ya rasstoyaniya ot tochki A do osi h na chertezhe (ris. 20)
nado vzyat' otrezok 1H.
17
Analogichno, rasstoyanie ot tochki A do osi u vyrazhaetsya otrezkom 1u i
rasstoyanie ot tochki A do osi z -- otrezkom /z (ris. 20).
Itak, rasstoyaniya tochki ot ploskostej proekcij i ot osej proekcij mogut
byt' izmereny neposredstvenno, kak opredelennye otrezki na chertezhe. Pri etom
dolzhen byt' uchten ego masshtab.
Rassmotrim primery postroeniya tret'ej proekcii tochki po dvum zadannym.
Pust' (ris. 21) tochka V zadana ee frontal'noj i gorizontal'noj proekciyami.
Vvedya os' z (ris. 22:
Ris. 21 Ris. 22 Ris. 23
rasstoyanie OVH proizvol'no, esli net kakih-libo uslovij) i provedya
cherez V" liniyu svyazi, perpendikulyarnuyu k osi , otkladyvaem na nej vpravo ot
etoj osi otrezok B'"B-, ravnyj V'VH.
Na ris. 23 postroena proekciya S' po zadannym proekciyam S" i S'" (hod
postroeniya ukazan strelkami).
VOPROSY K §§ 4-5
1. CHto takoe "sistema ·, 2" i kak nazyvayutsya ploskosti proekcij i
.,?
2. CHto nazyvaetsya os'yu proekcij?
3. Kak poluchaetsya chertezh tochki v sisteme ,, ..?
4. CHto takoe "sistema ·, .%, YAe" i kak nazyvaetsya ploskost' proekcij
,?
5. CHto takoe "liniya svyazi"?
6. Kak dokazyvaetsya, chto chertezh, soderzhashchij dve svyazannye mezhdu soboj
proekcii v vide tochek, vyrazhaet nekotoruyu tochku?
7. Kak stroitsya profil'naya proekciya tochki po ee frontal'noj i
gorizontal'noj proekciyam?
§ 6. ORTOGONALXNYE PROEKCII I SISTEMA PRYAMOUGOLXNYH KOORDINAT
Model' polozheniya tochki v sisteme l1g 2, 3 (ris. 16) analogichna
modeli, kotoruyu mozhno postroit', znaya pryamougol'nye koordinaty 1)
etoj tochki, t. e. chisla, vyrazhayushchie ee rasstoyaniya ot treh vzaimno
perpendikulyarnyh ploskostej -- ploskostej koordinat. Pryamye, po kotorym
peresekayutsya ploskosti koordinat, nazyvayutsya osyami koordinat. Tochka
peresecheniya osej koordinat nazyvaetsya nachalom koordinat i oboznachaetsya
bukvoj O 2). Dlya osej koordinat budem primenyat' oboznacheniya,
pokazannye na ris. 16.
Ploskosti koordinat v svoem peresechenii obrazuyut vosem' trehgrannyh
uglov, delya prostranstvo na vosem' chastej -- vosem' oktantov 3).
Na ris. 16 izobrazhen odin iz oktantov. Pokazano obrazovanie otrezkov,
opredelyayushchih koordinaty nekotoroj tochki A: iz tochki A provedeny
perpendikulyary k kazhdoj iz ploskostej
1) Inache -- "dekartovy koordinaty". Sistema koordinat
Dekarta mozhet byt' pryamougol'noj i kosougol'noj; zdes' rassmatrivaetsya
pryamougol'naya sistema. Dekart (1596--1650) - francuzskij matematik i
filosof.
2) Nachal'naya bukva latinskogo slova "origo" -- nachalo.
3) Octo (lat.) -- vosem'.
18
koordinat. Pervaya koordinata tochki A, nazyvaemaya ee abscissoj
1), vyrazitsya chislom, poluchennym ot sravneniya otrezka AA"' (ili
ravnogo emu otrezka OAH na osi h) s nekotorym otrezkom, prinyatym za edinicu
masshtaba. Takzhe otrezok AA" (ili ravnyj emu otrezok OAu na osi u) opredelit
.vtoruyu koordinatu tochki A, nazyvaemuyu ordinatoj 2); otrezok AA'
(ili ravnyj emu otrezok OAZ na osi ) - tret'yu koordinatu, nazyvaemuyu
applikatoj 3).
Pri bukvennom oboznachenii koordinat abscissa ukazyvaetsya bukvoj h,
ordinata -- bukvoj u, applikata -- bukvoj z.
Postroennyj na ris. 16 parallelepiped nazyvayut parallelepipedom
koordinat dannoj tochki A. Postroenie tochki po zadannym ee koordinatam
svoditsya k postroeniyu treh reber parallelepipeda koordinat, sostavlyayushchih
trehzvennuyu lomanuyu liniyu (ris. 24). Nado otlozhit' posledovatel'no otrezki
OAH, AHA' i A'A ili OAU, AuA'" i A'"A i t. p., t. e. tochku A mozhno poluchit'
shest'yu kombinaciyami, v kazhdoj iz kotoryh dolzhny byt' vse tri koordinaty.
Na ris. 24 dlya naglyadnogo izobrazheniya vzyata izvestnaya iz kursa chercheniya
srednej shkoly proekciya, nazyvaemaya kabinetnoj 4). V nej osi h i z
vzaimno perpendikulyarny, a os' u yavlyaetsya prodolzheniem bissektrisy ugla z.
V kabinetnoj proekcii otrezki, otkladyvaemye po osi u ili parallel'no ej,
sokrashchayutsya vdvoe.
Ris. 25
Ris. 16 pokazyvaet, chto postroenie proekcij tochki soprovozhdaetsya
postroeniem otrezkov, opredelyayushchih koordinaty etoj tochki, esli prinyat'
ploskosti proekcij za ploskosti koordinat. Kazhdaya iz proekcij tochki A
opredelyaetsya dvumya koordinatami etoj tochki; naprimer, polozhenie proekcii A'
opredelyaetsya koordinatami h i u.
Polozhim, dana tochka A (7; 3; 5); eta zapis' oznachaet, chto tochka A
opredelyaetsya koordinatami h = 7, u= 3, z = 5. Esli masshtab dlya postroeniya
chertezha zadan ili vybran, to (ris. 25) otkladyvayut na osi h ot nekotoroj
tochki O otrezok OAH, ravnyj 7 edinicam, i na perpendikulyare k etoj osi,
provedennom iz tochki Ah, otrezki AHA' = 3 ed. i AHA" = 5 ed. Poluchaem
proekcii A' i A". Dlya postroeniya dostatochno vzyat' tol'ko os' h.
Prinimaya osi proekcij za osi koordinat, mozhno najti koordinaty tochki po
dannym ee proekciyam. Naprimer, na ris. 18 otrezok OAH vyrazhaet abscissu
tochki A, otrezok AHA' -- ee ordinatu, otrezok AHA" - applikatu.
Esli zadaetsya lish' abscissa, to etomu sootvetstvuet ploskost',
parallel'naya ploskosti, opredelyaemoj osyami u i z. Dejstvitel'no, takaya
ploskost' yavlyaetsya geometricheskim mestom tochek, u kotoryh abscissy ravny
zadannoj velichine (ris. 26, ploskost' a).
') Abscissa (lat.) - otsechennaya, otdelennaya.
2) Ordinata (lat.) -- ot ordinatim ducta (lat.) -- podryad
provedennaya.
3) Applicata (lat.) -- prilozhennaya.
*) Kabinetnaya proekciya otnositsya k chislu kosougol'nyh (podrobnee sm. v
§ 75).
19
Esli zadayutsya dve koordinaty, to etim opredelyaetsya pryamaya, parallel'naya
sootvetstvuyushchej koordinatnoj osi. Naprimer, imeya zadannymi abscissu i
ordinatu, poluchaem pryamuyu, parallel'nuyu osi z (na ris. 26 eto pryamaya AV).
Ona yavlyaetsya liniej peresecheniya dvuh ploskostej i , gde --
geometricheskoe mesto tochek s ravnymi ordinatami. Pryamaya AV sluzhit
geometricheskim mestom tochek, u kotoryh ravny mezhdu soboj abscissy i ravny
mezhdu soboj ordinaty.
Ris. 26
Esli zadayutsya vse tri koordinaty, to etim opredelyaetsya tochka. Na ris.
26 pokazana tochka K, poluchennaya v peresechenii treh ploskostej, iz kotoryh
est' geometricheskoe mesto tochek po zadannoj abscisse, -- po zadannoj
ordinate i -- po zadannoj applikate.
Tochka mozhet nahodit'sya v lyubom iz vos'mi oktantov (numeraciyu oktantov
sm. na ris. 27). Sledovatel'no, nuzhno znat' ne tol'ko rasstoyanie dannoj
tochki ot toj ili inoj ploskosti koordinat, no i napravlenie, po kotoromu
nado eto rasstoyanie otlozhit'; dlya etogo koordinaty tochek vyrazhayut
otnositel'nymi chislami. My budem primenyat' dlya otscheta koordinat sistemu
znakov, ukazannuyu na ris. 27, t. e. budem primenyat' sistemu koordinat,
nazyvaemuyu "pravoj". Pravaya sistema harakterizuetsya tem, chto povorot na 90°
"polozhitel'nogo" lucha Oh (ris. 27) v storonu "polozhitel'nogo" lucha Ou
proishodit protiv chasovoj strelki (pri uslovii, chto my smotrim na ploskost'
hOu sverhu).
V sisteme, nazyvaemoj "levoj", "polozhitel'nyj" luch Oh napravlen ot
tochki O vpravo.
Pri izobrazhenii tel obychno prinimayut v kachestve ploskostej koordinat ne
ploskosti proekcij, a sistemu nekotoryh treh vzaimno perpendikulyarnyh
ploskostej, neposredstvenno svyazannyh s dannym telom, naprimer grani
pryamougol'nogo parallelepipeda, dve grani i ploskost' simmetrii i t. p. Dlya
takoj sistemy koordinat vstrechaetsya nazvanie "vnutrennyaya".
§ 7. TOCHKA V CHETVERTYAH I OKTANTAH PROSTRANSTVA
V § 4 bylo skazano, chto ploskosti 1 i 2 pri peresechenii obrazuyut
chetyre dvugrannyh utla; ih nazyvayut kvadrantami ili chetvertyami prostranstva.
Na ris. 28 ukazan prinyatyj poryadok otscheta chetvertej. Os' proekcij delit
kazhduyu iz ploskostej 1 i 2 na "poly" (poluploskosti), uslovno oboznachennye
1 i -- 1, 2 i -- 2. Esli, naprimer, tochka raspolozhena vo vtoroj
chetverti, to gorizontal'naya proekciya poluchaetsya na -- 1, a frontal'naya --
na 2.
V dal'nejshem izlozhenii za osnovu dlya postroeniya chertezha tochki v lyuboj
iz chetyreh chetvertej my budem brat' risunok po tipu 13 (sm. s. 16).
Schitayut, chto zritel' vsegda nahoditsya v pervoj chetverti (uslovno -- na
beskonechno bol'shom rasstoyanii ot 1 i ot 2). Ploskosti proekcij schitayut
neprozrachnymi; poetomu vidimy tol'ko tochki, raspolozhennye v pervoj chetverti,
a takzhe na poluploskostyah i 2.
20
Na ris. 13 dan chertezh dlya sluchaya, kogda tochka raspolozhena v pervoj
chetverti (ris. 29). Esli tochka odinakovo udalena ot i 2, to A'AH = A"AH.
Na ris. 30 pokazana tochka V, raspolozhennaya vo vtoroj chetverti, t. e.
nad -- % i szadi 2 (ris. 29). Tochka V blizhe k 2, chem k -- ,: na chertezhe
V'VH < V"VZH. Tam zhe
III
Ris. 28 Ris. 29
pokazana tochka S, odinakovo udalennaya ot -! i ot 2: proekcii S" i S'
sovpadayut mezhdu soboj.
Na ris. 31 dan chertezh dlya sluchaya, kogda tochka D raspolozhena v tret'ej
chetverti. Gorizontal'naya proekciya poluchaetsya nad os'yu proekcij, frontal'naya
proekciya -- pod os'yu proekcij. Tak kak D'DX > D"DX, to tochka D
raspolozhena ot --2 dal'she, chem ot --.
Na ris. 32 dany tochki i F, raspolozhennye v chetvertoj chetverti. Tochka
E blizhe k ,, chem k -- 2 (ris. 29): E"EH < E'EH. Tochka F odinakovo
udalena ot -- 2 i ot ..: F'FX = F"FX.
Na ris. 33 v sisteme ,, 2 izobrazheny tochki A i V, raspolozhennye
simmetrichno otnositel'no pl. ,. Na chertezhe (ris. 33, sprava) gorizontal'nye
proekcii
Ris. 31 Ris. 33
takih tochek sovpadayut odna s drugoj, frontal'nye zhe proekcii nahodyatsya
na ravnyh rasstoyaniyah ot osi proekcij: A"AH = V"VH.
V praktike chercheniya imeet mesto primenenie pervoj i tret'ej chetvertej
prostranstva. Podrobnee sm. v § 41.
Na ris. 27 bylo pokazano, chto ploskosti koordinat v svoem peresechenii
obrazuyut vosem' trehgrannyh uglov -- vosem' oktantov. Numeraciya oktantov
ukazana na ris.27. Kak vidno iz ris.28, chetverti numeruyutsya kak I--IV
oktanty.
21
Primenyaya dlya otscheta koordinat tochki sistemu znakov, ukazannuyu na ris.
27, poluchim sleduyushchuyu tablicu: |
|
Znaki koordinat |
|
Znaki koordinat |
|
|
|
U |
|
|
|
U |
z |
|
I |
+ |
+ |
+ |
V |
|
+ |
+ |
|
|
+ |
_ |
+ |
VI |
-- |
-- |
+ |
|
III |
+ |
_ |
_ |
VII |
_ |
_ |
_ |
|
IV |
+ |
+ |
- |
VIII |
- |
+ |
- |
Naprimer, tochka (--20; + 15; --18) nahoditsya v vos'mom oktante.
Sovmeshchenie ploskostej proizvoditsya soglasno ris. 34, t. e. pl. 3 otvoditsya
protiv chasovoj strelki, esli smotret' na pl. ! po napravleniyu ot +z k O.
Ris. 34
Na ris. 34 dany takzhe chertezhi tochek: A, raspolozhennoj v pervom oktante,
i S, raspolozhennoj v sed'mom oktante; proekcii odnoj i toj zhe tochki ne mogut
nalozhit'sya odna na druguyu. Dlya ostal'nyh oktantov dve ili vse tri (dlya
vtorogo i vos'mogo oktantov) proekcii odnoj i toj zhe tochki mogut okazat'sya
nalozhennymi drug na druga.
VOPROSY K §§ 6-7
1. CHto takoe pryamougol'nye dekartovy koordinaty tochki?
2. V kakoj posledovatel'nosti zapisyvayutsya koordinaty v oboznachenii
tochki?
3. CHto takoe kvadranty ili chetverti prostranstva?
4. CHto takoe oktanty?
5. Kakie znaki imeyut koordinaty tochki, raspolozhennoj v sed'mom oktante?
6. V chem razlichie mezhdu "pravoj" i "levoj" sistemami koordinat?
CHem razlichayutsya mezhdu soboj chertezhi tochek, iz kotoryh odna raspolozhena
v pervoj chetverti, a drugaya -- v tret'ej?
§ 8. OBRAZOVANIE DOPOLNITELXNYH SISTEM PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Do sih por my vstrechalis' s dvumya sistemami ploskostej proekcij -- p1g
2 i ·, -, 3. V sluchae neobhodimosti mozhno obrazovat' i drugie sistemy.
Naprimer, vvedya v sistemu ^ - nekotoruyu pl. 41 (ris.35), my poluchim,
pomimo sistemy -, 2 s proekciyami A' i A" tochki A, eshche sistemu ,, 4 s
proekciyami A i toj zhe tochki A.
Obrazuetsya li pri etom takzhe sistema 2, 4? Net: ploskosti 2 i 4 ne
perpendikulyarny odna k drugoj.
22
Pl. 1 vhodit v obe sistemy 1, 2 i 1, 4. Poetomu proekciya A' tochki
A (ris. 35) otnositsya i k sisteme 5 4. Pri proecirovanii zhe tochki A na
pl. 4 poluchaem tochku na rasstoyanii ot pl.
1; ravnom AA' i A"AH.
Ris. 35 Ris. 36 Ris. 37
Na ris. 36 ploskosti 1; 2 i 4 pokazany sovmeshchennymi v odnu ploskost'
--ploskost' chertezha; poluchennyj pri etom chertezh dan na ris. 37. Pomimo osi
2/ 1) vvedena eshche os' 4/1; ona vybiraetsya soglasno usloviyam,
vytekayushchim iz zadaniya, kak eto budet pokazano dal'she. Iz tochki A' provedena
perpendikulyarno k osi 4/1 liniya svyazi, na kotoroj otlozhen otrezok
, ravnyj otrezku A"AH, t. e. rasstoyaniyu v prostranstve ot
tochki A do pl. 1.
Ris. 38 Ris. 40
Na ris. 38 pokazan chertezh, v kotorom pomimo sistemy 5 2 dana eshche
sistema 2, 5, t. e. v sistemu Pc, 2 vvedena dopolnitel'naya pl. 5,
perpendikulyarnaya k 2. Teper' v obeih sistemah (p' 2 i 2, 5) soderzhitsya
pl. 2. Poetomu sohranyaetsya rasstoyanie tochki A imenno ot pl. 2 i na chertezhe
otrezok AvAxl dolzhen byt' vzyat ravnym otrezku A'AH.
Ochevidno, ploskost' 3 (ris. 15) mozhno istolkovat' kak dopolnitel'nuyu,
provedennuyu perpendikulyarno i k 2, i k nt. No pri etom obychno pomimo
sistemy 1; 2 rassmatrivayut eshche sistemu 2, 3. Po analogii s ris. 38 mozhno
bylo by pridat' ris. 22 formu, pokazannuyu na ris. 39 sleva, gde "' = =
V'VH. Esli zhe ispol'zovat' vspomogatel'nuyu pryamuyu po ris. 17 (prodolzhennuyu
bissektrisu ugla ), to postroenie prinimaet vid, ukazannyj na ris. 39
sprava. Mozhno li po-stup"t' analogichno pri postroenii, naprimer, proekcii
(ris. 37) ili (ris. 38)? Da; eto pokazano na
ris. 40 i 41. No zdes', konechno, ugol 45°, postroen-
Ris. 41
1) |to oboznachenie osi sootvetstvuet ranee prinyatomu -- h.
Pri vvedenii novoj osi, naprimer 4/1, ee oboznachenie - xt.
23
nyj na ris. 17, ne poluchaetsya. Kak vidno iz chertezhej na ris. 40 i 41,
nado provesti bissektrisu ugla, obrazuemogo osyami 2/ i K4/nt (ris. 40) i
osyami 2/ i -/5 (ris. 41).
No, kak bylo skazano na s. 23, predpochtitel'nymi yavlyayutsya postroeniya,
pokazannye na ris. 39 sleva i na ris. 37 i 38.
V dal'nejshem (§ 33) my vstretimsya eshche s drugimi primerami vvedeniya
dopolnitel'nyh ploskostej dlya obrazovaniya trebuemoj sistemy ploskostej
proekcij.
§ 9. CHERTEZHI BEZ UKAZANIYA OSEJ PROEKCIJ
V dal'nejshem izlozhenii naryadu s chertezhami, soderzhashchimi osi proekcij,
budut primenyat'sya chertezhi bez ukazaniya osej.
Iz sravneniya chertezhej na ris. 42 sleduet, chto v odnom sluchae polozhenie
ploskostej 1 i 2 ustanovleno provedeniem linii ih peresecheniya i chto
ustanovleny rasstoyaniya tochki A ot etih ploskostej. Na vtorom zhe chertezhe na
ris. 42 vopros o rasstoyaniyah tochki A ot ploskostej , i 2 otpadaet, tak kak
os' proekcij otsutstvuet; rassmatrivaetsya nekotoraya tochka A, zadannaya svoimi
proekciyami, bezotnositel'no k tomu, gde nahodyatsya ploskosti proekcij. Pri
etom, konechno, tem bol'shee znachenie priobretaet liniya svyazi proekcij, ee
napravlenie i pravil'noe provedenie.
Mozhno li, imeya chertezh bez ukazaniya osi proekcij, vvesti etu os' i tem
zadat' rasstoyaniya tochki ot uslovno vybrannyh ploskostej 1 i 2? Da, mozhno.
Vvodya os', nado ee provesti obyazatel'no perpendikulyarno k linii svyazi, no
bezrazlichno,
Ris. 43
v kakoj imenno tochke na etoj linii (esli ne ukazyvaetsya kakoe-libo
uslovie). Pri etom polozhenie proekcij ne izmenitsya. Dejstvitel'no, provedya
os' proekcij, my vybiraem nekotoroe polozhenie dvugrannogo ugla ,2
otnositel'no dannoj tochki A (ris. 43). Perenesenie osi na chertezhe vverh ili
vniz sootvetstvuet parallel'nomu peremeshcheniyu v prostranstve dvugrannogo ugla
2 v novoe polozhenie (na ris. 43 polozhenie 45) v napravlenii
bissektornoj ploskosti dvugrannogo ugla1), smezhnogo s uglom 12.
Vvedenie osi proekcij (a eto delaetsya obychno v sootvetstvii s
kakim-libo usloviem) bylo pokazano na ris. 37 i 38: osi p3/ 1 i 2/5.
Zdes' osi byli nuzhny dlya postroeniya: ot nih otschityvalis' razmery. Voobshche,
osi, esli ih rassmatrivat' v pervonachal'nom znachenii linij peresecheniya
ploskostej proekcij, pomogayut predstavleniyu prostranstvennoj kartiny po
chertezhu.
Bazy otscheta razmerov yavlyayutsya neot®emlemoj sostavlyayushchej tehnicheskih
chertezhej; vybor polozheniya baz ne yavlyaetsya ogranichennym i opredelyaetsya,
ishodya iz neobhodimosti i celesoobraznosti.
1) Bissektornaya ploskost' dvugrannogo ugla -- ploskost',
prohodyashchaya cherez rebro dvugrannogo ugla i delyashchaya ego popolam. Bissektor
(lat.) -- nadvoe rassekayushchij.
24
Na ris. 44 sleva pokazano, kak ustanavlivaetsya raznost' rasstoyanij
tochek A i V ot ploskostej proekcij p' 2 i 3. CHertezh na ris. 44 sprava dan
s osyami proekcij.
Ris. 44
V dannom primere raznost' rasstoyanij tochek ot pl. opredelyaetsya
otrezkom A"1, ravnym A"AH -- V"VH ili A'"3, ot pl. 2 -- otrezkom V'2,
ravnym V'VH -- A'AH ili V'"3, ot pl. 3 -- otrezkom V"1, ravnym A"Ag -- V"V2
ili A'2.
VOPROSY K §§ 8-9
1. Kak obrazuyutsya sistemy ploskostej proekcij?
2. Kakomu usloviyu dolzhna otvechat' ploskost', vvodimaya v sistemu ,, .,
v kachestve dopolnitel'noj ploskosti proekcij?
3. Kak stroitsya proekciya tochki, zadannoj v sisteme ·, 2 na m. it.,,
perpendikulyarnojk pl. ·?
4. Ustanavlivayutsya li rasstoyaniya tochki ot ploskostej proekcij pri
nalichii osi proekcij?
5. Kak sleduet ponimat' chertezh tochki pri otsutstvii osi proekcij?
6. Kakoe naznachenie imeyut osi /, i -/5; na ris. 40 i 41?
7. Kak ustanavlivaetsya na chertezhe v sisteme ,, 2 rasstoyanie tochki ot
pl. , i ot pl. 2?
§ 10. PROEKCII OTREZKA PRYAMOJ LINII
Polozhim, chto dany frontal'nye i gorizontal'nye proekcii tochek A i V
(ris. 45). Provedya cherez odnoimennye proekcii etih tochek pryamye linii, my
poluchaem proekcii otrezka AV -- frontal'nuyu (A"V") i gorizontal'nuyu
(A'V1)').
Mozhno li utverzhdat', chto takoj chertezh (ris. 45) vyrazhaet imenno otrezok
pryamoj linii? Da; esli predstavit' sebe (ris. 46), chto cherez A'V' i cherez
A"V" provedeny proeciruyushchie ploskosti (t. e. perpendikulyarnye sootvetstvenno
k 1 i k 2), to v peresechenii etih ploskostej poluchaetsya pryamaya i ee
otrezok AV. Pri etom tochka, zadannaya svoimi proekciyami na A'V' i na A"V",
prinadlezhit otrezku AV.
Na ris. 47 dan chertezh otrezka AV v sisteme 1, 2, 3· Proekcii A'" i
V'" postroeny tak, kak eto bylo pokazano na ris. 18 dlya odnoj tochki A.
Tochki A i V nahodyatsya na raznyh rasstoyaniyah ot kazhdoj iz ploskostej
·,, 2 i 3, t. e. pryamaya AV ne parallel'na ni odnoj iz nih. Pri etom ni
odna iz proekcij pryamoj ne parallel'na osi proekcij i ne perpendikulyarna k
nej. Takaya pryamaya nazyvaetsya pryamoj obshchego polozheniya.
25
Ris. 45 Ris. 46 Ris. 47
Kazhdaya iz proekcij men'she samogo otrezka: A'V' < AV, A"V" < AV,
A'"V'" < < AV. Oboznachaya ugly mezhdu pryamoj i ploskostyami 1; 2 i 3
sootvetstvenno cherez 1, 2 i 3, poluchim
A'V' = ABcos 1, A" V" = AV cos 2, A'" V'" = ABcos 3.
Esli A'V' = A"V" = A"'V'", to pryamaya obrazuet s ploskostyami proekcij
ravnye mezhdu soboj ugly (~ 35°)1); pri etom kazhdaya iz proekcij
pryamoj raspolozhena
pod uglom 45° k sootvetstvuyushchim osyam proek-cij ili liniyam svyazi mezhdu
proekciyami.
Dejstvitel'no, esli (ris. 48) A'V" = A'V' i A'V' = A'"V'", to figura
A"V"V'A' - ravnobochnaya trapeciya i V"1 = V'2, otkuda V"'3 = A'"3, t. e. ugol
A'"V"'3 = 45°, a tak kak figura A"V"V'"A"' - parallelogramm, to kazhdyj iz
uglov V"A"1 i V'A'2 raven 45°.
Kak postroit' na chertezhe bez osej proekcij, naprimer, profil'nuyu
proekciyu otrezka pryamoj linii? Postroenie pokazano na ris. 49, gde sleva dan
ishodnyj chertezh otrezka AV pryamoj obshchego polozheniya, v seredine pokazano
primenenie vspomogatel'noj pryamoj, provedennoj pod uglom 45°· k napravleniyu
linii svyazi V"V', a sprava -- postroenie v raznosti rasstoyanij tochek A i V
ot pl. 2, t. e. po otrezku : zadavshis' polozheniem hotya by proekcii A'"
(na linii svyazi A"A'"), otkladyvaem A'"2 = i, provedya iz tochki 2
perpendikulyar do peresecheniya s liniej svyazi proekcij V" i V'", nahodim
polozhenie proekcii V'".
Ris. 49
1) Vyvod sm. v § 13.
26
§ 11. OSOBYE (CHASTNYE) POLOZHENIYA PRYAMOJ LINII OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ
PROEKCIJ
Pryamaya liniya mozhet zanimat' otnositel'no ploskostej proekcij osobye
(inache, chastnye) polozheniya. Rassmotrim ih po sleduyushchim dvum priznakam:
A. Pryamaya parallel'na odnoj ploskosti proekcij.
B. Pryamaya parallel'na dvum ploskostyam proekcij.
V pervom sluchae odna proekciya otrezka pryamoj ravna samomu otrezku. Vo
vtorom sluchae dve proekcii otrezka ravny emu1).
A. Pryamaya parallel'na odnoj ploskosti proekcij
1. Pryamaya parallel'na pl. , (ris. 50). V takom sluchae frontal'naya
proekciya pryamoj parallel'na osi proekcij i gorizontal'naya proekciya otrezka
etoj pryamoj ravna samomu otrezku: A'V'=AV. Takaya pryamaya nazyvaetsya
gorizontal'noj.
Esli, naprimer, proekciya A"V" sovpadaet s os'yu proekcij, to otrezok AV
raspolozhen v pl. , 2).
Ris. 50
Ris. 51
2. Pryamaya parallel'na pl. 2 (ris. 51). V takom sluchae ee
gorizontal'naya proekciya parallel'na osi proekcij i frontal'naya proekciya
otrezka etoj pryamoj ravna samomu otrezku: C"D" = CD. Takaya pryamaya nazyvaetsya
frontal'noj.
Esli, naprimer, proekciya C'D' sovpadaet s os'yu proekcij, to eto
sootvetstvuet polozheniyu otrezka CD v samoj pl. 2.
') Vse eto, konechno, s uchetom masshtaba chertezha.
2) Na ris. 50 sprava dan chertezh bez ukazaniya osi proekcij.
To zhe sdelano na ris. 51.
27
3. Pryamaya parallel'na pl. 3 (ris. 52). V takom sluchae gorizontal'naya i
frontal'naya proekcii pryamoj raspolagayutsya na odnom perpendikulyare k osi
proekcij Oh i profil'naya proekciya etoj pryamoj ravna samomu otrezku: E"F" =
EF. Takaya pryamaya nazyvaetsya profil'noj.
Ris. 52 Ris. 53
Mozhno li schitat', chto na chertezhah, podobnyh ukazannym na ris. 50 i 51,
izobrazheny otrezki imenno pryamyh linij? Da; dokazatel'stvo takoe zhe, kak dlya
pryamoj obshchego polozheniya (ris. 46).
Esli zhe na chertezhe v sisteme 5 2 obe proekcii perpendikulyarny k osi
proekcij, to proeciruyushchie ploskosti, provedennye cherez E'F i E"F", slivayutsya
v odnu i originalom mozhet byt' ne tol'ko pryamaya liniya, no i nekotoraya
ploskaya krivaya (ris. 53).
B. Pryamaya parallel'na dvum ploskostyam proekcij
1. Pryamaya parallel'na ploskostyam 1 i 2 (ris. 54), t. e.
perpendikulyarna k pl. 3. Proekciya na pl. 3 predstavit soboj tochku.
2. Pryamaya parallel'na ploskostyam , i 3 (ris. 55), t. e.
perpendikulyarna k pl. 2. Proekciya na pl. 3 predstavlyaet soboj otrezok
pryamoj, ravnyj CD'.
Ris. 54 Ris. 55 Ris. 56 Ris. 57
3. Pryamaya parallel'na ploskostyam 2 i 3 (ris. 56), t. e.
perpendikulyarna k
pl. nt. Proekciya na pl. 3 predstavit soboj otrezok, parallel'nyj i
ravnyj E"F".
Na ris. 57 dano naglyadnoe izobrazhenie polozheniya rassmotrennyh pryamyh').
') Dlya etih pryamyh vstrechaetsya nazvanie "proeciruyushchie pryamye".
28
Ris. 58 Ris. 59
Obychno stroyatsya proekcii otrezkov pryamoj linii s ukazaniem koncevyh
tochek otrezka. Esli zhe po kakim-libo prichinam pokazyvayut nekotoruyu
neopredelennuyu chast' pryamoj linii, to prakticheski tozhe pokazyvayut otrezok
linii, no ne oboznachayut koncevyh tochek etogo otrezka. Pri etom mozhno
pol'zovat'sya oboznacheniem kazhdoj proekcii tol'ko odnoj bukvoj, otnosya ee k
kakoj-libo tochke pryamoj (ris. 58): "pryamaya, prohodyashchaya cherez tochku A".
Obratim vnimanie na chertezh sleva na ris. 59. Otnositel'no pryamoj,
izobrazhennoj na nem, mozhno skazat' lish' to, chto ona prohodit cherez tochku L i
parallel'na pl. jtj, no v ostal'nom polozhenie etoj pryamoj ne opredelyaetsya.
Opredelennost' byla by vnesena gorizontal'noj proekciej, t. e. proekciej na
ploskosti, po otnosheniyu k kotoroj pryamaya parallel'na.
Esli zhe my imeem delo s pryamoj, zadannoj dvumya svoimi tochkami
(naprimer, s otrezkom pryamoj, zadannym svoimi koncami), to mozhno tochno
opredelit' polozhenie etoj pryamoj i v tom sluchae, esli ne zadana ee proekciya
na ploskosti, parallel'noj etoj pryamoj. Tak, naprimer, esli dan otrezok AV
pryamoj (ris. 59, sprava), to my mozhem ustanovit' ne tol'ko parallel'nost'
etoj pryamoj po otnosheniyu k pl. -, no i to, chto tochka A dannoj pryamoj bolee
udalena ot pl. 2, chem tochka V.
§ 12. TOCHKA NA PRYAMOJ. SLEDY PRYAMOJ
Na ris. 60 dan chertezh nekotoroj pryamoj obshchego polozheniya, prohodyashchej
cherez tochku A. Esli izvestno, chto tochka V prinadlezhit etoj pryamoj i chto
gorizontal'naya proekciya tochki V nahoditsya v tochke V', to frontal'naya
proekciya V" opredelyaetsya tak, kak pokazano na ris. 60.
Na ris. 61 pokazano postroenie tochki na profil'noj pryamoj. Polozhim, chto
zadana proekciya S" etoj tochki; nado najti ee gorizontal'nuyu proekciyu.
Postroenie vypolneno pri pomoshchi profil'noj proekcii A'"V"' otrezka AV,
vzyatogo na profil'noj pryamoj. Hod postroeniya pokazan strelkami. Snachala
opredelena proekciya S", a po nej -- iskomaya proekciya S".
Odnim iz svojstv parallel'nogo proecirovaniya yavlyaetsya to, chto otnoshenie
AS A°S°
otrezkov pryamoj linii ravno otnosheniyu ih proekcij (ris. 62):
Ris. 61 Ris. 62
29
kak pryamye AA°, SS° i VV° parallel'ny mezhdu soboj. Analogichno,
otnoshenie otrezkov na proekcii pryamoj linii ravno otnosheniyu otrezkov na etoj
pryamoj. Esli by tochka delila popolam otrezok pryamoj, to proekciya etoj tochki
takzhe delila by proekciyu otrezka popolam, i naoborot.
Iz skazannogo sleduet, chto na ris. 61 delenie proekcij A"V" i A'V'
tochkami S" i S' sootvetstvuet deleniyu v prostranstve otrezka AV tochkoj S v
tom zhe otnoshenii. |tim mozhno vospol'zovat'sya dlya bolee prostogo postroeniya
tochki na profil'noj pryamoj. Esli (kak i na ris. 61) na proekcii A"V" (ris.
63) zadana proekciya S", to, ochevidno, nado razdelit' A'V' v tom zhe
otnoshenii, v kakom tochka S" delit proekciyu A"V". Provedya iz tochki A'
nekotoruyu vspomogatel'nuyu pryamuyu, otkladyvaem na nej = A"S" i 1 -2 =
S"V". Provodim pryamuyu V'2 i parallel'no ej cherez tochku 1 pryamuyu do
peresecheniya s A'V' v tochke S'. |ta tochka predstavlyaet soboj iskomuyu
gorizontal'nuyu proekciyu tochki S, prinadlezhashchej otrezku AV.
Ris. 63 Ris. 64 Ris. 65 Ris. 66
Na ris. 64 dan primer deleniya otrezka pryamoj linii v nekotorom zadannom
otnoshenii.
Otrezok CD razdelen v otnoshenii 2:5. Iz tochki S' provedena
vspomogatel'naya pryamaya, na kotoroj otlozheno sem' (2 + 5) otrezkov
proizvol'noj dliny, no ravnyh mezhdu soboj. Provedya otrezok D'7 i parallel'no
emu cherez tochku 2 pryamuyu, poluchaem tochku K', prichem S'K': K'D' = 2:5; zatem
nahodim K". Tochka K delit otrezok CD v otnoshenii 2 :5.
Na ris. 65 pokazany tochki i , v kotoryh pryamaya, zadannaya otrezkom
AV, peresekaet ploskosti proekcij. |ti tochki nazyvayutsya sledami: tochka --
gorizontal'nyj sled pryamoj, tochka N -- ee frontal'nyj sled.
Gorizontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda (tochka M') sovpadaet s
samim sledom, a frontal'naya proekciya etogo sleda M" lezhit na osi proekcij.
Frontal'naya proekciya frontal'nogo sleda " sovpadaet s tochkoj , a
gorizontal'naya proekciya ' ' lezhit na toj zhe osi proekcij.
Sledovatel'no, chtoby najti gorizontal'nyj sled, nado (ris. 66)
prodolzhit' frontal'nuyu proekciyu A"V" do peresecheniya s os'yu 2/ i cherez
tochku M" (frontal'nuyu proekciyu gorizontal'nogo sleda) provesti perpendikulyar
k osi 2/1 do peresecheniya s prodolzheniem gorizontal'noj proekcii A'V'.
Tochka M' -- gorizontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda; ona sovpadaet s
samim sledom (= znak sovpadeniya).
Dlya nahozhdeniya frontal'nogo sleda prodolzhaem gorizontal'nuyu proekciyu
A'V' do peresecheniya s 2/1; cherez tochku ' (gorizontal'nuyu proekciyu
frontal'nogo
30
sleda) provodim perpendikulyar do peresecheniya s prodolzheniem frontal'noj
proekcii A"V". Tochka N" -- frontal'naya proekciya frontal'nogo sleda; ona
sovpadaet s samim sledom.
Po polozheniyu tochek i N mozhno sudit', k kakim chetvertyam prostranstva
otnesena dannaya pryamaya. Na ris. 65 pryamaya AV prohodit cherez IV, I i II
chetverti.
Pryamaya ne imeet sleda na ploskosti proekcij tom sluchae, kogda ona
parallel'na etoj ploskosti.
Na ris. 67 pryamaya peresekaet ne tol'ko pl. 1 i 2, no i pl. 3. Tochka
-- profil'nyj sled pryamoj, t. e. sled na profil'noj ploskosti proekcij.
|tot sled sovpadaet s ego sobstvennoj proekciej na pl. 3, a frontal'naya i
gorizontal'naya proekcii ego lezhat sootvetstvenno na osyah z i u.
Ris. 67
V dannom sluchae pryamaya prohodit za tochkoj cherez pyatyj oktant i,
vstrechaya dalee pl. 2, uhodit v shestoj oktant; pryamaya iz pervogo oktanta
vyhodit v chetvertyj oktant ').
Sootvetstvuyushchij chertezh dan na ris. 67 sprava. Pryamaya pokazana v pervom
oktante -- proekcii M'R', M"R" i M'"R'" i v pyatom oktante -- proekcii '',
"" i "'"'.
Ris. 68
Esli ploskosti proekcij prinyat' za ploskosti koordinat, to u
gorizontal'nogo sleda pryamoj koordinata z = 0, u frontal'nogo sleda u = 0, u
profil'nogo sleda -- 0.
Postroenie sledov profil'noj pryamoj (ris. 68) mozhet byt' vypolneno
sleduyushchim sposobom (ris. 68, sprava).
') Uslovimsya pokazyvat' na chertezhah sploshnymi liniyami te proekcii,
kotorye sootvetstvuyut polozheniyu otrezka v pervoj chetverti ili v pervom
oktante.
31
Stroim profil'nuyu proekciyu (A'"B'"), opredelyaem polozhenie profil'nyh
proekcij gorizontal'nogo sleda (M'") i frontal'nogo sleda (N'") i zatem
nahodim polozhenie ostal'nyh proekcij etih sledov (posledovatel'nost'
postroeniya na chertezhe pokazana strelkami).
VOPROSY K §§ 10-12
1. Pri kakom polozhenii otnositel'no ploskostej proekcij pryamaya
nazyvaetsya pryamoj obshchego polozheniya?
2. Kak dokazyvaetsya, chto chertezh, soderzhashchij dve svyazannye mezhdu soboj
proekcii v vide otrezkov pryamoj linii, vyrazhaet imenno otrezok pryamoj linii?
3. Kak vyrazhaetsya sootnoshenie mezhdu proekciej otrezka pryamoj i samim
otrezkom?
4. Kak raspolozhena pryamaya v sisteme 1, 2, 3, esli vse tri proekcii
otrezka etoj pryamoj ravny mezhdu soboj?
5. Kak postroit' profil'nuyu proekciyu otrezka pryamoj obshchego polozheniya po
dannym frontal'noj i gorizontal'noj proekciyam?
6. Kak vypolnit' postroenie po voprosu 5 na chertezhe bez osej proekcij?
7. Kakie polozheniya pryamoj linii v sisteme .-..,., 3 schitayutsya
"osobymi" (inache -- "chastnymi")?
8. Kak raspolagaetsya frontal'naya proekciya otrezka pryamoj linii, esli
ego gorizontal'naya proekciya ravna samomu otrezku?
9. Kak raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya otrezka pryamoj linii, esli
ego frontal'naya proekciya ravna samomu otrezku?
10. Kakoe svojstvo parallel'nogo proecirovaniya kasaetsya otnosheniya
otrezkov pryamoj linii?
11. Kak razdelit' na chertezhe otrezok pryamoj linii v zadannom otnoshenii?
12. CHto nazyvaetsya sledom pryamoj linii na ploskosti proekcij?
13. Kakaya koordinata ravna nulyu: a) dlya frontal'nogo sleda pryamoj, b)
dlya gorizontal'nogo sleda pryamoj?
14. Gde raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya frontal'nogo sleda pryamoj
linii?
15. Gde raspolagaetsya frontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda pryamoj
linii?
16. Mozhet li byt' sluchaj, kogda pryamaya liniya v sisteme ,,·2, 3 imeet
sledy na kazhdoj iz etih ploskostej, slivayushchiesya v odnu tochku?
§ 13. POSTROENIE NA CHERTEZHE NATURALXNOJ VELICHINY
OTREZKA PRYAMOJ OBSHCHEGO POLOZHENIYA
I UGLOV NAKLONA PRYAMOJ K PLOSKOSTYAM PROEKCIJ 1 i 2
Iz rassmotreniya levoj chasti ris. 69 mozhno zaklyuchit', chto otrezok AV
yavlyaetsya gipotenuzoj pryamougol'nogo treugol'nika AV1, v kotorom odin katet
raven proekcii otrezka (A1 = A°V°), a drugoj katet raven raznosti rasstoyanij
koncov otrezka ot ploskosti proekcij 0.
Ris. 69
32
Esli koordinaty, opredelyayushchie rasstoyaniya koncov otrezka ot ploskosti
proekcij, imeyut raznye znaki (ris. 69, sprava), to nado imet' v vidu
raznost' algebraicheskuyu:
V1 = VV° - (-AA0) = VV° + AA°.
Ugol pryamoj linii s ploskost'yu proekcij opredelyaetsya kak ugol,
sostavlennyj pryamoj s ee proekciej na etoj ploskosti. |tot _ ugol vhodit v
tot zhe pryamougol'nyj treugol'nik, kotoryj stroyat dlya opredeleniya natural'noj
velichiny otrezka.
Ochevidno, znaya po chertezhu katety treugol'nika, mozhno ego postroit' v
lyubom meste polya chertezha. Na ris. 70 pokazano postroenie, primenennoe G.
Monzhem:
Ris. 70 Ris. 71 Ris. 72
ot tochki 1 otlozhen otrezok , ravnyj proekcii A'ff, i provedena
gipotenuza A"U, vyrazhayushchaya natural'nuyu velichinu otrezka AV. Ugol s vershinoj
v tochke A" raven uglu mezhdu AV i pl. 1
Na ris. 71 sleva dlina otrezka AV i ugol, sostavlennyj pryamoj AV s pl.
1opredeleny iz pryamougol'nogo treugol'nika, postroennogo na proekcii A'V'
pri vtorom katete V'V*, ravnom V"1. AV = A'V*.
Na ris. 71 sprava dlina otrezka i ugol, sostavlennyj s pl. p2,
opredeleny iz pryamougol'nogo treugol'nika, postroennogo na proekcii A"V"
(A"A* = A'2). AV = V"A*.
Ogranicheny li chem-libo ugly . i - dlya pryamoj obshchego polozheniya? Da,
kazhdyj iz nih mozhet byt' tol'ko ostrym. No, krome togo, dlya pryamoj obshchego
polozheniya - + - < 90°. Dejstvitel'no (ris. 72), v pryamougol'nom
treugol'nike ""' summa uglov + - = 90°. No v treugol'nikah ""'
''' pri obshchej gipotenuze "' katet "" bol'she kateta "' i,
sledovatel'no, >1. Podstavlyaya v + 2=90° ugol vmesto , poluchim
1+ 2<90°.
Rassmotrim (ris. 71) pryamougol'nye treugol'niki A'V'V* i A"B"A*. V
kazhdom iz nih gipotenuza vyrazhaet natural'nuyu velichinu otrezka, a odin iz
katetov yavlyaetsya proekciej etogo otrezka. Drugoj zhe katet raven raznosti
rasstoyanij koncov otrezka ot sootvetstvuyushchej ploskosti proekcij (V'V* - V"1
= raznosti rasstoyanij ot nlt a A"A* = A'2 = raznosti rasstoyanij ot ya2).
Krome togo, v odnom iz etih treugol'nikov soderzhitsya ugol mezhdu otrezkom i
pl. 1 (ugol ), v drugom -- ugol mezhdu otrezkom i pl. 2 (ugol 2).
V dannom sluchae nam byli izvestny katety i my opredelyali gipotenuzu i
ugol. No mozhet byt' i takoe polozhenie: izvestny gipotenuza i ugol,
opredelit' katety (t. e. dany natural'naya velichina otrezka i ugly,
sostavlyaemye im s ploskostyami proekcij; postroit' proekcii etogo otrezka).
Polozhim (ris. 73), chto AB est' zadannyj otrezok (na ris. 71 on
sootvetstvuet gipotenuzam A'B* i B"A*). Postroim na nem, kak na diametre,
okruzhnost'. Prinyav tochku A za vershinu, postroim ugol (t. e. zadannyj ugol
s pl. 1) i pryamougol'nyj treugol'nik A1V. Iz sravneniya etogo treugol'nika s
treugol'nikom A'V'V* (ris. 71) sleduet, chto katet A1 vyrazhaet gorizontal'nuyu
proekciyu otrezka AB,a katet V1 -- raznost' rasstoyanij koncov otrezka AV ot
pl. 1.
V. O. Gordon, M. A. Semencov-Ogievsshj
33
Postroim (ris. 73) takzhe pryamougol'nyj treugol'nik A2V po toj zhe