"o , na chertezhe lezhat na odnoj pryamoj.
Vspominaya shemu sovmeshcheniya ploskostej proekcij (ris. 15 na s. 17), zametim,
chto sledy h'o i f"o, obrazuyut ravnye ugly s os'yu
ne tol'ko na chertezhe, no i v prostranstve. Kak pokazano na ris. 122 sprava,
iz ravenstva pryamougol'nyh treugol'nikov KK'H i K"K'H sleduet, chto ugol KX
K' raven uglu ' ", . e. sled f"o - obrazuet . s os'yu
takoj zhe ugol, kak i sled h'o .
Otsyuda pl. obrazuet ravnye ugly s ploskostyami 1 i 2. CHast' pl. ,
nahodyashchayasya v pervoj chetverti, soderzhit v sebe natural'nyj ugol mezhdu
h'o i f"o (v nashem primere -- tupoj).
Na ris. 122 pokazano takzhe postroenie tret'ego sleda ploskosti (r0) po
zadannym dvum ee sledam h'0, i f",.Vsledstvie togo, chto sledy h'0a i
f"o lezhat na odnoj pryamoj, tochka Z, slivaetsya s tochkoj U i,
sledovatel'no, tochka U1 okazyvaetsya na takom zhe rasstoyanii ot tochki O, na
kakom nahoditsya tochka Z,; poetomu sled r"'o, naklonen pod uglom 45° k osi
.u (i k osi z); imenno takoj naklon profil'nogo sleda budet poluchat'sya vo
vseh sluchayah postroeniya
Ris.121 
Ris 122
ploskosti, u kotoroj na chertezhe gorizontal'nyj i frontal'nyj sledy
lezhat na odnoj pryamoj, peresekayushchej os' pod ostrym uglom.
Takaya ploskost' prohodit cherez perpendikulyar k osi h, sostavlyayushchij s
pl. 2 (ili s 1 ) ugol 45°. A tak kak etot perpendikulyar yavlyaetsya
perpendikulyarom k bissektornoj ploskosti dvugrannyh uglov, smezhnyh s uglom
1 2 , to rassmatrivaemaya ploskost' mozhet byt' opredelena kak ploskost',
perpendikulyarnaya k bissektornoj ploskosti vtoroj i chetvertoj chetvertej
prostranstva ')
') Interesuyushchihsya bolee podrobnym izlozheniem otsylaem k predydushchim
izdaniyam etoj knigi.
50
2. Esli ploskosti perpendikulyarny lish' k odnoj iz ploskostej proekcij,
to vozmozhny tri sluchaya chastnyh polozhenij.
a) Ploskost' perpendikulyarna k gorizontal'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya gorizontal'no-proeciruyushchimi.
Primer dan na ris. 123: ploskost' zadana proekciyami treugol'nika ABC.
Gorizontal'naya proekciya predstavlyaet soboj otrezok pryamoj linii. Ugol 2
raven uglu mezhdu zadannoj ploskost'yu i pl. 2.
Na ris. 124 dan primer izobrazheniya gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti
ee sledami: sleva dano naglyadnoe izobrazhenie, v seredine -- chertezh v sisteme
Ris. 123
1, 2 s ukazaniem osi i sledov f"o i h'o
sprava -- bez ukazaniya osi i, sledovatel'no, sleda f"o .
Frontal'nyj sled perpendikulyaren k pl. 1 i k osi proekcij h.
Gorizontal'nyj zhe sled mozhet sostavlyat' s os'yu proekcij lyuboj ugol; etot
ugol sluzhit linejnym uglom dvugrannogo mezhdu gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskost'yu i pl. 2.
Ugol mezhdu ho i fo , a takzhe ugol mezhdu h0 i ro v prostranstve
raven 90°.
Esli v gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti raspolozhena tochka, to ee
gorizontal'naya proekciya dolzhna byt' na gorizontal'nom slede ploskosti. |to
otnositsya i k lyuboj sisteme tochek, raspolozhennyh v
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti, bud' to pryamye linii, ploskie krivye
ili figury.
Sled ho" ' mozhno rassmatrivat' kak gorizontal'nuyu proekciyu ploskosti.
b) Ploskost' perpendikulyarna k frontal'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya frontal'no-proeciruyushchimi.
Primer dan na ris. 125: ploskost' zadana proekciyami treugol'nika DEF.
Frontal'naya proekciya predstavlyaet soboj otrezok pryamoj linii. Ugol 1 raven
uglu mezhdu DEF i pl. 1.
Ris. 125 Ris. 126
Na ris. 126 sleva dano naglyadnoe izobrazhenie, v seredine -- .chertezh v
sisteme 1, 2 ukazaniem osi proekcij, sprava -- bez ukazaniya osi proekcij.
Gorizontal'nyj sled perpendikulyaren k pl. 2 i k osi proekcij. Frontal'nyj
zhe sled mo-
51
zhet sostavlyat' s os'yu proekcij lyuboj ugol; etot ugol sluzhit linejnym
uglom dvugrannogo mezhdu frontal'no-proeciruyushchej ploskost'yu i pl. 2.
Ugol mezhdu fo i hoy v prostranstve raven 90°,
Esli v frontal'no-proeciruyushchej ploskosti raspolozhena tochka, to ee
frontal'naya proekciya dolzhna byt' na frontal'nom slede ploskosti. |to
otnositsya i k lyuboj sisteme tochek. Sled fo " " (ris. 126) mozhno
rassmatrivat' kak frontal'nuyu proekciyu pl. .
v) Ploskost' perpendikulyarna k profil'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya profil'no-proeciruyushchimi.
Na ris. 127 dan primer profil'no-proeciruyushchej ploskosti: ploskost'
zadana proekciyami treugol'nika ABC. Gorizontal' etoj ploskosti raspolozhena
perpendikulyarno k pl. 3: proekcii "D" i A'D ' vzaimno
parallel'ny. |to sluzhit priznakom togo, chto pered nami
profil'no-proeciruyushchaya ploskost', a ne ploskost' obshchego polozheniya (sravnite
s ris. 112).°
Profil'naya proekciya treugol'nika ABC predstavlyaet soboj otrezok pryamoj
linii. Ugol 1 mezhdu etim otrezkom i liniej svyazi S"S" raven uglu naklona
Ris. 128
ploskosti treugol'nika k pl. 1 , a ugol naklona ploskosti treugol'nika
k pl.·2 raven 90° - 1.
Na ris. 128 dan primer izobrazheniya profil'no-proeciruyushchej ploskosti ee
sledami.
Gorizontal'nyj i frontal'nyj sledy etoj ploskosti parallel'ny osi i,
sledovatel'no, parallel'ny mezhdu soboj.
Izobrazhennaya na ris. 107 sprava ploskost' takzhe yavlyaetsya
profil'no-proeciruyushchej.
Ploskost', perpendikulyarnaya k odnoj iz ploskostej proekcij
(gorizontal'no-, frontal'no- ili profil'no-proeciruyushchaya), mozhet, v
chastnosti, prohodit' cherez os' proekcij. Takuyu ploskost' dopolnitel'no
nazyvayut osevoj ploskost'yu.
Rassmotrim, naprimer, osevuyu profil'no-proeciruyushchuyu ploskost' (ris.
129). Sledy ee f 0 i h0 slivayutsya s os'yu h; v etom sluchae neobhodimo imet'
eshche tretij ee sled r0d " '" ili hotya by polozhenie odnoj tochki,
prinadlezhashchej etoj ploskosti i ne lezhashchej na osi .h.
Ris. 129
Osevaya ploskost' mozhet byt' bissektornoj; chto znachit, chto osevaya
ploskost' delit dvugrannyj ugol, obrazovannyj ploskostyami proekcij, popolam.
52
Kak mozhno izobrazit' profil'no-proeciruyushchuyu ploskost' na chertezhe bez
osej proekcij? Tak, kak dano na ris. 127. Drugoj primer predstavlen na ris.
130: ploskost' zadana dvumya peresekayushchimisya pryamymi, iz kotoryh odna (AB)
perpendikulyarna k pl. 3, a drugaya zanimaet proizvol'noe polozhenie.
3. Esli ploskosti perpendikulyarny k dvum ploskostyam proekcij, to takzhe
vozmozhny tri sluchaya chastnyh polozhenij1).
Ris. 132
Ris. 133
Ris. 135 Ris. 136
a) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 2 i 3, t.. e. parallel'na
ploskosti 1 . Takie ploskosti nazyvayutsya gorizontal'nymi.
Na ris. 131 dan primer gorizontal'noj ploskosti, zadannoj proekciyami
treugol'nika ABC. Na ris. 132 sprava izobrazhena gorizontal'naya ploskost' v
sisteme 1 , 2 pri pomoshchi frontal'nogo sleda. Sled (f0t = ") mozhno
rassmatrivat' kak frontal'nuyu proekciyu ploskosti.
b) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 1 i 3, t. e. parallel'na
ploskosti 2. Takie ploskosti nazyvayutsya frontal'nymi.
Na ris. 133 dan primer frontal'noj ploskosti, zadannoj proekciyami
treugol'nika CDE.
') Dlya takih ploskostej vstrechaetsya obshchee nazvanie "ploskosti urovnya".
Odnako eto nazvanie otvechaet obychnomu predstavleniyu tol'ko o
gorizontal'nosti.
53
pomoshchi sleda (ho" '), kotoryj mozhno rassmatrivat' kak proekciyu etoj
ploskosti na pl. 1 .
v) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 1 i 2, t. e. parallel'na
ploskosti 3. Takie ploskosti nazyvayutsya profil'nymi.
Primer izobrazheniya v sisteme 2, 3 dan na ris. 135: ploskost' zadana
proekciyami treugol'nika EFG.
Na ris. 136 dan primer izobrazheniya v sisteme 1, 2 pri pomoshchi sledov.
Kazhdyj iz nih mozhno rassmatrivat' kak proekciyu ploskosti na
sootvetstvuyushchej ploskosti proekcij. Profil'naya ploskost' sochetaet v sebe
svojstva frontal'no- i gorizontal'no-proeciruyushchej ploskostej.
VOPROSY K §19
1. Kak raspolagayutsya v sisteme 1, 2 , 3 ploskost' obshchego polozheniya i
ploskosti, nazyvaemye proeciruyushchimi?
2. CHto takoe frontal'no-proeciruyushchaya ploskost',
gorizontal'no-proeciruyushchaya, profil'no-proeciruyushchaya?
3. Kak opredelit', yavlyaetsya li ploskost', zadannaya v sisteme ,, ya-
peresekayushchimisya ili parallel'nymi pryamymi, ploskost'yu obshchego polozheniya ili
profil'no-proeciruyushchej?
4. CHto predstavlyaet soboj gorizontal'naya proekciya
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti i frontal'noj ploskosti?
5. Tot zhe vopros v otnoshenii frontal'noj proekcii
frontal'no-proeciruyushchej ploskosti i gorizontal'noj ploskosti.
6. Gde raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya lyuboj sistemy tochek,
raspolozhennoj v gorizontal'no-proeciruyushchej ili frontal'noj ploskosti?
7. Gde raspolagaetsya frontal'naya proekciya lyuboj sistemy tochek,
raspolozhennoj v gorizontal'noj ili frontal'no-proeciruyushchej ploskosti?
CHemu raven v prostranstve ugol mezhdu frontal'nym i gorizontal'nym
sledami gorizontal'no- i frontal'no-proeciruyushchej ploskostej?
§ 20. PROVEDENIE PROECIRUYUSHCHEJ PLOSKOSTI CHEREZ PRYAMUYU LINIYU
V dal'nejshem izlozhenii budut imet' mesto sluchai, kogda pridetsya
provodit'
proeciruyushchuyu ploskost' cherez pryamuyu liniyu soglasno kakomu-libo usloviyu.
CHerez pryamuyu obshchego polozheniya mozhno provesti lyubuyu iz takih ploskostej.
Primery dany na ris. 137. CHerez zadannuyu v sisteme 1, 2 pryamuyu, prohodyashchuyu
cherez tochku K, provedeny frontal'no-proeciruyushchaya ploskost', vyrazhennaya ee
frontal'noj proekciej ", gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost', vyrazhennaya
ee gorizontal'noj proekciej ', i profil'no-proeciruyushchaya ploskost',
opredelyaemaya, pomimo zadannoj pryamoj AK, eshche pryamoj AV, perpendikulyarnoj k
pl. 3.
Na ris. 138 ploskosti, provedennye cherez zadannuyu pryamuyu, vyrazheny
sledami. Polozhenie osi h ili zadaetsya, ili mozhet byt' vybrano.
54
No cherez pryamuyu obshchego polozheniya nel'zya provesti ni frontal'nuyu, ni
gorizontal'nuyu, ni profil'nuyu ploskost'. Takie ploskosti mozhno provodit'
lish' cherez sootvetstvenno raspolozhennye pryamye: cherez gorizontal'nuyu pryamuyu
pro-
Ris. 139
vesti gorizontal'nuyu ploskost',, cherez frontal'nuyu pryamuyu --
frontal'nuyu ploskost', cherez profil'nuyu pryamuyu -- profil'nuyu ploskost'. Na
ris. 139 izobrazheny gorizontal'naya ploskost' , prohodyashchaya cherez
gorizontal'nuyu pryamuyu AV, i frontal'naya pl. , prohodyashchaya cherez frontal'nuyu
pryamuyu CD.
§ 21. POSTROENIE PROEKCIJ PLOSKIH FIGUR
Postroenie proekcij ploskih figur (t. e. figur, vse tochki kotoryh lezhat
v odnoj ploskosti, naprimer, kvadrata, kruga, ellipsa i t. d.) svoditsya k
postroeniyu proekcij ryada tochek, otrezkov pryamyh i krivyh linij, obrazuyushchih
kontury proekcij figur. Znaya koordinaty vershin, naprimer, treugol'nika,
mozhno postroit' proekcii etih tochek, zatem proekcii storon i poluchit' takim
obrazom proekcii figury.
CHertezhi, soderzhashchie proekcii treugol'nika,, uzhe vstrechalis' (naprimer,
ris. 110, 112 i dr.). Esli sravnit' mezhdu soboj ris. 110 i 112, to mozhno
zametit', chto na ris. PO odna iz proekcij, polozhim frontal'naya, izobrazhaet
"licevuyu" storonu treugol'nika, a gorizontal'naya - "tyl'nuyu". A na ris. 112
kazhdaya iz proekcij izobrazhaet treugol'nik s odnoj i toj zhe ego storony.
Priznakom mozhet sluzhit' poryadok obhoda vershin: na ris. 110 dlya frontal'noj
proekcii po chasovoj strelke (schitaya ot A" k S"), a dlya gorizontal'noj --
protiv chasovoj strelki; na ris. 112 dlya obeih proekcij obhod v odnom
napravlenii - v dannom sluchae po chasovoj strelke.
V obshchem sluchae v sisteme 1, 2 , 3 proekcii kakogo-libo
mnogougol'nika predstavlyayut soboj takzhe mnogougol'niki s tem zhe chislom
storon; pri etom ploskost' etogo mnogougol'nika yavlyaetsya ploskost'yu obshchego
polozheniya. No ,esli v sisteme 1, 2 obe proekcii, naprimer, treugol'nika
predstavlyayut soboj treugol'nik, to ego ploskost' mozhet okazat'sya ploskost'yu
obshchego polozheniya ili profil'no-proeciruyushchej: na ris. 112 - ploskost' obshchego
polozheniya, a na ris. 127 - profil'no-proeciruyushchaya. Opredelitelem sluzhit, kak
bylo skazano na s. 52 v poyasnenii k ris. 127, gorizontal' (ili frontal'):
esli ee proekcii na , i 2 vzaimno parallel'ny, to ploskost'
profil'no-proeciruyushchaya (ris. 127); esli zhe ne parallel'ny, to ploskost'
obshchego polozheniya (naprimer, ris. 112, 115, sleva).
Esli proekciya mnogougol'nika na 1 ili na 2 predstavlyaet soboj otrezok
pryamoj, to ploskost' etogo mnogougol'nika sootvetstvenno perpendikulyarna k
1 ili k 2. Naprimer, na ris. 123 ploskost' treugol'nika
gorizontal'no-proeciruyushchaya, na ris. 125 -- frontal'no-proeciruyushchaya.
Figura, raspolozhennaya parallel'no ploskosti proekcij, proeciruetsya na
nee bez iskazheniya. Naprimer, vse elementy treugol'nika CDE, izobrazhennogo na
ris. 133, proeciruyutsya na pl. 2 bez iskazheniya; krug, izobrazhennyj na ris.
140, proeciruetsya na pl. 1 bez iskazheniya.
55
Esli zhe ploskost' figury ne parallel'na ploskosti proekcij, to dlya
opredeleniya natural'nogo vida (t. e. bez iskazheniya) etoj figury primenyayut
sposoby, ukazannye dalee, v glave V. Konechno, mozhno bylo by i teper', ne
znaya eshche etih sposobov, postroit', naprimer, natural'nyj vid treugol'nika,
izobrazhennogo na ris. 112, opredeliv dlinu kazhdoj ego storony kak dlinu
otrezka (sm. § 13) i zatem postroiv treugol'nik po najdennye otrezkam.
Vmeste s tem opredelilis' by i ugly dannogo treugol'nika. Tak postupayut,
naprimer, pri postroenii razvertki
Ris. 140 Ris. 141
bokovoj poverhnosti piramidy, prizmy i dr. (sm. dalee § 44). Esli zhe
mnogougol'nik raspolozhen v proeciruyushchej ploskosti, to mozhno postroit' ego
natural'nyj vid tak, kak pokazano na ris, 141.
Polozhim, trebuetsya opredelit' natural'nyj vid chetyrehugol'nika KPNM,
raspolozhennogo v frontal'no-proeciruyushchej pl. os. Togda, kak eto pokazano na
ris. 141 sprava, mozhno vzyat' v ploskosti figury dve osi pryamougol'nyh
koordinat s nachalom hotya by v tochke K: os' absciss (K"H", K'H1)
parallel'no pl. 2, os' ordinat perpendikulyarno k 2 (proekcii etoj osi
K"", K'T), provesti pryamuyu KL (eto mozhno sdelat', naprimer, parallel'no
K"H") i otlozhit' na nej K1 = = K"R", K2 -- K"M", KZ = "". Zatem na
perpendikulyarah k pryamoj KL v tochkah 1,2 i. 3 otlozhim otrezki R1 = F4, M2 --
M'5 i N3 = N'6. Postroennyj takim obrazom chetyrehugol'nik predstavlyaet
soboj natural'nyj vid zadannogo.
Pri reshenii mnogih zadach vopros o tom, kakoe polozhenie zanimaet ploskaya
figura otnositel'no Ploskostej proekcij, priobretaet sushchestvennoe znachenie.
V kachestve primera rassmotrim vopros o postroenii chetyreh zamechatel'nyh
tochek treugol'nika.
Tak kak deleniyu otrezka pryamoj v prostranstve popolam otvechaet takoe zhe
delenie proekcij etogo otrezka (sm. § 12), to postroenie tochki peresecheniya
median treugol'nika') mozhet byt' proizvedeno na chertezhe vo vseh sluchayah
neposredstvenno. .Dostatochno (ris. 142) provesti mediany na kazhdoj iz
proekcij treugol'nika, i tochka peresecheniya ego median budet opredelena. Pri
etom mozhno ogranichit'sya postroeniem obeih proekcij lish' odnoj iz median
(naprimer, A'D' i A"D") i odnoj proekcii vtoroj mediany (naprimer, V"E"); v
peresechenii4 A"D" i V"E" poluchaem tochku M", a po nej nahodim na
A'D' tochku M'.
Mozhno bylo by takzhe, postroiv lish' odnu iz median treugol'nika, najti
na nej tochku M na osnovanii izvestnogo iz geometrii svojstva etoj tochki (ona
delit kazhduyu medianu v otnoshenii 2:1).
Postroenie tochki peresecheniya treh vysot treugol'nika 2) i
tochki perpendikulyarov k storonam treugol'nika, provedennyh cherez ih
serediny3), svyazano s provedeniem vzaimno perpendikulyarnyh
pryamyh.
*·) Tochka peresecheniya median est' centr tyazhesti treugol'nika.
2) Ortocentr treugol'nika.
Centr opisannoj okruzhnosti.
56
V § 15 byli ukazany usloviya, pri kotoryh perpendikulyarnye otrezki v
prostranstve imeyut svoimi proekciyami takzhe perpendikulyarnye otrezki. Esli
ploskost' treugol'nika parallel'na ploskosti proekcij (naprimer, treugol'nik
SOE na ris. 133), to, opustiv per-. pendikulyary iz tochek S", D" i E" na
protivopolozhnye im storony, poluchaem proekcii vysot treugol'nika. No v
treugol'nike obshchego polozheniya tak postupit' nel'zya.
V chastnom sluchae, kogda odna storona treugol'nika parallel'na pl. 1,
a drugaya parallel'na pl. 2 (ris. 143), provedya S"E" perpendikulyarno k A"B"
i V'E' perpendikulyarno k A'C', poluchaem v prostranstve CF" AB i VE" AS;
tochka peresecheniya vysot okazalas' postroennoj bez kakih-libo osobyh priemov.
V sjmom zhe obshchem sluchae dlya provedeniya na proekcionnoj! chertezhe
perpendikulyarnyh linij prihoditsya pribegat' k osobym priemam, kotorye budut
izlozheny dal'she.
Postroenie tochki peresecheniya bissektris treugol'nika ') takzhe mozhet
byt' proizvedeno neposredstvenno lish' v chastnyh sluchayah raspolozheniya
treugol'nika otnositel'no ploskostej proekcij. |to ob®yasnyaetsya Tem, chto
delenie popolam proekcii kakogo-libo utla otvechaet ego deleniyu popolam v
prostranstve tol'ko v tom sluchae, esli storony dannogo ugla odinakovo
nakloneny k toj ploskosti proekcij, na kotoroj proizvoditsya delenie popolam
proekcii ugla (sm. § 15).
Ris. 143
Pri postroenii proekcij kakogo-libo mnogougol'nika neobhodimo obratit'
vnimanie na to, chtoby ne narushalos' uslovie nahozhdeniya vseh tochek dannoj
figury v odnoj ploskosti.
Na ris. 144 dany polnost'yu gorizontal'naya proekciya nekotorogo
pyatiugol'nika ABCDE i frontal'nye proekcii tol'ko treh ego vershin: A", V" i
E". Sprava
Ris. 144
na ris. 144 pokazano postroenie proekcij ostal'nyh dvuh vershin, S" i
D", pyatiugol'nika. CHtoby tochki S i D lezhali v ploskosti, opredelennoj tremya
tochkami A,
') Centr vpisannoj okruzhnosti.
57
V i E, neobhodimo, chtoby oni nahodilis' na pryamyh, lezhashchih v etoj
ploskosti. |timi pryamymi yavlyayutsya diagonali AC, AD i BE, gorizontal'nye
proekcii kotoryh my mozhem postroit'. Na frontal'noj proekcii pyatiugol'nika
my mozhem provesti lish' V"E". No v ploskosti pyatiugol'nika lezhat tochki
peresecheniya diagonalej K i M, gorizontal'nye proekcii kotoryh (K' i
M1) imeyutsya, a frontal'nye proekcii poluchayutsya srazu, tak kak oni
dolzhny lezhat' na V"E". Po dvum tochkam stroyatsya frontal'nye proekcii i
ostal'nyh dvuh diagonalej A"K" i A"M"; na nih dolzhny lezhat' tochki S" i D",
kotorye opredelyayutsya po ih gorizontal'nym proekciyam. ·
Krug, ploskost' kotorogo parallel'na kakoj-libo ploskosti proekcij,
proeciruetsya na etu ploskost' bez iskazheniya (sm. ris. 140, gde krug vzyat v
gorizontal'noj ploskosti). Esli ploskost' kruga raspolozhena perpendikulyarno
k ploskosti proekcij, to na etu ploskost' krug proeciruetsya v vide otrezka
pryamoj, ravnogo diametru kruga.
No esli krug raspolozhen ploskosti, sostavlyayushchej s ploskost'yu proekcij
kakoj-libo ostryj ugol , to proekciej kruga yavlyaetsya figura, nazyvaemaya
ellipsom.
|llipsom nazyvaetsya takzhe krivaya, ogranichivayushchaya ellips-figuru: esli
ellips-figura yavlyaetsya proekciej kruga, to ellips-liniya yavlyaetsya proekciej
okruzhnosti. V dal'nejshem izlozhenii, govorya ob ellipse, budem podrazumevat'
proekciyu okruzhnosti.
|llips otnositsya k chislu krivyh, nazyvaemyh krivymi vtorogo poryadka.
Uravneniya takih krivyh v dekartovyh koordinatah predstavlyayut soboj uravneniya
vtorogo poryadka. Krivaya vtorogo poryadka peresekaetsya s pryamoj liniej v dvuh
tochkah. Dalee my vstretimsya eshche s paraboloj i giperboloj, tozhe krivymi
vtorogo poryadka.
|llips mozhno rassmatrivat' kak "szhatuyu" okruzhnost'. |to pokazano na
ris. 145, sleva. Polozhim, chto na radiuse OV otlozhen otrezok OV1 dlinoj b,
prichem b < a (t. e. men'she radiusa okruzhnosti). Esli teper' vzyat' na
okruzhnosti kakuyu-libo tochku K i, provedya iz K perpendikulyar na A 1 A2,
otmetit' na KM tochku
Ris. 145 Ris. 146
ku k1 tak, chtoby MK1 :MK = b:a, to eta tochka K, budet prinadlezhat'
ellipsu. Tak mozhno preobrazovat' kazhduyu tochku okruzhnosti v tochku ellipsa,
soblyudaya odno i to zhe otnoshenie b:a. Okruzhnost' kak by ravnomerno szhimaetsya;
liniya, v kotoruyu pri etom preobrazuetsya okruzhnost', yavlyaetsya ellipsom.
Otnoshenie b: a nazyvaetsya koefficientom szhatiya ellipsa. Esli b priblizhaetsya
k a; to ellips rasshiryaetsya i pri b = a prevrashchaetsya v okruzhnost'.
Napomnim (iz kursa chercheniya srednej shkoly), chto
1) otrezok A1A2=2a nazyvaetsya bol'shoj os'yu ellipsa;
2) otrezok bib- = 2b nazyvaetsya maloj os'yu ellipsa;
3) bol'shaya i malaya osi vzaimno perpendikulyarny;
tochka peresecheniya osej nazyvaetsya centrom ellipsa;
58
5) otrezok pryamoj mezhdu dvumya tochkami -ellipsa, prohodyashchij cherez -centr
ellipsa, nazyvaetsya ego diametrom;
6) tochki A,, A2> V,, B2 nazyvayutsya vershinami ellipsa;
7) ellips simmetrichen otnositel'no ego osej i otnositel'no ego centra;
ellips est' geometricheskoe mesto tochek, summa rasstoyanij kotoryh do
dvuh zadannyh tochek Ft i F2 (ris. 145, sprava) imeet odno i to zhe znachenie
2a (razmer bol'shoj osi).
C'D' delit hordu M\N{, parallel'nuyu diametru E'F', sopryazhennomu s CD',
popolam. No imenno takie dva diametra ellipsa, iz kotoryh kazhdyj delit
popolam hordy, parallel'nye drugomu, yavlyayutsya sopryazhennymi.
Sopryazhennye diametry ellipsa ne perpendikulyarny odin k drugomu;
isklyuchenie sostavlyayut osi ellipsa, Iz rassmotreniya ris. 146 sleduet, chto pri
povorote okruzhnosti vokrug diametra AtA2 na ugol etot diametr,
parallel'nyj pl. itlt sohranyaet v gorizontal'noj proekcii svoyu velichinu i
stanovitsya bol'shoj os'yu ellipsa (sm. ris. 146, sprava). Diametr zhe V1V2,
povernutyj na ugol 1 k pl. -, proeciruetsya na nee s sokrashcheniem:
|to sootvetstvuet otnosheniyu osej ellipsa, t. e. ego koefficientu
szhatiya.
Esli v okruzhnosti provesti kakie-libo dva vzaimno perpendikulyarnyh
diametra, to v proekcii, predstavlyayushchej soboj ellips (ris. 146, sprava),
proekcii takih diametrov okruzhnosti okazyvayutsya diametrami ellipsa,
nazyvaemymi sopryazhennymi. Esli v okruzhnosti (ris. 146, sleva) provesti,
naprimer, hordu [(, parallel'nuyu diametru E'F', to diametr C'D' razdelit
etu hordu (i vse hordy, ej parallel'nye) popolam. Ochevidno, chto i v ellipse
sohranitsya eto svojstvo (sm. ris. 146, sprava): diametr takzhe yavlyayushchiesya
paroj sopryazhennyh diametrov.
Ris. 147
Napomnim, kak proizvoditsya postroenie ellipsa po ego osyam (ris. 147,
sleva). Postroenie vypolnyaetsya pri pomoshchi dvuh koncentricheskih okruzhnostej,
provedennyh radiusami a (bol'shaya poluos') i b (malaya poluos'). Esli provesti
kakoj-libo radius OM, i pryamye 1L/„ i EM, parallel'nye maloj i
bol'shoj osyam ellipsa, to pri peresechenii etih pryamyh poluchitsya tochka M,
prinadlezhashchaya ellipsu. Dejstvitel'no,
Provodya ryad radiusov i povtoryaya ukazannoe postroenie, poluchaem ryad
tochek ellipsa.
Postroiv kakuyu-nibud' tochku ellipsa, mozhno postroit' eshche tri tochki,
raspolozhennye simmetrichno najdennoj otnositel'no osej ellipsa ili ego
centra.
Na ris. 147 sprava pokazano postroenie fokusov ellipsa: zasekaya iz
tochki B, bol'shuyu os' dugoj, radiusa, ravnogo bol'shoj poluosi oa 1, poluchaem
tochki f 1 i F2 -- fokusy ellipsa. Postroiv ugol F 1KF2, gde K -- lyubaya tochka
ellipsa, provodim v nem bissektrisu i perpendikulyarno k nej v tochke K
kasatel'nuyu k ellipsu. Pryamaya KN, perpendikulyarnaya kasa-tel'noj, yavlyaetsya
normal'yu1) k ellipsu v tochke K.
') Ot normal is (lat.) -- pryamolinejnyj.
59
Kak postroit' osi ellipsa, esli izvestny ego sopryazhennye diametry?
Pust' polucheny sopryazhennye poludiametry CA i SV (ris. 148). Dlya
postroeniya osej ellipsa:
1) odin iz sopryazhennyh poludiametrov, naprimer CB, povorachivaem na ugol
90° po napravleniyu k drugomu (do polozheniya CB2);
2) provodim otrezok AB2 i delim ego popolam;
3) iz tochki K provodim okruzhnost' radiusom KS; ·
4) pryamuyu, opredelyaemuyu otrezkom AV2, prodolzhaem do peresecheniya s etoj
okruzhnost'yu v tochkah D i E;
5) provodim pryamuyu DC, poluchaem napravlenie bol'shoj osi ellipsa;
6) provodim ES -- napravlenie maloj osi ellipsa;
7) otkladyvaem S1 .= AE -- bol'shaya poluos';
8) otkladyvaem SZ = AD -- malaya poluos';
9) otkladyvaem S2 = S;, S4 = SZ, S5,= SA, So = SV.
|llips mozhet byt' proveden cherez vosem' tochek /, A, 3, V, 2,5,4 i 6 ili
postroen po bol'shoj i maloj osyam, kak pokazano na ris. 147.
Itak, provedya pryamye CD i SE, my poluchili napravleniya bol'shoj i maloj
osej ellipsa; tochka A, prinadlezhashchaya ellipsu, delit diametr ED na dva
otrezka, iz kotoryh odin (AE) raven bol'shoj poluosi etogo ellipsa, a drugoj
(AD) -- maloj poluosi. Esli (ris. 149)
Ris. 150 Ris. 151
vzyat' osi koordinat i u sootvetstvenno po pryamym CD i SE i iz tochki A
provesti perpendikulyar AD k pryamoj CD, to koordinaty,,tochki A mogut byt'
vyrazheny sleduyushchim obrazom:
Otsyuda 
|to uravnenie ellipsa, u kotorogo AE -- bol'shaya poluos', a AO -- malaya
poluos'.
Na ris. 146 bylo pokazano postroenie gorizontal'noj proekcii
okruzhnosti, raspolozhennoj v frontal'no-proeciruyushchej ploskosti, naklonennoj k
pl. 1. Pust' teper' v takoj
60
ploskosti lezhit ellips s poluosyami a i b. Ego proekciej inogda mozhet
okazat'sya okruzhnost' s diametrom, ravnym maloj osi ellipsa: eto budet togda,
kogda dlya ugla mezhdu ploskost'yu, v kotoroj lezhit ellips, i pl. 1 imeet
mesto sootnoshenie
(ris. 150). Poluchennaya okruzhnost' budet sluzhit' proekciej ryada
ellipsov, esli izmenyat' ugol i razmer a, ostavlyaya b neizmennym. Predstavim
sebe pryamoj krugovoj cilindr s vertikal'noj os'yu (ris. 151); naklonnye
secheniya etogo cilindra budut ellipsami, malaya os' kotoryh ravna diametru
cilindra.
VOPROSY K §§ 20-21
1. Kak izobrazhaetsya na chertezhe frontal'no-proeciruyushchaya ploskost',
provedennaya cherez pryamuyu obshchego polozheniya?
2. Kak postroit' proekcii centra tyazhesti v zadannom chertezhe
treugol'nika?
3. CHto mogut predstavlyat' soboj proekcii kruga v zavisimosti ot
polozheniya ego ploskosti otnositel'no ploskosti proekcij?
4. Mozhno li rassmatrivat' ellips kak "szhatuyu" okruzhnost'?
5. CHto takoe koefficient szhatiya ellipsa?
6. Imeet li ellips: a) osi simmetrii, b) centr simmetrii?
7. Kakie diametry ellipsa nazyvayutsya: a) osyami, b) sopryazhennymi
diametrami?
8. Kak po zadannym sopryazhennym diametram ellipsa postroit' ego osi?
GLAVA IV. VZAIMNOE POLOZHENIE DVUH PLOSKOSTEJ, PRYAMOJ LINII I PLOSKOSTI
§ 22. OBZOR VZAIMNYH POLOZHENIJ DVUH PLOSKOSTEJ, PRYAMOJ LINII I
PLOSKOSTI
Dve ploskosti mogut byt' parallel'nymi ili peresekat'sya mezhdu soboj.
Rassmotrim sluchaj vzaimnoj parallel'nosti ploskostej. Esli ploskosti
i parallel'ny (ris. 152), to vsegda v kazhdoj iz nih mozhno postroit' po dve
peresekayushchiesya mezhdu soboj pryamye linii tak, chtoby pryamye odnoj ploskosti
byli sootvetstvenno parallel'ny dvum pryamym drugoj ploskosti.
|to sluzhit osnovnym priznakom dlya opredeleniya, parallel'ny ploskosti
mezhdu soboj ili ne parallel'ny. Takimi pryamymi mogut sluzhit', naprimer,
Ris. 152 Ris. 153
Ris. 154 Ris. 155
sledy obeih ploskostej: esli dva peresekayushchihsya mezhdu soboj sleda odnoj
ploskosti parallel'ny odnoimennym s nimi sledam drugoj ploskosti, to obe
ploskosti parallel'ny mezhdu soboj (ris. 153, gde h'0% h'0, f"o || f"o).
Na ris. 154 pokazany parallel'nye mezhdu soboj frontal'no-proeciruyushchie
ploskosti, zadannye treugol'nikami ABC i DEF. Ih parallel'nost' opredelyaetsya
parallel'nost'yu frontal'nyh proekcij A"V"S" i D"F"E". Esli zhe eti ploskosti
vyrazit' ih sledami na 2 i ,, to tak zhe, kak na ris. 153, frontal'nye
sledy oka-
62
zhutsya vzaimno parallel'nymi i gorizontal'nye sledy budut takzhe vzaimno
parallel'ny. Ochevidno, esli izvestno, chto parallel'nye mezhdu soboj ploskosti
frontal'no-proeciruyushchie, to na chertezhe mozhno v nekotoryh sluchayah
ogranichit'sya tol'ko privedeniem ih frontal'nyh sledov tak, kak eto pokazano
dalee na ris. 166 ("1||"2). Dlya gorizontal'no-proeciruyushchih ploekostej
(esli izvestno, chto oni. vzaimno parallel'ny) v analogichnyh sluchayah
dostatochno provesti ih gorizontal'nye sledy -- odin parallel'no drugomu.
Rassmotrim sluchaj vzaimnogo peresecheniya ploskostej. V sluchae zadaniya
ploskostej ih sledami legko ustanovit', chto eti ploskosti peresekayutsya: esli
hotya by odna para odnoimennyh sledov peresekaetsya, to ploskosti
peresekayutsya. Tak, naprimer, na ris. 155 f"o || f"o, no ' i a'
peresekayutsya: ploskosti i peresekayutsya mezhdu soboj.
Izlozhennoe otnositsya k ploskostyam, zadannym peresekayushchimisya sledami.
Esli zhe obe ploskosti imeyut na i na 2 sledy, parallel'nye osi h, to eti
ploskosti mogut ili peresekat'sya, ili byt' parallel'nymi. Dlya resheniya
voprosa
Ris. 156 Ris. 157
o vzaimnom polozhenii takih ploskostej mozhno postroit' tretij sled: esli
sledy obeih ploskostej na tret'ej ploskosti proekcij takzhe parallel'ny drug
drugu, to ploskosti parallel'ny (ris. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o i "' ||
'"); esli zhe tret'i sledy peresekayutsya, to ploskosti peresekayutsya (ris.
157)1).
Tak reshaetsya vopros o vzaimnom polozhenii dvuh ploskostej, zadannyh
sledami. Esli zhe ploskosti zadany ne sledami, a kakim-libo drugim sposobom,
i nado uznat', peresekayutsya li eti ploskosti, to voobshche sleduet pribegat' k
nekotorym vspomogatel'nym postroeniyam. Primery etih postroenij budut dany
pri dal'nejshem izlozhenii.
Rassmotrim sluchai vzaimnogo polozheniya pryamoj linii i ploskosti.
Vzaimnoe polozhenie pryamoj linii i ploskosti v prostranstve mozhet byt'
sleduyushchim: a) pryamaya lezhit v ploskosti, b) pryamaya peresekaet ploskost', v)
pryamaya parallel'na ploskosti.
Esli na chertezhe neposredstvenno nel'zya ustanovit' vzaimnogo polozheniya
pryamoj i ploskosti, i to pribegayut k nekotorym vspomogatel'nym postroeniyam,
v rezul'tate kotoryh ot voprosa o vzaimnom polozhenii pryamoj i ploskosti
perehodyat k voprosu o vzaimnom polozhenii dannoj pryamoj i nekotoroj
vspomogatel'noj pryamoj. Dlya etogo (ris. 158) provodyat cherez dannuyu pryamuyu AV
nekotoruyu vspomogatel'nuyu ploskost' i rassmatrivayut vzaimnoe polozhenie
pryamoj peresecheniya ploskostej i i pryamoj AV.
') Ochevidno, chto pri takoj, naprimer, posledovatel'nosti v raspolozhenii
parallel'nyh osi sledov: f"o, f"o, h'0, h'0 ploskosti ne mogut byt'
parallel'ny mezhdu soboj i postroenie sledov '" i '" izlishne.
63
Pri etom vozmozhny tri sluchaya:
1) Pryamaya MN slivaetsya s pryamoj AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV prinadlezhit pl. .
2) Pryamaya peresekaet pryamuyu AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV peresekaet pl. .
3) Pryamaya parallel'na pryamoj AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV parallel'na pl. .
Itak, ukazannyj priem opredeleniya vzaimnogo polozheniya pryamoj i
ploskosti zaklyuchaetsya v sleduyushchem:
1) cherez dannuyu pryamuyu provodyat vspomogatel'nuyu ploskost' i stroyat
liniyu peresecheniya etoj ploskosti i dannoj ploskosti;
2) ustanavlivayut vzaimnoe polozhenie dannoj pryamoj i pryamoj peresecheniya
ploskostej; najdennoe polozhenie opredelyaet vzaimnoe polozhenie dannyh pryamoj
i ploskosti.
Dlya resheniya voprosa o vzaimnom polozhenii ploskosti i pryamoj my
primenili sposob vspomogatel'nyh ploskostej, kotorym chasto pol'zuyutsya pri
postroeniyah, svyazannyh so vzaimnym raspolozheniem razlichnyh poverhnostej i
linij s poverhnostyami.
Podbor vspomogatel'nyh ploskostej obychno proizvodyat s takim raschetom,
chtoby postroeniya byli kak mozhno bolee prostymi. Mozhet okazat'sya, naprimer,
chto ploskosti gorizontal'nye ili frontal'nye, gorizontal'no- i
frontal'no-proeciruyushchie, voobshche ves'ma udobnye v kachestve vspomogatel'nyh,
nel'zya budet primenit' sovsem ili ih primenenie vyzovet uslozhnenie
postroeniya dazhe po sravneniyu s ploskostyami obshchego polozheniya, vzyatymi v
kachestve vspomogatel'nyh. Reshaya tu ili inuyu zadachu s primeneniem
vspomogatel'nyh ploskostej, neobhodimo vybirat' eti ploskosti tak, chtoby vse
voznikayushchie pri etom postroeniya byli vozmozhno proshche i chtoby etih postroenij
bylo kak mozhno men'she.
§ 23. PERESECHENIE PRYAMOJ LINII S PLOSKOSTXYU, PERPENDIKULYARNOJ K ODNOJ
ILI K DVUM PLOSKOSTYAM PROEKCIJ
Ploskost', perpendikulyarnaya k ploskosti proekcij, proeciruetsya na
poslednyuyu v vide pryamoj linii. Na etoj pryamoj (proekcii ploskosti) dolzhna
nahodit'sya sootvetstvuyushchaya proekciya tochki, v kotoroj nekotoraya pryamaya
peresekaet takuyu ploskost'1).
Na ris. 159 frontal'naya proekciya K" tochki peresecheniya pryamoj AV s
treugol'nikom SOE opredelyaetsya v peresechenii proekcij A"V" i S"E", tak kak
treugol'nik proeciruetsya na pl. 2 v vide pryamoj linij. Najdya tochku K",
opredelyaem polozhenie proekcii K'. Tak kak pryamaya AV v napravlenii ot K k V
nahoditsya pod
Ris. 159 Ris. 160 Ris. 162
') Tochku peresecheniya pryamoj s ploskost'yu nazyvayut takzhe tochkoj vstrechi
pryamoj s ploskost'yu.
64
treugol'nikom, to na chertezhe chast' gorizontal'noj proekcii pryamoj
provedena shtrihovoj liniej.
Na ris. 160 frontal'nyj sled pl. yavlyaetsya ee frontal'noj proekciej.
Proekciya K" opredelyaetsya v peresechenii proekcii A"V" i sleda ".
Na ris. 161 dan primer postroeniya proekcij tochki peresecheniya pryamoj s
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskost'yu.
Dlya bol'shej naglyadnosti izobrazhayut proekcii otrezkov pryamoj linii,
peresekayushchej ploskost', odni -- sploshnymi liniyami, drugie -- shtrihovymi,
rukovodstvuyas' pri etom sleduyushchimi soobrazheniyami:
1. Uslovno schitayut, chto dannaya ploskost' neprozrachna i tochki i linii,
lezhashchie hotya by i v pervoj chetverti, raspolozhennye dlya zritelya za
ploskost'yu, budut nevidimymi; vidimymi zhe budut tochki i linii, raspolozhennye
po odnu storonu ploskosti so zritelem, kotoryj, kak my budem schitat',
nahoditsya v pervom oktante i beskonechno daleko ot sootvetstvuyushchej ploskosti
proekcij.
2. Vidimye otrezki linij vycherchivayutsya sploshnymi liniyami, a nevidimye
-- shtrihovymi.
3. Pri peresechenii pryamoj s ploskost'yu chast' etoj pryamoj delaetsya dlya
zritelya nevidimoj; tochka peresecheniya pryamoj s ploskost'yu sluzhit granicej
vidimosti linii.
4. Vopros o vidimosti linii vsegda mozhno svesti k voprosu o vidimosti
tochek. Pri etom ne tol'ko ploskost' mozhet zakryvat' tochku, no i tochka mozhet
zakryvat' druguyu tochku (sm. ris. 87).
5. Esli neskol'ko tochek raspolozheny na obshchej dlya nih proeciruyushchej
pryamoj, to vidimoj budet tol'ko odna iz nih:
a) po otnosheniyu k pl. -- tochka, naibolee udalennaya ot ,;
b) po otnosheniyu k pl. 2 -- tochka, naibolee udalennaya ot 2;
v) po otnosheniyu k pl. 3 -- tochka, naibolee udalennaya 3.
6. Esli chertezh soderzhit osi proekcij, to dlya opredeleniya vidimosti
tochek, raspolozhennyh na obshchej dlya nih proeciruyushchej pryamoj, sluzhat rasstoyaniya
ih sootvetstvuyushchih proekcij ot osi proekcij:
a) otnositel'no pl. vidima tochka, frontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi h;
b) otnositel'no pl. 2 vidima tochka, gorizontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi h;
v) otnositel'no pl. 3 vidima tochka, gorizontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi u.
Kak nado postupat' v sluchae, esli chertezh ne soderzhit osej proekcij?
Rassmotrim ris. 162. Tochki 1 k 2 dvuh skreshchivayushchihsya pryamyh raspolozheny na
obshchej dlya nih proeciruyushchej pryamoj, perpendikulyarnoj k pl. 2, a tochki 3 i 4
-- na proeciruyushchej pryamoj, perpendikulyarnoj k pl. p1.
Tochka peresecheniya gorizontal'nyh proekcij dannyh pryamyh predstavlyaet
soboj slivshiesya proekcii dvuh tochek, iz kotoryh tochka 4 prinadlezhit pryamoj
AB, a tochka 3 -- pryamoj CD. Tak kak 3"3' > 4"4', to vidima otnositel'no
pl. 1 tochka 3, prinadlezhashchaya pryamoj CD, a tochka 4 tochkoj 3 zakryta.
Tak zhe i tochka peresecheniya frontal'nyh proekcij pryamyh AB i CD
predstavlyaet soboj slivshiesya proekcii dvuh tochek / i 2, iz kotoryh tochka 1
prinadlezhit pryamoj AB, a tochka 2 - pryamoj CD. Tak kak 1'1" > 2'2", to
vidima otnositel'no pl. 2 tochka 1, zakryvayushchaya soboj tochku 2.
|to -- obshchij sposob: tak mozhno postupat' i na chertezhah s osyami
proekcij.
§ 24. POSTROENIE LINII PERESECHENIYA DVUH PLOSKOSTEJ
Pryamaya liniya, poluchaemaya pri vzaimnom peresechenii dvuh ploskostej,
vpolne opredelyaetsya dvumya tochkami, iz kotoryh kazhdaya prinadlezhit obeim
ploskostyam. Tak, pryamaya K1K2 (ris. 163), po kotoroj peresekayutsya mezhdu soboj
ploskost', zadannaya treugol'nikom ABC, i pl. , zadannaya pryamymi DE i DF,
prohodit cherez tochki i K2, no v etih tochkah