="100" alt="0x01 graphic" src="gordon-159.png">
65
pryamye AV i AS pervoj ploskosti peresekayut pl. , t.e. tochki K i Kg
prinadlezhat, obeim ploskostyam.
Sledovatel'no, v obshchem sluchae dlya postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej nado najti kakie-libo dve tochki, komediya iz kotoryh prinadlezhit
obeim ploskostyam; eti tochki opredelyayut liniyu peresecheniya ploskostej.
Dlya nahozhdeniya kazhdoj iz takih dvuh tochek obychno prihoditsya vypolnyat'
special'nye postroeniya. No esli hotya by odna iz peresekayushchihsya ploskostej
perpendikulyarna k ploskosti proekcij, to postroenie proekcij linii
peresecheniya uproshchaetsya. Nachnem s takogo sluchaya.
Na ris. 164 pokazano peresechenie dvuh ploskostej, iz kotoryh odna
(zadannaya treugol'nikom DEF) raspolozhena perpendikulyarno k pl. p2. Tak kak
treugol'-shk,OER proeciruetsya na pl. 2 v vide pryamoj linii (D"F"), to
frontal'naya proekciya otrezka pryamoj, po kotoromu peresekayutsya oba
treugol'nika, predstavlyaet soboj otrezok K'[K'2 na proekcii D"F". Dal'nejshee
postroenie yasno iz chertezha.
Ris. 165
Drugoj primer dan na ris. 165. Gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost'
peresekaet ploskost' treugol'nika ABC. Gorizontal'naya proekciya linii
peresecheniya etih ploskostej -- otrezok M'N' -- opredelyaetsya na slede '.
Teper' rassmotrim obshchij sluchaj postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej. Pust' odna iz ploskostej, , zadana dvumya peresekayushchimisya
pryamymi, a drugaya, ,-- dvumya parallel'nymi pryamymi. Postroenie pokazano na
ris. 166. V rezul'tate vzaimnogo peresecheniya ploskostej i poluchena
pryamaya K1K2. Vyrazim eto zapis'yu: · = 12·
Dlya opredeleniya polozheniya tochek K1 i K2 voz'mem dve vspomogatel'nye
frontal'no-proeciruyushchie ploskosti ( 1, i 2), peresekayushchie kazhduyu iz
ploskostej i . Pri peresechenii ploskostej i ploskost'yu 1 poluchaem
pryamye s proekciyami 1"2", 1'2' i 3"4", 3'4'. |ti pryamye, raspolozhennye v pl.
1, v svoem peresechenii opredelyayut pervuyu tochku, K1, linii peresecheniya
ploskostej i .
Vvedya, dalee, pl. 2, poluchaem v ee peresechenii s i pryamye s
proekciyami 5"b", 5'6' i 7"8", 7'8'. |ti pryamye, raspolozhennye v pl. a2, v
svoem peresechenii opredelyayut vtoruyu tochku, K2, obshchuyu dlya i .
Poluchiv proekcii K1' i K'2, nahodim na sledah
"1 i "2 proekcii K"1 i K "2.
|tim opredelyayutsya proekcii K'1K '2 i K"1K"2
iskomoj pryamoj peresecheniya ploskostej i (proekcii provedeny
shtrihpunktirnoj liniej).
66
Pri postroenii mozhno imet' v vidu sleduyushchee: tak kak vspomogatel'nye
sekushchie ploskosti 1 i 2 vzaimno parallel'ny, to, postroiv proekcii
1'2', i 3'4', sleduet dlya proekcij 5'6' i 7'8' vzyat' po odnoj
tochke, hotya by 5 i 8, tak kak 5'6' || G2' i 7'8' % 3'4'.
V rassmotrennom postroenii byli vzyaty v kachestve vspomogatel'nyh dve
frontal'no-proeciruyushchie ploskosti. Konechno, mozhno bylo vzyat' i inye
ploskosti, naprimer dve gorizontal'nye ili odnu gorizontal'nuyu, druguyu
frontal'nuyu i t. d. Sushchnost' postroenij ot etogo ne menyaetsya. Odnako mozhet
vstretit'sya takoj sluchaj. Polozhim, chto byli vzyaty v kachestve vspomogatel'nyh
dve gorizontal'nye ploskosti i poluchennye pri peresechenii imi
ploskostej i gorizontali okazalis' vzaimno parallel'nymi. No ris.
167 pokazyvaet, chto i peresekayutsya mezhdu soboj, hotya ih gorizontali
parallel'ny. Sledovatel'no, poluchiv vzaimno parallel'nye gorizontal'nye
proekcii gorizontalej AB i CD i znaya, chto ploskosti pri etom ne obyazatel'no
parallel'ny, a mogut peresekat'sya (po obshchej dlya nih gorizontali), nado
ispytat' ploskosti i pri pomoshchi hotya by gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskosti (sm. ris. 167); esli pryamye, po kotorym eta vspomogatel'naya
ploskost' peresechet i , takzhe okazalis' by parallel'ny odna drugoj, to
ploskosti i ne peresekayutsya, a parallel'ny odna drugoj. Na ris. 167 eti
pryamye peresekayutsya v tochke K, cherez kotoruyu i prohodit liniya peresecheniya
ploskostej i parallel'no pryamym BA i CD.
Esli ploskosti zadany ih sledami na ploskostyah proekcij, to estestvenno
iskat' tochki, opredelyayushchie pryamuyu peresecheniya ploskostej, v tochkah
peresecheniya odnoimennyh sledov ploskostej (ris. 168): pryamaya, prohodyashchaya
cherez eti tochki, yavlyaetsya obshchej dlya obeih ploskostej, t. e. ih liniej
peresecheniya.
67
Shemu postroeniya linii peresecheniya dvuh ploskostej (sm. ris. 166)
mozhno, konechno, rasprostranit' i na sluchaj zadaniya ploskostej ih sledami.
Zdes' rol' vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej ispolnyayut sami ploskosti
proekcij:
Tochki peresecheniya odnoimennyh sledov ploskostej yavlyayutsya sledami linii
peresecheniya etih ploskostej. Poetomu dlya postroeniya proekcij linii
peresecheniya ploskostej (ris. 168) nado: 1) najti tochku M' v peresechenii
sledov h'0 i h'0
Ris. 171
i tochku N" v peresechenii f"o i f"o, a po nim -- proekcii M" i N'; 2)
provesti pryamye linii M"N" i M'N'.
Na ris. 169--171 pokazany sluchai, kogda izvestno napravlenie linii
peresecheniya. Poetomu dostatochno imet' lish' odnu tochku ot peresecheniya sledov
i dalee provesti cherez etu tochku pryamuyu, ishodya iz polozheniya ploskostej i ih
sledov.
VOPROSY K §§ 22-24
1. Kakoe vzaimnoe polozhenie mogut zanimat' dve ploskosti?
2. Kakov priznak parallel'nosti dvuh ploskostej?
3. Kak vzaimno raspolagayutsya frontal'nye sledy dvuh parallel'nyh mezhdu
soboj frontal'no-proeciruyushchih ploskostej?
68
4. Kak vzaimno raspolagayutsya gorizontal'nye sledy dvuh parallel'nyh
mezhdu soboj gorizontal'no-proeciruyushchih ploskostej?
5. Kak vzaimno raspolagayutsya odnoimennye sledy dvuh parallel'nyh mezhdu
soboj ploskostej?
6. Sluzhit li priznakom vzaimnogo peresecheniya dvuh ploskostej
peresechenie hotya by odnoj pary ih odnoimennyh sledov?
7. Kak ustanovit' vzaimnoe polozhenie pryamoj i ploskosti?
8. Kak stroitsya tochka peresecheniya pryamoj linii ch ploskost'yu,
perpendikulyarnoj k odnoj ili k dvum ploskostyam proekcij?
9. Kakaya tochka iz chisla raspolozhennyh na obshchem perpendikulyare k a) pl.
, b) pl. bj schitaetsya vidimoj sootvetstvenno na , na 2?
10. Kak stroitsya liniya peresecheniya dvuh ploskostej, iz kotoryh hotya by
odna perpendikulyarna K PL. 1 ILI K PL. 2?
V chem zaklyuchaetsya obshchij sposob postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej?
§ 25. PERESECHENIE PRYAMOJ LINII S PLOSKOSTXYU OBSHCHEGO POLOZHENIYA
Dlya postroeniya tochki peresecheniya pryamoj s ploskost'yu obshchego polozheniya
nado vypolnit' sleduyushchee (ris. 158):
1) cherez dannuyu pryamuyu (AV) provesti nekotoruyu vspomogatel'nuyu
ploskost' (os),
2) postroit' pryamuyu () peresecheniya ploskosti dannoj () i
vspomogatel'noj (os),
3) opredelit' polozhenie tochki (K) peresecheniya pryamyh -- dannoj (AV) i
postroennoj ().
Na ris. 172 pokazano postroenie tochki peresecheniya pryamoj FK s
ploskost'yu obshchego polozheniya, zadannoj dvumya peresekayushchimisya pryamymi AV i CD,
Ris. 172 Ris. 173
CHerez pryamuyu FK provedena vspomogatel'naya frontal'no-proeciruyushchaya
ploskost' . Vybor frontal'no-proeciruyushchej ploskosti obŪyasnyaetsya udobstvom
postroeniya tochek peresecheniya ee frontal'nogo sleda s proekciyami A"V" i
S"D". Po tochkam M" i " najdeny gorizontal'nye proekcii M' i ' i
tem samym opredelena pryamaya , po kotoroj vspomogatel'naya pl. peresekaet
dannuyu pl. . Zatem najdena tochka K', v kotoroj gorizontal'naya proekciya
pryamoj neposredstvenno ili
69
pri svoem prodolzhenii peresekaet proekciyu M'N'. Posle etogo ostaetsya
najti frontal'nuyu proekciyu tochki peresecheniya -- tochku K".
Na ris. 173 pokazano postroenie tochki peresecheniya pryamoj MN s
ploskost'yu, zadannoj treugol'nikom ABC. Hod postroeniya ne otlichaetsya ot
rassmotrennogo na ris. 172. No vspomogatel'naya (na etot raz
gorizontal'no-proeciruyushchaya) ploskost' v dannom .sluchae ukazana tol'ko odnim
sledom ', prohodyashchim cherez proekciyu M'N'. Pl. peresekaet ABC no pryamoj
DE. No mozhno obojtis' i bez ': myslenno predstavlyaya sebe
vspomogatel'nuyu.gorizontal'no-proeciruyushchuyu ploskost', prohodyashchuyu cherez ,
vyrazhaem proekciyami E'D' i E"D" otrezok ED, po kotoromu provedennaya cherez MN
gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' peresekaet treugol'nik.
Schitaya, chto v prostranstve zadany pryamaya i neprozrachnyj treugol'nik,
opredelim vidimye i nevidimye chasti pryamoj MN otnositel'no ploskostej 1 i
2.
V tochke na pl. 1 sovmeshchayutsya gorizontal'nye proekcii dvuh tochek, iz
kotoryh odna prinadlezhit pryamoj MN (frontal'naya proekciya E"1), a drugaya --
storone treugol'nika A S (frontal'naya proekciya E").
Iz raspolozheniya frontal'nyh proekcij E'1 i E" sleduet, chto na uchastke
KM pryamaya nahoditsya nad treugol'nikom i, sledovatel'no, na gorizontal'noj
proekcii otrezok M'K' -- ves' vidimyj, a otrezok K'D' -- nevidimyj.
Na frontal'noj proekcii v tochke F" sovmeshchayutsya frontal'nye proekcii
dvuh tochek, iz kotoryh odna prinadlezhit pryamoj MN, a drugaya -- storone
treugol'nika AV. Po raspolozheniyu gorizontal'nyh proekcij F' i F( zaklyuchaem,
chto pryamaya MN na uchastke K nahoditsya za treugol'nikom i, sledovatel'no, na
frontal'noj proekcii otrezok F"K" -- nevidimyj, a otrezok K"N" -- vidimyj.
Na ris. 174-- 176 dany primery postroeniya tochki peresecheniya pryamoj s
ploskost'yu obshchego polozheniya, vyrazhennoj sledami. V pervom primere cherez
pryamuyu AB provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya pl. , a vo vtorom (ris. 175)
-- gorizontal'naya ploskost', chto okazalos' 'vozmozhnym sdelat', tak kak v
etom primere pryamaya AB -- gorizontal'naya.
Ris. 176
Izobrazhennaya na ris. 176 pryamaya perpendikulyarna k pl. ,.
Gorizontal'nye proekcii vseh tochek etoj pryamoj slivayutsya v odnu tochku.
Sledovatel'no, polozhenie proekcii K' iskomoj tochki peresecheniya pryamoj AB s
pl. izvestno. Polozhenie proekcii K" opredeleno pri pomoshchi gorizontali.
§ 26. POSTROENIE LINII PERESECHENIYA DVUH PLOSKOSTEJ PO TOCHKAM
PERESECHENIYA PRYAMYH LINIJ S PLOSKOSTXYU
V § 24 byl izlozhen obshchij sposob postroeniya linii, peresecheniya dvuh
ploskostej, a imenno primenenie vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej (sm. ris.
166). Rassmotrim teper' drugoj sposob postroeniya v primenenii k ploskostyam
obshchego polozheniya. |tot sposob zaklyuchaetsya tom, chto nahodyat tochki
peresecheniya dvuh
70
pryamyh, prinadlezhashchih odnoj iz ploskostej, s drugoj ploskost'yu.
Sledovatel'no, nado umet' stroit' tochku peresecheniya pryamoj linii s
ploskost'yu obshchego polozheniya, chto izlozheno v § 25.
Na ris. 177 pokazano peresechenie treugol'nika ABC ploskost'yu, zadannoj
dvumya parallel'nymi pryamymi (DE \\ FG). Postroenie svelos' k postroeniyu
tochek ki i K2, v kotoryh pryamye DE i F G peresekayut ploskost' treugol'nika,
i k provedeniyu cherez eti tochki otrezka pryamoj linii. Predstavlyaya sebe, chto
cherez DE i FG provedeny frontal'no-proeciruyushchie ploskosti, nahodim
parallel'nye pryamye, po kotorym eti ploskosti peresekayut treugol'nik. Odna
iz nih vyrazhena proekciyami 1' 2' i 1" 2"; dlya drugoj pokazana odna tochka 3",
3', cherez gorizontal'nuyu proekciyu kotoroj provedena pryamaya parallel'no
proekcii 1 2'. Opredeliv polozhenie proekcij i K'2, nahodim proekcii K'[ i
K2 i proekcii otr. K1K2.
Konechno, i v rassmotrennom sluchae primenim obshchij sposob (sm. ris. 166),
no prishlos' by provesti bol'she linij, chem eto sdelano na ris. 177.
Na ris. 178 dano postroenie linii peresecheniya dvuh treugol'nikov ABC i
DEF s ukazaniem vidimyh i nevidimyh uchastkov etih treugol'nikov.
Pryamaya KiK2 postroena po tochkam peresecheniya storon AS i VS treugol'nika
ABC s ploskost'yu treugol'nika DEF. Vspomogatel'naya frontal'no-proeciruyushchaya
ploskost', provedennaya cherez A S (na chftezhe eta ploskost' osobo ne
oboznachena), peresekaet treugol'nik DEF po pryamoj s proekciyami 1"2" i 1'2';
v peresechenii proekcij A'S' i 1'2' poluchena gorizontal'naya proekciya tochki Kt
peresecheniya pryamoj AS i treugol'nika DEF, zatem postroena frontal'naya
proekciya K"1. Tak zhe .najdena i tochka K2,
V primerah na ris. 177 i 178 my vstretilis' s voprosom o razdelenii
ploskih figur na chasti, vidimye i nevidimye dlya zritelya, tak kak ploskosti
schitayutsya
s
( -.·-
Ris.178 Ris.179
neprozrachnymi. Na chertezhah eto pokazano pri pomoshchi shtrihovki
sootvetstvuyushchih chastej treugol'nikov ABC. Vidimost' opredelena na osnovanii
takih zhe rassuzhdenij, kakie imeli mesto v primere, rassmotrennom na ris.
173.
Na ris. 179 priveden eshche odin primer postroeniya linii peresecheniya dvuh
treugol'nikov. V dannom sluchae s odinakovym osnovaniem mozhno schitat', chto
treugol'nik ABC prohodit v prorez' v treugol'nike DEF ili treugol'nik DEF
prohodit v prorez' v treugol'nike ABC: nado lish' uslovit'sya, v kakom iz
treugol'nikov schitat' etu prorez' po pryamoj KgK2. Mezhdu tem v sluchae,
privedennom na ris. 178, prorez' tol'ko v treugol'nike DEF i treugol'nik ABC
prohodit cherez nee.
Samoe postroenie na ris. 179 svoditsya k nahozhdeniyu tochki K, i tochki N 2
pri pomoshchi frontal'no-proeciruyushchih ploskostej 1, i 2.
Sleduet eshche raz obratit' vnimanie na to, chto primenenie shtrihovyh linij
vmesto sploshnyh, naprimer na ris. 159, 161, 164, 165, 173--179, podskazano
zhelaniem sdelat' izobrazheniya bolee naglyadnymi. Esli ishodit' iz ponyatiya o
proekcii kak geometricheskom obraze, to vopros o "prozrachnosti" ili
"neprozrachnosti", o "vidimosti" i "nevidimosti" otpal by: vse nado bylo by
izobrazhat' sploshnymi liniyami. No dlya pridaniya chertezham naglyadnosti vvedeny
nekotorye uslovnosti, v tom chisle shtrihovye linii.
VOPROSY K §§ 25-26
1. V chem zaklyuchaetsya v obshchem sluchae sposob postroeniya tochki peresecheniya
pryamoj s, ploskost'yu?
2. Kakie dejstviya i v kakoj posledovatel'nosti nado vypolnit' dlya
postroeniya etoj tochki (sm. vopros 1)?
3. Kak opredelit' "vidimost'" pri peresechenii pryamoj s ploskost'yu?
4. Kak mozhno postroit' pryamuyu peresecheniya dvuh ploskostej, esli ne
primenyat' obshchego sposoba, opisannogo v § 24?
5. Kak opredelit' "vidimost'" v sluchae vzaimnogo peresecheniya dvuh
ploskostej?
6. CHem otlichayutsya sluchai, rassmotrennye na ris. 178 i 179?
§ 27. POSTROENIE PRYAMOJ LINII I PLOSKOSTI, PARALLELXNYH MEZHDU SOBOJ
Postroenie pryamoj, parallel'noj zadannoj ploskosti, osnovano na
sleduyushchem polozhenii, izvestnom iz geometrii: pryamaya parallel'na ploskosti,
esli eta pryamaya parallel'na lyuboj pryamoj v ploskosti.
CHerez zadannuyu tochku v prostranstve mozhno provesti beschislennoe
mnozhestvo pryamyh linij, parallel'nyh zadannoj ploskosti: Dlya polucheniya
edinstvennogo resheniya trebuetsya kakoe-nibud' dopolnitel'noe uslovie.
Naprimer, cherez tochku (ris. 180) trebuetsya provesti pryamuyu,
parallel'nuyu ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC, i ploskosti proekcij !
(dopolnitel'noe uslovie).
Ochevidno, iskomaya pryamaya dolzhna byt' parallel'na linii peresecheniya
obeih ploskostej, t.e. dolzhna byt' parallel'na gorizontal'nomu sledu
ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Dlya opredeleniya napravleniya etogo
sleda mozhno vospol'zovat'sya gorizontal'yu ploskosti, zadannoj treugol'nikom
ABC. Na ris. 180 provedena gorizontal' DC i zatem cherez tochku M provedena
pryamaya, parallel'naya etoj gorizontali.
Postavim obratnuyu zadachu: cherez zadannuyu tochku provesti ploskost',
parallel'nuyu zadannoj pryamoj linii. Ploskosti, prohodyashchie cherez nekotoruyu
tochku A parallel'no nekotoroj pryamoj VS, obrazuyut puchok ploskostej, os'yu
kotorogo yavlyaetsya pryamaya, prohodyashchaya cherez tochku A parallel'no pryamoj VS.
Dlya polucheniya edinstvennogo resheniya trebuetsya kakoe-libo dopolnitel'noe
uslovie.
72
Naprimer, nado provesti ploskost', parallel'nuyu pryamoj CD, ne cherez
tochku, a cherez pryamuyu AV (ris. 181). Pryamye AV i CD - skreshchivayushchiesya. Esli
cherez odnu iz dvuh skreshchivayushchihsya pryamyh trebuetsya provesti ploskost',
parallel'-
Ris. 180 Ris. 181
nuyu drugoj, to zadacha imeet edinstvennoe reshenie. CHerez tochku V
provedena pryamaya, parallel'naya pryamoj CD; pryamye AV i BE opredelyayut
ploskost', parallel'nuyu pryamoj CD.
Kak ustanovit', parallel'na li dannaya pryamaya dannoj ploskosti?
Mozhno popytat'sya provesti v etoj ploskosti nekotoruyu pryamuyu parallel'no
dannoj pryamoj. Esli takuyu pryamuyu v ploskosti ne udaetsya postroit', to
zadannye pryamaya i ploskost' ne parallel'ny mezhdu soboj.
Mozhno popytat'sya najti takzhe tochku peresecheniya dannoj pryamoj s dannoj
ploskost'yu. Esli takaya tochka ne mozhet byt' najdena,, to zadannye pryamaya i
ploskost' vzaimno parallel'ny.
§ 28. POSTROENIE VZAIMNO PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ
Pust' daetsya tochka K, cherez kotoruyu nado provesti ploskost',
parallel'nuyu nekotoroj ploskosti, zadannoj peresekayushchimisya pryamymi AF i BF
(ris. 182).
Ochevidno, esli cherez tochku K provesti pryamye SK i DK, sootvetstvenno
parallel'nye pryamym AF i BF, to ploskost', opredelyaemaya pryamymi SK i DK,
okazhetsya parallel'noj zadannoj ploskosti.
Drugoj primer postroeniya dan na ris. 183 sprava. CHerez tochku A
provedena pl. parallel'no pl. a. Snachala cherez tochku A provedena pryamaya,
zavedomo parallel'naya pl. . |to gorizontal' s proekciyami "" i '',
prichem A'N'\\ h'o. Tak
Ris. 182 Ris. 183
kak tochka N yavlyaetsya frontal'nym sledom gorizontali AN, to cherez etu
tochku projdet sled f"o% f"o,, a cherez H - sled h'o || h'o. Ploskosti
i vzaimno parallel'ny, tak kak ih odnoimennye peresekayushchiesya sledy vzaimno
parallel'ny.
73
Na ris. 184 izobrazheny dve parallel'nye mezhdu soboj ploskosti -- odna
ga nih zadana treugol'nikom LVS, drugaya -- parallel'nymi pryamymi DE i FG.
CHem zhe ustanavlivaetsya parallel'nost' etih ploskostej? Tem, chto v ploskosti,
zadannoj pryamymi DE i FG, okazalos' vozmozhnym provesti dve peresekayushchiesya
Ris. 184
pryamye KN i KM, sootvetstvenno parallel'nye peresekayushchimsya pryamym AS i
VS drugoj ploskosti.
Konechno, mozhno bylo by popytat'sya najti tochku peresecheniya hotya by
pryamoj DE s ploskost'yu treugol'nika ABC. Neudacha podtverdila by
parallel'nost' ploskostej.
VOPROSY K §§ 27-28
1. Na chem osnovano postroenie pryamoj linii, kotoraya dolzhna byt'
parallel'na nekotoroj ploskosti?
2. Kak provesti ploskost' cherez pryamuyu parallel'no zadannoj pryamoj?
3. CHem opredelyaetsya vzaimnaya parallel'nost' dvuh ploskostej?
4. Kak provesti cherez tochku ploskost', parallel'nuyu zadannoj ploskosti?
5. Kak proverit' na chertezhe, parallel'ny li odna drugoj zadannye
ploskosti?
§ 29. POSTROENIE VZAIMNO PERPENDIKULYARNYH PRYAMOJ I PLOSKOSTI
Iz vseh vozmozhnyh polozhenij pryamoj, peresekayushchej ploskost', otmetim
sluchaj, kogda pryamaya perpendikulyarna k ploskosti, i rassmotrim svojstva
proekcij takoj pryamoj.
Na ris. 185 zadana ploskost', opredelyaemaya dvumya peresekayushchimisya
pryamymi AN i AM, prichem AN yavlyaetsya gorizontal'yu, a AM -- frontal'yu etoj
ploskosti. Pryamaya AV, izobrazhennaya na tom zhe chertezhe, perpendikulyarna k AN i
k AM i, sledovatel'no, perpendikulyarna k opredelyaemoj imi ploskosti.
Perpendikulyar k ploskosti perpendikulyaren k lyuboj pryamoj, provedennoj v
etoj ploskosti. No chtoby pri etom proekciya perpendikulyara k ploskosti obshchego
polozheniya okazalas' perpendikulyarnoj k odnoimennoj proekcii kakoj-libo
pryamoj etoj ploskosti, pryamaya dolzhna byt' gorizontal'yu, ili frontal'yu, ili
profil'noj pryamoj ploskosti. Poetomu, zhelaya postroit' perpendikulyar k
ploskosti, berut v obshchem sluchae dve takie pryamye (naprimer, gorizontal' i
frontal', kak eto pokazano na ris. 185).
Itak, u perpendikulyara k ploskosti ego gorizontal'naya proekciya
perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii gorizontali, frontal'naya proekciya
perpendiku-
74
lyarna k frontal'noj proekcii frontali, profil'naya proekciya
perpendikulyarna k profil'noj proekcii profil'noj pryamoj etoj ploskosti.
Ochevidno, v sluchae, kogda ploskost' vyrazhena sledami (ris. 186), my
poluchaem sleduyushchij vyvod: esli pryamaya perpendikulyarna k ploskosti, to
gorizontal'naya proekciya etoj pryamoj perpendikulyarna k gorizontal'nomu sledu
ploskosti, a frontal'naya proekciya perpendikulyarna k frontal'nomu sledu
ploskosti.
Itak, esli v sisteme ,, 2 gorizontal'naya proekciya pryamoj
perpendikulyarna k gorizontal'nomu sledu i frontal'naya proekciya pryamoj
perpendikulyarna k frontal'nomu sledu ploskosti, to v sluchae ploskostej
obshchego polozheniya (ris. 186), a takzhe gorizontalŪno-i frontal'no-proeciruyushchih
pryamaya perpendikulyarna k ploskosti. No dlya profil'no-proeciruyushchej ploskosti
mozhet okazat'sya, chto pryamaya k etoj ploskosti ne perpendikulyarna, hotya
proekcii pryamoj sootvetstvenno perpendikulyarny k gorizontal'nomu i
frontal'nomu sledam ploskosti. Poetomu v sluchae profil'no-proeciruyushchej
ploskosti nado rassmotret' takzhe vzaimnoe polozhenie profil'noj proekcii
pryamoj i profil'nogo sleda dannoj ploskosti i lish' posle etogo ustanovit',
budut li perpendikulyarny mezhdu soboj dannye pryamaya i ploskost'.
Ochevidno (ris. 187), gorizontal'naya proekciya perpendikulyara k ploskosti
slivaetsya s gorizontal'noj proekciej linii skata, provedennoj v ploskosti
cherez osnovanie perpendikulyara.
Na ris. 186 iz tochki A proveden perpendikulyar k pl. (A"S" % f"o, AC
% h'o i pokazano postroenie tochki E, v kotoroj perpendikulyar AS peresekaet
pl. . Postroenie vypolneno s pomoshch'yu gorizontal'no-proeciruyushchej pl. ,
provedennoj cherez perpendikulyar AE.
Na ris. 188 pokazano postroenie perpendikulyara k ploskosti,
opredelyaemoj treugol'nikom ABC. Perpendikulyar'proveden cherez tochku A.
Tak kak frontal'naya proekciya perpendikulyara k ploskosti dolzhna byt'
perpendikulyarna k frontal'noj proekcii frontali ploskosti, a ego
gorizontal'naya proekciya perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii
gorizontali, to v ploskosti cherez tochku A provedeny frontal' s proekciyami
A'D' i A"D" i gorizontal' A"E", A'E'. Konechno, eti pryamye ne obyazatel'no
provodit' imenno cherez tochku A.
Dalee provedeny proekcii perpendikulyara: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Pochemu
proekcii na ris. 188 na uchastkah A"N" i A'M' pokazany shtrihovymi liniyami?
Potomu, chto zdes' rassmatrivaetsya ploskost', zadannaya treugol'nikom ABC, a
ne tol'ko etot treugol'nik: perpendikulyar nahoditsya chastichno pered
ploskost'yu, chastichno za nej.
75
Na ris. 189 i 190 pokazano postroenie ploskosti, prohodyashchej cherez tochku
A perpendikulyarno k pryamoj VS. Na ris. 189 ploskost' vyrazhena sledami.
Postroenie nachato s provedeniya cherez tochku A gorizontali iskomoj ploskosti:
tak kak gorizontal'nyj sled ploskosti dolzhen byt' perpendikulyaren k V'S, to
i gorizontal'naya proekciya gorizontali dolzhna byt' perpendikulyarna k V'S.
Poetomu A'N'% V'S'. Proekciya A"N" \\ osi h, kak eto dolzhno byt' u
gorizontali. Zatem proveden cherez tochku " (" - frontal'naya proekciya
frontal'nogo sleda goryuontali AN) sled f"o% V"S", poluchena tochka X, i
proveden sled h'o" II-4'-V' (h^LB'C).
Na ris. 190 ploskost' opredelena ee frontal'yu AM i gorizontal'yu AN. |ti
pryamye perpendikulyarny k VS (A"M"% V"S", A'N' %
V'S); opredelyaemaya imi ploskost' perpendikulyarna k VS.
Tak kak perpendikulyar k ploskosti perpendikulyaren k kazhdoj pryamoj,
provedennoj v etoj ploskosti, to, nauchivshis' provodit' ploskost'
perpendikulyarno k pryamoj, mozhno vospol'zovat'sya etim dlya provedeniya
perpendikulyara iz nekotoroj tochki A k pryamoj obshchego polozheniya VS. Ochevidno,
mozhno nametit' sleduyushchij plan postroeniya proekcij iskomoj pryamoj:
1) cherez tochku A provesti ploskost' (nazovem ee ), perpendikulyarnuyu k
VS;
2) opredelit' tochku K peresecheniya pryamoj VS s il. ;
soedinit' tochki A i K otrezkom pryamoj linii.
Pryamye AK i VS vzaimno perpendikulyarny.
Primer postroeniya dan na ris. 191. CHerez tochku A provedena ploskost'
(), perpendikulyarnaya k VS. |to sdelano pri pomoshchi frontali, frontal'naya
proekciya
76
A"F" kotoroj provedena perpendikulyarno k frontal'noj proekcii V"S", i
gorizontali, gorizontal'naya proekciya kotoroj perpendikulyarna k V'S.
Zatem najdena tochka K, v kotoroj pryamaya VS peresekaet pl. . Dlya etogo
cherez pryamuyu VS provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' (na chertezhe
ona zadana tol'ko gorizontal'nym sledom 1). Pl. peresekaet pl.
po pryamoj s proekciyami 1'2' i 1 "2". V peresechenii etoj pryamoj s pryamoj VS
poluchaetsya tochka K. Pryamaya AK yavlyaetsya iskomym perpendikulyarom k VS.
Dejstvitel'no, pryamaya AK peresekaet pryamuyu VS i nahoditsya v pl. ,
perpendikulyarnoj k pryamoj VS', sledovatel'no, AKLBC.
V § 15 bylo pokazano (ris. 92), kak mozhno provesti perpendikulyar iz
tochki na pryamuyu. No tam eto bylo vypolneno pri pomoshchi vvedeniya v sistemu
1,2 dopolnitel'noj ploskosti i obrazovaniya, takim obrazom, sistemy 3, 1,
v kotoroj pl. 3 provoditsya parallel'no zadannoj pryamoj. Rekomenduem
sravnit' postroeniya, dannye na ris. 92 i 191,
Na ris. 192 izobrazheny ploskost' obshchego polozheniya o, prohodyashchaya cherez
tochku A, i perpendikulyar AM k etoj ploskosti, prodolzhennyj do peresecheniya s
pl. , v tochke V'.
Ugol 1 mezhdu pl. i pl. nt i ugol mezhdu pryamoj AM i pl. yavlyayutsya
ostrymi uglami pryamougol'nogo treugol'nika V'AM', i, sledovatel'no, 1 + =
90°. Analogichno, esli pl. sostavlyaet s pl. 2 ugol ?, a pryamaya AM,
perpendikulyarnaya k o, sostavlyaet s pl. 2 ugol , 2 + = 90°. Iz etogo,
prezhde vsego, sleduet, chto ploskost' obshchego polozheniya, kotoraya dolzhna
sostavlyat' s pl. ugol ,, a s pl. 2 ugol 2, mozhet byt' postroena, lish'
esli 180° >1 +2>90°.
Dejstvitel'no, skladyvaya pochlenno + = 90° i 2 + = 90°, poluchim
1 + 2 + + = 180°, . e. + 2 < 180°, a tak kak + < 90°
(sm. s. 33), 1 + 2 > 90°. Esli vzyat' :1 + 2 = 90°, to poluchitsya
profil'no-proeciruyushchaya ploskost', a esli vzyat' , + 2 = 180°, to poluchitsya
profil'naya ploskost', t. e. v oboih etih sluchayah ploskost' ne obshchego
polozheniya, a chastnogo.
§ 30. POSTROENIE VZAIMNO PERPENDIKULYARNYH PLOSKOSTEJ
Postroenie ploskosti , perpendikulyarnoj k ploskosti o, mozhet byt'
proizvedeno dvumya putyami: 1) pl. provoditsya cherez pryamuyu, perpendikulyarnuyu
k pl. a; 2) pl. provoditsya perpendikulyarno k pryamoj, lezhashchej v pl. os ili
parallel'noj etoj ploskosti. Dlya polucheniya edinstvennogo resheniya trebuyutsya
dopolnitel'nye usloviya.
Na ris. 193 pokazano postroenie ploskosti, perpendikulyarnoj k
ploskosti, zadannoj treugol'nikom CDE. Dopolnitel'nym usloviem zdes' sluzhit
to, chto iskomaya ploskost' dolzhna prohodit' cherez pryamuyu AV. Sledovatel'no,
iskomaya ploskost' opredelyaetsya pryamoj AV i perpendikulyarom k ploskosti
treugol'nika. Dlya provedeniya etogo perpendikulyara k pl. CDE v nej vzyaty
fron-
Ris. 193 Ris. 194
tal' CN i gorizontal' SM: esli B"F" % S"" i V'F'%S'M', to BF%pl. CDE.
Obrazovannaya peresekayushchimisya pryamymi A V i VF ploskost' perpendikulyarna
k pl. CDE, tak kak prohodit cherez perpendikulyar k etoj ploskosti. Na ris.
194 gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' prohodit cherez tochku K
perpendikulyarno k ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Zdes'
dopolnitel'nym usloviem yavlya-
77
las' perpendikulyarnost' iskomoj ploskosti srazu k dvum ploskostyam: k
pl. ABC i k pl. ,. Poetomu i otvetom sluzhit gorizontal'no-proeciruyushchaya
ploskost'. A tak kak ona provedena perpendikulyarno k gorizontali AD, t. e. k
pryamoj, prinadlezhashchej pl. ABC, to pl. perpendikulyarna k pl. ABC.
Mozhet li perpendikulyarnost' odnoimennyh sledov ploskostej sluzhit'
priznakom perpendikulyarnosti samih ploskostej?
K ochevidnym sluchayam, kogda eto tak, otnositsya vzaimnaya
perpendikulyarnost' dvuh gorizontal'no-proeciruyushchih ploskostej, u kotoryh
gorizontal'nye sledy vzaimno perpendikulyarny. Takzhe eto imeet mesto pri
vzaimnoj perpendikulyarnosti frontal'nyh sledov frontal'no-proeciruyushchih
ploskostej; eti ploskosti vzaimno perpendikulyarny.
Rassmotrim (ris. 195) gorizontal'no-proeciruyushchuyu ploskost' ,
perpendikulyarnuyu k ploskosti obshchego polozheniya a.
Esli pl. perpendikulyarna k pl. 1 i k pl. , to % h'o kak k linii
peresecheniya pl. i pl. ,. Otsyuda h'o% i, sledovatel'no, h'o % ', kak
k odnoj iz pryamyh v pl. .
Itak, perpendikulyarnost' gorizontal'nyh sledov ploskosti obshchego
polozheniya i gorizontal'no-proeciruyushchej sootvetstvuet vzaimnoj
perpendikulyarnosti etih ploskostej.
Ochevidno, perpendikulyarnost' frontal'nyh sledov frontal'no-proeciruyushchej
ploskosti i ploskosti obshchego polozheniya takzhe sootvetstvuet vzaimnoj
perpendikulyarnosti etih ploskostej.
Ris. 196
No esli odnoimennye sledy dvuh ploskostej obshchego polozheniya vzaimno
perpendikulyarny, to samye ploskosti ne perpendikulyarny mezhdu soboj, tak kak
zdes' ne soblyudaetsya ni odno iz uslovij, izlozhennyh v nachale etogo
paragrafa.
V zaklyuchenie rassmotrim ris. 196. Zdes' imeet mesto sluchaj vzaimnoj
perpendikulyarnosti odnoimennyh sledov v obeih ih parah i perpendikulyarnosti
samih ploskostej: obe ploskosti osobogo (chastnogo) polozheniya -- profil'naya
i profil'no-proeciruyushchaya
§ 31. POSTROENIE PROEKCIJ UGLA MEZHDU PRYAMOJ I PLOSKOSTXYU I MEZHDU DVUMYA
PLOSKOSTYAMI
Esli pryamaya ne perpendikulyarna k ploskosti, to uglom mezhdu pryamoj i
ploskost'yu nazyvayut ugol mezhdu etoj pryamoj i ee proekciej na dannoj
ploskosti.
Ob uglah mezhdu pryamoj i ploskostyami proekcij sm, § 13.
Na ris. 197 izobrazhena pryamaya AV, peresekayushchaya pl, 0 v tochke D; ugol
obrazovan otrezkom BD dannoj pryamoj i proekciej B°D etogo otrezka na pl. 0.
78
Postroenie proekcij ugla mezhdu pryamoj AV i nekotoroj pl. vypolneno na
ris. 198. Pl. zadana ee gorizontal'yu (proekcii R"N" i R'N') i frontal'yu
(proekcii P"F" i PF).
Postroenie vypolneno v sleduyushchem poryadke:
a) najdena tochka D peresecheniya pryamoj AV s pl. o, dlya chego cherez AV
provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' ;
b) iz tochki A proveden perpendikulyar k pl. a;
v) najdena tochka peresecheniya etogo perpendikulyara s pl.' os, dlya chego
provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' ;
g) cherez tochki D" i E", D' i provedeny pryamye, chem opredelyayutsya
proekcii pryamoj AV na pl. .
Ris. 197 Ris. 198
Ugol A"D"E" predstavlyaet soboj frontal'nuyu proekciyu ugla mezhdu AV i pl.
, a ugol A'D E' -- gorizontal'nuyu proekciyu etogo ugla.
Postroenie proekcii ugla mezhdu pryamoj i ploskost'yu znachitel'no
uproshchaetsya, esli ploskost' ne yavlyaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya, tak kak
v podobnyh sluchayah tochka peresecheniya zadannoj pryamoj s ploskost'yu
opredelyaetsya bez dopolnitel'nyh postroenij.
Dve peresekayushchiesya mezhdu soboj ploskosti obrazuyut chetyre dvugrannyh
ugla. Ogranichivayas' rassmotreniem ugla mezhdu i , pokazannogo na ris. 199,
postroim ego linejnyj ugol, dlya chego peresechem rebro dvugrannogo ugla
ploskost'yu , perpendikulyarnoj k .
Postroenie proekcij linejnogo ugla vypolneno na ris. 200. Pl. os zadana
treugol'nikom , pl. -- treugol'nikom .
a) Postroena pl. % , prohodyashchaya cherez tochku N (pl. zadana ee
frontal'yu NF i gorizontal'yu ).
79
b) Postroena liniya peresecheniya ploskostej i (pryamaya E); tak kak
pl. provedena cherez tochku N pl. o, to nado najti tol'ko tochku E, dlya chego
vzyata vspo-
mogatel'naya ploskost' .
v) Najdena liniya peresecheniya ploskostej i (pryamaya NG); zdes' takzhe
nado bylo najti tol'ko tochku G (vspomogatel'naya pl. ).
Tochka N yavlyaetsya vershinoj iskomogo linejnogo ugla, ugol E'N'G'
predstavlyaet soboj gorizontal'nuyu proekciyu etogo ugla, ugol E'N"G" -- ego
frontal'nuyu proekciyu.
Na ris. 195 postroeny proekcii linejnogo ugla, izmeryayushchego dvugrannyj
ugol, obrazuemyj pl. s ploskost'yu proekcij k,. Tak kak dlya polucheniya
linejnogo ugla nado provesti ploskost', perpendikulyarnuyu k rebru dvugrannogo
ugla, to dlya polucheniya utla naklona pl. k pl. , provedena pl. ,
perpendikulyarnaya k sledu h'o. Analogichno, dlya polucheniya ugla mezhdu pl. i
pl. 2 nado bylo by provesti ploskost' perpendikulyarno k. sledu f"o.
Na ris. 195 frontal'noj proekciej iskomogo ugla yavlyaetsya ugol ""', a
gorizontal'naya proekciya ugla sovpadaet so sledom ". Velichina ugla mozhet
byt' opredelena postroeniem pryamougol'nogo,treugol'nika po katetam "' i
''.
VOPROSY K §§ 29-31
1. Kak raspolagayutsya proekcii perpendikulyara k ploskosti?
2. Kak vzaimno raspolagayutsya gorizontal'nye proekcii perpendikulyara k
ploskosti v ee linii skata, provedennoj cherez tochku peresecheniya
perpendikulyara s ploskost'yu?
3. Kak provesti ploskost', perpendikulyarnuyu k dannoj pryamoj (cherez
tochku na pryamoj i cherez tochku vne pryamoj)?
4. Kak provesti perpendikulyar iz tochki na pryamuyu obshchego polozheniya (pri
pomoshchi ploskosti, perpendikulyarnoj k pryamoj, i pri pomoshchi vvedeniya v sistemu
k,, ya- dopolnitel'noj ploskosti proekcij)?
5. Kak postroit' vzaimno perpendikulyarnye ploskosti?
6. V kakih sluchayah vzaimnaya perpendikulyarnost' odnoj pary odnoimennyh
sledov ploskostej sootvetstvuet vzaimnoj perpendikulyarnosti samih
ploskostej?
7. V kakom sluchae v sisteme 1,2 vzaimnaya perpendikulyarnost'
ploskostej vyrazhaetsya vzaimnoj perpendikulyarnost'yu frontal'nyh sledov? V
kakom sluchae v sisteme ·, l2 vzaimnaya perpendikulyarnost' ploskostej
vyrazhaetsya vzaimnoj perpendikulyarnost'yu gorizontal'nyh sledov?
8. Perpendikulyarny li ploskosti obshchego polozheniya odna k drugoj, esli ih
odnoimennye sledy vzaimno perpendikulyarny?
9. CHto nazyvaetsya uglom mezhdu pryamoj i ploskost'yu i kakie dejstviya nado
vypolnit' dlya postroeniya na chertezhe proekcij etogo ugla?
Kakie dejstviya nado vypolnit' dlya postroeniya na chertezhe proekcij
linejnogo ugla dlya dannogo dvugrannogo?
GLAVA V. SPOSOBY PEREMENY PLOSKOSTEJ PROEKCIJ I VRASHCHENIYA
§ 32. PRIVEDENIE PRYAMYH LINIJ I PLOSKIH FIGUR
V CHASTNYE POLOZHENIYA OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Zadanie pryamyh linij i ploskih figur v chastnyh polozheniyah otnositel'no
ploskostej proekcij (sm. §§11, 19) znachitel'no uproshchaet postroeniya i
reshenie zadach, a podchas pozvolyaet poluchit' otvet ili neposredstvenno po
dannomu chertezhu, ili pri pomoshchi prostejshih postroenij.
Naprimer, opredelenie rasstoyaniya tochki A do gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskosti (ris. 201), zadannoj treugol'nikom BCD, svoditsya k provedeniyu
perpendikulyara iz proekcii A' k proekcii, vyrazhennoj otrezkom B'D'. Iskomoe
rasstoyanie opredelyaetsya otrezkom A'K'.
Izlagaemye v nastoyashchej glave sposoby dayut vozmozhnost' perehodit' ot
obshchih polozhenij pryamyh linij i ploskih figur v sisteme 1, 2 k chastnym v
toj zhe sisteme ili v dopolnitel'noj.
Dostigaetsya eto:
1) vvedeniem dopolnitel'nyh ploskostej proekcij tak, chtoby pryamaya liniya
ili ploskaya figura, ne izmenyaya svoego polozheniya v prostranstve, okazalas' v
kakom-libo chastnom polozhenii v novoj sisteme ploskostej proekcij (sposob
peremeny ploskostej proekcij);
2) izmeneniem polozheniya pryamoj linii ili ploskoj figury putem povorota
vokrug nekotoroj osi tak, chtoby pryamaya ili figura okazalas' v chastnom
polozhenii otnositel'no neizmennoj sistemy ploskostej proekcij (sposob
vrashcheniya i chastnyj sluchaj ego -- sposob sovmeshcheniya).
Vvedenie dopolnitel'nyh 'ploskostej proekcij v sistemu 1; 2
rassmatrivalos' v § 8, a primery postroenij v dopolnitel'nyh sistemah byli
privedeny v §§ 13 i 15. Teper' rassmotrim eto podrobnee.
§ 33. SPOSOB PEREMENY PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1)
Obshchie svedeniya. Sushchnost' sposoba peremeny ploskostej
proekcij2) zaklyuchaetsya v tom, chto polozhenie tochek, linij, ploskih
figur, poverhnostej v prostranstve ostaetsya neizmennym, a sistema 1, 2
dopolnyaetsya ploskostyami, obrazuyushchimi s 1 ili 2, ili mezhdu soboj sistemy
dvuh vzaimno perpendikulyarnyh ploskostej, prinimaemyh za ploskosti proekcij.
Ris. 2011) My primenyaem rasprostranennoe nazvanie "peremena
ploskostej proekcij", no na samom dele ploskosti proekcij i - ostayutsya i
lish' vvodyatsya dopolnitel'nye ploskosti proekcij. ·
2) Vpervye na russkom yazyke sposob peremeny ploskostej
proekcij byl izlozhen I. I. Somovym v ego knige "Nachertatel'naya geometriya",
1862. Zatem etot vopros poluchil bolee podrobnoe i uglublennoe osveshchenie v
trudah N. I. Makarova i V. I. Kurdyumova.
Kazhdaya novaya sistema vybiraetsya tak, chtoby poluchit' polozhenie, naibolee
udobnoe dlya vypolneniya trebuemogo postroeniya. .
V ryade sluchaev dlya polucheniya sistemy ploskostej proekcij, razreshayushchej
zadachu, byvaet dostatochno vvesti tol'ko odnu ploskost', naprimer 3% 1 ili
4%2; pri etom pl. 3 okazhetsya gorizontal'no-proeciruyushchej, a pl. 4
-frontal'no-proeciruyushchej. Esli vvedenie odnoj ploskosti, 3 ili 4, ne
pozvolyaet razreshit' zadachu, to pribegayut k posledovatel'nomu dopolneniyu
osnovnoj sistemy ploskostej proekcij novymi: naprimer, vvodyat ploskost' 3%
1, poluchayut pervuyu novuyu sistemu -- 3, 1, a zatem ot etoj sistemy
perehodyat ko vtoroj novoj sisteme, vvodya nekotoruyu pl. 4% 3. Pri etom pl.
4 okazyvaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya v osnovnoj sisteme 1, 2. Takim
obrazom, proizvoditsya posledovatel'nyj perehod ot sistemy 1 2 k sisteme
3, 4 cherez promezhutochnuyu sistemu 3, 1.
Esli "ploskosti 3 i 4 vse zhe ne razreshayut voprosa polnost'yu, mozhno
perejti k tret'ej novoj sisteme, vvodya eshche odnu ploskost', perpendikulyarnuyu
k 4.
Pri postroeniyah v novoj sisteme ploskostej proekcij soblyudayutsya te zhe
usloviya otnositel'no polozheniya zritelya, kotorye byli ustanovleny dlya sistemy
ploskostej 1 i 2 (sm. § 7).
Os' proekcij budem otmechat' zapis'yu v vide drobi, schitaya,