\input style \chapter{2. sostoyaniya i ih harakteristika} v TECHENIE MNOGIH STOLETIJ CHELOVEK OPERIRUET NATURALXNYMI CHISLAMI. mNE PREDSTAVLYAETSYA, CHTO V DOISTORICHESKIE VREMENA, KOGDA PERED NASHIMI PREDKAMI VPERVYE ZABREZZHILO PONYATIE CHISLA, ONI IZOBRETALI INDIVIDUALXNYE IMENA DLYA KAZHDOGO CHISLA, NA KOTOROE U NIH OBNARUZHIVALASX POTREBNOSTX SOSLATXSYA. iM PRIHODILOSX IMETX IMENA DLYA CHISEL TOCHNO TAK ZHE, KAK MY IMEEM IMENA "ODIN, DVA, TRI, CHETYRE I TAK DALEE". eTO POISTINE "IMENA" V TOM SMYSLE, CHTO PRI ISSLEDOVANII POSLEDOVATELXNOSTI "ODIN, DVA, TRI" NIKAKOE PRAVILO NE POMOZHET NAM UMOZAKLYUCHITX, CHTO SLEDUYUSHCHIM IMENEM BUDET "CHETYRE". vY, KONECHNO ZHE, DOLZHNY |TO \emph{ZNATX}. (v TOM VOZRASTE, KOGDA YA VPOLNE UDOVLETVORITELXNO UMEL SCHITATX --- PO-GOLLANDSKI,--- MNE PRISHLOSX UCHITXSYA SCHETU PO-ANGLIJSKI I VO VREMYA |KZAMENA SAMOE IZOSHCHRENNOE ZNANIE SLOV "SEMX" I "DEVYATX" NE SMOGLO POMOCHX MNE USTANOVITX, KAK PISATX SLOVO "VOSEMX", NE GOVORYA UZH O TOM, KAK PROIZNOSITX EGO.) oCHEVIDNO, CHTO TAKOE NESISTEMATIZIROVANNOE RAZNOOBRAZIE POZVOLYAET NAM VYDELYATX INDIVIDUALXNO TOLXKO VESXMA OGRANICHENNOE KOLICHESTVO RAZLICHNYH CHISEL. chTOBY IZBEZHATX PODOBNOGO OGRANICHENIYA, KAZHDYJ YAZYK V CIVILIZOVANNOM MIRE VVODIT (BOLEE ILI MENEE) SISTEMATIZIROVANNOE IMENOVANIE NATURALXNYH CHISEL, I OBUCHENIE SCHETU V ZNACHITELXNOJ STEPENI SVODITSYA K OBNARUZHENIYU SISTEMY, LEZHASHCHEJ V OSNOVE |TOGO IMENOVANIYA. kOGDA REBENOK UCHITSYA SCHITATX DO TYSYACHI, EMU NE PRIHODITSYA ZAUCHIVATX NAIZUSTX |TU TYSYACHU IMEN (V IH TOCHNOM PORYADKE!); ON RUKOVODSTVUETSYA OPREDELENNYMI PRAVILAMI: NASTUPAET MOMENT, KOGDA REBENOK UZNAET, KAK PEREHODITX OT LYUBOGO CHISLA K SLEDUYUSHCHEMU, NAPRIMER OT "CHETYRESTA DVADCATX DEVYATX" K "CHETYRESTA TRIDCATX". lEGKOSTX OBRASHCHENIYA S CHISLAMI SILXNO ZAVISIT OT VYBRANNOJ NAMI DLYA NIH SISTEMATIZACII. gORAZDO TRUDNEE USTANOVITX, CHTO $$ \eqalign{ \hbox{DYUZHINA DYUZHIN} &= \hbox{GROSS} \cr \hbox{ODINNADCATX PLYUS DVENADCATX} &= \hbox{DVADCATX TRI}\cr XLVII+IV&=LI\cr } $$ CHEM USTANOVITX, CHTO $$ \eqalign{ 12\times12&=144 \cr 11+12&=23 \cr 47+4&=51\cr } $$ TAK KAK POSLEDNIE TRI OTVETA MOZHNO POLUCHITX, PRIMENIV PROSTOJ NABOR PRAVIL, KOTORYMI MOZHET RUKOVODSTVOVATXSYA LYUBOJ VOSXMILETNIJ REBENOK. pRI MEHANICHESKIH MANIPULYACIYAH NAD CHISLAMI PREIMUSHCHESTVA DESYATICHNOJ SISTEMY SCHISLENIYA PROYAVLYAYUTSYA GORAZDO BOLEE OTCHETLIVO. uZHE V TECHENIE STOLETIJ MY RASPOLAGAEM MEHANICHESKIMI SUMMATORAMI, POKAZYVAYUSHCHIMI OTVET V OKOSHKE, POZADI KOTOROGO IMEETSYA NESKOLXKO KOLES S DESYATXYU RAZLICHNYMI PoLoZHeNIYAMI, PRICHEM KAZHDOE KOLESO V LYUBOM SVOEM POLOZHENII POKAZYVAET ODNU DESYATICHNUYU CIFRU. (tEPERX UZHE UZHE NE YAVLYAETSYA PROBLEMOJ POKAZATX "00000019", PRIBAVITX 4 I ZATEM POKAZATX "00000023"; BYLO BY PROBLEMOJ --- PO KRAJNEJ MERE ESLI POLXZOVATXSYA CHISTO MEHANICHESKIMI SREDSTVAMI --- POKAZATX VMESTO |TOGO "DEVYATNADCATX" I "DVADCATX TRI".) sUSHCHESTVENNOE SVOJSTVO TAKOGO KOLESA SOSTOIT V TOM, CHTO ONO OBLADAET DESYATXYU RAZLICHNYMI USTOJCHIVYMI POLOZHENIYAMI. tERMINOLOGICHESKI |TO VYRAZHAETSYA RAZNYMI SPOSOBAMI. nAPRIMER, KOLESO NAZYVAETSYA "PEREMENNOJ S DESYATXYU ZNACHENIYAMI", I ESLI MY HOTIM BOLXSHEJ TOCHNOSTI, TO DAZHE PERECHISLYAEM |TI ZNACHENIYA: OT 0 DO 9. zDESX KAZHDOE "POLOZHENIE" KOLESA OTOZHDESTVLYAETSYA SO "ZNACHENIEM" PEREMENNOJ. kOLESO NAZYVAETSYA "PEREMENNOJ", POTOMU CHTO, HOTYA EGO POLOZHENIYA I USTOJCHIVY, KOLESO MOZHET POVERNUTXSYA V DRUGOE POLOZHENIE: "ZNACHENIE" MOZHET IZMENITXSYA. (ya VYNUZHDEN OTMETITX, CHTO |TOT TERMIN NEUDACHEN PO KRAJNEJ MERE V DVUH OTNOSHENIYAH. vO-PERVYH, TAKOE KOLESO, KOTOROE (POCHTI) VSEGDA NAHODITSYA V ODNOM IZ SVOIH DESYATI POLOZHENIJ I, SLEDOVATELXNO, (POCHTI) VSEGDA PREDSTAVLYAET NEKOE ZNACHENIE, YAVLYAETSYA PONYATIEM, VESXMA OTLICHNYM OT TOGO, CHTO MATEMATIKI NAZYVAYUT "PEREMENNOJ", POSKOLXKU, KAK PRAVILO, MATEMATICHESKAYA PEREMENNAYA VOOBSHCHE NE PREDSTAVLYAET KAKOGO-LIBO KONKRETNOGO ZNACHENIYA. eSLI MY GOVORIM, CHTO DLYA LYUBOGO CELOGO CHISLA $n$ UTVERZHDENIE $n^2\ge0$ ISTINNO, TO ZDESX $n$ YAVLYAETSYA PEREMENNOJ SOVSEM DRUGOGO RODA. vO-VTORYH, V NASHEM KONTEKSTE MY ISPOLXZUEM TERMIN "PEREMENNAYA" DLYA TOGO, CHTO SUSHCHESTVUET VO VREMENI I CHXE ZNACHENIE, ESLI EGO NE TROGATX, OSTAETSYA POSTOYANNYM! tERMIN "IZMENYAEMAYA KONSTANTA" PODOSHEL BY LUCHSHE, NO MY NE STANEM VVODITX EGO, A BUDEM PRIDERZHIVATXSYA PROCHNO USTANOVIVSHEJSYA TRADICII.) dRUGOJ SPOSOB TERMINOLOGICHESKI OTRAZITX SUSHCHNOSTX TAKOGO KOLESA, KOTOROE (POCHTI) VSEGDA NAHODITSYA V ODNOM IZ DESYATI RAZLICHNYH POLOZHENIJ ILI "SOSTOYANIJ", SOSTOIT V TOM, CHTOBY POSTAVITX |TOMU KOLESU V SOOTVETSTVIE "PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ IZ DESYATI TOCHEK". zDESX KAZHDOE SOSTOYANIE (POLOZHENIE) SVYAZYVAETSYA S "TOCHKOJ", A SOBRANIE |TIH TOCHEK NAZYVAETSYA --- V SOOTVETSTVII S MATEMATICHESKOJ TRADICIEJ --- PROSTRANSTVOM ILI, ESLI MY HOTIM BOLXSHEJ TOCHNOSTI, "PROSTRANSTVOM SOSTOYANIJ". vMESTO TOGO CHTOBY GOVORITX, CHTO PEREMENNAYA OBLADAET (POCHTI) VSEGDA ODNIM IZ SVOIH VOZMOZHNYH ZNACHENIJ, MY MOZHEM TEPERX VYRAZITX TO ZHE, SKAZAV, CHTO SISTEMA, SOSTOYASHCHAYA IZ EDINSTVENNOJ PEREMENNOJ, NAHODITSYA (POCHTI) VSEGDA V ODNOJ IZ TOCHEK SVOEGO PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ. pROSTRANSTVO SOSTOYANIJ OPISYVAET STEPENX SVOBODY SISTEMY; BOLXSHE EJ NEKUDA PEREHODITX. oTVLECHEMSYA TEPERX OT OTDELXNO VZYATOGO KOLESA I SOSREDOTOCHIM NASHE VNIMANIE NA REGISTRE S VOSEMXYU TAKIMI KOLESAMI V STROKE. pOSKOLXKU KAZHDOE IZ |TIH KOLES NAHODITSYA V ODNOM IZ DESYATI RAZLICHNYH SOSTOYANIJ, |TOT REGISTR, RASSMOTRENNYJ KAK CELOE, NAHODITSYA V ODNOM IZ 100 000 000 VOZMOZHNYH RAZLICHNYH SOSTOYANIJ, KAZHDOE IZ KOTORYH ESTESTVENNO IDENTIFICIRUETSYA CHISLOM (A TOCHNEE, STROKOJ IZ VOSXMI CIFR), POKAZYVAEMYM V OKOSHKE. eSLI ZADANY SOSTOYANIYA VSEH KOLES, TO SOSTOYANIE REGISTRA V CELOM ODNOZNACHNO OPREDELENO; I OBRATNO, PO LYUBOMU SOSTOYANIYU REGISTRA V CELOM ODNOZNACHNO OPREDELYAETSYA SOSTOYANIE KAZHDOGO OTDELXNOGO KOLESA. v |TOM SLUCHAE MY GOVORIM (V PREDYDUSHCHEJ GLAVE NAMI UZHE ISPOLXZOVAN |TOT TERMIN), CHTO POLUCHAEM (ILI STROIM) PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ REGISTRA V CELOM, FORMIRUYA "DEKARTOVO PROIZVEDENIE" PROSTRANSTV SOSTOYANIJ VOSXMI OTDELXNYH KOLES. oBSHCHEE CHISLO TOCHEK V |TOM PROSTRANSTVE SOSTOYANIJ YAVLYAETSYA PROIZVEDENIEM CHISEL TOCHEK V TEH PROSTRANSTVAH SOSTOYANIJ, IZ KOTORYH ONO POSTROENO (IMENNO PO|TOMU ONO NAZYVAETSYA DEKARTOVYM \emph{PROIZVEDENIEM}). v ZAVISIMOSTI OT TOGO, CHTO NAS INTERESUET V |TOM PREDMETE, MY LIBO RASSMATRIVAEM TAKOJ REGISTR KAK EDINUYU PEREMENNUYU S $10^8$ RAZLICHNYMI VOZMOZHNYMI ZNACHENIYAMI, LIBO KAK SOSTAVNUYU PEREMENNUYU, SOSTAVLENNUYU IZ VOSXMI RAZLICHNYH PEREMENNYH, NAZYVAEMYH "KOLESAMI", S DESYATXYU ZNACHENIYAMI. eSLI MY INTERESUEMSYA TOLXKO POKAZYVAEMYMI ZNACHENIYAMI, TO BUDEM, PO-VIDIMOMU, RASSMATRIVATX REGISTR KAK NEDELIMOE PONYATIE, TOGDA KAK INZHENER-|KSPLUATACIONNIK, KOTOROMU NUZHNO ZAMENITX KOLESO SO SLOMANNYM ZUBCOM, BUDET, KONECHNO RASSMATRIVATX REGISTR KAK SOSTAVNOJ OB®EKT. mY NABLYUDALI DRUGOJ PRIMER POSTROENIYA PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ KAK DEKARTOVA PROIZVEDENIYA BOLEE MELKIH PROSTRANSTV SOSTOYANIJ, KOGDA OBSUZHDALI ALGORITM eVKLIDA I OBNARUZHILI, CHTO POLOZHENIE FISHKI GDE-TO NA LISTE MOZHNO POLNOSTXYU IDENTIFICIROVATX S POMOSHCHXYU DVUH POLUFISHEK, KAZHDAYA IZ KOTORYH NAHODITSYA GDE-TO NA SVOEJ OSI, T. E. S POMOSHCHXYU KOMBINACII (A TOCHNEE, UPORYADOCHENNOJ PARY) DVUH PEREMENYH "$x$" I "$y$". (iDEYA IDENTIFIKACII POLOZHENIYA TOCHKI NA PLOSKOSTI ZNACHENIYAMI EE KOORDINAT $x$ I $y$ IDET OT dEKARTA, KOTORYJ RAZRABOTAL ANALITICHESKUYU GEOMETRIYU I V CHESTX KOTOROGO NAZVANO DEKARTOVO PROIZVEDENIE.) fISHKA NA LISTE BYLA VVEDENA DLYA DEMONSTRACII TOGO FAKTA, CHTO RAZVIVAYUSHCHIJSYA VYCHISLITELXNYJ PROCESS --- TAKOJ, KAK VYPOLNENIE ALGORITMA eVKLIDA,--- MOZHNO RASSMATRIVATX KAK SISTEMU, DVIZHUSHCHUYUSYA PO SVOEMU PROSTRANSTVU SOSTOYANIJ. v SOOTVETSTVII S |TOJ METAFOROJ NACHALXNOE SOSTOYANIE IMENUETSYA TAKZHE "ISHODNOJ TOCHKOJ". v |TOJ KNIGE MY BUDEM PREIMUSHCHESTVENNO --- A MOZHET BYTX, DAZHE ISKLYUCHITELXNO --- ZANIMATXSYA SISTEMAMI, PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ KOTORYH BUDUT V KONECHNOM ITOGE RASSMATRIVATXSYA KAK NEKIE DEKARTOVY PROIZVEDENIYA. rAZUMEETSYA, NE SLEDUET USMATRIVATX V |TOM MOE MNENIE, BUDTO BY PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, POSTROENNYE S POMOSHCHXYU DEKARTOVYH PROIZVEDENIJ, YAVLYAYUTSYA OBSHCHIM I OKONCHATELXNYM RESHENIEM VSEH NASHIH PROBLEM; YA OTLICHNO ZNAYU, CHTO |TO NE TAK. iZ DALXNEJSHEGO STANET OCHEVIDNYM, POCHEMU ONI ZASLUZHIVAYUT STOLX BOLXSHOGO NASHEGO VNIMANIYA I V TO ZHE VREMYA POCHEMU |TO PONYATIE IGRAET STOLX GLAVENSTVUYUSHCHUYU ROLX VO MNOGIH YAZYKAH PROGRAMMIROVANIYA. pREZHDE CHEM PRODOLZHITX RASSUZHDENIYA, OTMECHU ODNU PROBLEMU, S KOTOROJ NAM PRIDETSYA STOLKNUTXSYA. kOGDA MY oBRAZUEM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ, STROYA DEKARTOVO PROIZVEDENIE, TO VOVSE NE OBYAZATELXNO, CHTO NAM OKAZHUTSYA POLEZNYMI VSE EGO TOCHKI. tIPICHNYM PRIMEROM |TOMU YAVLYAETSYA HARAKTERISTIKA DNEJ DANNOGO GODA S POMOSHCHXYU PARY (MESYAC, DENX), GDE "MESYAC" --- PEREMENNAYA S 12 ZNACHENIYAMI (OT "YANV" DO "DEK"), A "DENX" --- PEREMENNAYA S 31 ZNACHENIYAMI (OT 1 DO 31). v |TOM SLUCHAE MY OBRAZUEM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ IZ 372 TOCHEK, TOGDA KAK NIKAKOJ GOD NE SODERZHIT BOLEE CHEM 366 DNEJ. chTO NAM DELATX, SKAZHEM, S PAROJ (IYUN, 31)? lIBO MY ZAPRESHCHAEM EE, VVODYA PONYATIE "NEVOZMOZHNYH DAT" I TEM SAMYM SOZDAVAYA V NEKOTOROM SMYSLE VOZMOZHNOSTX VNUTRENNIH PROTIVORECHIJ V cISTEME, LIBO MY RAZRESHAEM EE KAK DRUGOJ VARIANT IMENI DLYA ODNOGO IZ "ISTINNYH" DNEJ, NAPRIMER, PRIRAVNIVAYA EE K (IYUL,1). fENOMEN "NEISPOLXZUEMYH TOCHEK PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ" VOZNIKAET VSYAKIJ RAZ, KOGDA CHISLO RAZLICHNYH VOZMOZHNYH ZNACHENIJ, KOTORYE MY ZHELAEM RASPOZNAVATX, OKAZYVAETSYA PROSTYM CHISLOM. sISTEMATIZACIYA, KOTORAYA AVTOMATICHESKI VVODITSYA, KOGDA MY STROIM PROSTRANSTVO SOSTOYANIJ KAK DEKARTOVO PROIZVEDENIE, POZVOLYAET NAM IDENTIFICIROVATX OTDELXNO VZYATUYU TOCHKU. nAPRIMER, YA MOGU UTVERZHDATX, CHTO MOJ DENX ROZHDENIYA --- |TO (MAJ, 11). oDNAKO BLAGODARYA dEKARTU NAM IZVESTEN TEPERX I DRUGOJ SPOSOB FIKSACII |TOGO FAKTA: MOJ DENX ROZHDENIYA PRIHODITSYA NA TU DATU (MESYAC, DENX), KOTORAYA SOOTVETSTVUET RESHENIYU URAVNENIYA% \note{zDESX I DALEE V MATEMATICHESKIH FORMULAH ISPOLXZUYUTSYA DLYA OBOZNACHENIYA LOGICHESKIH OPERACIJ SIMVOLY {\bf and} (KON®YUNKCIYA), {\bf or} (DIZ®YUNKCIYA) I {\bf non} (OTRICANIE).--- {\sl pRIM. PEREV.} } $$ (\var{MESYAC}=\var{MAJ}) \and (\var{DENX} = 11) $$ pRIVEDENNOE VYSHE URAVNENIE IMEET TOLXKO ODNO RESHENIE I PO|TOMU PREDSTAVLYAET SOBOJ NESKOLXKO USLOZHNENNYJ SPOSOB UKAZANIYA |TOGO EDINSTVENNOGO DNYA V GODU. oDNAKO PREIMUSHCHESTVO ISPOLXZOVANIYA URAVNENIYA SOSTOIT V TOM, CHTO ONO POZVOLYAET NAM OHARAKTERIZOVATX MNOZHESTVO VSEH EGO RESHENIJ, I TAKOE MNOZHESTVO MOZHET SODERZHATX ZNACHITELXNO BOLXSHE CHEM ODNU TOCHKU. tRIVIALXNYM PRIMEROM MOZHET SLUZHITX OPREDELENIE ROZHDESTVA: $$ (\var{MESYAC}=\var{DEK}) \and ((\var{DENX}=25) \or (\var{DENX}=26)) $$ bOLEE PRIMECHATELXNYM PRIMEROM YAVLYAETSYA OPREDELENIE MNOZHESTVA DAT, V KOTORYE VYPLACHIVAETSYA MOE EZHEMESYACHNOE ZHALOVANXE: $$ (\var{DENX}=23) $$ I RAZUMEETSYA, |TO GORAZDO BOLEE KOMPAKTNOE OPISANIE, CHEM PERECHISLENIE VIDA "(YANV, 23), (FEV, 23), (MAR, 23)" I T. D. iZ SKAZANNOGO VYSHE YAVSTVUET, CHTO STEPENX LEGKOSTI, S KOTOROJ MY ISPOLXZUEM TAKIE URAVNENIYA DLYA HARAKTERISTIKI MNOZHESTV SOSTOYANIJ, ZAVISIT OT TOGO, NASKOLXKO MNOZHESTVA, KOTORYE MY HOTIM OHARAKTERIZOVATX, "SOOTVETSTVUYUT" STRUKTURE PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, T. E. "SOOTVETSTVUYUT" VVEDENNOJ SISTEME KOORDINAT. nAPRIMER, V RASSMOTRENNOJ VYSHE SISTEME KOORDINAT BYLO BY NESKOLXKO NEUDOBNO OHARAKTERIZOVATX MNOZHESTVO DNEJ, KOTORYE PRIHODYATSYA NA TOT ZHE DENX NEDELI, CHTO I (YANV, 1). vO MNOGIH SLUCHAYAH PROGRAMMISTU PRIHODITSYA PRI RESHENII ZADACH VVODITX PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ S PODHODYASHCHIMI DLYA EGO CELEJ SISTEMAMI KOORDINAT; PRICHEM DOPOLNITELXNYE TREBOVANIYA CHASTO VYNUZHDAYUT EGO VVODITX TAKZHE PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, V KOTORYH CHISLO TOCHEK VO MNOGO RAZ BOLXSHE, CHEM CHISLO RAZLICHNYH VOZMOZHNYH ZNACHENIJ, KOTORYE ON DOLZHEN RASPOZNAVATX. dRUGOJ PRIMER ISPOLXZOVANIYA URAVNENIYA DLYA HARAKTERISTIKI MNOZHESTVA SOSTOYANIJ VSTRECHALSYA V NASHEM OPISANII KARTONNOJ MASHINY DLYA VYCHISLENIYA $\nod(X, Y)$, GDE $$ x=y $$ HARAKTERIZUET VSE TOCHKI TOGO, CHTO MY NAZVALI "LINIEJ OTVETA"; |TO MNOZHESTVO KONECHNYH SOSTOYANIJ, T. E. VYCHISLENIE PREKRASHCHAETSYA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DOSTIGNUTO KAKOE-NIBUDX SOSTOYANIE, UDOVLETVORYAYUSHCHEE URAVNENIYU $x=y$. pOMIMO KOORDINAT PROSTRANSTVA SOSTOYANIJ, T. E. PEREMENNYH, V TERMINAH ZNACHENIJ KOTORYH VYRAZHAETSYA HOD VYCHISLITELXNOGO PROCESSA, MY VSTRECHALI V NASHIH URAVNENIYAH KONSTANTY (TAKIE, KAK "MAJ" ILI "23"). kROME TOGO, MOZHNO POLXZOVATXSYA TAK NAZYVAEMYMI "SVOBODNYMI PEREMENNYMI", KOTORYE MOZHNO PREDSTAVITX SEBE KAK "NESPECIFICIROVANNYE KONSTANTY". mY PRIMENYAEM IH SPECIALXNO DLYA OBOZNACHENIYA SVYAZEJ RAZLICHNYH SOSTOYANIJ, KOTORYE MOGUT VSTRECHATXSYA NA POSLEDOVATELXNYH SHAGAH \emph{ODNOGO I TOGO ZHE} VYCHISLITELXNOGO PROCESSA. nAPRIMER, VO VREMYA NEKOEGO KONKRETNOGO VYPOLNENIYA ALGORITMA eVKLIDA S NACHALXNOJ TOCHKOJ $(X, Y)$ VSE SOSTOYANIYA $(x,y)$ BUDUT UDOVLETVORYATX FORMULE $$ \nod(x,y)=\nod(X, Y) \and 0