gipotenuze AB i zadannomu uglu <rg s ploskost'yu proekcij 2 i sravnim ego
s treugol'nikom V"A"A* na ris.71. Ochevidno, katet V2 vyrazhaet· frontal'nuyu
proekciyu zadannogo otrezka, a katet A2 -- raznost' rasstoyanij koncov otrezka
ot pl. 2.
Teper' postroim chertezh (ris. 74). Polozhim, chto otrezok nado provesti
cherez tochku V vlevo vniz na sebya. Otlozhiv na linii svyazi B"B' ot tochki V"
otrezok V"1, ravnyj V! (sm. ris. 73), provedem cherez tochku 1 pryamuyu
perpendikulyarno k V"V". Zasekaya etu pryamuyu iz tochki V" dugoj, radius kotoroj
dolzhen ravnyat'sya frontal'noj proekcii, t. e. otrezku V2, poluchim tochku A".
CHtoby najti gorizontal'nuyu proekciyu A', mozhno zasech' liniyu svyazi.
Ris. 73 Ris. 74 Ris. 75
provedennuyu cherez tochku A", dugoj, radius kotoroj raven A1 (sm. ris.
73). Pri etom dolzhno poluchit'sya A"A' -- = A2.
Na ris. 74 dano lish' odno polozhenie otrezka. No mozhet byt' eshche sem'
drugih polozhenij pri nachal'noj tochke V. Predostavlyaem chitatelyu izobrazit'
otrezok AV i v etih polozheniyah.
Na ris. 75 dan primer opredeleniya rasstoyaniya ot tochki A do tochki O.
Snachala postroeny proekcii iskomogo otrezka -- A"O" i A'O' (tochka O vyrazhena
ee proekciyami O" i O'). Zatem postroen treugol'nik A'O'A*, odin katet
kotorogo -- proekciya A'O', drugoj -- otrezok A'A* = A"AH. Iskomoe rasstoyanie
opredelyaetsya gipotenuzoj O'A*.
Teper' my mozhem opredelit' ugol, sostavlyaemyj pryamoj, ravnonaklonennoj
k ploskostyam 1, 2 i 3, s etimi ploskostyami. Ob etom ugle govorilos' v §
10, i byla ukazana ego velichina ( ~ 35°). Ee mozhno opredelit', esli
rassmotret' hotya
Ris. 76 Ris. 77
by ris. 76: proekcii A"V" i A'V' ravny mezhdu soboj, i ugly A"V"1 i
2A'V' ravny kazhdyj 45° (sm. § 10).
34
Iskomyj ugol opredelen iz pryamougol'nogo treugol'nika A'V'V*, v_kotorom
katet '*=. Esli prinyat' V"1 ravnym edinice, to A'V' = A"V" = u 2 i ugol
-"35°15'. Takovy zhe ugly mezhdu etoj pryamoj i ploskostyami 2 i 3.
Esli primenit' to, chto bylo skazano v § 8, t. e. dopolnit' sistemu 1,
2 sistemoj 4, 1, vybrav pl. 4% 1 i parallel'no zadannomu na chertezhe
otrezku pryamoj linii, to, ochevidno, proekciya etogo otrezka na pl. 4 vyrazit
ego natural'nuyu velichinu i ugol s pl. 1.
Polozhim (ris.77), trebuetsya opredelit' natural'nuyu velichinu otrezka,AV
i ugol ego s pl. 1. V sistemu 1 , 2 vvedena pl. 4 % 1 tak, chto 4
II AV. Voznikla dopolnitel'naya sistema 4, 1. V nej AV \\ 4 (os' 4/
1 || A'V1); proekciya vyrazhaet
natural'nuyu velichinu otrezka AV.
§ 14. VZAIMNOE POLOZHENIE DVUH PRYAMYH
Parallel'nye pryamye. K chislu svojstv parallel'nogo proecirovaniya
otnositsya sleduyushchee: proekcii dvuh parallel'nyh pryamyh parallel'ny mezhdu
soboj. Esli (ris. 78) pryamaya AV parallel'na pryamoj CD, to proeciruyushchie
ploskosti os i parallel'ny mezhdu soboj i pri peresechenii etih ploskostej s
ploskost'yu proekcij 0 poluchayutsya parallel'nye mezhdu soboj proekcii A°V° i
C°D°.
Odnako, hotya A°V° \\ C°D° (ris. 78), pryamye, dlya kotoryh A°V° i
S0D0 yavlyayutsya proekciyami, mogut byt' ne parallel'ny
mezhdu soboj: naprimer, pryamaya AV ne parallel'na pryamoj C1D1.
Iz ukazannogo svojstva parallel'nogo proecirovaniya sleduet, chto
gorizontal'nye proekcii parallel'nyh pryamyh parallel'ny mezhdu soboj,
frontal'nye proekcii parallel'ny mezhdu soboj i profil'nye proekcii
parallel'ny mezhdu soboj.
Spravedlivo li obratnoe zaklyuchenie, t. e. budut li parallel'ny dve
pryamye v prostranstve, esli na chertezhe ih odnoimennye proekcii poparno
parallel'ny?
Ris. 78 Ris. 79 Ris. 80
Da, esli dany parallel'nye mezhdu soboj proekcii na kazhdoj iz treh
ploskostej proekcij 1, 2 i 3. No esli dany parallel'nye mezhdu soboj
proekcii pryamyh lish' na dvuh ploskostyah proekcij, to etim parallel'nost'
pryamyh v prostranstve podtverzhdaetsya vsegda dlya pryamyh obshchego polozheniya i
mozhet ne podtverdit'sya dlya pryamyh, parallel'nyh odnoj iz ploskostej
proekcij.
Primer dan na ris. 79. Hotya profil'nye pryamye AV i CD zadany proekciyami
A'V', A"V" i CD', C"D", mezhdu soboj parallel'nymi, no samye pryamye ne
parallel'ny -- eto vidno iz vzaimnogo raspolozheniya ih profil'nyh proekcij,
postroennyh po zadannym proekciyam.
Itak, vopros byl reshen pri pomoshchi proekcij pryamyh na toj ploskosti
proekcij, po otnosheniyu k kotoroj dannye! pryamye parallel'ny.
Na ris. 80 pokazan sluchaj, kogda mozhno ustanovit', chto profil'nye
pryamye AV i CD ne parallel'ny mezhdu soboj, ne pribegaya k postroeniyu tret'ej
35
proekcii: dostatochno obratit' vnimanie na cheredovanie bukvennyh
oboznachenij.
Esli cherez dannuyu tochku A trebuetsya provesti pryamuyu, parallel'nuyu
dannoj pryamoj LM, to (ris. 81, sleva) postroenie svoditsya k provedeniyu cherez
tochku A" pryamoj, parallel'noj L"M", i cherez tochku A' pryamoj, parallel'noj
L'M'.
Ris. 81
V sluchae, izobrazhennom na ris. 81 sprava, parallel'nye pryamye
raspolozheny v obshchej dlya nih proeciruyushchej ploskosti, perpendikulyarnoj k pl.
,. Poetomu gorizontal'nye proekcii etih pryamyh raspolozheny na odnoj pryamoj.
Peresekayushchiesya pryamye. Esli pryamye linii peresekayutsya, to ih
odnoimennye proekcii peresekayutsya mezhdu soboj v tochke, kotoraya yavlyaetsya
proekciej tochki peresecheniya etih pryamyh.
Dejstvitel'no (ris. 82), esli tochka K prinadlezhit obeim pryamym AV i CD,
to proekciya etoj tochki dolzhna byt' tochkoj peresecheniya proekcij dannyh
pryamyh.
Zaklyuchenie o tom, chto dannye na chertezhe pryamye peresekayutsya mezhdu
soboj, mozhno sdelat' vsegda po otnosheniyu k pryamym obshchego polozheniya,
nezavisimo ot togo, dany li proekcii na treh ili dvuh ploskostyah proekcij.
Neobhodimym i dostatochnym usloviem yavlyaetsya lish' to, chtoby tochki peresecheniya
odnoimennyh
Ris. 82 Ris. 85
proekcij nahodilis' na odnom i tom zhe perpendikulyare k sootvetstvuyushchej
osi proekcij (ris. 83) ili, na chertezhe bez osi proekcij (ris, 84), eti tochki
okazalis' by na linii svyazi ustanovlennogo dlya nee napravleniya. No esli odna
iz dannyh pryamyh parallel'na kakoj-libo iz ploskostej proekcij, a na chertezhe
ne dany proekcii na etoj ploskosti, to nel'zya utverzhdat', chto takie pryamye
peresekayutsya mezhdu soboj, hotya by i bylo soblyudeno ukazannoe vyshe uslovie.
Naprimer, v sluchae, dannom na ris. 85, pryamye AV i CD, iz kotoryh pryamaya CD
parallel'na pl. 3, ne peresekayutsya mezhdu soboj; eto mozhet byt' podtverzhdeno
postroeniem profil'nyh proekcij ili primeneniem pravila o delenii otrezkov v
dannom otnoshenii.
36
Izobrazhennye na ris. 84 peresekayushchiesya pryamye raspolozheny v obshchej dlya
nih proeciruyushchej ploskosti, perpendikulyarnoj k pl. ya-. Poetomu frontal'nye
proekcii etih pryamyh raspolozheny na odnoj pryamoj.
Skreshchivayushchiesya pryamye. Skreshchivayushchiesya pryamye linii ne peresekayutsya i ne
parallel'ny mezhdu soboj. Na ris. 86 izobrazheny dve skreshchivayushchiesya pryamye
obshchego polozheniya: hotya odnoimennye proekcii i peresekayutsya mezhdu soboj, no
tochki ih peresecheniya ne mogut byt' soedineny liniej svyazi, parallel'noj
liniyam svyazi L"L' i M"M', t. e. eti pryamye ne peresekayutsya mezhdu soboj.
Pryamye, izobrazhennye na ris. 79, 80 i 85, takzhe skreshchivayushchiesya.
Kak nado rassmatrivat' tochku peresecheniya odnoimennyh proekcij
skreshchivayushchihsya pryamyh? Ona predstavlyaet soboj proekcii dvuh tochek, iz
kotoryh odna
prinadlezhit pervoj, a drugaya -- vtoroj iz etih skreshchivayushchihsya pryamyh.
Naprimer, na ris. 87 tochka s proekciyami K" i K' prinadlezhit pryamoj AV, a
tochka s proekciyami L" i L' prinadlezhit pryamoj CD. |ti tochki odinakovo
udaleny ot pl. 2, no rasstoyaniya ih ot pl. , razlichny: tochka s proekciyami
L" i L' dal'she ot nt, chem tochka s proekciyami K" i K' (ris. 88).
Tochki s proekciyami ", ' i ", ' odinakovo udaleny ot pl. 1, no
rasstoyaniya etih tochek ot pl. 2 razlichny.
Tochka s proekciyami L" i L', prinadlezhashchaya pryamoj CD, zakryvaet soboj
tochku s proekciyami K" i K' pryamoj AV po otnosheniyu k pl. ^ sootvetstvuyushchee
napravlenie vzglyada pokazano strelkoj u proekcii L". Po otnosheniyu k pl. 2
tochka s proekciyami " i ' pryamoj CD zakryvaet soboj tochku s proekciyami M" i
M' pryamoj AV; napravlenie vzglyada ukazano strelkoj vnizu, u proekcii N'.
Oboznacheniya proekcij "zakrytyh" tochek pomeshcheny v skobkah1).
§ 15. O PROEKCIYAH PLOSKIH UGLOV
1. Esli ploskost', kotoroj raspolozhen nekotoryj ugol, perpendikulyarna
k ploskosti proekcij, to on proeciruetsya na etu ploskost' proekcij vide
pryamoj linii.
2. Esli ploskost' pryamogo ugla ne perpendikulyarna k ploskosti proekcij
i hotya by odna ego storona parallel'na etoj ploskosti, to pryamoj ugol
proeciruetsya na nee v vide pryamogo zhe ugla.
Polozhim, chto storona SV pryamogo ugla ASV (ris. 89) parallel'na
ploskosti proekcij. V takom sluchae pryamaya SV parallel'na S°V°. Pust' vtoraya
storona (AS) pryamogo ugla peresekaet svoyu proekciyu A°S° v tochke K. Provodim
v ploskosti proekcij cherez tochku K pryamuyu parallel'no S°V°. Pryamaya KL takzhe
parallel'-
') Dlya tochek, prinadlezhashchih skreshchivayushchimsya pryamym i raspolozhennyh na
odnoj i toj zhe proeciruyushchej pryamoj, vstrechaetsya nazvanie "konkuriruyushchie".
37
na SV, i ugol CKL poluchaetsya pryamym. Soglasno teoreme o treh
perpendikulyarah ugol C°KL -- takzhe pryamoj1). Sledovatel'no, i
ugol A°S°V° -- pryamoj.
|toj teoreme o proecirovanii pryamogo ugla sootvetstvuyut dve obratnye
(pp. 3 i 4).
3. Esli proekciya ploskogo ugla predstavlyaet soboj pryamoj ugol, to
proeciruemyj ugol budet pryamym lish' pri uslovii, chto po krajnej mere odna iz
storon etogo ugla parallel'na ploskosti proekcij.
4. Esli proekciya nekotorogo ugla, u kotorogo odna storona parallel'na
ploskosti proekcij, predstavlyaet soboj pryamoj ugol, to proeciruemyj ugol
tozhe pryamoj
Ris. 91 Ris. 92
Na osnovanii izlozhennogo mozhno ustanovit', chto ugly, izobrazhennye na
ris. 90, v prostranstve pryamye.
V kakom sluchae proekcii pryamogo ugla na dvuh ploskostyah proekcij
predstavlyayut soboj pryamye utly? |to byvaet, kogda odna storona pryamogo ugla
perpendikulyarna k tret'ej ploskosti proekcij (togda drugaya ego storona
parallel'na etoj ploskosti). Prizer dan na ris. 91: storona AS
perpendikulyarna k 3, storona VS parallel'na 3.
Pol'zuyas' svedeniyami o·proecirovanii pryamogo ugla, o dopolnenii sistemy
ya,, 2 sistemoj 4, , (§ 8) i o raspolozhenii proekcij pryamoj, parallel'noj
odnoj iz ploskostej proekcij (§ 11), my mozhem vypolnit' sleduyushchee
postroenie: provesti cherez nekotoruyu tochku A pryamuyu tak, chtoby ona peresekla
dannuyu pryamuyu pod uglom 90°. Reshenie pokazano na ris. 92, gde sleva dano
ishodnoe polozhenie, v seredine pokazano obrazovanie, krome si-
') Soglasno pryamoj teoreme o treh perpendikulyarah: esli KL±C°K, to KLJL
S K. Soglasno obratnoj teoreme: esli K.LLCK, to KLJ-C°K.
2) Interesuyushchihsya dokazatel'stvom obratnyh teorem otsylaem k
predydushchim izdaniyam knigi.
38
stemy 1, 2, eshche odnoj sistemy 4, 1, prichem pl. 4%VS, a sprava
vypolneno postroenie pryamoj AKLBC.
Tak kak pl. 4% VS, chto obespechivaetsya provedeniem osi 4/1,
parallel'no B'C', to pryamoj ugol AKV (ili AKS) proeciruetsya na pl. 4 v vide
pryamogo zhe ugla AIVKIVBIV. Postroiv
proekcii tochki A i pryamoj BC na pl. 4, provodim
AIVKIV % BIV CIV, a zatem
poluchaem proekcii K' i K" i proekcii A'K' i A"K" (hod postroeniya ukazan
strelkami).
Mozhno li schitat', chto, postroiv perpendikulyar AK k pryamoj BC, my
opredelili rasstoyanie ot A do BC? Net, my tol'ko postroili proekcii otrezka
AK; ni odna iz nih ne opredelyaet velichinc rasstoyaniya. Esli nado opredelit'
velichinu otrezka AK, t. e. rasstoyanie ot A do BC, to nado prodolzhit'
postroenie, primeniv hotya by sposob, izlozhennyj v § 13. . ·
5. Ecli ploskost' tupogo ili ostrogo ugla ne perpendikulyarna k
ploskosti proekcij i hotya by odna storona ugla parallel'na ploskosti
proekcij, to proekciya tupogo ugla na etu ploskost' predstavlyaet soboj tupoj
ugol, a proekciya ostrogo ugla -- ostryj ugol.
Predpolozhim, chto pryamaya SV (ris. 93) parallel'na ploskosti proekcij.
Rassmotrim tupoj ugol KSV ili ostryj ugol MSV i provedem v ploskosti etogo
ugla pryamuyu CL% SV. Tak kak ugol LCB-- pryamoj, to ego proekciya -- ugol LC°B°
Ris. 93 Ris. 94
predstavlyaet soboj takzhe pryamoj ugol. |tot ugol zaklyuchen vnutri ugla
KS°V° i zaklyuchaet vnutri sebya ugol MS°V°, sledovatel'no, ugol KS°V° --
tupoj, a ugol MS°V° -- ostryj. Takim obrazom, proekciya ugla predstavlyaet
soboj ugol s tem zhe nazvaniem (pryamoj, tupoj ili ostryj), chto i sam ugol,
esli hotya by odna storona ugla parallel'na ploskosti proekcij. Voobshche zhe
proekciya lyubogo ugla mozhet predstavlyat' soboj ili ostryj, ili pryamoj, ili
tupoj ugol, v zavisimosti ot polozheniya utla otnositel'no ploskosti proekcij.
6. Esli obe storony lyubogo ugla, parallel'ny ploskosti proekcij, to ego
proekciya ravna po velichine proeciruemomu uglu.
|to sleduet iz ravenstva uglov s parallel'nymi i odinakovo
napravlennymi storonami.
Poetomu, naprimer, ugol mezhdu pryamoj AV (ris. 50, s. 27) i pl. 2 legko
opredelit': eto - ugol mezhdu proekciej A 'V' i os'yu h; takim zhe obrazom ugol
mezhdu CD i pl. 1 (ris. 51) opredelitsya kak ugol mezhdu C"D" i os'yu h, ugol
mezhdu EF (ris. 52) i pl. 2 -- kak ugol mezhdu E"'F'" i os'yu z.
Dlya pryamogo ugla ravenstvo mezhdu ego proekciej i samim uglom imeet
mesto i togda, kogda lish' odna storona pryamogo ugla parallel'na ploskosti
proekcij.
No dlya ostrogo ili tupogo ugla, u kotorogo odna storona parallel'na
ploskosti proekcij, proekciya ugla ne mozhet ravnyat'sya proeciruemomu uglu. Pri
etom proekciya ostrogo ugla men'she proeciruemogo ugla, a proekciya tupogo
bol'she proeciruemogo ugla.
Pust' (ris.94) ugol A 1VS -- ostryj i ego storona SV parallel'na pl.
0; S°V° || SV. Pl. , provedennaya cherez tochku S perpendikulyarno k SV,
perpendikulyar-
39
na k pl. 0, peresekaya poslednyuyu po pryamoj p°, prohodyashchej cherez S° i
perpendikulyarnoj k S°V°, Esli provesti cherez tochku V razlichnye pryamye pod
tem zhe samym ostrym uglom k pryamoj SV, to vse eti pryamye budut peresekat'
pl. v tochkah, proekcii kotoryh raspolozhatsya na pryamoj p°. Polozhim, chto
pryamye AV i A1V sostavlyayut s pryamoj SV ravnye mezhdu soboj utly: " ABC = "A
1VS. Esli pri etom AV parallel'na ploskosti 0, to" A°V°S°=" ABC. Esli zhe
storona A 1V ne parallel'na 0, to proekciya tochki At poluchitsya na pryamoj i°
blizhe k S°, chem proekciya tochki A. Sledovatel'no, proekciya ugla A1BC
predstavlyaet soboj ugol, men'shij ugla A°V°S°, t. e. "A 10V°S°
< "A1BC
7. Esli storony ugla parallel'ny ploskosti proekcij ili odinakovo
nakloneny k nej. to delenie proekcii ugla na etoj ploskosti popolam
sootvetstvuet deleniyu popolam i samogo ugla v prostranstve.
8. Delenie ugla v prostranstve popolam sootvetstvuet deleniyu popolam i
ego proekcii tol'ko pri uslovii, chto storony ugla sostavlyayut s ploskost'yu
proekcij ravnye ugly').
9. Esli storony ugla odinakovo nakloneny k ploskosti proekcij, to
ugol-proekciya ne mozhet ravnyat'sya proeciruemomu uglu.
|to (ris. 95) mozhno ustanoeit' putem sovmeshcheniya ugla MKN s pl. ya„
pri vrashchenii vokrug pryamoj . Pri etom ugol ° okazhetsya vnutri ugla MK^,
a vershiny K„ i K° -- na obshchem perpendikulyare k .
Ris. 95 Ris. 96
10. Proekcii ostrogo i tupogo uglov mogut ravnyat'sya proeciruemomu uglu
ne tol'ko pri uslovii parallel'nosti storon ugla ploskosti proekcij.
Iz ris.96 vidno, chto vse ugly, naprimer ostryj ugol i tupoj ugol
MKNit storony kotoryh sootvetstvenno raspolozheny v proeciruyushchih ploskostyah
i , imeyut svoej proekciej ugol, ravnyj uglu MLN, prichem eti ugly mogut
priblizhat'sya k 0° i k 180°. Ochevidno, sredi etih uglov mozhet okazat'sya ugol,
ravnyj svoej proekcii.
Primer postroeniya takogo ugla dan v § 38.
VOPROSY K §§ 13-15
1. Kak postroit' na chertezhe pryamougol'nye treugol'niki dlya opredeleniya
dliny otrezka pryamoj linii obshchego polozheniya i ee uglov s ploskostyami
proekcij i -?
2. Kakim usloviyam dolzhny otvechat' ugly mezhdu pryamoj obshchego polozheniya i
ploskostyami proekcij , i 2?
Kakoe svojstvo parallel'nogo proecirovaniya otnositsya k parallel'nym
pryamym?
') Interesuyushchihsya dokazatel'stvom polozhenij 7 i 8 otsylaem k predydushchim
izdaniyam knigi.
40
4. Mozhno li po chertezhu dvuh profil'nyh pryamyh v sisteme ,, ,
opredelit', parallel'ny li mezhdu soboj eti pryamye?
5. Kak izobrazhayutsya v sisteme ya,, lg dve peresekayushchiesya pryamye linii?
6. Kak sleduet istolkovyvat' tochku peresecheniya proekcij dvuh
skreshchivayushchihsya pryamyh?
7. V kakom sluchae pryamoj ugol proeciruetsya v vide pryamogo ugla?
8. V kakom sluchae proekciya tupogo ili ostrogo ugla obyazatel'no yavlyaetsya
uglom s tem zhe nazvaniem (tupoj ili ostryj)?
9. Mozhet li proekciya ostrogo ili tupogo ugla, u kotorogo odna storona
parallel'na ploskosti proekcij, ravnyat'sya samomu uglu v prostranstve?
10. V kakom sluchae delenie proekcii ugla popolam sootvetstvuet takomu
deleniyu samogo ugla v prostranstve?
11. Mozhet li ugol-proekciya na nekotoroj ploskosti proekcij ravnyat'sya
proeciruemomu uglu, storony kotorogo sostavlyayut s etoj ploskost'yu ravnye
ugly?
12. Mozhet li ostryj ili tupoj ugol, storony kotorogo ne parallel'ny
ploskosti proekcij, ravnyat'sya svoej proekcii na etoj ploskosti?
GLAVA III. PLOSKOSTX
§ 16. RAZLICHNYE SPOSOBY ZADANIYA PLOSKOSTI NA CHERTEZHE
Polozhenie ploskosti v prostranstve opredelyaetsya:
a) tremya tochkami, ne lezhashchimi na odnoj pryamoj linii, b) pryamoj i
tochkoj, vzyatoj vne pryamoj, v) dvumya peresekayushchimisya pryamymi, g) dvumya
parallel'nymi pryamymi.
V sootvetstvii s etim na chertezhe ploskost' mozhet byt' zadana:
a) proekciyami treh tochek, ne lezhashchih na odnoj pryamoj (ris. 97), b)
proekciyami pryamoj i tochki, vzyatoj vne pryamoj (ris. 98), v) proekciyami dvuh
peresekayushchihsya pryamyh (ris.99), g) proekciyami dvuh parallel'nyh pryamyh (ris.
100).
Kazhdoe iz predstavlennyh na ris. 97--100 zadanij ploskosti mozhet byt'
preobrazovano v drugoe iz nih. Naprimer, provedya cherez tochki A i V (ris. 97)
pryamuyu, my poluchim zadanie ploskosti, predstavlennoe na ris. 98; ot nego my
mozhem perejti k ris. 100, esli cherez tochku S provedem pryamuyu, parallel'nuyu
pryamoj AV.
Ris. 97 Ris. 98 Ris. 99 Ris. 100 Ris. 101
Ploskost' mozhet byt' zadana na chertezhe i proekciyami lyuboj ploskoj
figury (treugol'nika, kvadrata, kruga i t. d.). Pust' nekotoraya pl.
opredelena tochkami A, V k S (ris. 101). Provedya pryamye linii cherez
odnoimennye proekcii etih tochek, poluchim proekcii treugol'nika ABC. Tochka D,
vzyataya na pryamoj AV, tem samym prinadlezhit, pl, ; provodya pryamuyu cherez
tochku D i cherez druguyu tochku, zavedomo prinadlezhashchuyu pl. (naprimer, cherez
tochku S), poluchaem eshche odnu pryamuyu v pl. .
Analogichno mogut byt' postroeny pryamye, a sledovatel'no, i tochki,
prinadlezhashchie ploskosti, zadannoj lyubym iz perechislennyh vyshe sposobov.
V dal'nejshem my uvidim, chto ploskost', perpendikulyarnaya k ploskosti
proekcij, mozhet byt' zadana pryamoj, po kotoroj eti ploskosti peresekayutsya
mezhdu soboj.
42
§ 17. SLEDY PLOSKOSTI
Bolee naglyadno ploskost' mozhet byt' izobrazhena pri pomoshchi pryamyh, po
kotorym ona peresekaet ploskosti proekcij. Na ris. 102 dan primer postroeniya
takih pryamyh dlya sluchaya, kogda nekotoraya pl. zadana dvumya peresekayushchimisya
pryamymi AV i SV.
Dlya postroeniya pryamoj, po kotoroj pl. peresechet pl. ,, dostatochno
postroit' dve tochki, prinadlezhashchie odnovremenno ploskostyam i 1.
Takimi tochkami sluzhat sledy pryamyh AV i SV na pl. 1 t. e. tochki
peresecheniya etih pryamyh s pl. ,. Postroiv Proekcii etih sledov i provedya
cherez tochki
Ris. 102 Ris. 103 Ris. 104
,' i 2 pryamuyu, poluchim gorizontal'nuyu proekciyu linii peresecheniya
ploskostej i 1|.
Liniya peresecheniya ploskostej i 2 opredelyaetsya frontal'nymi sledami
pryamyh AV " SV.
Pryamye, po kotorym nekotoraya ploskost' peresekaet ploskosti proekcij,
nazyvayutsya sledami etoj ploskosti na ploskostyah proekcij ili, koroche,
sledami ploskosti.
Na ris. 103 izobrazhena pl. o, peresekayushchaya gorizontal'nuyu ploskost'
proekcij po pryamoj, oboznachennoj h'o i frontal'nuyu ploskost' --
po pryamoj f"o. Pryamaya h'o nazyvaetsya gorizontal'nym
sledom ploskosti, pryamaya f"o -- frontal'nym sledom ploskosti.
Esli ploskost' peresekaet os' proekcij, to na etoj osi poluchaetsya tochka
peresecheniya sledov ploskosti'). Tak, na ris. 103 sledy f"o i
h'o peresekayutsya na osi v tochke, oboznachennoj Ha.
Sled ploskosti na ploskosti proekcij slivaetsya so svoej proekciej na
etoj ploskosti. Sled h'o " ho (ris. 103) slivaetsya so svoej
gorizontal'noj proekciej; frontal'naya proekciya etogo sleda raspolagaetsya na
osi proekcij. Sled f"o "fo slivaetsya so svoej frontal'noj
proekciej; gorizontal'naya proekciya etogo sleda raspolagaetsya na osi
proekcij.
Na chertezhe ploskost' mozhet byt' zadana proekciyami ee sledov. Mozhno
ogranichit'sya oboznacheniem tol'ko samih sledov (ris. 104). Takoj chertezh
naglyaden i predstavlyaet udobstva pri nekotoryh postroeniyah.
Pri postroenii sledov ploskosti tochka ih peresecheniya mozhet byt'
ispol'zovana dlya proverki postroeniya: oba sleda dolzhny peresekat'sya mezhdu
soboj v tochke na osi proekcij (sm. ris. 102).
Ugol mezhdu sledami na chertezhe ne raven uglu, obrazovannomu sledami
ploskosti v prostranstve. Dejstvitel'no, v peresechenii sledov nahoditsya
vershina trehgrannogo ugla,
') Dlya nee vstrechaetsya nazvanie "tochka shoda sledov".
43
dve grani kotorogo sovpadayut s ploskostyami proekcij (ris. 103). No
summa dvuh ploskih uglov trehgrannogo ugla bol'she tret'ego ploskogo ugla.
Poetomu ugol, obrazovannyj sledami f"o i h'o na
chertezhe (ris. 104), vsegda bol'she ugla mezhdu etimi sledami v prostranstve.
Esli rassmatrivat' ploskost' v sisteme l' 2, 3, to v obshchem sluchae
ploskost' peresechet kazhduyu iz osej proekcij (ris. 105: pl. a peresekaet osi
h, u i z). Takaya ploskost' nazyvaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya. Sled
"'"r o nazyvaetsya profil'nym sledom ploskosti.
Tak kak tochki H„ , i " lezhat sootvetstvenno na osyah h, u i z,
to dlya postroeniya chertezha ploskosti v
sisteme l' 2, 3 dostatochno imet' zadannymi otrezki OHK OYa i
O2„ t. e. znat' koordinaty tochek H„ U" i Z" v sisteme osej h, u,
z. Delo svoditsya lish' k Odnoj koordinate dlya kazhdoj iz etih tochek, tak kak
dve drugie koordinaty ravny nulyu. Naprimer, dlya postroeniya tochki . nado
znat' lish' ee applikatu: abscissa i ordinata etoj tochki ravny nulyu.
Ris. 105 Ris. 107
§ 18. PRYAMAYA I TOCHKA V PLOSKOSTI. PRYAMYE OSOBOGO POLOZHENIYA
Kak postroit' na chertezhe pryamuyu liniyu, lezhashchuyu v zadannoj ploskosti?
|to postroenie osnovano na dvuh polozheniyah, izvestnyh iz geometrii.
1) Pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona prohodit cherez dve tochki,
prinadlezhashchie dannoj ploskosti.
2) Pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona prohodit cherez tochku,
prinadlezhashchuyu dannoj ploskosti, i parallel'na pryamoj, nahodyashchejsya v etoj
ploskosti ili parallel'noj ej.
Polozhim, chto pl. a (ris. 106) opredelena dvumya peresekayushchimisya pryamymi
AV i SV, a pl. -- dvumya parallel'nymi -- DE i FG. Soglasno pervomu polozhe-
Ris. 106
niyu pryamaya, peresekayushchaya pryamye, opredelyayushchie ploskost', nahoditsya v
dannoj ploskosti.
Otsyuda vytekaet, chto esli ploskost' zadana sledami, to pryamaya
prinadlezhit ploskosti, esli sledy pryamoj nahodyatsya na odnoimennyh s nimi
sledah ploskosti (ris. 107).
44
Polozhim, chto pl. (ris. 106) opredelyaetsya tochkoj A i pryamoj VS.
Soglasno vtoromu polozheniyu pryamaya, provedennaya cherez tochku A parallel'no
pryamoj VS, prinadlezhit
Polozhim, chto pl. (ris. 106) opredelyaetsya tochkoj A i pryamoj VS.
Soglasno vtoromu polozheniyu pryamaya, provedennaya cherez tochku A parallel'no
pryamoj VS, prinadlezhit pl..u. Otsyuda pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona
parallel'na odnomu iz sledov etoj ploskosti i imeet s drugim sledom obshchuyu
tochku (ris. 108).
Primery postroenij na ris. 107 i 108 ne dolzhny byt' ponyaty tak, chto dlya
postroeniya pryamoj v ploskosti nado predvaritel'no stroit' sledy etoj
ploskosti. |to ne trebuetsya.
Naprimer, na ris. 109 vypolneno postroenie pryamoj AM v ploskosti,
zadannoj tochkoj A i pryamoj, prohodyashchej cherez tochku L. Polozhim, chto pryamaya AM
dolzhna byt' parallel'na pl. 1. Postroenie nachato s provedeniya proekcii
A"M" perpendikulyarno k linii svyazi A"A'. Po tochke M" najdena tochka M', i
zatem provedena proekciya A'M'. Pryamaya AM otvechaet usloviyu: ona parallel'na
pl. , i lezhit v dannoj ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki (A i M),
zavedomo prinadlezhashchie etoj ploskosti.
Kak postroit' na chertezhe tochku, lezhashchuyu v zadannoj ploskosti? Dlya togo
chtoby sdelat' eto, predvaritel'no stroyat pryamuyu, lezhashchuyu v zadannoj
ploskosti, i na etoj pryamoj berut tochku.
Ris. 109 Ris. 110
Naprimer, trebuetsya najti frontal'nuyu proekciyu tochki D, esli zadana ee
gorizontal'naya proekciya D' i izvestno, chto tochka D dolzhna lezhat' v
ploskosti, opredelyaemoj treugol'nikom ABC (ris. 110).
Snachala stroyat gorizontal'nuyu proekciyu nekotoroj pryamoj tak, chtoby
tochka D mogla okazat'sya na etoj pryamoj, a poslednyaya byla by raspolozhena v
dannoj ploskosti. Dlya etogo provodyat pryamuyu cherez tochki A' i HU i otmechayut
tochku M', v kotoroj pryamaya A'D' peresekaet otrezok V'S. Postroiv frontal'nuyu
.proekciyu M" na V"S", poluchayut pryamuyu AM, raspolozhennuyu v dannoj ploskosti:
eta pryamaya prohodit cherez tochki A i M, iz kotoryh pervaya zavedomo
prinadlezhit dannoj ploskosti, a vtoraya v nej postroena.
Iskomaya frontal'naya proekciya D" tochki D dolzhna byt' na frontal'noj
proekcii pryamoj AM.
Drugoj primer dan na ris. 111, V pl, , zadannoj parallel'nymi pryamymi
AV i CD, dolzhna nahodit'sya tochka K, dlya kotoroj dana lish' gorizontal'naya
proekciya -- tochka K'.
45
CHerez tochku K' provedena nekotoraya pryamaya, prinimaemaya v kachestve
gorizontal'noj proekcii pryamoj v dannoj ploskosti. Po tochkam i F stroim E"
na L*U i F" na C"D". Postroennaya pryamaya EF prinadlezhit pl. , tak kak
prohodit cherez tochki i F, zavedomo prinadlezhashchie ploskosti. Esli vzyat'
tochku K" na E"F", to tochka K okazhetsya v pl. .
K chislu pryamyh, zanimayushchih osoboe polozhenie v ploskosti, otnesem
gorizontali, frontali1) i linii naibol'shego naklona k ploskostyam
proekcij. Liniyu naibol'shego naklona k pl. , budem nazyvat' liniej skata
ploskosti2).
Gorizontalyami ploskosti nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i parallel'nye
gorizontal'noj ploskosti proekcij.
Postroim gorizontal' ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Trebuetsya
provesti gorizontal' cherez vershinu A (ris. 112).
Tak kak gorizontal' ploskosti est' pryamaya, parallel'naya pl. 1, to
frontal'nuyu proekciyu etoj pryamoj poluchim, provedya A"K" % A"A'. Dlya
postroeniya gorizontal'noj proekcii etoj gorizontali stroim .tochku K' i
provodim pryamuyu cherez tochki A' i K'.
Postroennaya pryamaya AK dejstvitel'no yavlyaetsya gorizontal'yu dannoj
ploskosti: eta pryamaya, lezhit v ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki,
zavedomo ej prinadlezhashchie, i parallel'na ploskosti proekcij ,.
Teper' rassmotrim postroenie gorizontali ploskosti, zadannoj sledami.
Gorizontal'nyj sled ploskosti est' odna iz ee gorizontalej ("nulevaya"
gorizontal'). Poetomu postroenie kakoj-libo iz gorizontalej ploskosti
svoditsya
Ris. 112 Ris. 113
k provedeniyu v etoj ploskosti pryamoj, parallel'noj gorizontal'nomu
sledu ploskosti (ris. 108, sleva). Gorizontal'naya proekciya gorizontali
parallel'na gorizontal'nomu sledu ploskosti; frontal'naya proekciya
gorizontali parallel'na osi proekcij.
Frontalyami ploskosti nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i parallel'nye
ploskosti proekcij p2.
Primer postroeniya frontali v ploskosti dan na ris. 113. Postroenie
vypolneno analogichno postroenshr gorizontali (sm. ris. 112).
Pust' frontal' prohodit cherez tochku A (ris. 113). Nachinaem postroenie s
provedeniya gorizontal'noj proekcii frontali -- pryamoj A'K', tak kak
napravlenie
') Naryadu s gorizontalyami i frontalyami ploskosti mozhno rassmatrivat'
takzhe ee profil'nye pryamye-- pryamye, lezhashchie v dannoj ploskosti i
parallel'nye pl. pe. Dlya gorizontalej, frontalej i profil'nyh pryamyh
vstrechaetsya obshchee nazvanie -- liniya urovnya. Odnako takoe nazvanie otvechaet
obychnomu predstavleniyu tol'ko o gorizontal'nosti.
2) Dlya linii skata ploskosti rasprostraneno nazvanie "liniya
naibol'shego skata", no ponyatie "skat" po otnosheniyu k ploskosti ne trebuet
dobavleniya "naibol'shij)".
46
etoj proekcii izvestno: A'K'±A"A'. Zatem stroim frontal'nuyu proekciyu
fron-tali -- pryamuyu A"K".
Postroennaya pryamaya dejstvitel'no yavlyaetsya frontal'yu dannoj ploskosti:
eta pryamaya lezhit v ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki, zavedomo ej
prinadlezhashchie, i parallel'na pl. 2.
Postroim teper' frontal' ploskosti, zadannoj sledami. Rassmatrivaya ris.
108, sprava, na kotorom izobrazhena pl. i pryamaya MB, ustanavlivaem, chto eta
pryamaya - frontal' ploskosti. Dejstvitel'no, ona parallel'na frontal'nomu
sledu ("nulevoj" frontali) ploskosti. Gorizontal'naya proekciya frontali
parallel'na osi h, frontal'naya proekciya frontali parallel'na frontal'nomu
sledu ploskosti.
Liniyami naibol'shego naklona ploskosti k ploskostyam 1, 2 i 3
nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i perpendikulyarnye ili k gorizontalyam
ploskosti, ili k ee frontalyam, ili k ee profil'nym pryamym. V pervom sluchae
opredelyaetsya naklon k pl. 1 , vo vtorom - k pl. 2, v tret'em - k pl. 3.
Dlya provedeniya linij naibol'shego naklona ploskosti mozhno, konechno,
sootvetstvenno brat' ee sledy.
Kak bylo skazano vyshe, liniya naibol'shego naklona ploskosti k pl. 1
nazyvaetsya liniej skata ploskosti. :
Soglasno pravilam proecirovaniya pryamogo ugla (sm. § 15) gorizontal'naya
proekciya linii skata ploskosti perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii
gorizontali etoj ploskosti ili k ee gorizontal'nomu sledu. Frontal'naya
proekciya linii skata stroitsya posle gorizontal'noj i mozhet zanimat'
razlichnye polozheniya v zavisimosti ot zadaniya ploskosti. Na ris. 114
izobrazhena liniya skata pl. a: VK%h'o,. Tax kak V'K takzhe
perpendikulyarna k h'o, to "BKB' est' linejnyj ugol
Ris. 114
dvugrannogo, obrazovannogo ploskostyami i .. Sledovatel'no, liniya
skata ploskosti mozhet sluzhit' dlya opredeleniya ugla naklona etoj ploskosti k
ploskosti proekcij nt.
Analogichno, liniya naibol'shego naklona ploskosti k pl. 2 sluzhit dlya
opredeleniya ugla mezhdu etoj ploskost'yu i pl. 2, a liniya naibol'shego naklona
k· pl. 3 - dlya opredeleniya ugla s pl. 3.
Na ris. 115 postroeny linii skata v zadannyh ploskostyah. Ugol pl. s
pl. , vyrazhen proekciyami - frontal'noj v vide ugla V"K"V' i, gorizontal'noj
v vide otrezka K'V'. Opredelit' velichinu etogo ugla mozhno, postroiv
pryamougol'nyj treugol'nik po katetam, ravnym K'V' i V"V'.
Ochevidno, liniya naibol'shego naklona ploskosti opredelyaet polozhenie etoj
ploskosti. Naprimer, esli (ris, 115) zadanna liniya skata KB, to, provedya
perpendikulyarnuyu k nej gorizontal'nuyu pryamuyu AN ili zadavshis' os'yu proekcij
i provedya h'o% K'V', my vpolne opredelyaem ploskost', dlya
kotoroj KB yavlyaetsya liniej skata.
47
Rassmotrennye nami pryamye osobogo polozheniya v ploskosti, glavnym
obrazom gorizontali i frontali, ves'ma chasto primenyayutsya v razlichnyh
postroeniyah i pri reshenii zadach. |to ob®yasnyaetsya znachitel'noj prostotoj
postroeniya ukazannyh pryamyh; ih poetomu udobno primenyat' v kachestve
vspomogatel'nyh.
Na ris. 116 byla zadana gorizontal'naya proekciya K' tochki K. Trebovalos'
najti frontal'nuyu proekciyu K", esli tochka K dolzhna byt' v ploskosti,
zadannoj dvumya parallel'nymi pryamymi, provedennymi iz tochek A i V.
Snachala byla provedena nekotoraya pryamaya liniya, prohodyashchaya cherez tochku K
i lezhashchaya l zadannoj ploskosti. V kachestve takoj pryamoj vybrana frontal' MN:
ee gorizontal'naya proekciya provedena cherez dannuyu proekciyu K'. Zatem
postroeny tochki M" i N", opredelyayushchie frontal'nuyu proekciyu frontali.
Iskomaya proekciya K" dolzhna nahodit'sya na pryamoj M"N".
Na ris. 117 sleva po dannoj frontal'noj proekcii A" tochki A,
prinadlezhashchej pl. a, najdena ee gorizontal'naya proekciya (A1);
postroenie proizvedeno pri pomoshchi gorizontali EK. Na ris. 117 sprava
analogichnaya zadacha reshena pri pomoshchi' frontali MN.
Eshche odin primer postroeniya nedostayushchej proekcii tochki, prinadlezhashchej
nekotoroj ploskosti, dan na ris. 118. Sleva pokazano zadanie: liniya skata
ploskosti (AB) i gorizontal'naya proekciya tochki (K'). {Sprava na ris. 118
pokazano postroenie: cherez tochku K' provedena (perpendikulyarnaya A'V')
gorizontal'naya proekciya gorizontali, na kotoroj dolzhna lezhat' tochka K, po
tochke L" najdena frontal'naya proekciya etoj gorizontali i na nej iskomaya
proekciya K".
Na ris. 119 dan primer postroeniya vtoroj proekcii nekotoroj ploskoj
krivoj, esli izvestna odna proekciya (gorizontal'naya) i pl. a, v kotoroj eta
krivaya raspolozhena. Vzyav na gorizontal'noj proekcii krivoj ryad tochek,
nahodim pri pomoshchi gorizontalej tochki dlya postroeniya frontal'noj proekcii
krivoj.
Strelkami pokazan hod postroeniya frontal'noj proekcii A" po
gorizontal'noj proekcii A'.
48
VOPROSY K §§16-18 ,
1. Kak zadaetsya ploskost' na chertezhe?
2. CHto takoe sled ploskosti na ploskosti proekcij?
3. Gde raspolagayutsya frontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda i
gorizontal'naya proekciya frontal'nogo sleda ploskosti?
4. Kak opredelyaetsya na chertezhe, prinadlezhit li pryamaya dannoj ploskosti?
5. Kak postroit' na chertezhe tochku, prinadlezhashchuyu dannoj ploskosti?
6. CHto takoe frontal', gorizontal' i'liniya skata ploskosti?
7. Mozhet li sluzhit' liniya skata ploskosti dlya opredeleniya ugaa naklona
etoj ploskosti k ploskosti proekcij ·?
Opredelyaet li pryamaya liniya ploskost', dlya kotoroj eta pryamaya yavlyaetsya
liniej skata?
§ 19. POLOZHENIYA PLOSKOSTI OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Vozmozhny sleduyushchie polozheniya ploskosti otnositel'no ploskostej proekcij
, 2, 3: 1) ploskost' ne perpendikulyarna ni k odnoj iz ploskostej
proekcij, 2) ploskost' perpendikulyarna lish' k odnoj iz nih, 3) ploskost'
perpendikulyarna k dvum ploskostyam proekcij.
Ploskosti vtorogo i tret'ego polozhenij nosyat obshchee nazvanie
"proeciruyushchie ploskosti".
1. Ploskost', ne perpendikulyarnaya ni k odnoj iz ploskostej proekcij,
yavlyaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya (sm. ris. 105).
Rassmotrim, naprimer, ploskost', izobrazhennuyu na ris. 112.
|ta ploskost' ne perpendikulyarna ni k 1 ni k 2, ni k 3. To, chto ona
ne perpendikulyarna ni k 1, ni k 2, podtverzhdaetsya vidom proekcij A'V'S i
A"V"S": esli by ploskost', opredelyaemaya treugol'nikom ABC, byla
perpendikulyarna hotya by k p' to (ris. 120) proekciya A'V'S predstavlyala by
soboj otrezok pryamoj.
Itak, rassmatrivaemaya nami ploskost' ne perpendikulyarna ni k 1 ni k
2. No, mozhet byt', eta ploskost' perpendikulyarna k 3? Net, gorizontal'
etoj ploskosti AK ne perpendikulyarna k 3 (sravnite o ris. 54, gde
pokazana"pryamaya, perpendikulyarnaya k 3), i, sledovatel'no, pl. ABC ne
perpendikulyarna k 3.
Itak, na ris. 112 dan primer zadaniya ploskosti obshchego polozheniya v
sisteme 1,2.
Drugimi primerami zadaniya ploskosti obshchego polozheniya sluzhat ris. 109,
110, 111, 113, 116, a takzhe ris. 102, 104, 107, sleva, 108, 115, sprava,
117, 119, na kotoryh ploskosti vyrazheny sledami. Ploskost' obshchego polozheniya
(sm. ris. 105) peresekaet kazhduyu iz osej h, u, z. Sledy ploskosti obshchego
polozheniya nikogda ne perpendikulyarny k etim osyam proekcij.
Esli sledy ploskosti obshchego polozheniya h'o i f"o
obrazuyut s os'yu odinakovye ugly, to eto oznachaet, chto ugly mezhdu pl. i
ploskostyami i 2 ravny mezhdu soboj. Dejstvitel'no, esli ploskie ugly
trehgrannogo ugla ravny mezhdu soboj, to ravny i lezhashchie protiv nih
dvugrannye ugly; ugly, obrazuemye sledami h'o i f"o
s os'yu (sm. ris. 105), predstavlyayut soboj ploskie ugly, protiv kotoryh
sootvetstvenno raspolozheny dvugrannye ugly, obrazuemye pl. s ploskostyami
2 i .
Ris. 120
Esli ploskost' obshchego polozheniya dolzhna byt' odinakovo naklonena k
ploskostyam 1 , 2 i 3, to (sm. ris. 105), ochevidno, , -- = ,, t.e.
sledy sostavlyayut s osyami proekcij ugly 45°.
Rassmatrivaya ploskost' obshchego polozheniya v prostranstve v predelah
pervoj chetverti ili pervogo oktanta, zamechaem, chto ugol mezhdu gorizontal'nym
i frontal'nym sledami mozhet byt' ostrym (sm. ris. 105) ili tupym (ris. 121).
Pl. , izobrazhennaya na ris.121, prohodit cherez vse oktanty, krome
shestogo.
Esli chertezh ploskosti obshchego polozheniya stroit' po koordinatam tochek
peresecheniya sledov, to, ochevidno, na ris. 121 dolzhny byt' zadany
polozhitel'nye abscissy i ordinata tochek H i U i otricatel'naya applikata
tochki .
Na ris. 122 izobrazhen chastnyj sluchaj ploskosti obshchego polozheniya -- ee
sledy h'o i f