)
}
ЕСТЬ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ~$z$ В КРУГЕ
\EQ{
 \abs{z} < \abs{1+{2 \pi i \over \ln 10}}.
}
в ЧАСТНОСТИ, РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ~$R(z)$ СХОДИТСЯ ПРИ~$z=1$, ТАК ЧТО ЕЕ 
КОЭФФИЦИЕНТЫ СТРЕМЯТСЯ К НУЛЮ. эТО ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО КОЭФФИЦИЕНТЫ 
ФУНКЦИИ~$C(z)$ ВЕДУТ СЕБЯ КАК КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУНКЦИИ~$(\log_{10} r - 1)/(1-z)$, 
ТАК ЧТО
\EQ{
 \lim_{m \to \infty} c_m = \log_{10} r -1.
}

нАКОНЕЦ, СОПОСТАВЛЯЯ ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ С ФОРМУЛОЙ~\eqref[22], ПОЛУЧАЕМ, ЧТО 
$Q_m(s)$~СТРЕМИТСЯ К
\EQ{
 1 + { \log_{10} r -1 \over s} \left( 1+ \ln s + {1\over 2!}(\ln s)^2 + \ldots \right) 
 = \log_{10} r
}
РАВНОМЕРНО НА ОТРЕЗКЕ~$1 \le s \le 10$. 
\proofend

иТАК, МЫ ДОКАЗАЛИ ПРЯМЫМ ВЫЧИСЛЕНИЕМ НАШ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ЗАКОН ДЛЯ ЦЕЛЫХ 
ЧИСЕЛ, ПРИЧЕМ ОДНОВРЕМЕННО ОБНАРУЖИЛИ, ЧТО, ХОТЯ ОН СЛУЖИТ ОЧЕНЬ ХОРОШИМ 
ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДЛЯ ОПИСАНИЯ
%% 280
УСРЕДНЕННОГО ПОВЕДЕНИЯ, В ТОЧНОСТИ ОН НИКОГДА НЕ ДОСТИГАЕТСЯ. аНАЛОГИЧНЫЕ 
РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ДРУГИХ: РАСПРЕДЕЛЕНИЙ БЫЛИ ОПУБЛИКОВАНЫ у.~фАРРИ И 
X.~гУРВИЦЕМ [Nature, {\bf 155} (Jan.~13, 1945), 52--53]. дОКАЗАТЕЛЬСТВА 
ЛЕММЫ~Q И ТЕОРЕМЫ~F, КОТОРЫЕ БЫЛИ ЗДЕСЬ ПРИВЕДЕНЫ, ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ 
УПРОЩЕННЫЙ И ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАНТ РАССУЖДЕНИИ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ бЕТТИ дЖИН 
фЛЕХИНГЕР [{\sl AMM,\/} {\bf 73} (1966), 1056--1061]. дРУГОЙ ИНТЕРЕСНЫЙ 
ПОДХОД К РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ, СВЯЗАННЫМ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, БЫЛ 
ПРЕДЛОЖЕН эЛАНОМ~г.~кОНХЕЙМОМ [{\sl Math. Comp.,\/} {\bf 19} (1965), 143--144].

\excercises
\ex[13] еСЛИ~$u$ И~$v$---ДЕСЯТИЧНЫЕ ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ИМЕЮЩИЕ ОДИН И 
ТОТ ЖЕ ЗНАК, ТО КАКОВО, СОГЛАСНО ТАБЛИЦАМ сУИНИ, ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 
ВЕРОЯТНОСТИ ТОГО, ЧТО ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЯ~$u \oplus v$ ПРОИЗОЙДЕТ 
ПЕРЕПОЛНЕНИЕ ДРОБНОЙ ЧАСТИ?

\ex[40] пРОВЕДИТЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ СО СЛОЖЕНИЕМ И ВЫЧИТАНИЕМ ЧИСЕЛ 
С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ ТАБЛИЦ сУИНИ.

\ex[15] нАЙДИТЕ, ИСХОДЯ ИЗ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ЗАКОНА, ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО 
ДВЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЦИФРЫ ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ СУТЬ~"$23$".

\ex[18] в ТЕКСТЕ ОТМЕЧЕНО, ЧТО НАЧАЛЬНЫЕ СТРАНИЦЫ ИНТЕНСИВНО 
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ТАБЛИЦ ЛОГАРИФМОВ ПОТРЕПАНЫ В БОЛЬШЕЙ СТЕПЕНИ, ЧЕМ 
ПОСЛЕДНИЕ СТРАНИЦЫ. а ЕСЛИ БЫ МЫ РАБОТАЛИ ВМЕСТО ЭТОГО С ТАБЛИЦЕЙ 
\emph{АНТИЛОГАРИФМОВ,} Т.~Е.~ТАБЛИЦЕЙ, КОТОРАЯ ДЛЯ ДАННОГО 
ЗНАЧЕНИЯ~$\log_{10} x$ УКАЗЫВАЕТ ЗНАЧЕНИЕ~$x$, КАКИЕ СТРАНИЦЫ БЫЛИ БЫ 
ТОГДА САМЫМИ ПОТРЕПАННЫМИ?

\rex[м20] пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО~$U$ РАВНОМЕРНО 
РАСПРЕДЕЛЕНО В ИНТЕРВАЛЕ~$0 < U < 1$. кАКОВО РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЕЕ 
ЗНАЧИМОЙ ЦИФРЫ~$U$?

\ex[22] еСЛИ БЫ ОДНО СЛОВО ДВОИЧНОЙ эвм СОДЕРЖАЛО $n+1$~БИТОВ, ТО МЫ МОГЛИ 
БЫ ИСПОЛЬЗОВАТЬ $p$~БИТОВ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДРОБНОЙ ЧАСТИ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ОДИН БИТ ДЛЯ ЗНАКА И $n-p$~БИТОВ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ.  эТО 
ОЗНАЧАЕТ, ЧТО ИНТЕРВАЛ ИЗМЕНЕНИЯ ПРЕДСТАВИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ, Т.~Е.\ ОТНОШЕНИЕ 
НАИБОЛЬШЕГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО НОРМАЛИЗОВАННОГО ЗНАЧЕНИЯ К НАИМЕНЬШЕМУ, ПО 
СУЩЕСТВУ РАВЕН~$2^{2^{n-p}}$. To ЖЕ МАШИННОЕ СЛОВО МОЖНО БЫЛО БЫ 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ И ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ \emph{ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ} ЧИСЕЛ С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ, ВЫДЕЛИВ $p+2$~БИТОВ ДЛЯ ДРОБНОЙ ЧАСТИ 
($(p+2)/4$~ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЦИФР) И $n-p-2$~БИТОВ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ; ТОГДА 
ИНТЕРВАЛ ИЗМЕНЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ БЫЛ БЫ~$16^{2^{n-p-2}}=2^{2^{n-p}}$, Т.~Е.\ ТОТ ЖЕ, 
ЧТО И РАНЬШЕ, ПРИЧЕМ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ БИТОВ В ДРОБНОЙ ЧАСТИ. мОЖЕТ 
ВОЗНИКНУТЬ ВПЕЧАТЛЕНИЕ, ЧТО МЫ ПОЛУЧИЛИ ЧТО-ТО ИЗ НИЧЕГО, ОДНАКО УСЛОВИЕ 
НОРМАЛИЗАЦИИ В СЛУЧАЕ ОСНОВАНИЯ~$16$ СЛАБЕЕ В ТОМ СМЫСЛЕ, ЧТО ДРОБНАЯ 
ЧАСТЬ МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ НУЛИ В ТРЕХ НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМЫХ БИТАХ; ТАКИМ ОБРАЗОМ, 
НЕ ВСЕ ИЗ $p+2$~БИТОВ "ЗНАЧАЩИЕ".
 \hiddenpar
иСХОДЯ ИЗ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ЗАКОНА, ВЫЯСНИТЕ, КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО 
ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО НОРМАЛИЗОВАННОГО ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОГО ЧИСЛА С 
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ИМЕЕТ В ТОЧНОСТИ $0$, $1$, $2$ И~$3$~НУЛЕВЫХ 
НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМЫХ БИТА? оСНОВЫВАЯСЬ НА МАТЕРИАЛЕ, ИЗЛОЖЕННОМ В ЭТОМ ПУНКТЕ,
ОБСУДИТЕ ВОПРОС О ДОСТОИНСТВАХ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В СРАВНЕНИИ С ДВОИЧНОЙ.

\ex[вм28] дОКАЖИТЕ, ЧТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ~$F(u)$, 
УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ СООТНОШЕНИЮ~\eqref[5] ДЛЯ КАЖДОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА~$b\ge 2$ И 
ДЛЯ ВСЕХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ~$r$ ИЗ ИНТЕРВАЛА~$1 \le r \le b$.

\ex[м23] вЫПОЛНЯЕТСЯ ЛИ СООТНОШЕНИЕ~\eqref[10] ПРИ~$m=0$ ДЛЯ 
СООТВЕТСТВУЮЩИМ ОБРАЗОМ ВЫБРАННОГО~$N_0(\varepsilon)$?

\ex[вм24] пУСТЬ~$\<x_n>$---ОГРАНИЧЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ, ТАКАЯ, ЧТО 
ПРЕДЕЛ~$\lim_{n\to \infty} x_{\floor{10^n s}} = q(s)$ 
СУЩЕСТВУЕТ ДЛЯ ВСЕХ~$s$ ИЗ ИНТЕР-
%% 281

\bye