\input style я хгашрйнл йнлоемяхпсер щрнр меднярюрнй. Опнцпюллс дкъ лерндю Люпяюкэх мюохяюрэ цнпюгдн рпсдмее, мн еякх ондопнцпюллс, нямнбюммсч мю юкцнпхрле~M, янярюбхрэ б наыел бхде, нмю ъбхряъ жеммшл бйкюднл б кчасч ахакхнрейс ондопнцпюлл. Лмнцнвхякеммше опхлемемхъ мнплюкэмн пюяопедекеммшу яксвюимшу бекхвхм рпеасчр анкэьнцн йнкхвеярбю яксвюимшу вхяек, рюй врн бюфмю яйнпнярэ ху бшпюанрйх. Днонкмхрекэмсч хмтнплюжхч н лернде Реивпнебю, ю рюйфе нагнп мейнрнпшу дпсцху лернднб, усдьху, йюй реоепэ бшъямхкняэ, вел наясфдюелше гдеяэ, лнфмн онксвхрэ хг ярюрэх Л.~Люккепю ({\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 376--383). {\sl (5)~Пюгмнбхдмнярх мнплюкэмнцн пюяопедекемхъ.\/} Лш пюяялнрпекх мнплюкэмне пюяопедекемхе я мскебшл япедмхл гмювемхел х ярюмдюпрмшл нрйкнмемхел, пюбмшл едхмхже. Еякх $X$~хлеер рюйне пюяопедекемхе, рн с тсмйжхх пюяопедекемхъ яксвюимни бекхвхмш $$ Y=\mu+\sigma X \eqno(24) $$ япедмее гмювемхе пюбмн~$\mu$, ю ярюмдюпрмне нрйкнмемхе~$\sigma$. Анкее рнцн, еякх~$X_1$ х~$X_2$---мегюбхяхлше мнплюкэмше яксвюимше бекхвхмш ян япедмхл гмювемхел мскэ х едхмхвмшл ярюмдюпрмшл нрйкнмемхел х еякх $$ Y_1=\mu_1+\sigma_1 X_1, \qquad Y_2=\mu_2+\sigma_2(\rho X_1+\sqrt{1-\rho^2}X_2), \eqno(25) $$ рн~$Y_1$ х~$Y_2$---\emph{гюбхяхлше} яксвюимше бекхвхмш, пюяопедекеммше ян япедмхлх гмювемхълх~$\mu_1$, $\mu_2$, ярюмдюпрмшлх нрйкнмемхълх~$\sigma_1$, $\sigma_2$ х йнщттхжхемрнл йнппекъжхх~$\rho$. (Нанаыемхе мю яксвюи~$n$ оепелеммшу ял.~б~соп.~13.) \section{D.~Щйяонмемжхюкэмне пюяопедекемхе}. Дпсцни бюфмши бхд яксвюимшу бекхвхм---бекхвхмш я \emph{щйяонмемжхюкэмшл пюяопедекемхел.} Рюйхе яксвюимше бекхвхмш ашбючр мсфмш б гюдювюу, цде пюяялюрпхбюеряъ "бпелъ онъбкемхъ". Мюопхлеп, еякх пюдхнюйрхбмне беыеярбн хгксвюер б япедмел йюфдше $\mu$~яейсмд ндмс юкэтю-вюярхжс, рн опнлефсрйх бпелемх лефдс дбслъ онякеднбюрекэмшлх бшкерюлх вюярхж хлечр щйяонмемжхюкэмне пюяопедекемхе ян япедмхл гмювемхел~$\mu$. Щрн пюяопедекемхе нопедекъеряъ тнплскни $$ F(x)=1-e^{-x/\mu}, \rem{$x\ge0$.} \eqno(26) $$ Нрячдю якедсер, врн еякх $X$~хлеер щйяонмемжхюкэмне пюяопедекемхе ян япедмхл гмювемхел~$1$, рн $\mu X$~ондвхмъеряъ щйяонмемжхюкэмнлс пюяопедекемхч ян япедмхл~$\mu$. Онщрнлс днярюрнвмн пюяялнрперэ яксвюи~$\mu=1$. Нашвмн хяонкэгсчряъ рпх лерндю. {\sl (1)~Кнцюпхтлхвеяйхи лернд.\/} Ъямн, врн~$y=F(x)=1-e^{-x}$ лнфмн опедярюбхрэ б бхде~$x=F^{-1}(y)=-\ln(1-y)$. Онщрнлс, бякедярбхе %% 142 яннрмньемхъ~(6), бекхвхмю~$-\ln(1-U)$ хлеер щйяонмемжхюкэмне пюяопедекемхе. Рюй йюй $1-U$~пюяопедекемю пюбмнлепмн, еякх~$U$---пюбмнлепмн пюяопедекеммне яксвюимне вхякн, рн яксвюимюъ бекхвхмю $$ X=-\ln U \eqno(27) $$ пюяопедекемю щйяонмемжхюкэмн ян япедмхл гмювемхел, пюбмшл едхмхже. (Б опнцпюллюу якедсер хгаецюрэ яксвюъ~$U=0$.) {\sl (2)~Лернд яксвюимни лхмхлхгюжхх.\/} Якедсчыхи юкцнпхрл (Дф.~Люпяюкэъ) бшвхякъер гмювемхъ щйяонмемжхюкэмн пюяопедекеммни яксвюимни бекхвхмш аег хяонкэгнбюмхъ ондопнцпюллш кнцюпхтлю. \alg E.(Щйяонмемжхюкэмне пюяопедекемхе ян япедмхл~$1$.) Хяонкэгсчряъ рюакхжш йнмярюмр~$P[j]$, $Q[j]$ дкъ~$j\ge 1$, нопедекеммше тнплскюлх $$ P[j]=1-{1\over e^j}, \quad Q[j]={1\over e-1}\left({1\over1!}+{1\over2!}+\cdots+{1\over j!}\right). \eqno(28) $$ Дкхмю рюакхж нцпюмхвхбюеряъ гмювемхел люйяхлюкэмни дпнах, йнрнпсч лнфмн пюглеярхрэ б люьхммнл якнбе. \st[Мювюкн дпнамни вюярх.] Сярюмнбхрэ~$j\asg1$. Бшпюанрюрэ яксвюимше вхякю~$U_0$ х~$U_1$ х сярюмнбхрэ~$X\asg -U_1$. \st[Лхмхлхгюжхъ гюйнмвемю?] Еякх~$U_0U_j$, сярюмнбхрэ~$X\asg U_j$. Бепмсрэяъ напюрмн й ьюцс~\stp{2}. \st[Мювюкн жекни вюярх.] (Лш сфе бшвхякхкх дпнамсч вюярэ нйнмвюрекэмнцн пегскэрюрю, $X$, х днкфмш днаюбхрэ й мелс яннрберярбсчыее жекне вхякн, врнаш гюйнмвхрэ бшвхякемхъ.) Бшпюанрюрэ мнбне яксвюимне вхякн~$U$ х сярюмнбхрэ~$j\asg 1$. \st[Ядекюмю кх онопюбйю?] Еякх~$UU\ge (1-p)^n$, ю щрн опнхяундхр я бепнърмнярэч~$p(1-p)^{n-1}$, врн х рпеанбюкняэ онйюгюрэ. Вюярмши яксвюи~$p=1/2$ еые кецве лндекхпнбюрэ мю дбнхвмни люьхме, рюй йюй тнплскю~(34) опебпюыюеряъ б~$N=\ceil{-\log_2 U}$, р.~е.~$N$ мю едхмхжс анкэье, вел вхякн оепбшу мскебшу пюгпъднб б дбнхвмнл опедярюбкемхх~$U$. {\sl (2)~Ахмнлхюкэмне пюяопедекемхе~$(t, p)$.\/} Еякх мейнрнпне янашрхе опнхяундхр я бепнърмнярэч~$p$, х лш опнбндхл $t$~мегюбхяхлшу хяошрюмхи, онкмне вхякн~$N$ опнхяундъыху опх щрнл янашрхи пюбмн~$n$ я бепнърмнярэч~$\perm{t}{n}p^n(1-p)^{t-n}$ (ял.~о.~1.2.10). Дкъ щрнцн пюяопедекемхъ мер йюйнцн-кхан опълнцн лерндю, юмюкнцхвмнцн~(34). Ндмюйн лш лнцкх аш хяонкэгнбюрэ рн наярнърекэярбн, врн еякх $N_1$~хлеер ахмнлхюкэмне пюяопедекемхе~$(t_1, p)$ х еякх, мегюбхяхлн, $N_2$~хлеер ахмнлхюкэмне пюяопедекемхе~$(t_2, p)$, рн $N_1+N_2$~хлеер ахмнлхюкэмне пюяопедекемхе~$(t_1+t_2, p)$. Йнцдю $t$~бекхйн, %%146 ахмнлхюкэмне пюяопедекемхе опхакхфеммн нохяшбюеряъ мнплюкэмшл пюяопедекемхел ян япедмхл~$tp$ х япедмейбюдпюрхвмшл нрйкнмемхел~$\sqrt{tp(1-p)}$. Ял. рюйфе опхел, пюяялнрпеммши б соп.~25. {\sl (3)~Пюяопедекемхе Осюяянмю\/} ян япедмхл гмювемхел~$\mu$. Щрн пюяопедекемхе рюй фе ябъгюмн я щйяонмемжхюкэмшл пюяопедекемхел, йюй ахмнлхюкэмне я ценлерпхвеяйхл. Нмн уюпюйрепхгсер вхякн пеюкхгюжхх б едхмхжс бпелемх янашрхи, йюфдне хг йнрнпшу лнфер опнхгнирх б кчани лнлемр. Мюопхлеп, вхякн хгксвюелшу б яейсмдс юкэтю-вюярхж хлеер пюяопедекемхе Осюяянмю. Бепнърмнярэ рнцн, врн~$N=n$, пюбмю $$ e^{-\mu}\mu^n/n!, \rem{$n\ge0$.} \eqno(35) $$ Еякх~$N_1$, $N_2$---мегюбхяхлше осюяянмнбяйхе яксвюимше бекхвхмш ян япедмхлх~$\mu_1$, $\mu_2$, рн бепнърмнярэ рнцн, врн~$N_1+N_2=n$, пюбмю $$ \sum_{0\le k \le n}{e^{-\mu_1}\mu_1^k\over k!} {e^{-\mu_2}\mu_2^{n-k}\over (n-k)!} ={e^{-(\mu_1+\mu_2)}(\mu_1+\mu_2)^n\over n!}. $$ Рюйхл напюгнл, $N_1+N_2$~хлеер пюяопедекемхе Осюяянмю ян япедмхл гмювемхел~$(\mu_1+\mu_2)$. Опедонкнфхл, врн лш унрхл мюохяюрэ наысч ондопнцпюллс, бшпюаюршбючысч гмювемхъ осюяянмнбяйху яксвюимшу бекхвхм ян япедмхл~$\mu$, цде $\mu$~гюдюеряъ опх бунде б ондопнцпюллс. \alg Q.(Пюяопедекемхе Осюяянмю я опнхгбнкэмшл~$\mu$.) \st[Бшвхякхрэ щйяонмемрс.] Опхябнхрэ~$p\asg e^{-\mu}$ х~$N\asg0$, $q\asg1$. (Унръ $e^{-\mu}$~нашвмн бшвхякъеряъ я онлныэч юпхтлерхйх я окюбючыеи рнвйни я опхбкевемхел ярюмдюпрмни ондопнцпюллш, бнглнфмн, пюгслмеи онкэгнбюрэяъ юпхтлерхйни я тхйяхпнбюммни рнвйни, опюбхкэмн бшапюб люяьрюа х нйпсцкемхе дкъ онякедсчыху ноепюжхи я~$p$ х~$q$.) \st[Онксвхрэ яксвюимне вхякн.] Бшпюанрюрэ яксвюимне вхякн~$U$, пюбмнлепмн пюяопедекеммне лефдс~$0$ х~$1$. \st[Слмнфхрэ.] Сярюмнбхрэ~$q\asg qU$. \st[Опнбепхрэ, лемэье кх~$e^{-\mu}$.] Еякх~$q\ge p$, сярюмнбхрэ~$N\asg N+1$ х бепмсрэяъ й ьюцс~\stp{2}. Б опнрхбмнл яксвюе юкцнпхрл гюйюмвхбюеряъ бшбнднл~$N$. \algend Врнаш днйюгюрэ яопюбедкхбнярэ лерндю, гюлерхл, врн мегюбхяхлше пюбмнлепмн пюяопедекеммше яксвюимше бекхвхмш сднбкербнпъчр сякнбхъл $$ U_1\ge p, \quad U_1U_2\ge p, \quad, \ldots, \quad U_1U_2\ldots U_n\ge p, \quad U_1U_2\ldots U_{n+1}

0$, бепмсрэяъ й ьюцс~\stp{2}, б опнрхбмнл яксвюе юкцнпхрл гюйюмвхбюеряъ. \algend Врнаш хяонкэгнбюрэ щрнр юкцнпхрл, лш днкфмш янярюбхрэ яоежхюкэмше опнцпюллш дкъ вюярмшу гмювемхи~$\mu$, гюдюммшу б рюакхже~$M[1]$, $M[2]$,~\dots, $M[n]$. Мюопхлеп, лш лнцкх аш опхмърэ~$n=10$, рнцдю $$ \vcenter{\halign{ \hfil$#$&${}#$\hfil\bskip&&\bskip$#$\hfil\bskip\cr j&=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\cr M[j]&=2^{-15} & 2^{-12} & 2^{-9} & 2^{-6} & 2^{-3} & 2^{-1} & 1 & 2 & 4 & \hfill 8 \cr }} \eqno(36) $$ %% 148 Щрнр лернд мещттейрхбем дкъ анкэьху гмювемхи~$\mu$, яйюфел~$\mu\ge50$. Опх~$\mu0$, пюбмю~$1-e^{-\mu}$, р.~е.\ лемэье~$1\over 32\,000$. Пюяопедекемхе Осюяянмю дкъ люкшу гмювемхи~$\mu$ лндекхпнбюрэ впегбшвюимн кецйн, рюй йюй дкъ бяеу опюйрхвеяйху жекеи $N$~асдер днбнкэмн люкн. Рнкэйн дкъ пюяопедекемхи я~$M[j]=4$ х~$8$ хг опхбедеммнцн бшье яохяйю гмювемхи онрпеасчряъ анкэьхе рюакхжш опх бшонкмемхх ьюцю~K3. Дкъ анкэьху гмювемхи~$\mu$ Юпемя опедкнфхк щттейрхбмши, мн днбнкэмн якнфмши лернд онпъдйю~$\sqrt{\mu}$. Ецн опнжедспю декхр осюяянмнбяйне пюяопедекемхе мю дбе вюярх, ндмю хг йнрнпшу мюонлхмюер пюбмнаедпеммши рпесцнкэмхй. \excercises \ex[10] Йюй бш опедкнфхре бшпюаюршбюрэ яксвюимше вхякю, пюбмнлепмн пюяопедекеммше лефдс яксвюимшлх вхякюлх~$\alpha$ х~$\beta$ ($\alpha<\beta$)? \ex[M16] Опедонкюцюъ, врн~$mU$---яксвюимне жекне вхякн лефдс~$0$ х~$m-1$, мюидхре \emph{рнвмсч} бепнърмнярэ рнцн, врн~$\floor{kU}=r$, еякх~$0\le r < k$. Япюбмхре пегскэрюр я рпеасчыеияъ бепнърмнярэч~$1/k$. \rex[14] Наясдхре, врн онксвхряъ, еякх рпюйрнбюрэ~$U$ йюй жекне вхякн х бшпюаюршбюрэ хг мецн яксвюимне жекне лефдс~$0$ х~$k-1$, \emph{декъ}~$U$ мю~$k$ блеярн опедкнфеммнцн б рейяре слмнфемхъ. Рюйхл напюгнл, (1) якедсер хглемхрэ рюй: % опхдеряъ ярюбхрэ CR, рюй йюй рнйемш йнмжю ярпнй сфе гюяняюмш б юпцслемре % я йюрецнпхеи меюйрхбмши яхлбнк $$ \vbox{ \mixcode ENTA & 0 \cr LDX & U \cr DIV & K \cr \endmixcode } $$ Пегскэрюр нйюферяъ б пецхярпе~$X$. Унпньхи кх щрн лернд? \ex[Л20] Днйюфхре наю яннрмньемхъ б~(7). \rex[21] Опедкнфхре щттейрхбмши лернд бшвхякемхъ яксвюимни бекхвхмш я пюяопедекемхел~$px+qx^2+rx^3$, цде~$p\ge0$, $q\ge0$, $r\ge0$ х~$p+q+r=1$. \rex[БЛ21] Бекхвхмю~$X$ бшвхякъеряъ якедсчыхл лернднл. {\medskip\narrower {\sl "Ьюц~1.\/}~Бшпюанрюрэ дбю яксвюимшу вхякю~$U$, $V$. % {\sl Ьюц~2.\/}~Еякх~$U^2+V^2\ge1$, бепмсрэяъ й ьюцс~1, хмюве сярюмнбхрэ~$X\asg U$." \medskip} \noindent Йюйнбю тсмйжхъ пюяопедекемхъ~$X$? Йюй вюярн асдер бшонкмърэяъ ьюц~1? (Нопедекхре япедмее х япедмейбюдпюрхвмне нрйкнмемхе.) \ex[M18] На╝ъямхре, онвелс б лернде Люпяюкэх дкъ мнплюкэмшу яксвюимшу бекхвхм фекюмхе бшапюрэ~$p_j$ йпюрмшлх~$1/256$ опхбндхр й тнплске~$p_j=\floor{64 f(j/4)}/256$, $1\le j \le 12$. \ex[10] Гювел нянан бшдекърэ сгйхе опълнсцнкэмхйх~$f_{13}$,~\dots, $f_{24}$ б лернде Люпяюкэх мюпюбме я анкэьхлх~$f_1$,~\dots, $f_{12}$? (Онвелс щрн ксвье, вел на╝едхмемхе йюфдни оюпш~$(f_1, f_{13})$, $(f_2, f_{14})$,~\dots{} б ндхм анкэьни опълнсцнкэмхй?) \ex[БЛ10] Онвелс йпхбюъ~$f(x)$ мю пхя.~9 бшосйкю ббепу опх~$x<1$ х бмхг дкъ~$x>1$? \ex[БЛ21] Бшбедхре тнплскш дкъ~$a_j$, $b_j$ б яннрмньемхх~(20). Онйюфхре рюйфе, врн~$E[j]=16/j$, еякх~$1\le j \le 4$; $E[j]=1/(e^{j/16-1/32}-1)$, еякх~$5\le j \le 12$. %% 149 \rex[БЛ27] Днйюфхре, врн ьюцх~M8--M9 б юкцнпхрле~M бшпюаюршбючр гмювемхе яксвюимни бекхвхмш, яннрберярбсчыеи убнярс мнплюкэмнцн пюяопедекемхъ, р.~е.\ опх~$x\ge3$ бепнърмнярэ рнцн, врн~$X$ яннрмньемхел~$V_{n+1}=4V_n\times(1-V_n)$. Реоепэ, еякх бшвхякемхъ декючряъ юаянкчрмн рнвмн, пегскэрюр хлеер пюяопедекемхе~$\sin^2\pi U$, цде~$U$---пюбмнлепмн пюяопедекеммне яксвюимне вхякн. Дпсцхлх якнбюлх, тсмйжхъ пюяопедекемхъ рюйнбю: $$ F(x)={1\over \sqrt{2\pi}}\int_0^x {dx \over \sqrt{x(1-x)}}. $$ Б яюлнл деке, еякх лш мюохьел~$V_n=\sin^2 \pi U_n$, рн ъямн, врн~$U_{n+1}=(2U_n)\bmod 1$. Х хг рнцн, врн онврх бяе деиярбхрекэмше вхякю хлечр яксвюимне дбнхвмне опедярюбкемхе (ял.~\S~3.5), якедсер, врн онякеднбюрекэмнярэ~$U_n$ пюбмнлепмн пюяопедекеммюъ. Мн еякх бшвхякемхе~$V_n$ опнхгбндхряъ я йнмевмни рнвмнярэч, щрх юпцслемрш, нйюгшбючряъ мебепмшлх, рюй йюй яйнпн лш мювхмюел хлерэ декн я ьслнл нр ньханй нйпсцкемхъ (von Neumann, {\sl Collected Works,\/} Vol.~V, pp.~768--770). Опнбедхре ренперхвеяйне х щйяоепхлемрюкэмне (опх пюгмшу гмювемхъу~$V_0$) хяякеднбюмхе онякеднбюрекэмнярх~$\$, нопедекеммни бшье, йнцдю бшвхякемхъ опнбндъряъ я йнмевмни рнвмнярэч. Онунфе кх пюяопедекемхе мю нфхдюелне? Лнфмн кх йюй-мхасдэ хяонкэгнбюрэ щрх вхякю? \ex[Л25] Осярэ $X_1$, $X_2$~\dots, $X_5$---дбнхвмше якнбю, ю йюфдши хг дбнхвмшу пюгпъднб мегюбхяхлн опхмхлюер гмювемхе~$0$ хкх~$1$ я бепнърмнярэч~$1/2$. Йюйнбю бепнърмнярэ рнцн, врн б дюммни онгхжхх пегскэрюр~$X_1\lor (X_2\land (X_3\lor (X_4 \land X_5)))$ яндепфхр~$1$. Ядекюире нанаыемхе. %% 151 \bye